2020届高考数学应用题求解策略——三角(学生)

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2020届高考数学应用题求解策略——三角(教师)

微专题一应用题求解策略——三角考情分析数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现，数学应用问题的是江苏数学高考的突出亮点，是高考的重点与热点，在近三年的高考题中，常见的有与经济有关即利润最大化和成本最小化为背景的应用题，也有以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题．本专题集中介绍以平面几何为载体的应用问题. 涉及平面图形的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合所给平面图形的结构特征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知识予以解决，其中，运用基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值是常见数学知识和方法．典型例题例1 某隧道横断面由半圆及矩形的三边组成，尺寸如图，一平板车车身高1米，车上装载截面为长方形的货物，为了保证行车安全，要求货物距隧道顶部距离不得少于0.5米．（1）如果车上装载货物截面长方形的宽为3米，货物的最大高度是多少？（2）适当调整货物的宽与高（不受车宽影响），可以使货物截面的面积最大，从而使运载的货物最多，试问应如何调整，才能使装载的货物最多？解如图，设半圆圆心为O ，平行于矩形底边的直径为AB ，货物右边界所在直线与半圆、直径AB 、矩形底边的的交点分别为P ,M ,N ，(090)POB θθ∠=≤<o o ．（1）如果装载货物宽度为3米，则OM =1.5（米），所以3cos 4POB ∠=， 2sin PM POB =∠=（米） 3.510.52+--+（米）（2）由POB θ∠=(090)θ≤<o，知货物宽度为24cos OM θ=，2sin PM θ=货物高度为0.51 1.52(sin 1)PN PM MN θ--=+-=+，货物截面面积4cos2(sin 1)8(cos sin cos )S θθθθθ==⨯+=+，222'8(sin cos sin )8(2sin sin 1S θθθθθ=-+-=--+）由'0S =解得1sin 2θ=或sin 1θ=-（舍去），所以30θ=o ．当030θ≤<o o时，'0S >；当3090θ<<o o 时，'0S <．所以当30θ=o 时，S 取最大值，此时2cos302sin301OM PM ====o o ， 2 1.53OM PM MN =+-=，即当货物宽度为3米时，截面面积最大，所装货物最多．【变式题组】某地区突发龙卷风．路边一棵大树在树干某点B 处被龙卷风折断且形成︒120角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB =θ(A ,B ,C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计)．(1)若θ=45︒，求折断前树的高度（结果保留一位小数,2≈1.414, 3 ≈1.732, 6 ≈2.449）； (2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过?（1）在ABC ∆中，120CBA ∠=o ，CAB ∠=45o ，所以15BCA ∠=o ，由正弦定理，得10sin15sin 45sin120AB CB =o o o所以1015256(sin15sin 45)11.2sin1203AB BC ++=+=≈o oo （米）答：折断前树的高度11.2米.（2）如图，设ABC ∆的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且2DE =,设DG EF h == 因为CAB ∠=θ，120CBA ∠=o ，所以60BCA θ∠=-o ，所以210tan tan(60)h h AD CE DE θθ++=++=-o，所以cos cos(60)[]8sin sin(60)h θθθθ-+=-o o， 8sin sin(60)sin 6031cos28343(sin 2)sin(2)463h θθθπθθ-=-=-=+-o o因为5(0,),2(,)3666ππππθθ∈+∈所以所以1sin(2)(,1]62πθ+∈，所以43(0,]h ∈ 因为432.3 2.53≈<，所以救援车不能从此处通过.例2 如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB ＝100 m ，BC ＝50 3 m ，欲在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF和OF ，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF ＝90°.(1) 设∠BOE ＝α，试求△OEF 的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； (2) 经核算，三条路的铺设费用均为400元/m ，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．解:(1)在Rt △BOE 中，OB ＝50，∠B ＝90°，∠BOE ＝α，所以OE ＝50cos α.在Rt△AOF 中，OA ＝50，∠A ＝90°，∠AFO ＝α，所以OF ＝50sin α.又∠EOF ＝90°，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫50cos α2＋⎝⎛⎭⎫50sin α2＝50cos αsin α，所以l ＝OE ＋OF ＋EF＝50cos α＋50sin α＋50cos αsin α，即l ＝50(sin α＋cos α＋1)cos αsin α.当点F 在点D 处时，这时角α最小，求得此时α＝π6；当点E 在C 点处时，这时角α最大，求得此时α＝π3.故此函数的定义域为⎣⎡⎦⎤π6，π3. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF 的周长l 的最小值即可．由(1)得l ＝50(sin α＋cos α＋1)cos αsin α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3.设sin α＋cos α＝t ，则sin α·cos α＝t 2－12，所以l ＝50(sin α＋cos α＋1)cos αsin α＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1.由α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，得5π12≤α＋π4≤7π12，得3＋12≤t ≤2，所以3－12≤t －1≤2－1，从而2＋1≤1t －1≤3＋1，当α＝π4，即BE ＝50时，l min ＝100(2＋1)，所以当BE ＝AE ＝50 m 时，铺路总费用最低，最低总费用为40 000(2＋1)元．说明：涉及平面图形的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合所给平面图形的结构特征以及相关性质，适当选取参数(如角、线段的长度等)，建立数学模型，运用所学的数学知识A F E CB G予以解决，如例题和变式题，就运用了基本不等式、三角函数的最值以及利用函数的性质求最值等数学知识和方法．【变式题组】如图，B ，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100 km ，海岛A 在城市B 的正东方向50 km 处.从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角⎝⎛⎭⎫α＜θ≤π2，其中锐角α的正切值为12航行到海岸公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C .已知船速为25 km/h ，车速为75 km/h.(1)试建立由A 经P 到C 所用时间关于θ的函数解析式； (2)试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由. 解 (1)在Rt △PBA 中，∠PBA ＝90°，AB ＝50，∠APB ＝θ，若θ≠π2，所以AP ＝50sin θ，PB ＝50tan θ，从而PC ＝100－50tan θ.设由A 经P 到C 所用时间为f (θ)(h)，则f (θ)＝AP 25＋PC75.整理，得f (θ)＝2（3－cos θ）3sin θ＋43，其中θ∈⎝⎛⎭⎫α，π2，若θ＝π2，则f (θ)＝5025＋10075＝2＋43，也满足上式.故f (θ)＝2（3－cos θ）3sin θ＋43，θ∈⎝⎛⎦⎤α，π2. (2)由(1)得f (θ)＝23·3－cos θsin θ＋43，θ∈⎝⎛⎦⎤α，π2. 考虑f ′(θ)＝23·1－3cos θsin 2θ.令f ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设锐角θ0满足cos θ0＝13，易得sin θ0＝223，tan θ0＝22＞12，所以θ0∈⎝⎛⎭⎫α，π2. 列表如下：θ (α，θ0) θ0⎝⎛⎭⎫θ0，π2 f ′(θ) － 0 ＋ f (θ) ↘ 极小值 ↗由上表可知，f (θ0)是极小值，也是最小值.此时，BP ＝50tan θ0＝5022＝2522.答：当登陆点P 到B 的距离为252km 时，所用时间最少.探究提高 1.解应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的解.2.对于应用题中的最值问题，其解决方法一般分为两种：一是建模转化为函数，从而运用函数的单调性或不等式(一元二次不等式、基本不等式)求解最值；二是通过建立一个变量的函数，利用导数探寻极值(一般为最值)，但两种方法都要优先考虑定义域.例3 如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为4dm(圆心O 在弓形EMF内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD ∥EF ，且点A ，D 在弧EF 上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值．解析：(1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0＜θ＜π3时(如图①)，AB ＝4cos θ＋2，AD ＝2×4sin θ，S ＝AB ×AD ＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)＝16sin θ(2cos θ＋1)．当π3≤θ＜π2时(如图②)，AB ＝2×4cos θ，AD ＝2×4sin θ，故S ＝AB ×AD ＝64sin θcos θ＝32sin2θ.综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎨⎧16sin θ(2cos θ＋1)，0<θ<π3，32sin2θ，π3≤θ＜π2.(2) 当0＜θ＜π3时，求导，得S ′＝16[cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)]＝16(4cos 2θ＋cos θ－2)．令S ′＝0，得cos θ＝33－18.记区间⎝⎛⎭⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)，列表： θ (0，θ0) θ0⎝⎛⎭⎫θ0，π3 S ′ ＋ 0 －S 极大值又当π3≤θ＜π2时，S ＝32sin2θ是单调减函数，所以当θ＝θ0，即cos θ＝33－18时，矩形铁片的面积最大．点评：几何图形中的最值问题一般可以转化为三角形中的问题，再利用正、余弦定理和三角函数知识建立相关三角函数的模型，最后再对所得三角函数模型进行化归或求导，来求出单调区间和极值，从而求出最值．本题所建立三角模型只能用导数解决，用导数求解中的关键是解三角方程，要注意本题三角函数值cos θ＝33－18是非特殊角，可以用一个θ0表示．课后作业1．如图，长方形材料ABCD 中，已知AB ＝23，AD ＝4．点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE ＝1，PF ＝ 3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN ＝150°，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1)设∠FPN ＝θ,试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； (2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小,并求出其最小值．解析：(1)在直角△NFP 中，因为PF ＝3，∠FPN ＝θ，所以NF ＝3tanθ，所以S △NAP ＝12NA ·PF ＝12(1＋3tan θ)× 3.在直角△MEP 中，因为PE ＝1，∠EPM ＝π3－θ，所以ME ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－θ，所以S △AMP ＝12AM ·PE ＝12⎣⎡⎦⎤3＋tan ⎝⎛⎭⎫π3－θ×1.所以S ＝S △NAP ＋S △AMP ＝32tan θ＋12tan ⎝⎛⎭⎫π3－θ＋3，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3.(2)因为S ＝32tan θ＋12tan(π3－θ)＋3＝32tan θ＋3－tan θ2（1＋3tan θ）＋ 3.令t ＝1＋3tan θ，由θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，得t ∈[1，4]，所以S ＝3＋3t 2－4t ＋423t＝32⎝⎛⎭⎫t ＋43t ＋33≥32×2×t ×43t ＋33＝2＋33.当且仅当t ＝233时，即tan θ＝2－33时等号成立．此时，AN ＝233，S min ＝2＋33. 图① 图②答：当AN ＝23时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为2＋3.2．某市民公园改造规划平面示意图如图，经规划调研测定，该市民公园占地区域是半径为R 的圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是绿化用地，经测量得边界AB ＝1百米，BC ＝CD ＝2百米，AD ＝3百米． (1)求原绿化用地ABCD 的面积和市民公园的占地面积；(2)为提高绿化覆盖率，在保留边界AB ，BC 不动的基础上，对边界CD ，AD 进行调整，在圆弧ADC 上新设一点D ′，使改造后新的绿地ABCD ′的面积最大，求最大面积．解析：(1)因为四边形ABCD 内接于圆，则∠ABC ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ABC ＋cos ∠ADC ＝0.在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝1＋4－2×2×1×cos ∠ABC ＝5－4cos ∠ABC ，在△ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC ＝13－12cos ∠ADC ＝13＋12cos ∠ABC ，由5－4cos ∠ABC ＝13＋12cos ∠ABC ，得cos ∠ABC ＝－12，因为∠ABC ∈(0，π)，所以∠ABC ＝2π3，所以∠ADC＝π3，AC 2＝7.S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×32＝32，S △ADC ＝12AD ·CD · sin ∠ADC ＝12×2×3×32＝332，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝23，由正弦定理得，2R ＝ACsin ∠ABC＝732＝2213，所以外接圆面积S ＝πR 2＝73π.答：原绿化用地ABCD 的面积为23平方百米，市民公园的占地面积为73π平方百米．(2)设∠ACD ′＝θ⎝⎛⎭⎫0＜θ＜23π，由∠AD ′C ＝π3得：∠CAD ′＝2π3－θ.在△AD ′C 中，由正弦定理知AD ′＝2R sin ∠ACD ′＝2213sin θ，CD ′＝2R sin ∠CAD ′＝ 2213sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，所以S AD ′C ＝12AD ′·CD ′·sin ∠AD ′C ＝ 733sin θsin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝ 733sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ＋12sin θ＝ 72sin θcos θ＋736sin 2θ＝ 736⎝⎛⎭⎫32sin2θ－12cos2θ＋7312＝736sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋7312，因为0＜θ＜23π，所以2θ－π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1，当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，S △AD ′C 的最大值为734.此时，S 四边形ABCD ′＝S △ABC ＋S△AD ′C ＝32＋734＝934. 答：改造后，当△AD ′C 为正三角形时，新的绿地ABCD ′的面积最大，为934平方百米．3．某“T ” 型水渠南北向宽为4 m ，东西向宽为 2 m ，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置．(1)过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ(θ为锐角)，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长度为7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？试说明理由．解 (1)由题意得，P A ＝2，QA ＝4，所以l ＝P A ＋QA ＝2＋4⎝⎛⎭⎫0<θ<π. (2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，由f ′(θ)＝－2cos θsin 2θ＋4sin θcos 2θ＝2(22sin 3θ－cos 3θ)sin 2θcos 2θ，令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝22.且当θ∈(0，θ0)时，f ′()θ<0；当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π2时，f ′(θ)>0，所以f ()θ在()0，θ0上单调递减，在⎝⎛⎭⎫θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f ()θ取得极小值，即为最小值．当tan θ0＝22时，sin θ0＝13，cos θ0＝23，所以f ()θ的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 6 m.因为36>7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．答竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．4．如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB ＝20 m ，广场的一角是半径为16 m 的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN (宽度不计)，点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN (宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a 元/m ，单人弧形椅的造价为a 元/m ，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W 元．(1) 试将W 表示为θ的函数W (θ)，并写出cos θ的取值范围； (2) 如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小？解析： (1) 过点N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G . 在R t △BNF 中，BF ＝16cos θ，则MG ＝20－16cos θ.在R t △MNG 中，MN ＝20－16cos θsin θ.由题意，易得CN ＝16⎝⎛⎭⎫π2－θ，因此W (θ)＝2a ·20－16cos θsin θ＋16a ⎝⎛⎭⎫π2－θ，当点M 与点A 重合时，cos θ＝1620＝45；当点M 与点D 重合时，cos θ＝0，故cos θ∈⎝⎛⎭⎫0，45. (2) W ′(θ)＝－16a ＋8a ·4－5cos θsin2θ＝8a ·(2cos θ－1)(cos θ－2)sin2θ.令W ′(θ)＝0，cos θ＝12.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＝π3. 设锐角θ1满足cos θ1＝45， θ1∈⎝⎛⎭⎫0，π3. 当θ∈⎝⎛⎭⎫θ1，π3时，W ′(θ)＜0，W (θ)单调递减；当θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，W ′(θ)>0，W (θ)单调递增．所以当θ＝π3时，总造价W 最小，最小值为⎝⎛⎭⎫163＋8π3a 元，此时MN ＝83，NG ＝43，NF ＝83，因此当AM ＝4 3 m 时，总造价最小．。

决胜2020高考数学常见命题陷阱破解策略系列-专题09 三角化简技巧

决胜2020高考数学常见命题陷阱破解策略系列-专题09三角化简的技巧一．陷阱类型 1.用已知角表示未知角 2.降幂公式的灵活应用 3.“1”的变通 4.特殊角的替换作用 5.角的一致性6.辅助角公式的灵活应用7.正切公式的灵活应用8.正切变两弦9. sin cos αα+与sin cos αα的关系二．防陷阱演练 1.用已知角表示未知角例1．已知3cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππα⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ( )A.323- B. 323+ C. 63- D. 63+ 【答案】A【解析】∵3cos 2sin παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭∴33sin α=-， ∴02πα-<<，∴6 cos3α=.∴3163323sin33332326sin cos cos sinπππααα-⎛⎫+=+=-⨯+⨯=⎪⎝⎭.选A.【防陷阱措施】用题目所给的已知角表示未知角能够简化解题步骤，节约解题时间练习1．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4cos65πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sinα=（）A.343-B.343+C.334+D.334-【答案】D练习2．若tan24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则tan2α=（）A. ﹣3B. 3C.34- D.34【答案】D【解析】因为tan24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以tan tan44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πtan143π1tan4αα⎛⎫-+⎪⎝⎭==-⎛⎫--⎪⎝⎭，则22tan63tan21tan194ααα-===--；故选D练习3. 若α是锐角，且满足1sin63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cosα的值为（）A.2616+ B. 2616- C. 2314+ D. 2314- 【答案】B【解析】α是锐角，且1sin 063πα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以6πα-也为锐角，所以2122cos 116693sin ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22311261cos cos 66666632326cos cos sin sin ππππππαααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.学@科网练习4. 已知()tan 3αβ+=， tan 2α=，则tan2β=（） A. 512-B. 512C. 724-D. 724【答案】D练习 5. 已知()3sin 25αβ-=， 12sin 13β=-，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则 sin α的值为________．【答案】3130【解析】∵π2<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝1213-，∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β453125651351365⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. 又π(,π)2α∈，∴sin α＝3130130.2.降幂公式的灵活应用例2. 已知θ是第一象限的角，若445sin cos 9θθ+=，则sin2θ等于（）A.43 B. 23- C. 223 D. 223-【答案】C【防陷阱措施】当幂比较高时，注意先使用平方关系把幂降下来练习13.“1”的变通例3若tan α=34,则2cos 2sin2αα-=A. 3225-B. 825-C. 1D. 1625【答案】A【解析】∵2cos 2sin2αα-=22222414tan cos 4sin cos αsin 1tan cos sin cos cos ααααααααα---==++=3225-. 故选A练习1已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值. 【答案】（1）-3（2）1【解析】试题分析：（1）利用两角和的正切函数化简求解即可．（2）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．4.特殊角的替换作用例4. cos85sin25cos30cos25︒+︒︒︒等于（）A.3- B.12- C.12D.3【答案】C【解析】()1cos25cos6025sin25cos30cos85sin25cos3012cos25cos25cos252+++===oo o o oo o oo o o，故选C。

2020高考数学必胜秘诀(四)三角函数

2020高考数学必胜秘诀(四)三角函数――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结四、三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 X 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。

假如角的终边在坐标轴上，就认为那个角不属于任何象限。

，合弧度。

〔答：25;36〔2〕终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)k (k Z).〔3〕终边与终边关于x 轴对称 2k (k Z)〔4〕终边与终边关于y 轴对称 2k (k Z).〔5〕终边与终边关于原点对称 2k (k Z).〔6〕终边在x 轴上的角可表示为：k ,k Z; 终边在y 轴上的角可表示为:k-,k Z；终边在坐标轴上的角可表示为:k ■ ,k Z .如的终边与一的终边关于直线226x 对称，那么=。

〔答：2k,k Z 〕34、与=的终边关系：由”两等分各象限、一二三四'’确定•如假设是第二象限角，那么是第2 2_____ 象限角〔答：一、三〕5、弧长公式：I | |R ，扇形面积公式： S *IR 21 | R 2 , 1弧度(irad) 573.如扇形AOB的周长是6cm ,该扇形的中心角是 1弧度，求该扇形的面积。

〔答：2cm 2〕6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P (x, y)是的终边上的任意一点〔异于原点〕，xr r cot(y 0), sec x 0 , cscy 0。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上yxy点P 的位置无关。

女口〔 1〕角的终边通过点 P(5, - 12),那么sin cos 的值为 ____________ 。

专题01 两大策略应对三角函数综合问题(第二篇)2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破(原卷版)

一．方法综述近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质等结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数()ϕω+=x A y sin R x ∈的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的41个周期. 本专题举例说明解答此类问题的方法、技巧.二．解题策略类型一立足于基本性质，确定()ϕω+=x A y sin 中d 的“基本量”【例1】【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【指点迷津】一般来说：(1)若函数(0)()0y Asin x A ωϕω>>＝＋，有两条对称轴x a x b ＝，＝，则有||()22TkTa b k Z ∈－＝＋； (2)若函数(0)()0y Asin x A ωϕω>>＝＋，有两个对称中心()(),0,0M a N b ，，则有||()22T kTa b k Z ∈－＝＋；(3)若函数(0)()0y Asin x A ωϕω>>＝＋，有一条对称轴x a ＝，一个对称中心(),0M b ，则有||()42T kTa b k Z ∈－＝＋．（4）研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.求对称轴只需令，求解即可，求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.【举一反三】【安徽省江淮六校2019届高三上开学联考】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4类型二立足于等价转化，破解三角函数综合问题【例2】【广东省深圳实验，珠海一中等六校2019届高三第一次联考】已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A．B．C．D．【指点迷津】利用公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.【举一反三】【上海市2018年5月高考模拟（一）】已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________三．强化训练1．【2018届广东省佛山市高三检测（二）】已知函数的图象在区间上不单调,则的取值范围为( )A. B. C. D.2．【2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考模拟（三）】已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A. B.C. D.3.【辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期初考】已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.【山西省太原市2018届三模】已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A．B．-1 C．1 D．5．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为（）A．B．C．D．6．已知，函数，若对任意给定的，总存在，使得，则的最小值为（）A．B．C．5 D．67．【河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考】如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于另一点，是的重心.则的外接圆的半径为A．2 B．C．D．88．【福建省百校2018届临考冲刺】若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（）A．B．C．D．9．【江西省南昌市2018届三模】如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：①当时，；②时，为减函数；③对任意，都有；④对任意，都有其中判断正确的序号是__________．10．【2019年一轮复习讲练测】设函数，给出以下四个论断：①它的图象关于直线对称；②它的图象关于点对称；③它的周期是；④它在区间上是增函数.以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.。

2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧学案(含习题)

高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。

变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。

变式2：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。

2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

（边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。

变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。

变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa 。

(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。

4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h 。

(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。

(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。

5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。

2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2。

2020年高考数学·高考真题-分类汇编-第12讲-解三角形精选全文完整版

精选全文完整版专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形2020年1.（2020•北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =.2.（2020•全国2卷）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+3.（2020•全国3卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A4.（2020•江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =（2）2tan 11DAC ∠=.5.（2020•新全国1山东）在①3ac =sin 3c A =，③3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析6.（2020•天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c === （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）13sin 13A =；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.7.（2020•浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦2016-2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.9．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．10．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 11．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 12.（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．413．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos AA B C ．1010 D ．3101014．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．15．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．16．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．17．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：解三角形的综合应用

2.若点A 在点C 的北偏东30°点B 在点C 的南偏东60°且AC••＞必过教材美1 .仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角, 目标视线在水平视线下方时叫俯角. （如图（a ））2.方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角. 如B 点的方位角为 a （如图（b ））3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）XX 度. ［小题体验］ 1 .如图，设 A , B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C ,测出 AC 的距离为 50 m ，/ ACB = 45° / CAB = 105° 贝U A , B 两点的距离为 _______ m.答案：50 22.海面上有 A , B , C 三个灯塔，AB = 10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从 B 望C和A 成75°视角，则 BC = ________ n mile.答案：5 6必过易措关易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角, 而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.［小题纠偏］1 .在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是60° C 点的俯角是70° 则/ BAC = __________ .答案：130 °第八节解三角形的综合应用fflta) 图3 ---------------------------------------------=BC ,则点A 在点B 的 ____________ 方向上.解析：如图所示，/ ACB = 90°又 AC = BC ,所以/ CBA = 45°而 3= 30 °所以 a= 90° — 45°-30° = 15°所以点A 在点B 的北偏西15°.答案：北偏西15°（2019昆山模拟）如图，为了测量河对岸的塔高 AB ，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C 和D ，现测得/ ACB = 45° / ADB =30° / BCD = 60° CD = 20 m ,则塔高 AB =解析：设塔高AB = h ,在 Rt △ ABC 中，•••/ ACB = 45° /• BC = AB = h ,在 Rt △ ABD 中，•••/ ADB = 30° /• BD = 3h ,在厶 BCD 中，/ BCD = 60° CD = 20,由余弦定理，得 BD 2= CD 2+ BC 2— 2CD BCcos 60°, 即 3h 2= 400 + h 2— 20h ,解得h = 10.答案：10［由题悟法］求解高度问题应注意的 3个问题（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角卜方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键.⑵在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.「丄BUMS?*倉fiX 洙筑亟3°鱼遐E3庖考点一测量高度问题重点保分型考点［典例引领］师生共研 m.（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.［即时应用］为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C, D，测得/ BDC = 60 ° / BCD = 75° CD = 40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°且CE = 1 m，则发射塔高AB = __________________ m.所以 EF = 20 6,在 Rt △ AFE 中，AF = EF tan / AEF=20 6 X -^3= 20 2, 3所以 AB = AF + BF = (20 2+ 1)m.答案：20 2+ 1考点二测量距离问题题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有：(1) 两点都不可到达；(2) 两点不相通的距离；(3) 两点间可视但有一点不可到达.［题点全练］角度一：两点都不可到达1. (2019苏州调研)要测量河对岸两个建筑物 A , B 之间的距离，选取相距 3 km 的C , D 两点，并测得/ ACB = 75° / BCD = 45° / ADC = 30° / ADB = 45° 贝U A , B 之间的距离为 ________ km.解析：在厶 ACD 中，/ ACD = / ACB + / BCD = 120° / ADC = 30°•••/ CAD = 30° , ••• AC = CD = 3.在厶 BCD 中，/ BDC = / ADB +/ ADC = 75° ° / BCD = 45° ° •/ CBD = 60° ° 解析：如图，过点E 作EF 丄AB ，垂足为F ,则 EF = BC , BF = CE = 1,/ AEF = 30° 在厶BCD 中，由正弦定理得， CD sin / BDC sin / CBD 40 sin 60 sin 45 o=20 6.•由正弦定理,CD BCsin/ CBD_ sin/ BDC 解得BC =由sin 75 =V6W2sin 60 2在厶 ABC 中，由余弦定理，得 AB 2= AC 2 + BC 2— 2AC BC cos/ ACB = 3 + 吐护一2X 3即A , B 两点间的距离为 20 6 m.答案：20 6［通法在握］求距离问题的2个注意事项解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 6 — ,2 4 AB = A ；5.答案：5角度二：两点不相通的距离2 •如图所示，要测量一水塘两侧选定适当的位置C ,用经纬仪测出角 a ，则可求出 A , B 两点间的距离•即 A , B 两点间的距离，其方法先a 再分别测出AC , BC 的长b ,2 ■AB = a 2 + b 2— 2abcos a . 若测得 CA = 400 m , CB = 600 m , / ACB = 60° 贝U A , B 两点的距离为 ________ m. 解析：在厶ABC 中，由余弦定理得AB 2= AC 2+ BC 2— 2AC BCcosZ ACB ,所以 AB 2= 4002+ 6002— 2X 400X 600COS 60= 280 000.所以 AB = 200 7 (m) •即A , B 两点间的距离为 2007 m. CAB = 3,在厶ABC 中，运用正弦定理就可以求出 AB.若测出 AC = 60 m , / BAC = 75° / BCA = 45°贝U A , B 两点间的距离为 _________ m. 解析：/ ABC = 180 ° — 75°— 45 °=60°,所以由正弦定理得, AB = AC sin C sin B所以AB = AC sin C sin B60 X sin 45 sin 60 =20 6(m) • (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形, 若其他量已知则直接求(2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.［演练冲关］解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇,1. （2019如东中学测试）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 °勺扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路CD.已知某人从 O 沿OD 走到D 用了 2分钟，从D 沿DC 走到C用了 3分钟•若此人步行的速度为每分钟 50 m ，则该扇形的半径为 ________ m. 解析：连结OC （图略），在△ OCD 中，OD = 100, CD = 150,/ CDO = 60°.由余弦定理得 OC 2= 1002+ 1502- 2X 100X 150X cos 60°= 17 500,解得 OC = 50 7. 答案：50 7 2. （2018常州调研）一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔的距离为 _________ km.解析：如图所示，依题意有 AB = 15X 4 = 60,/ DAC = 60° / CBM = 15°所以/ MAB = 30° / AMB = 45°.在厶AMB 中，由正弦定理，得 60 = BM 得sin 45 =sin 30，°解得 BM = 30 2. 答案：30 2 考点三测量角度问题重点保分型考点一一师生共研［典例引领］在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东 45°+ a 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角则 AC = 14x , BC = 10x ，/ ABC = 120 ° 根据余弦定理得(14x)2= 122+ (10x)2— 240xcos 120°, 解得 x = 2.故 AC = 28, BC = 20. 根据正弦定理得 BC AC sin a sin 12020sin 120 °5»3 解得 sin a —-— = 5^. 所以红方侦察艇所需要的时间为 2小时，角a 的正弦值为色2 14 ［由题悟法］解决测量角度问题的 3个注意事项 (1) 测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义. (2) 求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3) 在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. ［即时应用］如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40海里的B 处有一艘渔船遇险, 在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东B 的方向沿直线 CB 前往B 处救援，求cos B 的值. —2AB AC cos 120° = 2 800,解得 BC = 20 ,7. 由/ BAC = 120° 知/ ACB 为锐角，则 cos/ ACB =由 0=/ ACB + 30° 得 cos 0= cos(/ ACB + 30°= cos / ACB cos 30° — sin / ACBsin 30° 21 14 . 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.如图，两座灯塔 A 和B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°灯塔B 在观察站南偏东60°则灯塔A 在灯塔B 的________ 方向上.解析：由条件及图可知，/ A =/ B = 40°又/ BCD = 60°所以/ CBD = 30°所以 czi 0 □ 1=1解：在厶ABC 中, AB = 40, AC = 20,/ BAC = 120°，由余弦定理得, BC 2= AB 2 + AC 2 由正弦定理，得 AB sin / ACB BC sin / BAC sin / ACB = AB BC sin / BAC = 21 2.77 . 北 r t/ DBA = 10°因此灯塔A在灯塔B南偏西80°答案：南偏西80°2. （2019扬州调研）如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A, B两处观察山顶C的仰角分别是30。

2020届高三高考数学人教版专题复习解三角形高分绝招 (课件,练习)

注意：本题易忽视 a 3 这一条件！
【高分必备】
正弦定理
余弦定理
三角形面积公式
三角形内角和
在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c 已知 ABC 的
面积为 3 15 ，b c 2 ，cos A 1 则 a 的值为
.
4
（天津高考）在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c
所以 3 b2 c2 bc 2bc bc bc ，
当且仅当 b c 时取等号，
所以
S△ABC
1 bc sin 2
A
33 4
，
所以△ABC 的面积的最大值为 3 3 ． 4
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，若 A 60 ， a 3 ．
⑵求△ABC 的周长的取值范围；
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，若 A 60 ， a 3 ．
⑵求△ABC 的周长的取值范围；
解：由余弦定理，得 3 b2 c2 bc (b c)2 3bc ，
因为 bc (b c )2 ，所以 (b c)2 3 3 (b c)2 ，
△ABC 有两个，那么 a 的取值范围是
．
解：如图，由三角形多解的条件可得： a sin 60 3 a ，解得 3 a 2 ．
【易错示例】若满足条件 C 60 ， AB 3 ， BC a 的
△ABC 有两个，那么 a 的取值范围是
．
解：如图，由三角形多解的条件可得： a sin 60 3 a ，解得 3 a 2 ．
c
4
，由余弦定理得
a2
b2
c2
2bc cos

五类解三角形题型--新高考数学大题秒杀技巧(学生版)

五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类：类型1：三角形面积最值问题；类型2：三角形周长定值及最值；类型3：三角形涉及中线长问题；类型4：三角形涉及角平分线问题；类型5：三角形涉及长度最值问题。

类型1：面积最值问题技巧：正规方法：面积公式+基本不等式①S=12ab sin Ca2+b2−c2=2ab cos C⇒a2+b2=2ab cos C+c2≥2ab⇒ab≤c221−cos C②S=12ac sin Ba2+c2−b2=2ac cos B⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac⇒ac≤b221−cos B③S=12bc sin Ab2+c2−a2=2bc cos A⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc⇒bc≤a221−cos A秒杀方法：在ΔABC中，已知B=θ，AC=x则：SΔABC max=AB+BC2max8⋅sin B其中AB+BCmax=2R⋅m2+n2+2mn cosθm,n分别是BA、BC的系数2R=x sinθ面积最值问题专项练习1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，c=2a cos C-b，c2+a2=b2+3ac，b=2.(1)求A；(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=π3，求△AMN面积的取值范围.2已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c sin B =a -b cos C .(1)求B ；(2)若DC =AD ，BD =2，求△ABC 的面积的最大值.3在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A =2b -c sin B +c 2sin C -sin B ．(1)求A ；(2)点D 在边BC 上，且BD =3DC ，AD =4，求△ABC 面积的最大值．4△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知c =2a cos C -b ，c 2+a 2=b 2+3ac ，b =2．(1)求A ；(2)若M 是直线BC 外一点，∠BMC =π3，求△BMC 面积的最大值．5在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，(sin A +sin B )(a -b )=c (sin C -sin B )，D 为BC 边上一点，AD 平分∠BAC ,AD =2．(1)求角A ；(2)求△ABC 面积的最小值．6在①m =2a -c ,b ，n =cos C ,cos B ，m ⎳n ；②b sin A =a cos B -π6；③a +b a -b =a -c c 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B ；(2)若b =2，求△ABC 面积的最大值．类型2：三角形周长定值及最值类型一：已知一角与两边乘积模型第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下：第一步：先表示出周长l =a +b +c第二步：利用正弦定理a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 将边化为角第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB 方向上的投影向量，且满足2c sin B =5CD .(1)求cos C 的值；(2)若b =3，a =3c cos B ，求△ABC 的周长.8如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，∠D =60°．(1)若AC =3，求△ACD 周长的最大值；(2)若CD =2AB ，∠BCD =75°，求tan ∠DAC 的值．9已知△ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c．点O为△ABC的内心，b=23且S=3 4(a2+c2-b2)．(1)求B的大小；(2)求△AOC的周长的取值范围．10在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin A-sin B3a-c=sin Ca+b．(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围．11在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a-ca+c+b b-a=0．(1)求C；(2)若c=3，△ABC的面积是32，求△ABC的周长．类型3：三角形涉及中线长问题①中线长定理：(两次余弦定理推导可得)+(一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值)如：在ΔABC与ΔABD同用cos B求ADAB2+AC2=AD2+CD22②中线长常用方法cos∠ADB+cos∠ADC=0③已知AB+AC，求AD的范围∵AB+AC为定值，故满足椭圆的第一定义∴半短轴≤AD＜半长轴三角形涉及中线长问题专项练习12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=7，c=5.(1)若sin B=78，求cos C的值；(2)若BC边上的中线长为21，求a的值.13在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2,b=5,c=1．(1)求sin A,sin B,sin C中的最大值；(2)求AC边上的中线长．14在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3b sin A=a cos B+a.(1)求角B的值；(2)若c=8，△ABC的面积为203，求BC边上中线AD的长.15如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b=3，c=6，sin2C=sin B，且AD 为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线．(1)求cos C及线段BC的长；(2)求△ADE的面积．16在△ABC中，∠A=2π3，AC=23，点D在AB上，CD=32.(1)若CD为中线，求△ABC的面积；(2)若CD平分∠ACB，求BC的长.17在①3b=a sin C+3cos C；②a sin C=c sin B+C2；③a cos C+12c=b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)若b=1，c=3，求BC边上的中线AD的长.注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分.类型4：三角形涉及角平分线问题张角定理如图，在ΔABC中，D为BC边上一点，连接AD,设AD=l，∠BAD=α,∠CAD=β则一定有sinα+βl=sinαb+sinβc三角形涉及角平分线问题专项练习18设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin B-sin Cb=a-csin A+sin C．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD=1，求△ABC面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且AD=1，求△ABC面积的最大值．19在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c sin B+33b cos A+B=33b.(1)求角C的大小；(2)若c=3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围.20已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足b cos C+c cos Bsin B+3b cos A= 0.(1)求A；(2)若c=2，a=23，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长.21已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且有3cos A c cos B+b cos C+a sin A=0．(1)求A；(2)设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2-6x+4=0的两根，求线段AD的长度．22在①b sin B+c sin C=233b sin C+asin A；②cos2C+sin B sin C=sin2B+cos2A；③2b=2a cos C+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC外接圆的半径为1，且.(1)求角A；(2)若AC=2，AD是△ABC的内角平分线，求AD的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型5：三角形涉及长度最值问题秒杀：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值三角形涉及长度最值问题专项练习23设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知△ABC 的面积为34c 2-a 2-b 2 ．(1)求C ；(2)延长BC 至D ,使BD =3BC ，若b =2，求AD AB 的最小值．24在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2=ac cos B -12bc(1)求A ；(2)若a =6，2BD =DC ，求线段AD 长的最大值.25锐角△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C =2cos A sin B +π3 .(1)求A ；(2)若b +c =6，求BC 边上的高AD 长的最大值.26在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，a sin B+C=b-csin B+c sin C.(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值.27记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为312b2．(1)若A=π6，求sin B sin C；(2)求a2+c2ac的最大值．。

2020高考数学必考点三角函数解题方法归纳总结

三角函数解答策略命题趋势该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换、平面向量的线性运算、平面向量的数量积、平面向量的平行与垂直，以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性，我们预测在2020年的高考中该部分的可能考查情况如下：(1)在选择题或者填空题部分命制2～3个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形、平面向量线性运算、平面向量的数量积运算等该专题的重点知识中的2～3个方面．试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大．(2)在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析．从难度上讲，如果是单纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度．备考建议由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用．解答策略1．三角函数恒等变形的基本策略。

【2020高考数学】三角形中的最值问题解题指导(一) (含答案)

1 / 26【2020年高考数学】三角形中的最值问题解题指导（一）第一篇三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-= （1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.2 / 26【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.3 / 26【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.4 / 26【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-，(2,0)n =. （1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ；（2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.5 / 26【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.6 / 26【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ；（2）设b =ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C =⋅，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．7 / 26【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n .（1）求角C 的大小；9 / 26（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211m r r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值．9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．10 / 2611. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品【参考答案部分】【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域. 解：（1）由2cos cos a b Bc C-=，利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭.（2）sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭1sin sin 226A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，11 / 262,032A B A ππ+=<<，62A ππ∴<<，2,3636A sin A ππππ⎤⎛⎫∴<+<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，32y ⎛∴∈⎝. 【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴= 23AC π∴+=2sin sin 232A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：sin sin 3B π==2sin sin sin a c bA CB ∴==== 2sin cC ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--12 / 262sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解. 解：（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11sin 322S bc A =≤⨯=（b c =时取等号）．【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-，(2,0)n =.13 / 26（1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ；（2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）23B π=,所以33,22m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,因为(2,0)n =, 202m n ⋅=⨯+=∴ ,又||22m ⎛== ⎝⎭⎭||2n =,31cos 2||||23m n m n θ⋅==⋅∴,3πθ∴=,（2）因为||1m =,即2||sin 1m B ===,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a ca c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号）所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===,14 / 262sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.解：（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，15 / 260cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）13sin 234cos cos 6S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ；（2）设b =ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C=⋅，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．解：（1）由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a c b B ac +-==，3B π=；（2）由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，2sin a A =，2sin c C =， 2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-16 / 262sin 2sin sin 2sin sin 2A C C A C C =⋅=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-31cos 2sin 2sin 22sin 2222222C C C C C =-+-=-+sin 213C π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为1. 【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<，所以4A π=. （2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，.17 / 26因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+，所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3ab A Bπ===,a Ab B == ∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+-⎪⎥⎝⎭⎦ 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，18 / 26又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.【思路引导】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC 的周长．解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=，即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =. （2）因为48a b +=≥=，所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立. 因为ABC的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯= 所以当44a b ==时，ABC 的面积取得最大值，此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =，所以ABC的周长为519 / 263. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 2ABC S ac B ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，20 / 26则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆43=4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .（2）利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值. 解：（1）∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A , ∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=；（2）由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C===, ∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π3sin 6B B B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,∵203B π<<,∴5666B πππ<+<, ∴当3B π=时,b c +取得最大值5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n .（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.21 / 26【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小；（2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围. 解：（1）由//m n 得22cos 2cos cos a C c A C b +=-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-，即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=；（2）在ABC ∆中，因c =23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=，即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b +≤，则2a b c <++≤，即ABC ∆的周长的取值范围为(+. 6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解解：（1）由题, 2cos sin()A A C +=22 / 263sin[()]sin[()]sin(2)sin sin 2A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故23A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=. （2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2cos 2sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 解：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+，化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=. （2）由（1）知，2a bc +=，23 / 26所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值．【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．解：(1) ∵ABC 中，cos 2cb a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--= 当且仅当b c =时取等号，所以a9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 【思路引导】24 / 26（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值．解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ ∴当4A π=时，c bb c+取最大值 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．【思路引导】（1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，利用向量的模和基本不等式可求BD 的取值范围，即可得到BD 的最小值. 解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A Ca b a +=，25 / 26即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠，所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==，所以1cos (0)2222B B π=<<，所以23B π=，即23B π=. （2）由△ABC的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，所以2221(2)4BD BA BC BA BC =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以3BD ≥，即线段BD. 11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为（1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值. 【思路引导】（1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 解：（1）因为60,2,B AB ==所以11sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯=，又ABCS=4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122ACAB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =26 / 26（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以()sin 60DE θ︒=+，在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==，当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP S θ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-.。

【2020年高考数学】三角函数中的性质问题解题指导(含答案)

【2020年高考数学】解答题解题指导第一篇三角函数与解三角形专题01 三角函数的性质问题【典例1】【江西省赣州市南康中学2019-2020学年12月月考】已知函数1()(sin sin ),2f x x x x R =+∈ （1）求函数()f x 的最小正周期T 和单调递增区间；（2）若[]0,x π∈，且关于x 的函数2()2()2()21g x f x f x a =---的最小值为12，求a 的值【题后反思】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．【典例2】【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【分析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成()sin y A x k ωϕ=++的形式，即可求出函数()f x 的最小正周期.（2）由 ,02x π⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦，求出72,666t x πππ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据sin y t =的单调性可求出函数()f x 的最大最小值．【题后反思】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．【典例3】【北京市海淀区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数()21cos cos 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求m 的最小值. 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式变形为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）由[]0,x m ∈，2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合题意得出262m ππ+≥，即可求出实数m 的最小值.【典例4】已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值.【典例5】【2019年浙江省高考数学试卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域.【典例6】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科)试题】已知函数5()sin(2)2sin()cos()644f x x x x ππ3π=---+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知1x ，2x 是函数1()2y f x =-的两个零点，求12x x -的最小值. 【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函数的单调性进行求解即可；（Ⅱ）根据零点求出1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的根，利用作差法进行求解即可.【题后反思】本题主要考查三角函数的图象和性质.利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，利用三角函数值的关系是解决本题的关键.【典例7】【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】已知函数2()cossin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围. 【分析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值； (2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【典例8】【北京市朝阳区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数2()22cos ()f x x x m m R =++∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围．【分析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f （x ）的单调递增区间；（3）原问题等价于()f x 的最大值小于零.1. 【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】已知函数()222sin f x x x =+ （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．2. 【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭，()22sin 2x g x =.（1）若α是第二象限角，且()5fα=，求()g α的值；（2）求()()f x g x +的最大值，及最大值对应的x 的取值.3. 【陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2019-2020学年高三上学期第一次联考】已知函数()22cos sin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）当1a =时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a >，且[]0,x π∈时，()f x 的值域是[]3,4，求a ，b 的值.4. 【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末数学（理)试题】已知函数()23f x sinxcos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．()1求512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； ()2求()f x 的最小正周期及单调增区间．5. 【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考数学（文)试题】已知函数()cos (sin )f x x x x =+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为1-，求m 的最大值.6.设函数()22sin cos (0)3f x x x x πωωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求方程1()2f x =的解集．7. 已知函数.()cos22sin 4xf x x x π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间; （Ⅱ）当2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,对任意,t R ∈不等式()22mt mt f x -+≥恒成立,求实数m 的取值范围.8. 【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试理科数学试题】设函数()23f x sinx cosx -+＝．（1）若点()3α，是()f x 图象的一个对称中心，求tan α；（2）当x β＝时，()f x 取得最小值，求cos β．9. 【陕西省西安市2019-2020学年高三上学期11月月考数学试题】已知函数1()sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知2()23(14)g x x x m m =-+-<≤，若对任意的1[0,π]x ∈，总存在2[2,]x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.10. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷)】已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【参考答案】【典例1】【江西省赣州市南康中学2019-2020学年12月月考】已知函数1()(sin sin ),2f x x x x R =+∈ （1）求函数()f x 的最小正周期T 和单调递增区间；（2）若[]0,x π∈，且关于x 的函数2()2()2()21g x f x f x a =---的最小值为12，求a 的值【答案】解：（1）1()(sin |sin |)2f x x x =+ sin ,sin 0sin ,22,0,sin 00,222x x x k x k k Z x k x k πππππππ⎧≥≤≤+⎧==∈⎨⎨<+<<+⎩⎩则函数()f x 的周期T 2π=，函数()f x 的增区间2,22k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.（2）2()2sin 2sin (21)g x x x a =--+ 令sin x t =可得[]0,1t ∈换元可得222(21)y t t a =--+，对称轴为12t =31(2), 1.22a a ∴-+=∴=-【题后反思】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．【典例2】【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【分析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成()sin y A x k ωϕ=++的形式，即可求出函数()f x 的最小正周期.（2）由 ,02x π⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦，求出72,666t x πππ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据sin y t =的单调性可求出函数()f x 的最大最小值．【解析】（1）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-2cos cos x x x -112cos222x x --π1sin(2)62x =--所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666t x -≤=-≤-，而sin y t =在7,62ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，而7sin sin 66ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当ππ262t x =-=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-，当π7π266t x =-=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0．【题后反思】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．【典例3】【北京市海淀区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数()21cos cos 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求m 的最小值. 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式变形为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）由[]0,x m ∈，2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合题意得出262m ππ+≥，即可求出实数m 的最小值. 【解析】（Ⅰ）()1cos 211sin 22cos 2sin 2222226x f x x x x x π+⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为sin y x =的单调递增区间为()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令()22,2622x k k k πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，得(),36x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（Ⅱ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 又因为[]0,x m ∈，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的最大值为1，所以262m ππ+≥，解得6m π≥，所以m 的最小值为6π. 【典例4】已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=-- （1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值.【解析】()4tan sin cos 4tan cos cos 4sin cos 2333f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πsin2sin22sin 23x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭；（1）()f x 的定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，最小正周期2ππ2T == ；（2）()π5πππ1,2,sin 21,2,14436632x x x f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎤⎡∈-⇒-∈-⇒+∈-⇒∈- ⎪⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即最大值为1，最小值为2-，单调递增：,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减：,412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【典例5】【2019年浙江省高考数学试卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得：()()sin f x x θθ+=+，函数为偶函数，则当0x =时，()02k k Z πθπ+=+∈，即()2k k Z πθπ=+∈，结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为3,22ππ.(2)由函数的解析式可得：22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+11cos 2cos 2226x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112sin 2sin 222x x x ⎫=---⎪⎪⎝⎭131cos 2sin 2222x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.据此可得函数的值域为：1,122⎡-+⎢⎣⎦. 【典例6】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科)试题】已知函数5()sin(2)2sin()cos()644f x x x x ππ3π=---+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知1x ，2x 是函数1()2y f x =-的两个零点，求12x x -的最小值. 【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函数的单调性进行求解即可；（Ⅱ）根据零点求出1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的根，利用作差法进行求解即可.【解析】（Ⅰ）()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55sincos2cos sin22sin c 4os 664x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos22sin cos 2244x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos2sin 2cos2cos222222x x x x x x π⎛⎫=++-=+- ⎪⎝⎭1cos2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 则函数()f x 的最小正周期22T ππ== 由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-＃+，k Z ∈即函数的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（Ⅱ）1x ，2x 是函数()12y f x =-的两个零点 ∴由()102y f x =-=得()12f x =则由1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得112266x k πππ-=+…①，2252266x k πππ-=+…② 则②-①得()()21212223x x k k ππ-=-+ 即()()21213x x k k ππ-=-+，则()12213x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈则当12k k =时，12x x -取得最小值，最小值为3π 【题后反思】本题主要考查三角函数的图象和性质.利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，利用三角函数值的关系是解决本题的关键.【典例7】【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】已知函数2()cossin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围. 【分析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值； (2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解. 【解析】（1）因为2()cossin 222xxxf x ωωω=+1cos 2xx ωω-=+11sin cos 222x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+.因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω==所以πω=. （2）因为π0,02x ω≤≤>，所以6626x ππωππω-≤-≤-.若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥，所以43ω≥.【典例8】【北京市朝阳区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数2()22cos ()f x x x m m R =++∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围．【分析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f （x ）的单调递增区间；（3）原问题等价于()f x 的最大值小于零. 【解析】（1）因为()22cos f x x x m =++cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==．（2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-.所以m 的取值范围是(),3-∞-.1. 【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】已知函数()222sin f x x x =+ （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域．【答案】解：()222sin f x x x =+21cos 2x x =+-122cos 212x x ⎫=-+⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）由222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．∴函数()f x 的单调增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，得2sin 212sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再向下平移1个单位后得到函数()2sin 2g x x =，由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()g x 的值域为2⎡⎤⎣⎦ 2. 【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭，()22sin 2x g x =.（1）若α是第二象限角，且()5fα=，求()g α的值；（2）求()()f x g x +的最大值，及最大值对应的x 的取值. 【答案】解：（1）()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭sin cos cos sin cos cos sin sin 6633x x x x ππππ=-++11cos cos 22x x x x =-++x =，()22sin1cos 2x g x x ==-，则()5f αα==，则3sin 5α=，∵α是第二象限角，∴4cos 5α=-，∴()49155g α⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（2）()()cos 1f x g x x x +-+2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 当sin 16x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()()f x g x +取得最大值3，此时()262x k k Z πππ-=+∈，即()223x k k Z ππ=+∈. 3. 【陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2019-2020学年高三上学期第一次联考】已知函数()22cos sin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）当1a =时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a >，且[]0,x π∈时，()f x 的值域是[]3,4，求a ，b 的值. 【分析】（1）当1a =时，利用降幂公式22cos 1cos 2x x =+，和辅助角公式化简函数()14f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间；（2）类似于（1）的化简()sin 4f x x b a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，先求4x π+的范围，再求sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，再用,a b 表示函数的最值，列方程组求解. 【解析】（1）当1a =时，()22cos sin 1cos sin 2x x b x x b f x =++=+++14x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.由()22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：()32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()22cossin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()1cos sin sin 4a x x b x b a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，[]50,,sin 4444x x x πππππ⎡⎤⎛⎫∈⇒+∈⇒+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭sin 24x a π⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以，()),1f x b a b ⎡⎤∈+⎣⎦，又()f x 的值域是[]3,4，所以3b =，1a ==. 4. 【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末数学（理)试题】已知函数()232f x sinxcos x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． ()1求512f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；()2求()f x 的最小正周期及单调增区间．【解析】(1)因为()212sin cos sin cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 2cos 2sin 2222223x x x x x π-⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，所以5571sin sin sin sin 12636662f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 的最小正周期22T ππ==．令222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 5. 【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考数学（文)试题】已知函数()cos (sin )f x x x x =-. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为1-，求m 的最大值.【解析】（1）由题意知：2()cos sin f x x x x =⋅+化简得：1()sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当()f x 单调递减时，322,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦解得：7,,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦即函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）当()f x 在区间[,]6m π上的最小值为1-时，存在1,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1sin 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即122,32x k k Z πππ+=-∈，解得：15,12x k k Z ππ=-∈，则0k =时，存在()1max 512x π=-.()max 1max 512m x π∴==-6. 设函数()22sin cos (0)3f x x x x πωωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求方程1()2f x =的解集．【答案】解：()22sin cos 3f x x x x πωωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Q()2cossin 2sin )sin 233f x x x x ππωωω∴=+-32sin 2sin 22x x x ωωω=+-12sin 22x x ωω=+cos 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知22ππω=，得1ω=故()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，752666x πππ∴-≤-≤，1()2f x =Q ，263x ππ∴-=-或263x ππ-=，即12x π=-或4x π=，所以方程1()2f x =的解集为,124ππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭7. 已知函数.()cos22sin 4xf x xx π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间; （Ⅱ）当2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,对任意,t R ∈不等式()22mt mt f x -+≥恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】解析：（Ⅰ）因为222,1T πππω===函数()f x 的定义域为{|,}4x x k k Z ππ≠-+∈2224k x k ππππ-+≤+<322,44k x k ππππ-+≤<-+,22,42k x k ππππ<+≤+22,44k x k ππππ-+<≤+()32,2,2,2.4444k k k k k Z ππππππππ⎡⎫⎛⎤-+-+-++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦所以()f x 的递增区间为2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）因为221mt mt -+≥,所以当2x π=时,()max 1,f x =所以210mt mt -+≥恒成立,即240m m ∆=-≤恒成立,①当0m =时,显然成立;②当0m ≠时,若对于t R ∈恒成立,只需0 4.m ≤≤成立,所以04m <≤,综上,m的取值范围是c 1==8. 【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试理科数学试题】设函数()23f x sinx cosx -+＝．（1）若点()3α，是()f x 图象的一个对称中心，求tan α；（2）当x β＝时，()f x 取得最小值，求cos β．【解析】（1）233f x sinx cosx x ϕ-+++Q （）＝()，3αQ （，）是f x （）图象的一个对称中心，0sin αϕ∴+（）＝，3f α∴（）＝，可得2sin cos αα＝，2tan α∴＝，（2）由题意可得，3f β（）＝2sin cos ββ∴-＝x βQ ＝时，f x （）取得最小值，x β∴＝时，f x （）取得极小值，故0f β'（）＝，2f x cosx sinx '+Q （）＝，20cos sin ββ∴+＝，②①②联立可得，5cos β＝，9. 【陕西省西安市2019-2020学年高三上学期11月月考数学试题】已知函数1()sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2()23(14)g x x x m m =-+-<≤，若对任意的1[0,π]x ∈，总存在2[2,]x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【分析】（1）由π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,可求出,a b 的值,进而可求得()f x 的解析式;（2）分别求得()f x 和()g x 的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以1(0)12π111322f a f ba ⎧=-=-⎪⎪⎨⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩,解得1,a b ==故13()sin cos 22f x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭⎝⎭πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为[0,π]x ∈,所以ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以π1sin ,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[1,2]f x ∈-,2()23g x x x m =-+-图象的对称轴是1x =.因为14,2m x m <≤-≤≤,所以min max ()(1)4,()(2)5g x g m g x g m ==-=-=+,则144152m m m <≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩,解得13m <≤,故m 的取值范围是(]1,3.10. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷)】已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【解析】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 222262xf x x x x x -⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m-≥，即π3m≥.所以m的最小值为π3 .题后反思：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.。

2020届高三高考数学人教版专题复习解三角形高分绝招

（天津高考）在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c
已知 ABC 的面积为 3 15 ， b c 2 ， cos A 1 则 a 的值 4
为
.
解：因为 0 A ，所以 sin A 1 cos2 A 15 ，
4
又 SABC
1 bc sin 2
A
15 bc 3 15 ，所以 bc 24 ， 8
6
3
所以 B 5 ，所以 1 sin(B ) 1，
6
66
2
6
所以 sin B sin C 3 ，当且仅当 B 时取等号． 3
故 sin B sinC 的最大值为 3 ．
2020届高三高考数学人教版专题复习解三角形高分绝招
2020届高三高考数学人教版专题复习解三角形高分绝招
注意：本题易忽视 a 3 这一条件！
【高分必备】
正弦定理
余弦定理
三角形面积公式
三角形内角和
在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c 已知 ABC 的
面积为 3 15 ，b c 2 ，cos A 1 则 a 的值为
.
4
2020届高三高考数学人教版专题复习解三角形高分绝招
⑵求△ABC 的周长的取值范围；
解：由余弦定理，得 3 b2 c2 bc (b c)2 3bc ，
因为 bc (b c )2 ，所以 (b c)2 3 3 (b c)2 ，
2
2
整理得 (b c)2 12 ，所以 b c 2 3 ，
当且仅当 b c 时取等号．
又 b c a ，所以 2 3 a b c 3 3 ，
2020届高三高考数学人教版专题复习解三角形高分绝招

2020届高考文科数学三角函数与解三角形中的高考热点问题

三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用及变形公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．【例1】 (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[规律方法] 求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再把“ωx ＋φ”视为一个整体，结合函数y ＝sin x 的单调性找到“ωx ＋φ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间．(2019·北京海淀模拟)已知函数f (x )＝sin 2x cos π5－cos 2x sin π5.(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．[解] (1)f (x )＝sin 2x cos π5－cos 2x sin π5＝sin2x －π5，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，因为y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，令2x －π5＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝7π20＋12k π，k ∈Z ，f (x )的对称轴方程为x ＝7π20＋12k π，k ∈Z.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ∈[0，π]，所以2x －π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π5，4π5，所以当2x －π5＝π2，即x ＝7π20时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为1.从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．【例2】 (本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．[信息提取] 看到条件△ABC 的面积a 23sin A ，想到三角形面积公式；看到(2)中6cos B cos C ＝1和(1)的结论，想到两角和的余弦公式，可求角A ，进而利用面积公式和余弦定理求b ＋c .[规范解答] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .2分由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.5分 (2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.7分由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.9分由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33.11分故△ABC 的周长为3＋33.12分 [易错与防范] 易错误区：(1)三角形面积公式选用不当，导致无法求解第(1)问．(2)根据6cos B cos C ＝1和sin B sin C ＝23，联想不到使用公式cos(B ＋C )＝cosB cosC －sin B sin C ．导致无法求解第(2)问．防范措施：(1)在选用面积公式时，应保证消去sin A ，故应选择公式S △ABC ＝12ab sin C 或S △ABC ＝12ac sin B ．](2)对于两角和与差的正弦、余弦和正切公式应加强逆用的应用意识，根据公式的结构特征恰当选择公式．[通性通法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．(2019·莆田模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )．(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)∵c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )， ∴sin C tan C ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )， ∴sin C tan C ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ， ∵0＜C ＜π，∴sin C ≠0， ∴tan C ＝3，∴C ＝60°. (2)∵c ＝23，C ＝60°，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得12＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ，∴ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝23时，等号成立． ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤3 3.∴△ABC 面积的最大值为3 3.以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．【例3】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B )cos(C －B )＝cos 2A －sin C sin B(1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．[解] (1)cos(C ＋B )cos(C －B )＝cos 2A －sin C sin B ＝cos 2(C ＋B )－sin C sin B ，则cos(C ＋B )[cos(C －B )－cos(C ＋B )]＝－sin C sin B ，则－cos A ·2sin C sin B ＝－sin C sin B ，可得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝23，得b ＋2c ＝23(sin B ＋2sin C )＝23[sin B ＋2sin(120°－B )]＝23(2sin B ＋3cos B )＝221sin(B ＋φ)，其中tan φ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，得B ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6，∴sin(B ＋φ)的最大值为1，∴b ＋2c 的最大值为221.＝tan A ＋tan B ．(1)求角A 的大小；(2)设D 为AC 边上一点，且BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，求c . [解] (1)在△ABC 中，3ca cos B ＝tan A ＋tan B ，∴3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin B cos B，即3sin Csin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B， ∴3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，又0＜A ＜π，∴A ＝π3. (2)由BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，得cos ∠BDC ＝25＋9－492×3×5＝－12，又0＜∠BDC＜π，∴∠BDC ＝2π3.又A ＝π3，∴△ABD 为等边三角形，∴c ＝5.[大题增分专训]1．(2019·泰安模拟)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.2．(2019·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a (sin A ＋sin C )＋c sin C ＝b sin(A ＋C )．(1)求角B ；(2)若b ＝63，sin C ＝1313，求△ABC 的面积S . [解] (1)因为A ＋C ＝π－B ，所以由已知得a (sin A ＋sin C )＋c sin C ＝b sin(π－B )，即a (sin A ＋sin C )＋c sin C ＝b sin B ．根据正弦定理可得a (a ＋c )＋c 2＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.(2)因为B＝2π3，所以C 为锐角，故cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13132＝23913，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sinB cosC ＋cos B sin C ＝sin 2π3×23913＋cos 2π3×1313＝32×23913＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1313＝51326. 由正弦定理，得a ＝b sin Asin B＝63×5132632＝301313.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×301313×63×1313＝90313.3．(2019·石家庄模拟)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．[解] (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－23π2＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝335(km)．故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝AE sin ∠ABE ＝BE sin ∠BAE＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，AE ＝65sin α. ∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋14， ∵0＜α＜2π3，∴－π6＜2α－π6＜7π6. ∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为S △ABE ＝9325⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＝273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。

2020年高考解三角形试题的解法及启示

（2）由（1）得b n=-3（-2）n[（-2）n+1][（-2）n+1+1]=（-2）n+1-（-2）n [（-2）n+1][（-2）n+1+1]=1（-2）n+1-1（-2）n+1+1∴T n=1（-2）1+1-1（-2）2+11 +1（-2）2+1-1（-2）3+11 +…+1（-2）n+1-1（-2）n+1+11 =-1-1（-2）n+1+1=-（-2）n+1+2（-2）n+1+1.4.错位相减法例题7.设数列{a n}满足a1=3，a n+1=3a n-4n.（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n.【解答】（1）由题意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，由数列{a n}的前三项可猜想数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n=2n+1，证明如下：当n=1时，a1=3成立；假设n=k时，a k=2k+1成立.那么n=k+1时，a k+1=3a k-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1也成立.则对任意的n∈N鄢，都有a n=2n+1成立；（2）由（1）可知，a n·2n=（2n+1）·2nS n=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）·2n-1+（2n+1）·2n……①2S n=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）·2n+（2n+1）·2n+1……②由①-②得：-S n=6+2×（22+23+…+2n）-（2n+1）·2n+1=6+2×22×（1-2n-1）1-２-（2n+1）·2n+1=（1-2n）·2n+1-2，即S n=（2n-1）·2n+1+2.【点评】利用递推公式得出a2，a3，猜想得出{a n}的通项公式，利用数学归纳法证明即可，第二问由错位相减法求解即可.该题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查了考生的计算能力，属于中档题.变式.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足b1=b2=１２，b3=38，a n+1b n+1=2n b n+1.（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和.【解析】（1）由a n+1b n+1=2n b n+1，取n=1，得a2b2=2b1+1，解得a2=4；取n=2，得a3b3=2b2+1，解得a2=8.∵{a n}是等比数列，则q=a3a2=2，a1=a2q=2，∴{a n}的通项公式为a n=a1q n-1=2n.（2）∵2n+1b n+1=2n b n+1，∴数列{2n b n}是公差为1的等差数列.2n b n=2b1+（n-1）×1=n，则b n=n2n.设{b n}的前n项和为S n，则S n=１２+2２2+3２3+…+n2n，S n２= 1２2+2２3+3２4+…+n2n+1.则S n２=１２+1２2+1２3+…+12n-n2n+1=１２[1-（１２）n]1-１２-n2n+1=1-n+２2n+1，∴S n=2-n+２2n.其实，高考涉及到数列问题并不是十分复杂，考生可以通过分类练习，寻找解题规律，弄懂数列的特点，掌握求数列通项公式和前项和的方法，从中选择有效的方法去灵活解题.在不断的练习中总结实践经验，不断提升解题能力和计算能力.同时分析高考命题规律，把握高考命题趋势，关注高考热点问题，提炼解题的通性通法，进一步提高分析问题和解决问题的能力.责任编辑徐国坚2020年高考解三角形试题的解法及启示■辽宁省大连市开发区大治学校张治中解三角形的高考题目，是对三角函数知识的综合运用，是培养数学能力的好题材.对几年来的试题题材、背景、知识点及解题技术，对解三角形及相关问题的备考，通过个案解题，把捕捉到的解题感觉，撮要一记.尝试主动思考.题目1.（2020年高考全国域卷文科第17题）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.（1）已知cos2（仔２+A）+cos A＝54.（1）求A.（2）若b-c＝3姨3a，证明：△ABC是直角三角形.1.1思路分析.对（1），由诱导公式，C转S，再由平方关系，S转成C的同角同名函数，由C函数值确定角.对（2），若题设结论正确，其中，b＞c，A＝仔3，决定a是中间的量，b 最大.一种方法，把边转化为角，B 是直角或C 为仔6；另一种，预设由变成平方关系，从余弦定理推到勾股定理.1.2解题.解（1）sin 2A +cos A ＝54圯1-cos 2A +cos A ＝54.（cos A -12）2＝0圯cos A ＝12圯A ＝仔3.解（2）：方法一，用和角公式转化.sin B -sin C ＝3姨3sin A ，sin B -sin （2仔3-B ）＝12，3姨2cos B -12sin B ＝-12.cos （B +仔6）＝-12，B +仔6＝2仔3，B ＝仔2.（2）方法二，用和差化积公式转化.sin B -sin C ＝3姨3sin A ，sin B -sin （2仔3-B ）＝12，2sin （2B -2仔32）·cos 仔3＝12，sin （B -仔3）＝12，B -仔3＝仔6，B ＝仔2.△ABC 是直角三角形.（2）方法三，用边的关系，构造（b +c ）因式，向勾股定理转化.由题设b -c ＝3姨3a ……鄢b 2+c 2-2bc ＝13a 2，（b +c ）2＝13a 2+4bc ……①.b 2+c 2＝13a 2+2bc ……②.由余弦定理，A ＝仔3，a 2＝b 2+c 2-bc ，b 2+c 2＝a 2+bc ……③.由②③得，13a 2+2bc ＝a 2+bc ，bc ＝23a 2……④.由①④得，（b+c ）2＝3a 2，b+c ＝3姨a ……⑤.由⑤*得（b-c ）（b+c ）＝3姨a ·3姨3a ，b 2＝a 2+c 2.△ABC是直角三角形.（2）方法四，直接构造三边的平方关系，由题设b 2+c 2-2bc ＝13a 2……①.由余弦定理及A ＝仔3，a 2＝b 2+c 2-bc ，bc ＝b 2+c 2-a 2……②.②代入①得，-b 2-c 2+2a 2＝13a 2，b 2＝53a 2-c 2，b 2＝a 2+23a 2-c 2.又∵a ＝3姨c 圯23a 2-c 2＝c 2……＆∴b 2＝a 2+c 2.△ABC 是直角三角形.1.3评析.试题的视野，（1）用三角形三内角之和等于仔，可完成同角之间的转化，由余弦单角函数值，直接得到角.在解三角形的六个要素中，只有一个角确定，是动三角形.到（2），特有的题设，用三边的线性关系限定，得到一组相似的三角形的递进关系.由于所求的角为直角.有几种明显等价条件，解题的入口宽.解三角形，有两种基本方向的转化，都可以独立地完成解题.在（2）方法一中，向同角方向转化，求出和角函数值，进而得角；在方法二中，是两角函数差的形式，得到和角函数值及角.这两种选择都是幸运的.用哪种方法解题，标志着不同功力.有人说“和差化积”公式是C 级公式.从功能上看，它可直接对两种函数合成.从结构层面看，“和差化积”相当于分解因式，是数学最重要的恒等变形之一.其中，对y ＝sin x 求导课程中，用“和差化积”是必需的.用“和差化积”公式，缩短解题过程.若感受到它的珍贵，感受到它管用，就不让级别误导.记忆力，来源于理解与应用，更源于求实的态度.方法三，对因式（b +c ）构思，值得欣赏.反复从题设中吸取营养，在使用条件方面，体现了数学转化的功力.方法四，以题设条件和余弦定理为入口，消去b ·c 项，在各边的平方共存的方程中，期待勾股定理成为出口.不幸未果.在考场上，若没有时间机会，加上＆步骤，在解题的尽头，顶上正确的结论.题目2.（2020年高考全国域卷理科第17题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c .（1）已知sin 2A -sin 2B ＝sin B sin C.（1）求A .（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值.2.1思路分析.（1）题设给出的是角的关系，从式子结构上观察，没有变形消项的可能，但是，转化成边后，在整体上，又同余弦定理结构相近.再结合余弦定理，得出A 的路径可看穿.（2）若A 求得为定值，又已知A 所对的边，角的顶点A ，是以弦BC ＝3的定圆上的动点，结合题设要求，点A 由动到定，可以实现题设所求.2.2解（1）设A ，B ，C 的对边a ，b ，c .由正弦定理，a 2-b 2-c 2＝bc ，a 2＝b 2+c 2+bc ……①.由余弦定理，a 2＝b 2+c 2-2bc ·cos A ……②.由①②，cos A ＝-12，A ＝2仔3.（2）解法一，用和差化积公式.b sin B =c sin C ＝23姨＝2R ，b ＝23姨sin B ，c ＝23姨sin C ，b+c ＝23姨（sin B +sin C ）b+c ＝23姨·2sin B+C 2·cos B-C 2＝23姨·2sin （仔2-A 2）·cos B-C 2＝23姨·2cos A 2cos B-C 2＝23姨cos B-C 2.当cos B-C2＝1时，B-C 2＝0，即B ＝C 时，（b+c ）max ＝23姨.△ABC 周长的最大值为3+23姨.（2）：解法二，用和角公式.b sin B =c sin C＝23姨＝2R ，b ＝23姨sin B ，c ＝23姨sin C ，b+c ＝23姨（sin B +sin C ）＝23姨[sin B+sin （仔3-B ）]＝23姨[12sin B +3姨2cos B ]＝23姨sin （B +仔3）.当sin （B +仔3）＝1时，即B +仔3＝仔2，B ＝仔6时，（b+c ）max ＝23姨.周长的最大值为3+23姨.2.3评析.试题的背景，（1）只一个角确定，三角形是动三角形，通过（2）的限定，在半径为3姨的圆中，点A ，是弦BC 所对劣弧上的动点.得到了点A 在圆中的动态画面.在所求的设定下，点A 位置由动到定.再由对称性及直觉，在特殊的等腰三角形中，可先验性的获得正确的结论，当周长最大时，所求的对象，存在于特殊的菱形之中.如果，图形能伴随数据出现，则结论不再只从推论过程中获得，按推论形式展开，按上正确的结果.若求周长的取值范围.本质上，都是圆中的动点到一种临界点的变化的数量表现.这种动三角形的题型，最初的数量是，A ＝仔3，BC ＝3姨在半径是1圆中，点A 在弦BC 所对的优弧上的动点，拟定所求.本题在这个基本的题目上，把半径，按图形相似的原则放大，并把点A 拟定在弦BC 所对的劣弧上的动点，来编制命题.解这个题目，使我们的数形结合意识增强.其中，以圆为背景，由动到静，统领近几年的解三角形的高考试题.题目3.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c .（1）已知B ＝5仔6.（1）若a ＝3姨c ，b ＝27姨，求△ABC 的面积.（2）求sin A +3姨sin C ＝2姨2，求C .3.1分析.（1）b 和B 确定，决定点B 是圆弧上的动点，再限定a ＝3姨c 条件，成为定三角形，可解得一切量.当然包括三角形的面积.（2）根据同名不同角的三角函数与常数在一个等式中，可用和角公式，转化到包含所求角的三角函数值，可得到所求角.3.2解：（1）由余弦定理，b 2＝a 2+c 2-2ac ·cos B ，（27姨）2＝（3姨c ）2+c 2-2·3姨c ·c ·cos 5仔6，7c 2＝28，c ＝2，a ＝23姨.S △ABC ＝12·2·23姨·12＝3姨.（2）sin （B+C ）+3姨sin C ＝2姨2，sin （5仔6+C ）+3姨sin C ＝2姨2，12cos C+3姨2sin C ＝2姨2，sin （仔6+C ）＝2姨2，∵C ∈（0，仔6），C +仔6＝仔4，C ＝仔12.3.3启示，I 卷与域卷比较，在解三角形的取材上看，都是从圆中的周角与对边（弦）的比入手，是定值.都是顶点在圆弧上，由动到静.从解题技术层面看立意，是用边角之间转化及角与角之间，用和角转化.I 卷与域卷，对解三角形的试题，在背景、立意及解题技术等质的方面，是相通的.若两个函数的振幅相同，仍可用和差化积公式转化，使解题更简单.顶层设计，不公开说明试题多方面的内含，是一种数学教育模式的试验.却给了我们研究与发现的空间.题目4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c .已知a sin A+C 2=b sin A .（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求面积取值范围.4.1解题分析.（1），由结构决定，存在三个转化步骤.把边化为角；把A+C 2化成B 2；整角与半角之间的转化.（2）结合（1）与已知，把三角形的面积，表示成a 的函数，由角的范围决定a 的范围，进而确定临界值.4.2解题.解：（1）由正弦定理与内角关系，sin A cos B2＝sin B sin A ，cos B 2＝2sin B 2cos B 2，sin B 2＝１２，B 2＝仔6，B ＝仔3.（2）方法一，S △ABC ＝１２ac sin B ＝3姨4a ，a sin A ＝c sin C ，a ＝sin A sin C ＝sin （仔3-C ）sin C ＝3姨2tan C +１２.记a ＝f （C ）又仔6＜C ＜仔2，f （C ）为减函数，f （C ）的临界值为：f （C ）max ＝f （仔6）＝2，f （C ）min ＝f （仔2）＝１２.记3姨4·１２＜S △ABC ＜3姨4·2，∴3姨8＜S △ABC ＜3姨2.（2）方法二，建立直角坐标系，设B 与坐标原点重合，C 在x 正向上，A 在第一象限，如图1.作AC 1⊥x 轴，交x 轴于C 1，作AC 1⊥AB ，交x 轴于C 2.△ABC 1，△ABC 2，是满足条件临界的三角形.S △ABC 1＜S △ABC ＜S △ABC 2.y ＝3姨xyA （１２，3姨2）y ＝-3姨3x +23姨3xC 1C 2O （B ）图1仔5棕仔5棕3仔10棕4仔5棕13仔10棕9仔5棕23仔10棕14仔5棕33仔10棕19仔5棕43仔10棕24仔5棕53仔10棕29仔5棕yx-1-0.50.51图2A （１２，3姨2），S △ABC ＝１２·１２·3姨2＝3姨8.k AC 2＝-3姨3，AC 2∶y-3姨2＝-3姨3（x-１２）.令y ＝0，x ＝2，C 2（2，0）.S △ABC 2＝１２·2·3姨2＝3姨2.∴3姨8＜S △ABC ＜3姨2.4.3启示，解三角形试题样式，一般是通过一个边、角的命题，先得到一个角要素，然后，进一步限定条件，使三角形逐步定型；解题所涉及的知识点，是诱导公式，和角公式及正余弦定理，体现了对三角函数知识的系统性考察.标准答案表面，是余弦定理的活用.它的创新方面，是潜在的简单解法含而不现，本题三角形几何特征量，也是含现不现，如，除本题解法二（坐标解法）外，用平面几何知识解题就更简单.命题的逻辑与情态方面，体现三角函数的继承性，也是不忘初心.题目5.设f （x ）＝sin （棕x+仔5）（棕＞0），已知，f （x ）在[0，2仔]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f （x ）在（0，2仔）有且仅有3个极大值点；②f （x ）在（0，2仔）有且仅有2个极小值点；③f （x ）在（0，仔10）单调递增；④棕取值范围是[125，2910].其中所有正确的结论的编号是A.①④. B.②③. C.①②③. D.①②④.5.1解题分析.棕越大，各个特征量之间顺次排列就越密.仅凭这种感觉，不能完成函数四个方面数量表达，必须在三角函数的图像上，对关键的数量节点做出准确的标识.图像的相邻的两个对称轴，是函数单调性的节点；相邻零点，是正负的节点；周期内部各个节点对应的特征数量，是明确的.找到满足条件的初始节点与终结节点的特征数量，就可以个个击破.其中，在[0，2仔]有且仅有5个零点，同棕范围，构成一一对应关系.棕范围一旦确定，则零点、极值点、单调性等就相应确定.由周期性，第一个零点和终结零点，标识数量是关键.5.2解题.解：f （x ）如图2.在f （x ）的第一个周期中，因为棕＞0，准＝仔5，令棕x+仔5＝0，所以，x ＝-仔5棕是f （x ）距离原点最近的零增起点，不满足[0，2仔]有且仅有5个零点.顺次向后数，x ＝4仔5棕，是满足在[0，2仔]有且仅有5个零点中的第一个零点（在零点处，处于f （x ）减区间中，叫，零减起点）.顺次，向x 轴正向数（零点减与零点增相隔），数到第5个零点，是处有减区间零点x ＝24仔5棕，满足[0，2仔]有且仅有5个零点.即：24仔5棕≤2仔.同时，第6个零点x ＝29仔5棕＞2仔，是f （x ）在[0，2仔]有且仅有5个零点的等价条件.即：解之，125≤棕＜2910.∴④正确.由对称性与周期性，x ＝12（-仔5棕+4仔5棕）＝3仔10棕，是第一个极大值点，x ＝23仔10棕是第二个极大值点，x ＝43仔10棕是第三个极大值点，且x ＝43仔10棕＜48仔10棕≤2仔（第5个零点）.①正确.在f （x ）中，从第一个零增起点（不在题设的范围内），x ＝-仔5棕，到第一个极大值点，x ＝-仔5棕+T 4＝3仔10棕，f （x ）是增区间，f （x ）在x ∈（0，3仔10棕）是增区间.当棕＝125时，x ∈（0，仔8），f （x ）是增区间.所以，x ∈（0，仔10）时，f （x ）也是增区间.当棕＝2910时，x ∈（0，3仔29），f （x ）是增区间.又∵3仔29-仔10＝仔290＞0，∴仔10在极大值点3仔29的左侧，所以，x ∈（0，仔10）时，f （x ）也是增区间.③正确.第一个极大值点，加半个周期，得到第一个极小值点；本题第5个零点与第6个零点的中点，得第三个极小值点，x ＝12（24仔5棕+29仔5棕）＝53仔10棕.当x ＝53仔10棕≤2仔时，棕≥5320.有三个极小值点，即5320≤棕＜2910＝5820时，有三个极小值点.当x ＝53仔10棕＞2仔时，棕＜5320.有两个极小值点，即4820＝125＜棕＜5320时，有两个极小值点.这才是标准答案中（“但f （x ）在（0，2仔]可能有2或3个极小值点”）的具体内含.②不正确.综合上述，所有正确结论的编号是D.5.3启示.本题的立意，是全面考察y ＝sin （棕x +渍）作图能力及正弦函数内部特征数量之间的关系.把经验的数字静态函数图像，提升到字母的动态函数图像.这种严格的数学推理得到正确结论，考场难于完成.其中主要环节，是明确第5个零点与第6个零点与2仔数量关系，由等价关系解得棕范围.在数学理性的数量的规范下，可根据题型，进行考场直觉猜想.但后续的学习与研究，数字形态的图像，应该以y＝A sin （棕x+渍）字母图像为极终目标，同时，对周期，角速度，初相，零点，对称轴，单调性之间的关系，数量标识，应该明确.命题深层立意，是劝导我们，对照目标找差距.其中，三角函数的单调区间，零点，对称轴，角速度，初相及导数的数量特征，有成为未来命题的新动向.题目6.△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，△ABC周长.6.1分析.（1）利用三角形面积公式，结合条件，建立等量关系，再由用正弦定理，把边转化为角，向题设所求方向探索.（2），（1）一旦成功，再配上相应的系数，与积形式的题设结合，可得到cos（B±C）是定值，其中，从cos（B+C）为定值中，直接得到角A，点A限定在定圆的弧中，为进一步探索，打开了窗口.6.2解题.解（1）12ac sin B＝a23sin A，12sin C sin B=sin A3sin A，∴sin B sin C＝23.（2）由题设及（1）得，cos B cos C-sin B sin C＝-12，cos（B+C）＝-12，B+C＝2仔3，∴A＝仔3·12bc sin A=a23sin A，a＝3，∴bc＝8.由余弦定理，9＝b2+c2-bc，即（b+c）2-3bc＝9，（b+c）2＝33，∴b+c＝33姨，∴△ABC周长3+33姨.6.3启示，解题思路，是解题前的预设准备，只是个方向引领.真正的解题方法，是具体逻辑推动认知过程.探索连带发现调整表达的过程.本题由于得到bc＝8.所以，启动活用余弦定理的结构的注意指向.感受到了：运用余弦定理的部分结构，构造（b+c）2，已经成为时尚.题目7.△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.已知sin（A+C）＝8sin2B2.（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b.7.1分析.（1）左端，由和角公式可得B三角函数；右端，可通过降幂，由半角得整角B的三角函数式.解方程，通向所求.（2）结合（1）的结论，有活用余弦定理的可能.7.2解题.解（1）：sin（A+C）＝cos B，4cos B＝4（1-2sin2B2）.cos B＝4（1-2sin2B2）.平方，整理得17cos2-32cos B+15＝0.cos B＝1（舍），cos B＝1517.（2）sin B＝1-cos2B姨＝817，S△ABC＝１２ac sin B＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝172.又∵a+c＝6.由余弦定理：b２＝a２+c２-2ac cos B＝（a+c）2-4ac-2ac cos B.b２＝36-4·172-2·172·1517＝4，∴b＝2.7.3启示.解题技术，总是有精益求精的空间.如解方程17cos2-32cos B+15＝0.若cos B＝1，是由观察法得出，用韦达定理，得cos B＝1517.节约些时间.事实上，对一元n次方程，如ax2+bx+c=0（a≠0），若a+b+c＝0，则x＝1是一个解；若a-b+c＝0，则x＝-1是一个解.不同的板块知识技术，应有主动的联结意识.也感受到了命题数据配置精妙.题目8.△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c.已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c.（1）求C；（2）若c＝7姨，△ABC的面积为33姨2，求△ABC的周长.8.1分析.（1）直接由教材·必修5（人教B版）19页，芋巩固与提高，第10题：“在△ABC中，求证：c＝a cos B+b cos A”.可得C.（2）结合（1）的结论.已知角及角的对边，则顶点C是定圆弧的动点.又由面积确定，C成了定圆弧两个定点，得常量ab，构造a+b.8.2解题.解（1）：∵c＝a cos B+b cos A.∴cos C＝１２，∴C＝仔3.（2）１２ab sin C＝33姨2，ab＝6.c2＝a2+b2-2ab cos C，a2+b2＝c2+2ab cos C.（a+b）2＝25，a+b＝5.∴△ABC的周长5+7姨.8.3启示.教材仍不失为认知的基础材料，知识实，思路正，解题精.抛掉教材的教学与学习很可惜的.a cos B，是在c边的投影，b cos A，也是在c边的投影，两段投影的和，正好c边.在解三角形时，若三角式子，直接用几何线段代替，缩短了解题过程.几何学是三角学的逻辑生长点.是培养数形结合意识的好题材.通过对近几年的解三角形高考题解题的探索，对试题的背景，内容，及解题技术，稳定的继承因素有了些感觉.同时，对试题的立意与未来创新趋向，也是尝试性的猜想，得到了点散点式感觉，是个案启示，不成一论.期待与学子一起感悟、分享.责任编辑徐国坚。

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