3.3.1《两条直线的交点坐标》课件(新人教A版必修2)
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3.3.1《两条直线的交点坐标》课件(新人教A版必修2)
6
品质来自专业 ②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 金太阳教育网
信赖源于诚信
已知方程组
A1x+B1y+C1=0
（1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
3x+2y－1=0
y
证明：联立方程 2x－3y－5=0
x=1
解得： y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 即 M（1，- 1）
x
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
7
上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
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A1 B1 时，两条直线相交，交点坐标为 当——≠ —— A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1 A1 B1 C1 当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行； A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2
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④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B ）
高中数学人教a版必修二课件：3.3.1 《直线的交点坐标与距离公式》
提问：
已知两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
相 交, 如 何 求 这 两 条 直 线 交 点的 坐 标?
几何元素及关系
点A
直线 l
代数表示
A(a, b)
l : Ax By C 0
点 A在直线 l上 Aa Bb C 0
直线 l1与直线 l2的交点 A
为待定系数
此直线系方程少一条直线l2
例3: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件 的直线l的方程。
(1)过点(2,1)；(2)和直线3x-4y+5=0垂直; (3)和直线2x-y+6=0平行
解: (1) 设经过二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0 (1 )x ( 2) y (4 2) 0
(3) 设经过二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
k 1 1 2
2
2
1
所以直线的方程为：2x y 2 0
说明：这两题也可以直接确定已知直线的斜率，再由平 行或垂直关系直接确定所求直线的斜率。
两点间距离公式
l1 : 3 x 4 y 5 0 , l2 : 6 x 8 y 1 0 0 .
平行
重合
例2. 求l1:3x+4y－2=0与l2:2x+y+2=0的交点.
解：由32xx4yy2200
得
x y
2 2
∴交点 (- 2,2)
变1.直线 y= - x+b 和 x - y=0 的交点在第一象限， 求b的取值范围.
新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册
l1∥l2
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学
人教版数学A版必修二教学课件3.两条直线的交点坐标
这些直线.
画图
无论 为何值时,方程
3 x 4 y 2 ( 2 x y 2 ) 0
所表示的直线都经过点( -2,2 )
即两条直线
l1 :3x4y20, l2 :2xy20. 的交点坐标.
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交 点坐标.
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
②表示同一条直线, l1 与 l2 重合.
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
巩固练习：（练习1、2）
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
课后练习
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
1、直线5x+4y=2m+1与2x+3y=m交于第四象 限，则m的取值范围是__________。
−
3 2
< m <2
2、已知A(0，0)，B(3，0)，C(1，2)，则 ∆ABC的垂心坐标是___________，外心坐标 是________。
(1，1) ( 1 ， 3 ) 22
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
(1) l1 : x y 0, (2) l1 : 3x y 4 0, (3) l1 : 3x 4 y 5 0,
画图
无论 为何值时,方程
3 x 4 y 2 ( 2 x y 2 ) 0
所表示的直线都经过点( -2,2 )
即两条直线
l1 :3x4y20, l2 :2xy20. 的交点坐标.
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交 点坐标.
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
②表示同一条直线, l1 与 l2 重合.
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
巩固练习：（练习1、2）
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
课后练习
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
1、直线5x+4y=2m+1与2x+3y=m交于第四象 限，则m的取值范围是__________。
−
3 2
< m <2
2、已知A(0，0)，B(3，0)，C(1，2)，则 ∆ABC的垂心坐标是___________，外心坐标 是________。
(1，1) ( 1 ， 3 ) 22
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
(1) l1 : x y 0, (2) l1 : 3x y 4 0, (3) l1 : 3x 4 y 5 0,
2.3.1两条直线的交点坐标(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条直线相交
二元一次方程 组有唯一解
直线l,J2还 有 哪些位置关系
平行
重合
问题4.已知直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l:A₂x+B₂y+C₂=0
平行，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢
从形的角度看
直线l₁//l₂
直线lj,J₂没有公共点
从代数的角度看
不 存在点P(xo,y₀)的坐标满足
解 直线l₁,l₂方程化为斜截式，
则k₁=1,k₂=-1,k₁≠k₂,
所以，直线l₁与l₂相交.
例2.判断下列各对直线的位置关系.
(2)l:3x-y+4=0,l ₂:6x-2y-1=0
解 直线l₁,l₂ 方程化为斜截式，
则k₁=k₂=3,b₁≠b₂, l₁/l₂.
所以，
例2.判断下列各对直线的位置关系. (3)l:3x+4y-5=0,l₂:6x+8y-10=0
Q(2,-6)在直线l 上
追问：为什么可以作这样的判断呢?
直线l上的点
对应 关系
直线l 的方程的解
直线l:Ax+By+C=0
点P
在直线l上
C=0
问题2.已知直线 l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0 相交，它们的交点坐标与直线l₁,l₂的方程有他么途系?
从形的角度看
直线l₁,l₂ 相交
的交点且过坐标原点的直线l的方程 .
解 解方程组
,得
所以，两条直线的交点为
所以，直线l的的斜率 故直线l的方程
即4x-3y=0
和l₂ :6x-4y+1=0
人教版高中数学必修二《3.3.1 两条直线的交点坐标》
x 2 y 4 0, 法一：联立方程组 x y 2 0,
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二：设经过两直线交点的直线方程为：
当直线斜率不存 在时，如何判断?
（ 1 ）k1 k 2 , b1 b2
（2）k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
（3）k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 ， 在直线上吗？ (2)点 2， 7 在直线上吗？ (3)点3， 8 在直线上吗？
点P(a,b)在直线l上，那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解（ : 1）解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得： 3 所以l1与l2相交， 5 y= 3 5 5 交点坐标为（ 3 ，3 ）.
3x y 4 0, （2） 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系？
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二：设经过两直线交点的直线方程为：
当直线斜率不存 在时，如何判断?
（ 1 ）k1 k 2 , b1 b2
（2）k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
（3）k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 ， 在直线上吗？ (2)点 2， 7 在直线上吗？ (3)点3， 8 在直线上吗？
点P(a,b)在直线l上，那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解（ : 1）解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得： 3 所以l1与l2相交， 5 y= 3 5 5 交点坐标为（ 3 ，3 ）.
3x y 4 0, （2） 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系？
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
A.x+3y=0
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
首 页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
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2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究三
探究四
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
【全优课堂】2014年秋高中数学 3.3.1-2两点间的距离课件 新人教A版必修2
2．已知△ABC 的顶点坐标是 A(0,5)，B(－2，－1)，C(6,7)．求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程．
解：先求出 BC 边的中点 M 的坐标，再求|AM|，最后由两点式 写出 AM 所在直线的方程． 设 M(x，y)，∵M 是 BC 的中点， －2＋6 －1＋7 ∴x＝ 2 ＝2，y＝ 2 ＝3.∴M(2,3)． ∴|AM|＝ 2－02＋3－52＝ 8＝2 2. y－5 x－0 由两点式得 AM 所在直线的方程为 ＝ . 3－5 2－0 即 x＋y－5＝0.
)
【答案】C
2．已知点 A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则 a 的值为( A．4 B．－4 或 2 C．－2 D．－2 或 4
)
【答案】D
3．经过两条直线 2x＋y＋2＝0 和 3x＋4y－2＝0 的交点，且垂 直于直线 3x－2y＋4＝0 的直线方程为________．
【答案】2x＋3y－2＝0
2．两点间的距离公式 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1，P2 两点间的距离为
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 |P1P2|＝___________________________.
自主探究 探究 1：两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写 成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22的形式？
消 y 得(A1B2－A2B1)x＝C2B1
－C1B2，当 A1B2－A2B1≠0 时，方程组有唯一解，则直线 l1 与 l2 相 交．
预习测评 1． 直线 x＋2y－2＝0 与直线 2x＋y－3＝0 的交点坐标为( A．(4,1) B．(1,4)
4 1 C． ， 3 3 1 4 D． ， 3 3
人教A版高中数学《直线的交点坐标与距离公式》PPT公开课课件1
人教A版高中数学《直线的交点坐标与 距离公 式》PP T公开 课课件1
一般地，对于直线
l1: A1x+B1 y +C1=0和 l2: A2x+B2 y +C2=0，
方程组：
A1x+B1 A2x+B2
y y
+C1=0，( +C2=0.
A1B1C1≠
0
,
A2B2C2≠
0
)
则方程组无解 l1∥l2
A1 A2
由
1
m2
6
得
m2 3m 2m
m=－1
l1
/
/l2
.
由
1 m2 6
m2 3m 2m
得
m=3时，∴ l1,l2重合.
由
1
m2
得 m≠3且m≠－1时,
m 2 3m
∴ l1与l2相交.
综上：(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时, l1与l2相交；
(2)当m=－1或m=0时, l1//l2；
人教A版高中数学《直线的交点坐标与 距离公 式》PP T公开 课课件1
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人教A版高中数学《直线的交点坐标与 距离公 式》PP T公开 课课件1
解:
（1） 2 4
2x 4x
2y2y17 1 l1与lxy2相 1851交 3.
4
交 点 (15 8
,
13 ). 4
( 2 ) l 1 : 2 x 6 y 4 0 ,l 2 : x 3 y 2 0
a1 a2
人教A版高中数学《直线的交点坐标与 距离公 式》PP T公开 课课件1
新课标人教A版数学必修2全部课件：3.3.1两直线的交点坐标
3
问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？ l1 : A1 x B 1 y C 1 0
l 2 : A2 x B 2 y C 2 0
A1 A2 B1 B2 C1 C2
l1与l2平行 l1与l2相交
A1 A2
B1 B2
4
例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标 l1 : x y 0 (1) l 2 : 3 x 3 y 10 0
l1 : 3 x y 4 0 (2) l2 : 6 x 2 y 0 l1 : 3 x 4 y 5 0 (3) l 2 : 6 x 8 y 10 0
5
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
6
当变化时, 方程 3 x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
7
§3.3.1两直线的交点坐标
1
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C 1 0 l 2 : A2 x B 2 y C 2 0 相交 , 如何求这两条直线交点 的坐标 ?
2
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组 无解 l , l 平行 1 2
2.3.1两条直线的交点坐标课件(人教版)
点P在直线l上 直线l1与l2的交点是P
Ax0+By0+C=0
点P的坐标是方程组的解
A1 x B1 y C1 0
A2
x
B2
y
C2
0
学习新知 两条直线的交点：
如果两条直线A1 x B1 y C1 0和A2 x B2 y C2 0相交， 由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程
若方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1 C2
0 0
有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
直线l1、l2联立得方程组
唯一解 无穷多解 无解
转化
l1 l1 l1
, , ,
l2相交， l2重合， l2平行.
(代数问题)
(几何问题)
学习新知
一般地，对于直线l1 : A1 x B1 y C1 0，l2 : A2 x B2 y C2 0 ( A1B1C1 0, A2B2C2 0),有方程组
证明：联立方程
3x+2 y 2x 3 y
1 0, 5 0,
解得
ห้องสมุดไป่ตู้
x 1, 即M y 1,
(1,
1).
代入：3x 2 y 1 （2x 3 y 5） 0,
y
x
o M(1, - 1)
得0 ·0 0, ∴M点在直线上.
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程.
段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 3x+y+1=0 .
人教A版数学选择性必修第一册第二章-3-1 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式(课件PPT)
自
主
学 习
[注意]此公式与两点的先后顺序无关．
固
基
础
强 研 习 重 点 难 点 要 突 破
重 效 果 学 业 测 试 速 达 标 课 时 作 业
第7页
•
•
•
[重点讲解]
精
梳 理
1．两直线的位置关系
自
主
学 习 固 基
方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00， 的解
一组 无数组 无解
础
直线 l1 与 l2 的公共点的个数
理
重
自
主 学
[自主记]证明：方法一：(特殊值法)取 λ＝0，得到直线 l1：2x＋y＋3＝0，
•
效 果 学
习
业
固 基
取 λ＝1，得到直线 l2：x＝－3，
测 试
础
故 l1 与 l2 的交点为 P(－3,3)．
速 达
标
强
将点 P(－3,3)代入方程左边，
研 习
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
重
自 主
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 通过直线 2x＋y＋3＝0 与 x－y＋6＝0 的交点．
效 果
•
学
学
习 固 基 础
由方程组x2－x＋y＋y＋6＝3＝00， 得yx＝＝3－. 3，
业 测 试 速
达
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 恒过定点(－3,3)．
标
强
研
习
重 点 难 点 要
学
2．3.1 两条直线的交点坐标
业 测
基
试
础
速
达
标
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 课件
[规律总结] 两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就 是说公式既可以写成|P1P2|＝ x2－Байду номын сангаас12＋y2－y12，也可以写成 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关的几何问题 转化为代数问题进行研究．
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间的 距离公式．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
解法二：∵l 过 l1 与 l2 的交点， ∴设 l 的方程为 x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0， 即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0， ∵l 与直线 3x＋4y－2＝0 平行，
∴83－λλ－－32λλ－32＋≠2112＝－34
，∴λ＝10，
∴l 的方程为 x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0， 即 3x＋4y－11＝0.
直线恒过定点问题
求证：不论 m 为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5 恒过一个定点.
[思路分析] 既然 m 不论取何值，直线恒过定点，可以任取 m 的两个不同值，得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出 定点，最后证明直线恒过该点．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 解法一：取 m＝1，得直线 y＝－4. 取 m＝12，得直线 x＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5 恒过点(9，－4)． 将 x＝9，y＝－4 代入方程， 左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边， ∴直线恒过点(9，－4)．
(2)上面的直线系方程可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y ＋C2)＝0(其中λ为参数)．这个参数形式的方程在解题中较为常 用．
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间的 距离公式．
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解法二：∵l 过 l1 与 l2 的交点， ∴设 l 的方程为 x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0， 即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0， ∵l 与直线 3x＋4y－2＝0 平行，
∴83－λλ－－32λλ－32＋≠2112＝－34
，∴λ＝10，
∴l 的方程为 x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0， 即 3x＋4y－11＝0.
直线恒过定点问题
求证：不论 m 为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5 恒过一个定点.
[思路分析] 既然 m 不论取何值，直线恒过定点，可以任取 m 的两个不同值，得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出 定点，最后证明直线恒过该点．
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[解析] 解法一：取 m＝1，得直线 y＝－4. 取 m＝12，得直线 x＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5 恒过点(9，－4)． 将 x＝9，y＝－4 代入方程， 左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边， ∴直线恒过点(9，－4)．
(2)上面的直线系方程可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y ＋C2)＝0(其中λ为参数)．这个参数形式的方程在解题中较为常 用．
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）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解 B1C2－B2C1 x = —————— A1B2－A2B1 C1A2－C2A1 y= —————— A1B2－A2B1
⒉当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解 ⒊当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1＝0 时，方程组有无 穷多解。
5
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的 坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0 （λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括 直线2x－3y－5=0）。
3x+2y－1=0 证明：联立方程 2x－3y－5=0 x y
x=1
解得： y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 即 M（1，- 1）
13
例2 当 k 为何值时，直线 y kx + 3
过直线 2 x - y + 1 0 与 y x + 5 的交点?
14
例4、两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点 在第四象限，则的取值范围是
15
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 l , l 无解 1 2平行
16
17
3
（二）讲解新课：
①两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A x+B1y+C1=0 的解；反之，如果方程组 1 A2x+B2y+C2=0 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
11
④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B）
A 1 B1 C1 A 2 B2 C2
（C）两条直线的斜率相等截距也相等 （D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（m∈R，且m≠0）
12
例1、求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
解法一：解方程组
x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0 2+λ ∴ － ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ－1 因此，所求直线方程为3x－y－10=0
3.3.1 两条直线的交点坐标
1
教学目标
使学生了解两条直线交点坐标的求法，会联立两条直线所表示的方程成 方程组求交点坐标。 教学重点：两直线交点坐标的求法。 教学难点：两直线交点坐标的求法。
2
(一）新课引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一 解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条 直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重 合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来 讨论直角坐标系中两直线的位置关系。
10
㈢巩固：
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对 ②若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限， 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1] （C）（0，1） （D）（1，＋∞） ③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行， 则a的值是 （A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
4
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；
l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x= 2 x－2y+2=0 得 y=2 解：解方程组 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x
8
例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求 出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0, （2）l1:3x-y+4=0, （3）l1:3x+4y-5=0, l2:3x+3y-10=0; l2:6x-2y=0; l2:6x+8y-10=0;
9
例5：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
6
②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
已知方程组 A1x+B1y+C1=0 （1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
7
上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
A1 B1 当——≠ —— 时，两条直线相交，交点坐标为 A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1 A1 B1 C1 当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行； A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解 B1C2－B2C1 x = —————— A1B2－A2B1 C1A2－C2A1 y= —————— A1B2－A2B1
⒉当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解 ⒊当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1＝0 时，方程组有无 穷多解。
5
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的 坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0 （λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括 直线2x－3y－5=0）。
3x+2y－1=0 证明：联立方程 2x－3y－5=0 x y
x=1
解得： y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 即 M（1，- 1）
13
例2 当 k 为何值时，直线 y kx + 3
过直线 2 x - y + 1 0 与 y x + 5 的交点?
14
例4、两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点 在第四象限，则的取值范围是
15
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 l , l 无解 1 2平行
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（二）讲解新课：
①两条直线的交点： 如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A x+B1y+C1=0 的解；反之，如果方程组 1 A2x+B2y+C2=0 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
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④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B）
A 1 B1 C1 A 2 B2 C2
（C）两条直线的斜率相等截距也相等 （D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（m∈R，且m≠0）
12
例1、求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
解法一：解方程组
x=3 x+2y－1=0， 得 y= －1 2x－y－7=0 ∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0 2+λ ∴ － ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ－1 因此，所求直线方程为3x－y－10=0
3.3.1 两条直线的交点坐标
1
教学目标
使学生了解两条直线交点坐标的求法，会联立两条直线所表示的方程成 方程组求交点坐标。 教学重点：两直线交点坐标的求法。 教学难点：两直线交点坐标的求法。
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(一）新课引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一 解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条 直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重 合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来 讨论直角坐标系中两直线的位置关系。
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㈢巩固：
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m 的值是 （A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对 ②若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限， 则k的取值范围是 （A）（- 1，0） （B）（0，1] （C）（0，1） （D）（1，＋∞） ③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行， 则a的值是 （A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
4
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；
l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x= 2 x－2y+2=0 得 y=2 解：解方程组 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x
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例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求 出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0, （2）l1:3x-y+4=0, （3）l1:3x+4y-5=0, l2:3x+3y-10=0; l2:6x-2y=0; l2:6x+8y-10=0;
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例5：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
6
②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
已知方程组 A1x+B1y+C1=0 （1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
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上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
A1 B1 当——≠ —— 时，两条直线相交，交点坐标为 A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1 A1 B1 C1 当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行； A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2