卷积和

f1 (k ) f 2 (k ) e (k i ) e
i i 0 i 0

i
1 e k e 1 1 e ( k 1) 1 1 1 e 1 e
显然，上式中k≥0，故应写为
( k 1) 1 e k f1 ( k ) f 2 ( k ) e ( k ) ( k ) 1 1 e
k 1 a 1 i k b b k a k i k i k y f ( k ) a b ( k ) b ( k ) a b 1 i 0 i 0 b k b (k 1)
式中k1 , k2均为整数。
例 已知序列x(k)=(3)-kε(k) ，y(k)=1, -∞＜k＜∞, 试验证 x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即
x(k ) y (k ) y (k ) x(k )
解 先计算x(k)*y(k)，考虑到x(k)是因果序列，根据式(1-2)，有

x(k ) y (k )
卷积的图解法
f (k )
i
f (i) f
1

2
(k i )
卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i→得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转→ f2(–i)右移k → f2(k – i) （3）乘积： f1(i) f2(k – i) （4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。 注意：k 为参变量。 举例略。
m 0
N 1
nm
N 1 a n a 1 a 1
h( n) a n u ( n)
1 a ( n 1) a 1 a 1
n
x ( n)
1 aN a 1 a 1
n
N 1
N 1
例 如图复合系统由三个 子系统组成，其中 h1(k) = ε(k)， h2(k) = ε(k – 5)，求复合系统 的单位序列响应h (k) 。 解 根据h(k)的定义，有 h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k) = [h1(k) – h2(k) ]* h1(k) = h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k) = ε(k)* ε(k) – ε(k – 5) *ε(k) = (k+1)ε(k) – (k+1 – 5)ε(k – 5) = (k+1)ε(k) – (k– 4)ε(k – 5)
例：f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ，求yf(k)。 解： yf(k) = f (k) * h(k)

i


f (i )h(k i )
i
i k i a ( i ) b (k i)

当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
y f (k )
i
f (i)h(k i)
‖ yf(k)

f (i)h(k i) 卷积和
零状态响应与卷积和
单位抽样响应：由单位序列δ(k)所引起的零状态 响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取 样响应，或简称单位响应，记为h(k)。 零状态响应：已知输入f( n )和h( n )时，则系统的 零状态响应为
序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身 序列与一个移位的单位取样序列δ(n－n0)的线性卷 积等于序列本身移位n0
卷积和的计算
x n hn
m
xm hn m

m 范围由 x ( n), h( n)范围共同决定。
离散卷积过程：序列倒置移位相乘取和 1.解析式法 2.图解法 3.对位相乘求和法求卷积 4.利用性质
任意序列作用下的零状态响应
f (k) 根据h(k)的定义： δ(k)
LTI系统 零状态
yf(k) h(k) h ( k - i) f (i) h(k-i)
i
由时不变性： δ(k -i) 由齐次性： f (i)δ(k-i) 由叠加性： f (i ) (k i ) i ‖ f (k)
x ( k ) y ( k ) y ( k ) x ( k ) 1 .5
-∞＜k＜∞
求解过程中对k没有限制，故上式可写为 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。
例 已知序列f1(k)=2-(k+1) ε(k+1)和f2(k)=ε(k-2)，试计 算卷积和f1(k)*f2(k)。
x 1 n
:
:
n0
4
3
3
2
2
1
1

x 2 n
n0

y n :
8 12 9
n0
4 6 6
3 4 3
2 2
4
1
12 17 16 10
1
1
y n 12 n0
17
16
10
4
y(n)的元素个数?
x ( n) h( n) nA nB
n 0 h( n) 0
nm
0 n N 1 y(n) x(nm)h(m) a u(nm)[u(m) u(m N)]
m0 m0 n
a
m0
n
nm
1a a a a 1 1 a m0
n n m
(n1)
n N 1 y ( n) a
已知 x1 ( n) 4 , 3, 2, 1，x 2 ( n) 3 , 2, 1, ， n 0 n 0 求：y n x1 ( n) x 2 ( n)
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 两序列右对齐→ 逐个样值对应相乘但不进位→ 同列乘积值相加（注意n=0的点）
i 0

(1-2)
如果f2(k)为因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(1-1)中，当(k-i) ＜0，即i＞k时，f2(k-i)=0, 因而和式的上限可改写为k，也就是
k
f1 ( k ) f 2 ( k )
i
f (i ) f ( k i )
1 2 k
(1-3)
如果f1(k)和f2(k)均为因果序列， 则有
解：应用卷积和性质 3， 先计算：
f ( k ) ( 2) ( k ) ( k )
k k
i
( 2)

i
(i ) (k i )
上式中k≥0， 故有
k 1 1 2 2 k 2 i 2 2 1 1 2 i 0
f ( k ) 2 ( k ) ( k ) ( 2 2 ) ( k )
卷积和
卷积和的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和 f2(k)，则定义和 f (k ) f1 (i ) f 2 (k i ) (1-1)
i
为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变 量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。
y f (k )
i


f (i ) h ( k i ) f ( k ) * h ( k )
如果f1(k)为因果序列，由于k＜0时，f1(k)=0，故式(1-1) 中求和下限可 改写为零，即
f1 ( k ) f 2 ( k ) f 1 ( i ) f 2 ( k i )
( k i ) y i x k i (k i ) ( ) ( ) 1 ( 3 ) i k


i
( k i ) k ( 3 ) ( 3 )
i
i 3
所以
k ( 3 ) 3 k ( 3) 1 .5 1 3
已知 x ( n ) R3 n , h( n ) 1 ， 2， 3 ，求求 x ( n ) h( n )。 n0
x ( n) ( n) ( n 1) ( n 2) h( n) ( n) 2 ( n 1) 3 ( n 2)
性质 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，则
f1 ( k ) f 2 ( k k1 ) f1 ( k k1 ) f 2 ( k ) f ( k k1 )
f1 ( k k1 ) f 2 ( k k2 ) f1 ( k k2 ) f 2 ( k k1 ) f ( k k1 k2 )
y( n)
nC n A n B 1
n1 n n2，
若：
x ( n)序列
h( n)序列
则y( n)序列
n 3 n n4
n1 n3 n n2 n4
4个元素 5个元素 8 个元素
例如：
x ( n)： 0 n 3 h( n)： 0 n 4 y( n)： 0 n 7
y ( n) f ( n) * h( n) f ( k ) h( n k )
k 0 n
25-3
h(n) a nu (n) 0 a 1, 例如：已知 x ( n) G ( n) u ( n) u ( n N )
求零状态响应
解
y ( n) ?
y ( n) x ( n) * h( n)
f1 ( k ) [ f 2 ( k ) f 3 ( k )] f1 ( k ) f 2 ( k ) f1 ( k ) f 3 ( k )
性质 2 任一序列f(k)与单位脉冲序列δ(k)的卷 积和等于 序列f(k)本身， 即
f (k ) (k ) (k ) f (k ) f (k )
f1 ( k ) f 2 ( k ) f 1 ( i ) f 2 ( k i )
i 0
(1-4)
• x(n)与δ(n)的卷积： x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*δ(n-n1)= x(n -n1) x(n -n1)*δ(n-n2)=x(n-n1 -n2) x(n -n1)*x(n-n2)=x(n -n1 -n2) x(n+1)=x(n)*δ(n+1)
利用分配律
x( n) h( n) ( n) 2 ( n 1) 3 ( n 2) ( n 1) 2 ( n 2) 3 ( n 3)
( n 2) 2 ( n 3) 3 ( n 4) ( n) 3 ( n 1) 6 ( n 2) 5 ( n 3) 3( n 4)
卷积和的性质
性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和 分配律，即
f1 ( k ) f 2 ( k ) f 2 ( k ) f1 ( k )
f1 ( k ) [ f 2 ( k ) f 3 ( k )] [ f1 ( k ) f 2 ( k )] f 3 ( k )
,a b ,a b
ε(k)Hale Waihona Puke Baiduε(k) = (k+1)ε(k)
例 设f1(k)=e-kε( k)，f2(k)=ε(k), 求f1(k)*f2(k)。
解 由卷积和定义式(1-1)得
i e 1 (i ) (k i )
f1 ( k ) f 2 ( k )

i
考虑到f1(k)、f2(k)均为因果序列，根据式(1-4)，可将上式表示为
i
x (i ) y ( k i )
i ( 3 ) ( ) 1 ( 3 ) i i i 0
i
3 1.5 1 2 1 3
1
再计算y(k)*x(k)，同样考虑到x(k)是因果序列，可得
y (k ) x(k )
i k
k k
再应用卷积和性质 3，求得
f1 (k ) f 2 ( k ) 2 ( k 1) (k 1) ( k 2) f ( k 1 2) f (k 1) [2 2 ( k 1) ] (k 1) 2(1 2 k ) ( k 1)