极限运算法则两个重要极限
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两个重要极限
x 0 x 0
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
1.5极限的运算法则、两个重要极限
x3 + ax + b x 3 + ax + (−8 − 2a ) ∴ lim = lim 2 x →2 x→2 x −4 x2 − 4 2 ( x − 2)( x + 2 x + 4 + a) 12 + a = lim = x→2 ( x − 2)( x + 2) 4 12 + a ∴ =4 4 ∴ a = 4, b = −16
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
极限存在准则两个重要极限公式
x x0
(x )
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则I和准则I′统称为夹逼准则.
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： 因为 n < 1 + L + 1 < n
单调下降有下界数列必有极限 说 明:
(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定
有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则I I来判定数列收敛必须同时满足 数列
单调和有界这两个条件．
2020/6/15
9
(3) 准则 I I只能判定数列极限的存在性，而未给出 求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界， 易知，这两数列均发散．
sin x
=
1
5
x® 0 x
例2 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例3 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
两个重要极限
x
元
。
现在若以天为单位计算复利，则x年末资金变为：
Q
1
r 365
365
x
元
；
若以
1 n
年为单位计算复利，则x年末末资金变为：Q
1
r n
nx
元
；
若令 n ，即每时每刻计算复利（称为连续复利）则x年末末资金为：
lim
n
Q
1
r n
nx
=
Q
lim
n
1
r n
n r
rx
=Q erx 元 。
高等数学
或若
lim
xa
x
0
a可以是有限数x 0
， ，
则
1
1
x
x
lim1 x lim 1 x e 。
xa
x0
例1.5 求
lim
x
1
2 x
x
。
解 令 2 t ，则 x 2 当 x 时 t 0 ，于是
x
t
lim
x
1
2 x
x
lim t0
1 t
2 t
ltim0
1 t
1 2 t
x0 x
t0 sint
两个重要极限
1.2 第二个重要极限：
lim
x
1
1 x
x
e
注意：这个重要极限也可以变形和推广：
(1) 令 1，则t x
时 x 代入后得t 到 0
1
lim1 t t
t0
e
；
(2) 若limxa Nhomakorabeax
a可以是有限数x 0
， ， 则
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
考研数学：两个重要极限
通过比较
xn , xn 1 的展开式，得到除前两项外， xn 的每一项都小于 xn1 的对应项，且 xn1 还 xn xn1 ，即可证数列 xn 单调增加.
多了最后一项且其值大于 0 ，故得出 再证有界;由
1 式易得
1 1 1 1 1 1 2 n 1 1 xn 1 1 1 1 2 n 1 1 3 n! 2 12 2! 3! 2 2 ,
x 0
同理，由夹逼准则可得 x 0
综上，由极限存在的充要条件可知
sin x Biblioteka x .tan x 有关此极限多用于证明与计算比如求 x 0 x ,（读者自行完成）. lim 1 lim 1 e x x 接下来证明 . 1 lim 1 e x x 分析：对于 的证明看上去很复杂，但可以先借助极限存在准则（单调
/
sin x sin x x tan x, 0 x cos x 1 2 可得 x 证 由 ,
又
x 0
lim cos x 1 lim
,
由夹逼准则可得
x 0
sin x 1 x ;
sin x tan x x sin x, x 0 cos x 1 2 也可得 x 对于 , lim sin x 1 x ; lim
n 1
1
；
二项式定理
1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 2! n 1 n! n 1 n 1 n 1
1 1 n ; 1 1 n 1! n 1 n 1
版权所有
两个重要极限
这即证明了当 x 当x
sin x x tan x
2
(x 0 )时 , sin x x tan x
2
时 , sin x 1<
2
x.
证毕 !
(2)
证明 当 0 x
2 sin x 1, sin x x tan x , 即 cos x
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1
lim n s in
n
n
1 n
首页 ×
导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的 基础是基本初等函数的导数公式. 其中求三角函数 y sinx
sin x 1, 求对数函数 y log a x 的导数公式必须使用极限 lim x 0 x 1 1 x (1 ) lim (1 y ) y e . 的导数公式必须使用极限 lim x y 0 x
因为这两个极限在求这两个初等超越函数的导数时是不 能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.
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二
函数
y
s in x lim 1的证明 x 0 x
s in x x
的图象如图3-5所示.
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sin x x tan x
2
(x 0 )时 , sin x x tan x
2
时 , sin x 1<
2
x.
证毕 !
(2)
证明 当 0 x
2 sin x 1, sin x x tan x , 即 cos x
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1
lim n s in
n
n
1 n
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导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的 基础是基本初等函数的导数公式. 其中求三角函数 y sinx
sin x 1, 求对数函数 y log a x 的导数公式必须使用极限 lim x 0 x 1 1 x (1 ) lim (1 y ) y e . 的导数公式必须使用极限 lim x y 0 x
因为这两个极限在求这两个初等超越函数的导数时是不 能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.
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二
函数
y
s in x lim 1的证明 x 0 x
s in x x
的图象如图3-5所示.
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极限存在准则与两个重要极限
100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明 在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ， 且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1
1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
第1-2极限四则运算法则和两个重要极限
特别地 lim kf ( x) k lim f ( x) kA
推论1 lim[ f ( x)] [lim f ( x)]
0 n
n
( n 为正整数, 当n为偶数时， A≥0 )
推论20 lim n [ f ( x)]
n
lim f ( x)
f ( x) lim f ( x) A ③ lim ( B 0) g ( x) lim g ( x) B
(2) 函数极限值 lim f( x)与x0 有无定义无关.
考察函数 y=x+1 ( x∈R )，当x→1时， 极限y→2
x2 1 考察函数 y （x≠1）， x 1
y 2 1 -1 0 1 x
当x→1（但不等于1）时， 极限 y→2 .
例1. 函数
y 3
3x, x 1; f ( x) 1, x 1.
x x0
f ( x) A( x x0 )
x0 邻域： 以x0为中心， 2为长度的开区间 注： （x0 , x0 ）
x0
(
.
x0
x0
)
( 1 ) f ( x ) A | f ( x ) A| 0;
x x0
{ x | | x x0 | }
例8.求极限
x
x
lim ( x x x).
2
解： lim ( x 2 x x) lim
x2 x x2 x2 x x
x
lim
x x2 x x
1 1 1 2 1 1 x
x
lim
x
(2)复合函数极限运算法则
设函数y f [ g ( x)] 由函数y f (u), u g ( x)复合而成，
极限存在准则-两个重要极限公式
星期六
夹逼准则不仅说明了极限存在，
而且给出了求极限的方下法面．利用 证明一个
重要的极限公式lim：sin x它 1
BD
1
x0 x
ox C A
证:
当x
(
0
,
2
)
时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面＜△AOD的面
即
1 2
sin
x积
1 2
x
1 2
tan
x
积
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
lim
n
1
1 n
n
?
首先，证xn
1
1 n
n
是单调的．
证 a b n Cn0anb0 Cn1a b n1 1 Cn2an2b2
Cni ani bi Cnna0bn
2020年7月11日
14
星期六
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
(n 1)! n 1 n 2
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
2020年7月11日 星期六
例3 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x0 x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例4
（课本例）
1.6 极限存在准则 两个重要极限
极限四则运算法则和两个重要极限 PPT
设函数y f [g(x)]由函数y f (u), u g(x)复合而成，
0
y
f [g(x)]在U (x0, ) 有定义，且
lim
x x0
g
(x)
u0，又
lim f (u) A, 则有
u u0
lim f [g(x) ] lim f (u) A
x x0
u u0
注:变量代换,令u=g(x), 则 f [g(x)]=f (u),
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
二、两个重要极限
× (1) lim sin x 1 x xx0
注: 当 lim (x) 0时，lim sin(x) 1.
x x0
xx0 (x)
1
(2) lim(1 x) x e
(或 lim(1 1 )x e)
f
( x0
0)
A
右
右极限 : 如果当x x0,有 f (x) A,则称A为函数 f (x)
当x→x0 时得右极限, 记作
lim
x x0
f
(x)
A
或
f
( x0
0)
A
定理 、lim f (x) A
xx0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
例3、 给定函
数
x 1, x 0
f
(x)
1
,
x0
1 x , x 0
y
1 O
y x 1
x
y 1 x
讨论 x 0 时 f (x) 得极限就是否存在 、
解: 利用前述定理 、因为
4两个重要极限第一次课
§1.3两个重要 极限 §1.3两个重要 极限
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
一. 两个重要极限 二. 无穷小量替换
ESC
一.第一个重要 极限
sin x 1. 基本式： lim x 0 x
变形式：(1) lim
sin
0
1
注: 代表相同的表达式， 关键是 代表无穷小
(1)方法:(图像观察法) 作函数 y sin x，y x 图像(右图).
．
ESC
一 . 极限的四则运算法则 二 .第一个重要 极限举例
例2
sin kx 求 lim x 0 x
( k 0) ．
解 即令 t kx ．则当 x 0 时， kx 0 ．于是 sin kx sin kx sin t lim k k lim lim t 0 x 0 x 0 t x kx k 1 k ． (1.4.5)
是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
2）若 lim c（c为非零常数），则称 与
三.无穷小量的等价代换
2.等价无穷小的传递和代换的性质 设在同一变化过程中
（1）若
（2）若
, ,则 。
2 lim (1 ) u u
u 1 1 2
lim
u
u 1 (1 2)2 2
u
，
ESC
.第二个重要 极限 一.二 极限的四则运算法则
1 因为 a 2 ， b ，所以 2 1 2 2 x 3 x1 ) e 2 e． lim ( x 2 x 1 1 3 (2x 3)x1 lim( 2x )x1 （以下学生自行解决） 解法二 lim x 2 x 1 x 1 1 2x
浅谈两个重要极限求极限
浅谈两个重要极限求极限
摘要：用洛必达法则证明推广了两个重要极限公式，利用推广公式方便学生
解决求极限的问。
关键词：极限重要极限洛必达法则
求极限是高等数学中基础的理论知识，也是大学生从有限变量到无限变量过
渡的桥梁，对大部分学生的理解学习都有困难，特别是要利用重要极限求极限就
更困难，此文用洛必达法则证明推广了两个重要极限公式，利用推广公式解决求
极限的问题。
洛必达法则型的定义式为若函数和满足：
①在点的某去心领域内两者都可导，且；
② =0， =0；
③，则.
第一类重要极限为，若，，则
=
===1
即（1）*
第二类重要极限符合洛必达法则未定型中型，可以转化成型。
指数函数在其定义域中为连续函数，求极限和计算函数值可以交换次序.
=====.
第二类重要极限为，若时，则
=
=
=
==e.
即（2）*
利用推广的2个公式*，可以容易解决两个重要极限的问题。
下面举例说明：求 .
解：
=
=
= = .
参考文献
[1] 何春江主编.高等数学[M].北京：中国水利水电出版社，2004.
[2] 同济大学数学教研室主编.高等数学，上册-4版[M].北京：高等教育出版社，2000重印.
[3] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义,上册–3版[M]. 北京:高等教育出版社,1999重印.
3。
极限的运算和两个重要极限
3 x 2x 例5 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
小结
1.两个准则
迫敛准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
1 令t , x
x 0
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
1 x
1 x
lim(1 x ) e
模式
1
1 x 例4 求 lim(1 ) . x x
解
1 1 x 1 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x x (1 ) x 1 . e
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 ( 型 ) . 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
x1 1 . lim x 的四则运算
二、两个重要极限 三、无穷小量的比较
说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程， 实际上，下面的定理对x→X0及x→∞都成立。我们 只证明x→X0的情形。
一、极限的四则运算
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
( x a) lim 3 2 3 x a x ax 3 a 2
3 2
令u x a
lim 3 u 2
u 0 3
3 a
2
0．
小结
1.5 两个重要极限
)
lim
sin 3 x x
x 0
- lim
sin x x
x 0
3 -1 2
方法二 解
求极限
lim
lim
tan x - sin x x
3
x 0
tan x - sin x x
3
x 0
sin x 1 - cos x lim ( ) 2 x 0 cos x x x 1 lim 1 cos x lim sin x x lim 1 - cos x x
所以 , 原式 5 lim sin t t 5
t 0
注：在上例中，应用公式时，我们使用了代 换 t 5 x ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：
lim
sin 5 x x
x 0
5 lim
sin 5 x 5x
x 0
5
1 - cos x . 例12 求 lim0 2 x x
0 ( 型) 0
解 原式 lim
1 2
2 sin x
sin
2
x
2
1 2 lim
x 0
sin ( x 2
2
x 2
x0
2
)
2
x 2 )2
lim (
x 0
x 2
1 2
.
练习1.求下列极限:
[ A] 1、 lim sin 3 x x
sin 3 x x lim 3 sin 3 x 3x 3
<1
注
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结束
第一个重要极限的特点:
(1) x 0 （自变量的运动过程）; (2)分子分母的极限均为零; (3)结构：
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例12求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解 错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»
解＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例17计算«Skip Record If...»
即«Skip Reห้องสมุดไป่ตู้ord If...»=«Skip Record If...».
容易证明：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例1 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝15
例2 求«Skip Record If...»
例8计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»·«Skip Record If...»=«Skip Record If...»·«Skip Record If...»=1
例9计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
设«Skip Record If...»为多项式
当«Skip Record If...»时，
«Skip Record If...»
因为«Skip Record If...»为多项式，所以极限值等于在«Skip Record If...»处的函数值
因为«Skip Record If...»为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
推论 若在«Skip Record If...»的某一空心邻域内有«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»），且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»） 。
2．3．2极限的运算法则
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例18计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例4 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例5«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»＝e2
为了有别于传统的忽视环境价值的理论和方法，环境经济学家把环境的价值称为总经济价值（TEV），包括环境的使用价值和非使用价值两个部分。
（二）安全评价的基本原则
每名环境影响评价工程师申请登记的类别不得超过2个。
1.准备阶段
⒉«Skip Record If...»；«Skip Record If...»
«Skip Record If...»＝1；«Skip Record If...»＝1
作业P27——1（3） （6），P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）
讲述
我们先介绍极限的运算法则
证明从略。
以上性质只对«Skip Record If...»的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。
定理2 ： （有界性）若极限«Skip Record If...»存在，则函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某一空心邻域内有界
定理3 ：（局部保号性）如果«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»），则在«Skip Record If...»的某一空心邻域内，有«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»） 。
规划审批机关在审批专项规划草案时，应当将环境影响报告书结论以及审查意见作为决策的重要依据。
环境影响评价工程师课主持进行下列工作：
C.可能造成较大环境影响的建设项目，应当编制环境影响报告书
（三）环境影响评价的原则
2.环境影响评价的概念
例18，例19视情况选讲
证明略
例8、例9结果可作
为公式使用。
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
可证得此结论。
和差化积公式
练习：
«Skip Record If...»
＝4
因为当«Skip Record If...»时，
«Skip Record If...»
一般
«Skip Record If...»
＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例19«Skip Record If...»
解 令«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
小结：⒈«Skip Record If...»
«Skip Record If...»；«Skip Record If...»＝1；«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
7）若«Skip Record If...»为“«Skip Record If...»”型时，一般是通分或有理化后再处理。
2．4两个重要极限
2．4．1判别极限存在的两个准则
准则1 （夹逼定理）设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某一邻域«Skip Record If...»内满足
(3)«Skip Record If...»
证明 因为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，利用2。2定理，它们可以分别写为:
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...»均为无穷小量，则有：
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“«Skip Record If...»”型，先设法
约去非零因子。
“«Skip Record If...»”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分，再计算。
一般
«Skip Record If...»
＝«Skip Record If...»
例10计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例11计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3极限的运算法则
2．3．1极限的性质
定理1：（唯一性）如果极限«Skip Record If...»存在，则它只有一个极限。即若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»
(1)«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=A+B+[«Skip Record If...»]
由2．2定理知«Skip Record If...»仍为无穷小量,所以«Skip Record If...»+«Skip Record If...»以A+B为极限.
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解 错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»
解＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例17计算«Skip Record If...»
即«Skip Reห้องสมุดไป่ตู้ord If...»=«Skip Record If...».
容易证明：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例1 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝15
例2 求«Skip Record If...»
例8计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»·«Skip Record If...»=«Skip Record If...»·«Skip Record If...»=1
例9计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
设«Skip Record If...»为多项式
当«Skip Record If...»时，
«Skip Record If...»
因为«Skip Record If...»为多项式，所以极限值等于在«Skip Record If...»处的函数值
因为«Skip Record If...»为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
推论 若在«Skip Record If...»的某一空心邻域内有«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»），且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»） 。
2．3．2极限的运算法则
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例18计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例4 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例5«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»＝e2
为了有别于传统的忽视环境价值的理论和方法，环境经济学家把环境的价值称为总经济价值（TEV），包括环境的使用价值和非使用价值两个部分。
（二）安全评价的基本原则
每名环境影响评价工程师申请登记的类别不得超过2个。
1.准备阶段
⒉«Skip Record If...»；«Skip Record If...»
«Skip Record If...»＝1；«Skip Record If...»＝1
作业P27——1（3） （6），P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）
讲述
我们先介绍极限的运算法则
证明从略。
以上性质只对«Skip Record If...»的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。
定理2 ： （有界性）若极限«Skip Record If...»存在，则函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某一空心邻域内有界
定理3 ：（局部保号性）如果«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»），则在«Skip Record If...»的某一空心邻域内，有«Skip Record If...»（或«Skip Record If...»） 。
规划审批机关在审批专项规划草案时，应当将环境影响报告书结论以及审查意见作为决策的重要依据。
环境影响评价工程师课主持进行下列工作：
C.可能造成较大环境影响的建设项目，应当编制环境影响报告书
（三）环境影响评价的原则
2.环境影响评价的概念
例18，例19视情况选讲
证明略
例8、例9结果可作
为公式使用。
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
可证得此结论。
和差化积公式
练习：
«Skip Record If...»
＝4
因为当«Skip Record If...»时，
«Skip Record If...»
一般
«Skip Record If...»
＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例19«Skip Record If...»
解 令«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
小结：⒈«Skip Record If...»
«Skip Record If...»；«Skip Record If...»＝1；«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
7）若«Skip Record If...»为“«Skip Record If...»”型时，一般是通分或有理化后再处理。
2．4两个重要极限
2．4．1判别极限存在的两个准则
准则1 （夹逼定理）设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某一邻域«Skip Record If...»内满足
(3)«Skip Record If...»
证明 因为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，利用2。2定理，它们可以分别写为:
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...»均为无穷小量，则有：
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“«Skip Record If...»”型，先设法
约去非零因子。
“«Skip Record If...»”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分，再计算。
一般
«Skip Record If...»
＝«Skip Record If...»
例10计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例11计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3极限的运算法则
2．3．1极限的性质
定理1：（唯一性）如果极限«Skip Record If...»存在，则它只有一个极限。即若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»
(1)«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=A+B+[«Skip Record If...»]
由2．2定理知«Skip Record If...»仍为无穷小量,所以«Skip Record If...»+«Skip Record If...»以A+B为极限.