2020届高考数学应用题求解策略——三角(学生)

微专题一 应用题求解策略——三角

考情分析

数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现，数学应用问题的是江苏数学高考的突出亮点，是高考的重点与热点，在近三年的高考题中，常见的有与经济有关即利润最大化和成本最小化为背景的应用题，也有以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题．本专题集中介绍以平面几何为载体的应用问题. 涉及平面图形的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合所给平面图形的结构特征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知识予以解决，其中，运用基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值是常见数学知识和方法．

典型例题

例1 某隧道横断面由半圆及矩形的三边组成，尺寸如图，一平板车车身高1米，车上装载截面为长方形

的货物，为了保证行车安全，要求货物距隧道顶部距离不得少于0.5米． （1）如果车上装载货物截面长方形的宽为3米，货物的最大高度是多少？ （2）适当调整货物的宽与高（不受车宽影响），可以使货物截面的面积最大，从而使运载的货物最多，试问应如何调整，才能使装载的货物最多？

【变式题组】

某地区突发龙卷风．路边一棵大树在树干某点B 处被龙卷风折断且形成︒120角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB =θ(A ,B ,C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计)．

(1)若θ=45︒，求折断前树的高度（结果保留一位小数,2≈1.414, 3 ≈1.732, 6 ≈2.449）； (2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过?

例2 如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB ＝100 m ，BC ＝50 3 m ，欲在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF

和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF ＝90°.

(1) 设∠BOE ＝α，试求△OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； (2) 经核算，三条路的铺设费用均为400元/m ，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

【变式题组】

如图，B ，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100 km ，海岛A 在城市B 的正东方向50 km 处.从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角⎝

⎛⎭⎫α＜θ≤π2，其中锐角α的正切值为12航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C .已知船速为25 km/h ，

车速为75 km/h.

(1)试建立由A 经P 到C 所用时间关于θ的函数解析式； (2)试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由.

例3 如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为4dm(圆心O 在弓形EMF

内)，∠EOF ＝2π

3

.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，

AD ∥EF ，且点A ，D 在弧EF 上，设∠AOD ＝2θ.

(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值．

课后作业

1．如图，长方形材料ABCD 中，已知AB ＝23，AD ＝4．点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，

PF ⊥AD 于F ，且PE ＝1，PF ＝ 3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN ＝150°，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．

(1)设∠FPN ＝θ,试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；

(2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小,并求出其最小值．

2．某市民公园改造规划平面示意图如图，经规划调研测定，该市民公园占地区域是半径为R的圆面，该圆面的内接四边形ABCD是绿化用地，经测量得边界AB＝1百米，BC＝CD＝2百米，AD＝3百米．

(1)求原绿化用地ABCD的面积和市民公园的占地面积；

(2)为提高绿化覆盖率，在保留边界AB，BC不动的基础上，对边界CD，AD进行调整，在圆弧ADC 上新设一点D′，使改造后新的绿地ABCD′的面积最大，求最大面积．

3．某“T”型水渠南北向宽为4 m，东西向宽为 2 m，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置．

(1)过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠

的一边的夹角为θ(θ为锐角)，将线段PQ的长度l表示为θ

的函数；

(2)若从南面漂来一根长度为7 m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹

竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能

否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？试说明理

由．

4．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB＝20 m，广场的一角是半径为16 m的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W元．

(1) 试将W表示为θ的函数W(θ)，并写出cosθ的取值范围；

(2) 如何选取点M的位置，能使总造价W最小？