2015届高考数学一轮复习 几何概型达标练习 新人教A版必修3
人教A版高中数学必修三第一轮复习强化训练几何概型新人教
11.3 几何概型【考纲要求】1、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2、了解几何概型的意义.【基础知识】1、几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
（2）特点：①结果的无限性②每个结果发生的等可能性（3）几何概型的解题步骤首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式构成事件A的区域长度P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。
2、求事件的概率计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式。
3、温馨提示求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。
一般与线性规划知识有联系。
【例题精讲】例1 在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝12x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f′(x)＝32x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝12x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－12－a－b)(12＋a－b)<0，则(12＋a＋b)(12＋a－b)>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤10≤b≤112＋a－b>012＋a＋b>0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <0，12＋a ＋b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.例2 将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)的概率．解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1－x －y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y ) |0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y＜1}，此区域面积为12.事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，y )|(x ，y )∈Ω，x ＜a ，y ＜a,1－x －y ＜a }．即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a ≤12时，为(3a －1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝(3a －1)2/21/2＝(3a －1)2；当12≤a ≤1时，为12－3(1－a )22.此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝1－3(1－a )2.11.3 几何概型强化训练 【基础精练】1.如图所示，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为a 3，a2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )A.710 B.57 C.512 D.582.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )A.12B.32C.13D.143．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.124．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C. 34D.785.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.235 B.215 C.195 D.1656.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 ( )A.18B.14C.12D.34 7．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．8．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________． 9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．10．设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6，x －y ≥0.表示的区域为B .(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．11．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．【拓展提高】已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．【基础精练参考答案】1.C[【解析】：S 梯形＝12(a 3＋a 2)·b ＝512ab ，S 矩形＝ab .∴P ＝S 梯形S 矩形＝512. 2.C 【解析】：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′=3π ，由圆的对称性及几何概型得P =213.23ππ=3.C 【解析】：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.4.C 【解析】：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.由题意知|x -y |＜12，所以所求概率为P =111123222.14-⨯⨯⨯= 5.A 【解析】：据题意知：S 阴S 矩＝S 阴2×5＝138300，∴S 阴＝235. 6.A 【解析】：P ＝45360＝18. 7.29解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U =18，S A =4，则点P 落入区域A 的概率为29A U S S =. 8.59【解析】：如图，由题意，△PBC 的面积小于3，则点P 应落在梯形BCED 内，∵2113ABC ADE S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴S △ADE =4，∴S 梯形BCED =5，∴P =59. 9.6【解析】：60×(1－910)＝6分钟．10.解：(1)设集合A 中的点(x ， y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18， ∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝12.(2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B 中的点有21个，故P (N )＝2136＝712.11.解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎨⎧⎭⎬⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|2300,0x x x y +-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤≥≥其图形如图中的三角形OAD (阴影部分) 又直线x +2y -3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，23)， ∴三角形OAD 的面积为S 1=1343.229⨯⨯= ∴所求事件的概率为P =1934.1216S S ==【拓展提高参考答案】(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P =112772=.。
人教A版高中数学必修三几何概型同步测试新
3-3-1几何概型一、选择题1．面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为( )A.13B.12C.14D.16[答案] B[解析] 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.2．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )A.15B.25C.35D.45[答案] C[解析] 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为35.3．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于2 m 的概率是( )A.12B.15C.13 D ．不能确定 [答案] B[解析] 如图所示，拉直后的绳子看成线段AB ，且C 、D 是线段AB 上的点，AC ＝2m ，BD ＝2m ，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何模型．设剪得两段的长度都不小于2 m 为事件E ，设M 是事件E 的一个剪断点，则M ∈CD ，则事件E 构成线段CD ，则P (E )＝CD AB ＝5－2－25＝15. 4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32[答案] C[解析] 矩形的面积S ＝6×4＝24，设椭圆的面积为S 1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A ，则P (A )＝S 1S ＝S 124＝300－96300，解得S 1＝16.32. 5．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则事件“0≤sin x ≤1”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23[答案] C[解析] 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若0≤sin x ≤1，则0≤x ≤π2，设“0≤sin x ≤1”为事件A ，则P (A )＝π2－0π2－－π2＝π2π＝12. 6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6D ．1－π6[答案] B[解析] 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为：23π8＝π12，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－π12.7．在△ABC 中，E 、F 、G 为三边的中点，若向该三角形内投点，且点不会落在三角形ABC 外，则落在三角形EFG 内的概率为( )A.18B.14C.34D.12[答案] B8．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23[答案] C9．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是()A.14B.13C.34D.23[答案] C10．如图，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2 B.π－22C.4－π4D.π－24[答案] B 二、填空题11．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________． [答案] 13[解析] [－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以所求概率是13.12．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．[答案] 0.005[解析] 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 13．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．[答案]3π6[分析] 解答本题从正面考试较繁琐，所以从反面来解答，先计算事件“使点P 到三个顶点的距离都大于1”的概率，利用对立事件的概率公式计算．[解析] 边长为2的正三角形ABC 内，到顶点A 的距离等于或小于1的点的集合为以点A 为圆心，1为半径，圆心角为∠A ＝60°的扇形内．同理可知到顶点B 、C 的距离等于或小于1的点的集合．故使点P 到三个顶点的距离都大于1的概率为12×2×3－3×16×π×1212×2×3＝1－3π6， 故所求的概率为1－(1－3π6)＝3π6. 14．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P ，则点P 落在剩余几何体上的概率为______． [答案]53125[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R ＝5，圆柱底面半径r ＝4，高h ＝6，故球体积V ＝43πR 3＝500π3，圆柱体积V 1＝πr 2·h ＝96π，∴所求概率P ＝500π3－96π500π3＝53125.三、解答题15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 16．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？[分析] 石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率．[解析] 记事件C ＝{钻到油层面}，在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型． 事件C 构成的区域面积是40平方千米， 全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米， 则P (C )＝贮藏石油的大陆架面积所有海域大陆架的面积＝4010 000＝0.004.17．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为其内一点； ②求四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．[解析] 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h <16， 又S 四边形ABCD ＝1，则h <12，即点M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.18．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？[解析] (1)设事件A ＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P (A )＝12.(2)设事件B ＝“弦长超过3”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B )＝14.(3)设事件C ＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在BC ︵上时，才有|AD |>|AB |＝3，由几何概率公式知P (C )＝13.。
2015届高考数学(文)一轮复习备选练习10-3《几何概型》(人教A版)word版含详析
[B 组 因材施教·备选练习]
1．(2014年牡丹江一模)在球O 内任取一点P ，使得P 点在球O 的内接正方体中的概率是
( )
A.112π
B.13π
C.233π
D.312π
解析：设球的半径为R ，则球O 的内接正方体的体对角线为2R ，
根据边长为a 的正方体的体对角线长为3a ，可知正方体的体对角线为2R ，则正方体的
边长为2R 3＝23R 3，球的体积为4πR 33，球O 的内接正方体的体积为⎝⎛⎭⎫23R 33＝83R 39. ∴在球O 内任取一点P ，使得P 点在球O 的内接正方体中的概率是83R 3
94πR 33
＝233π
. 答案：C
2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34
D.14 解析：要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，
即(a ＋2b )(a －2b )<0.
∵a ，b ∈[0,1]，
∴a ＋2b >0，
∴a －2b <0.
作出⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，0≤b ≤1，
a －2
b <0的可行域，易得该函数无零点的概率
P ＝1－12×1×121×1
＝34. 答案：C。
《3.3 几何概型》(同步训练)高中数学必修3_人教A版_2024-2025学年
《3.3 几何概型》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在掷一枚公平的六面骰子的实验中，事件A为“掷出的点数为偶数”，事件B 为“掷出的点数大于3”。
那么事件A与事件B的关系是：A、互斥事件B、对立事件C、相互独立事件D、互不相交事件2、在掷一枚均匀的骰子两次的实验中，事件A：“至少掷出一个6点”与事件B：“两次掷出的点数相同”的概率分别为P(A)和P(B)，则下列结论正确的是（）A、P(A) > P(B)B、P(A) < P(B)C、P(A) = P(B)D、无法确定P(A)与P(B)的大小关系3、在区间[0,4]上随机取一个实数，则该数大于1的概率是（）)A.(14)B.(34)C.(12)D.(134、从装有5个红球、4个蓝球和3个黄球的袋子里，随机取出2个球，取出的两个球颜色相同的概率是：A. 5/21B. 8/21C. 12/21D. 15/215、在一个圆盘上随机投针，圆盘的半径为10cm，针的长度为6cm，恰好针完全落在圆盘内的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.66、在下列四个事件中，属于古典概型的是（）A、抛掷一枚硬币，它落地时是正面的概率B、从一副52张的扑克牌中，随机抽取一张，抽取到红桃的概率C、从0,1,2,3,4中任取两个不同的自然数，所取得的两个数的和为偶数的概率D、从10000个零件中随机抽取一个，它是合格品的概率7、在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，E为AD上的中点，F为CE的延长线与AB的交点，若AB=6，则AF与BF的比值是：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:18、在一个正方形中，随机取一点，该点距离正方形中心的距离与正方形边长的比值是：A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.6二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在下列事件中，属于几何概型的是（）A. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率C. 从0到1之间随机取一个数，这个数小于0.5的概率D. 从5个不同的球中随机抽取3个，抽到3个特定颜色的概率2、设在长为2的线段上随机取两个点，将线段分为三段，若这三段可以构成三角形的概率为P，则P的值为：A、1/4B、1/2C、1/3D、1/63、在一个等边三角形ABC中，内角A的对边长度为8cm，现从顶点A向BC边引一高AD，并假设在BC边上有一点P使得AP与AD垂直。
人教版数学高一A版必修三练习几何概型
[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选A.A ∩B ＝{x |2<x <3}，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1， 所以事件“x ∈A ∩B ”的概率为16，故选A.2. 如图所示，边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域．向正方形中随机扔一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算解析：选B.设阴影区域的面积为S ，依题意，得23＝S2×2，所以S ＝83.故选B.3．(2018·济南高一检测)在区间[0，1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，1]内的概率是( )A.π4B.π10C.π20D.π40解析：选A.设在[0，1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0，1]内，则有 0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0，1]内的点在14单位圆内(如图中阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4，故选A. 4．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D.试验的全部结果是平面区域D ，由于点到坐标原点的距离大于2，则点应该在圆x 2＋y 2＝22的外部．画草图(图略)易知区域D 是边长为2的正方形，到坐标原点的距离大于2的点在以坐标原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为2×2－14×π×222×2＝4－π4.6．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.答案：597．水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是12×20×20，所以所求的概率P＝12×20×2024×24＝2572.答案：25728．已知方程x2＋3x＋p4＋1＝0，若p在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．解析：因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝⎛⎭⎫p4＋1≥0，得p≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510＝12.答案：129．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P＝3252＝925.10．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标x 表示小强到达小明家的时间，纵坐标y 表示小明离开家的时间，(x ，y )可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1×1＝1.事件A 表示“小强能见到小明”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5，y ≥x }，如图中阴影部分所示，面积为S A ＝1－12×12×12＝78.所以P (A )＝S A S Ω＝78，即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]11．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：选B.x ，y ∈[0，1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x－y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.12．已知0<a <1，分别在区间(0，a )和(0，4－a )内任取一个数，而取出的两数之和小于1的概率为316，则a 的值为________．解析：设所取的两个数分别为x ，y ，由题知所有基本事件构成的集合为Ω＝{(x ，y )|0<x <a ，0<y <4－a ，0<a <1}，其对应区域为矩形，面积为S (Ω)＝a (4－a )，而事件A ＝{(x ，y )∈Ω|x ＋y <1}，其对应区域面积为S (A )＝12(1＋1－a )a ，由几何概型的概率计算公式知316＝12（1＋1－a ）a a （4－a ），即a (5a －4)＝0，解得a ＝45.答案：4513．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.14．(选做题)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。
高考数学一轮复习 公式化知识整理练习 新人教A版必修3
高考数学一轮复习 公式化知识整理练习 新人教A 版必修33、（1）顺序结构：如图1 （2） 条件结构：如图2满足条件？步骤A 步骤B是否满足条件？步骤A是否（3）循环结构（必含有条件结构）：如图34、输入语句：INPUT “提示内容”；变量１，变量２（输入的不能是函数和表达式） 输出语句：PRINT “提示内容”；变量１，变量２（可以输出变量，表达式，不能起赋值作用）赋值语句：变量=表达式，如“x=y ”表ｙ值赋值给x 。
左边只能为变量，右边可以是数值，变量，表达式，但不可以给多个变量赋值。
5、条件语句的两种形式 A B C图1 图2图3满足条件？是否循环体满足条件？是否循环体直到型当型IF 条件 THEN 语句体 END IFIF 条件 THEN 语句1ELSE语句2 END IF6、循环语句的两种形式： 直到型（UNTIL ）语句 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件（1）直到型（UNTIL ）语句，这种语句是先执行循环体然后进行条件的判定，如果条件为假继续执行循环体。
直到条件为真时直接跳到UNTIL 语句后。
（2）当型（WHILE ）语句，是在执行循环体之前先进行条件判断，如果条件为真，继续执行循环体。
否则直接跳到WEND 语句后。
7、辗转相除法：用辗转相除法求28与12的最大公约数。
()28122+412=4 3 2812=4=⨯⨯∴ 解：，8、更相减损术法：用更相减损术求98与63的最大公约数。
()98-63=3563-35=28 35-28=7 28-7=14 14-7=7 9863=7∴ 解：，9、秦九韶算法：()1110n n n n a x a x a x a --=++++把一个n 次多项式f x 改写成如下形式：()()()()()()()1110121102312101210n n n n n n n n n n nn nn n a x a x a x a a x a x a x a a xa x a x a x a a x ax a x a x a ----------=++++=++++=+++++==++++f x求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即0nv a = ，1v =01n v x a -+ ，2v =12n v x a -+，3v =23n v x a -+,n v =10n v x a -+。
人教版高中数学高一-A版必修3练习几何概型
[A 基础达标]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13 B ．23 C.14 D ．34解析：选A.记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P (M )＝3090＝13.3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1ABC 内的概率是( ) A.13 B ．16 C.12 D ．14 解析：选B ．体积型几何概型问题． P ＝VA 1－ABCVABCD －A 1B 1C 1D 1＝16.4．已知在一个边长为2的正方形中有一个圆，随机向正方形内丢一粒豆子，若落入圆内的概率为0.3，则该圆的面积为( )A ．0.6B ．0.8C ．1.2D ．1.6解析：选C.记“豆子落入圆内”为事件A ，豆子落入正方形内任一点的机会都是等可能的，这是一个几何概型，P (A )＝S 圆S 正，所以S 圆＝P (A )×S 正＝0.3×22＝1.2.因此，圆的面积为1.2.5．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )A.12 B ．14C.32D ．74解析：选D.由于满足条件的点P 发生的概率为12，且点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB >AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 于点F ，则BF ＝34x .在Rt △FBE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，所以AD AB ＝74.6.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是________．解析：设事件A ＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A 的几何区域为内切圆的面积S ＝πR 2(2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P (A )＝πR 2（2R ）2＝π4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4.答案：π47．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．解析：设圆面半径为R ，如图所示：△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD ＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，所以P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.答案：334π8.如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16.答案：169．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？解：因为射中靶面内任一点都是等可能的， 所以基本事件总数为无限个．此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积， 总的基本事件为整个箭靶的面积，它的面积为π⎝⎛⎭⎫12222 cm 2；记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π⎝⎛⎭⎫12.222cm 2，P (A )＝“黄心”的面积箭靶的面积＝π⎝⎛⎭⎫12.222π⎝⎛⎭⎫12222＝1100， 所以射中“黄心”的概率为1100.[B 能力提升] 1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为( )解析：选A.根据几何概型的面积比，A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为（2r ）2－πr 2（2r ）2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．2．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．解析：棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127.答案：1273．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.4．(选做题)在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解：由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为15，所以红色所占角度为周角的15，即α1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即α2＝360°3＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.。
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3.3 几何概型 3.3.1 几何概型双基达标限时20分钟1．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为号 ( )．A.43B.83C.23 D ．无法计算 解析 由几何概型的概率公式知S 阴S 正＝23，所以S 阴＝23·S 正＝83. 答案 B2．在第1题中若将100粒豆子随机撒入正方形中，恰有60粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积约为 ( )． A.125 B.65 C.35D ．无法计算 解析 因为S 阴S 正＝N 1N ，所以S 阴4＝60100，所以S 阴＝60100×4＝125. 答案 A3．下列概率模型中，几何概型的个数为 ( )． ①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征； ④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．4．两根相距6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________．解析 由已知得：P ＝26＝13.答案 135．如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b ，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．解析 两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.答案5126．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率． 解 记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图，在边长为 4 3 cm 的等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边 三角形三边距离都为1，则等边三角形A ′B ′C ′的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P (A )＝34323432＝14. 综合提高限时25分钟7．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )．A.110 B.19 C.111 D.18解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.8．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是 ( )．A.14B.12C.34D.23解析 如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是 等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34. 答案 C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点，则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是________． 解析 本题为体积型几何概型问题，P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 答案 1610．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是________．解析 记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT ＝60°， 周角为360°，故P (A )＝60°360°＝16.答案 1611．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取一个数，b 是从区间[0,2]任取一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是a ≥b .(1)全集Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}， 故P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而构成A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，如图所示的阴影部分，所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23.12．(创新拓展)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解 记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到23 min 时间段内按错键． P (A )＝2330＝145.。
高中数学 必修三 3.3.1 几何概型强化练习 新人教A版必修3
高中数学 3.3.1 几何概型强化练习一、选择题1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )[答案] A [解析] P (A )＝38，P (B )＝26＝13，P (C )＝1－π41＝1－π4，P (D )＝1π.则P (A )最大，故选A.2．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A ．14B ．π4C ．13D ．π3[答案] B[解析] 设事件A ＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A 的几何区域为内切圆的面积S ＝πR 2(2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P (A )＝πR 2(2R )2＝π4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4. 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是( )A ．13 B ．16 C ．12 D ．14[答案] B[解析] 体积型几何概型问题．P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 4．如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A ．112B ．14C ．512D ．712[答案] C [解析] S 矩形＝ab .S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab . 故所投的点落在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )A ．π4B ．π10 C ．π20 D ．π40[答案] A[解析] 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1. 如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4. 6．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A ．16 mB ．20 mC ．8 mD ．10 m[答案] B[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽为500×125＝20(m)． 二、填空题7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为________．[答案] 13[分析] 解不等式，求出a 的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可． [解析] 由题意，得0＜a ＜13，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a －1＜0”发生的概率为13.8．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．[答案] 12[解析] 如图所示，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，则△ABC 的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A ，则P (A )＝DE ＋FG ＋MN BC ＋CA ＋AB ＝3＋2＋112＝12.9．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P ，则点P 落在剩余几何体上的概率为________． [答案]53125[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R ＝5，圆柱底面半径r＝4，高h ＝6，故球体积V ＝43πR 3＝500π3，圆柱体积V 1＝πr 2·h ＝96π，∴所求概率P ＝500π3－96π500π3＝53125.三、解答题10．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为其内一点； ②求四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．[解析] 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ， 则13×S 四边形ABCD ×h <16， 又S 四边形ABCD ＝1，则h <12，即点M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.12．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？[解析] (1)设事件A ＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P (A )＝12.(2)设事件B ＝“弦长超过3”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B )＝14.(3)设事件C ＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在上时，才有|AD |>|AB |＝3，由几何概率公式知P (C )＝13.。
2015届高考数学一轮复习 几何概型跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(六十七) 几何概型第Ⅰ组：全员必做题1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13 D.122．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是( ) A ．1 B.23 C.310 D.253.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.124.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512 B.12C.23D.345．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12B.1532C.1732D.31326．(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．7.(2014·苏锡常镇四市一调)如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点(假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的)，则该点落在半圆内的概率为________．8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．9．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．10.(创新题)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．第Ⅱ组：重点选做题1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π42．在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S -APC 的体积大于V3的概率是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15.2．选C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f (x 0)≤0，则所求概率P ＝2－(－1)5－(－5)＝310.3．选D 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22×π＝12.4．选C 图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32|40＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C. 5.选B 方程x 2a 2＋y 2b 21表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＜32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞b 2，a 2＜4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ，a ＜2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.6．解析：要使2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax ≤2x 2＋8，即a ≤2x ＋8x 在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x ≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a ≤8，因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.答案：457．解析：由题知该点落在半圆内的概率为S 半圆S 正方形＝π8.答案：π88．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14h ＝3或h ＝－12(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：39．解：(1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.(ⅱ)记“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2＞4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＞4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.10．解：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时ax ＋bx 在⎝⎛⎭⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎫b a，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫2＋114×33×3＝1924，故所求的概率是1924.第Ⅱ组：重点选做题1.选D 根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.2.解析：由题意可知V S -APCV S -ABC >13，三棱锥S -ABC 的高与三棱锥S -APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S -APC V S -ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．答案：23。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：9.6 几何概型 Word版含答案
第六节 几何概型几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． (2)了解几何概型的意义．知识点 几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).易误提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[自测练习]1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为( )A.34B.13C.12D.23解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD 的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于18米(C 、D 两点除外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于18米的概率为P ＝681＝34.答案：A2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P (X ≤1)＝35，选B.答案：B3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23，∴S ＝83.答案：83考点一 与长度(角度)有关的几何概型|1．(2016·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( ) A.34 B.12 C.14 D.13解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x －1≥0的只有⎣⎡⎦⎤12，2，长度为32，P ＝322＝34. 答案：A2．(2015·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，结合0≤p ≤5，解得23<p ≤1或2<p ≤5，所以所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝23. 答案：233.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16(1)与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考点二 与体积相关的几何概型|在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] 由题意，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.[答案] 1－π12对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 答案：D考点三 与面积有关的几何概型|与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有： 1．与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题． 2．与线性规划交汇命题的问题． 3．与定积分交汇命题的问题．探究一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2015·湖北八校二联)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．解析：作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.答案：12π探究二 与线性规划交汇命题的问题2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.答案：B探究三与定积分交汇命题的问题3．(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：依题意知点D的坐标为(1,4) ，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－⎠⎛12x2d x＝4－13x3|21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝S阴影S＝534＝512.答案：512求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．22.混淆长度型与面积型几何概型致误【典例】在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．[解析]设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>1－x －y ，1－x －y>x －y ，1－x －y>y －x ，所以x<12，y<12，且x ＋y>12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14. [答案] 14[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． [防范措施] 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为( )A.12 B ．1－22C.22D. 2解析：依题意得知，所求的概率等于12＝22，选C. 答案：CA 组 考点能力演练1．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C.1625D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B. 答案：B2．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC <12V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P -ABC <12V S -ABC . 由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. 答案：A3．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825解析：设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1， 确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.答案：C4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512B.12C.23D.34解析：图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32| 40＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C.答案：C5．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：设AB 、AC 上分别有点D 、E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫342＝916，故选D.答案：D6．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x ) cm ，由4x (12－x)>128得x 2－12x ＋32<0,4<x <8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：137．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：本题考查几何概率的计算．如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15. 答案：π158．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为________．解析：如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB >90°的概率P ＝12×π×1222＝π8.答案：π89．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，求使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率．解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.10．(2016·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.B 组 高考题型专练1．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1得log 12 2≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，所以12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34.故选A. 答案：A2．(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.答案：B3．(2015·高考陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14淘宝店铺：漫兮教育－12π，故选D. 答案：D4．(2014·高考湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：区域Ω1为直角△AOB 及其内部，其面积S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODC S △AOB＝2－142＝78.故选D. 答案：D。
高三数学一轮复习备考必修3 3.3 几何概型(附答案)
高三数学一轮复习备考必修3§3.3几何概型一、基础过关1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17<a<20的概率是________．2．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是________．3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是________．4．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是______．6．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．7．在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC 都不小于30°的概率．8．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．二、能力提升9．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则事件A的概率P(A)＝________.10．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．11．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．12．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？三、探究与拓展13．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．答案1. 3102.153.116 4．1－π4 5.127 6.33 7. 解如图所示，把圆弧AB 三等分，则∠AOF ＝∠BOE ＝30°，记A 为“在 扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内，∴P (A )＝30°90°＝13. 8． 解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会 面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可 能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由 图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以，两人能会面的概率是716. 9. π4 10．① 11.3π612．解 包含两个间谍犯罪信息的录音部分在30 s 到40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0 s 到30 s 之间，全部被擦掉，即在0 s 到40 s 之间，也就是0 min 到23min 之间的时间按错键时，含有犯错内容的谈话部分或全部被擦掉．记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话部分或全部被擦掉}，A 发生在0 min 到23min 时间段内按错键．所以P (A )＝2330＝145. 13．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。
人教版高中数学高一-A版必修3练习 第三章古典概型与几何概型(强化训练)
古典概型与几何概型(强化训练)[学生用书单独成册] [A 基础达标] 1．(2015·高考广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B ．记3件合格品为a 1，a 2，a 3，2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6. 2．在一个游戏中，有两枚大小相同、质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别写着数字1，2，3，5.同时投掷一次，记x 为两个朝下的面上的数字之和，则x 不小于6的概率为( )A.18 B ．14C.38 D ．12解析：选D.因为骰子是均匀的，所以各面朝下的可能性相等，出现的所有可能情况为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)，共16种．记事件A ＝“x 不小于6”，则其包含的可能情况有：(1，5)，(2，5)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)，共8种，所以P (A )＝816＝12.故选D. 3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为( ) A.12 B ．13C.23 D ．14解析：选B ．在区间[0，1]上随机产生一个数a ，即a ∈[0，1]，要使3a －1<0发生，即a <13成立． 所以由几何概型知使事件“3a －1<0”发生的概率为P ＝符合条件的区间长度所有结果构成的区间长度＝131＝13. 4．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，点F 为边AD 的中点，AE 和BF 相交于点O ，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△AOB 内部的概率等于( )A.110B ．18 C.14D ．15解析：选D.设AB ＝x ，BC ＝y ，则所求事件涉及相关图形的面积问题．矩形ABCD 的面积为S 矩形ABCD ＝xy .过点O 向AB 作垂线，垂足设为G ，过点E 向AB 作垂线，垂足设为H ，则AD ∥OG ∥EH .在△AEH 中，OG EH ＝AG AH，① 在△ABF 中，OG AF ＝BG AB，② 又AF ＝12AD ，EH ＝BC ，AH ＝HB ， 结合①②解得OG ＝25y ， 所以△AOB 的面积为S △AOB ＝12AB ×OG ＝15xy . 由几何概型的概率公式得所求的概率为P ＝S △AOB S 矩形ABCD ＝15xy xy ＝15.故选D. 5．对于某次抽奖活动，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，则1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为( )A ．0.000 1B ．0.000 2C ．0.988D ．0.949解析：选D.由等可能事件的古典概型概率，知P (A )＝11 000＝0.001，P (B )＝101 000＝0.01，P (C )＝501 000＝0.05， 则1张奖券不中特等奖且不中二等奖是指A ＋C ，因为A ＋C 与A ＋C 是对立事件，所以P (A ＋C )＝1－P (A ＋C )＝1－P (A )－P (C )＝1－0.001－0.05＝0.949，即1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为0.949.故选D.6．如图所示是一台微波炉的操作界面．若一个两岁小孩触碰A ，B ，C 三个按钮是等可解析：本题中总的基本事件Ω＝{AA ，BB ，CC ，AB ，AC ，BA ，CA ，BC ，CB }，共9种．记事件E ＝{小孩按两次按钮启动微波炉}，则E ＝{AA ，AB ，BA ，AC ，CA }，共5种．由古典概型的概率计算公式，可得P (E )＝n （E ）n （Ω）＝59. 答案：597．在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C ，在∠ACB 的内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则满足AM <AC 的概率为________．解析：记“AM <AC ”为事件D ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 所在任何位置都是等可能的，则所求事件涉及对应角的角度问题．在AB 上取一点C 1，使得AC 1＝AC ，连接CC 1，则∠ACC 1＝67.5°，而∠ACB ＝90°，根据几何概型的概率公式，知满足AM <AC 的概率为P (D )＝构成事件D 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度＝∠ACC 1∠ACB ＝67.5°90°＝34. 答案：348．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A ，B ，3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任选2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求的概率P ＝1－610＝25. 答案：259．北京市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进(1)若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求x 的值；(2)在(1)的条件下，若从年龄在[45，60)，[60，75)内的两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75)内的概率．解：(1)经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为12＋14＋x ＋3，因为样本中的赞成率为0.40，所以12＋14＋x ＋380＝0.40， 解得x ＝3.(2)记“选中的2人中至少有1人来自[60，75)内”为事件M .设年龄在[45，60)内的3位被调查者分别为A ，B ，C ，年龄在[60，75)内的3位被调查者分别为a ，b ，c ，则从这6位被调查者中抽出2人的情况有{a ，b }，{a ，c }，{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{b ，c }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }，{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，共15个基本事件，且每个基本事件等可能发生．其中事件M 包括{a ，b }，{a ，c }，{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{b ，c }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }，共12个基本事件，所以选中的2人中至少有1人来自[60，75)内的概率P (M )＝1215＝45. 10．在以3为半径的圆内任取一点P 为中点作圆的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．解：设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A .在以半径为3的圆内任取一点P 的结果有无限个，属于几何概型．如图所示，△BCD 是圆内接等边三角形，再作△BCD 的内切圆．则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P 在等边△BCD 的内切圆内．可以计算得：等边△BCD 的边长为3，等边△BCD 的内切圆的半径为32， 所以事件A 构成的区域面积是等边△BCD 的内切圆的面积π×⎝⎛⎭⎫322＝34π， 全部结果构成的区域面积是π×(3)2＝3π， 所以P (A )＝34π3π＝14， 即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[B 能力提升] 1．在2016年的欧洲杯足球赛的小组赛中，英国队与法国队进行足球比赛，若两队平局的概率是14，法国队战输的概率是13，则法国队不胜的概率是( ) A.112 B ．712C.34 D ．23解析：选B ．记事件A 为“法国队不胜”，事件B 为“法国队战输”，事件C 为“两队平局”，则事件B ，C 为互斥事件，所以法国队不胜的概率为P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝14＋13＝712. 2．在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条，则这三条线段能构成三角形的概率为( )A.12 B ．14C.18 D ．116解析：选B ．记“三条线段能构成三角形”为事件M ，设三条线段的长度分别为x ，y ，1－x －y ，因为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，0<1－x －y <1，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <－x ＋1.① 在平面上建立如图所示的直角坐标系，则不等式组①所表示的平面区域为三角形AOB 内部的区域G ，每一对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意可知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．而三条线段能构成三角形当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x >x ，1－y >y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y >－x ＋12，x <12，y <12，② 不等式组②所表示的平面区域为三角形CDE 内部的区域g . 容易求得区域g 的面积为18，区域G 的面积为12， 则P (M )＝构成事件M 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积＝g 的面积G 的面积＝1812＝14， 即这三条线段能构成三角形的概率为14.故选B ． 3．一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形ABCD )的草原上飞翔，其中AD ＝3，CD ＝2，BC ＝5，它可能随机落在该草原上任何一处(点)，若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分)CDE 以外候鸟能生还，则该候鸟生还的概率为________．解析：直角梯形ABCD 的面积S 1＝12(3＋5)×2＝8，扇形CDE 的面积S 2＝14π×22＝π，根据几何概型的概率公式，得候鸟生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝8－π8＝1－π8. 答案：1－π84．(选做题)“顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数X 依次为A ，B ，C ，D ，E .现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验，对其等X A B C D E频率 0.1 0.2 0.45 0.15 0.1从等级系数为A ，D ，E 的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)．(1)求取出的两件样品是等级系数为A 与D 的概率；(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．解：(1)A 级所取的样品数为20×0.1＝2，D 级所取的样品数为20×0.15＝3，E 级所取的样品数为20×0.1＝2.将等级系数为A 的2件样品分别记为a 1，a 2；等级系数为D 的3件样品分别记为x 1、x 2，x 3；等级系数为E 的2件样品分别记为y 1，y 2.现从a 1，a 2，x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这7件样品中一次性任取两件，共有21种不同的结果，分别为{a 1，a 2}，{a 1，x 1}，{a 1，x 2}，{a 1，x 3}，{a 1，y 1}，{a 1，y 2}，{a 2，x 1}，{a 2，x 2}，{a 2，x 3}，{a 2，y 1}，{a 2，y 2}，{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．记事件M 为“取出的两件样品是等级系数为A 与D ”，则事件M 所包含的基本事件有6种，分别为{a 1，x 1}，{a 1，x 2}，{a 1，x 3}，{a 2，x 1}，{a 2，x 2}，{a 2，x 3}．所以事件M 的概率P (M )＝621＝27. (2)法一：记事件N 为“取出的两件样品是等级系数为A 与E ”，则事件N 所包含的基本事件有4种，分别为{a 1，y 1}，{a 1，y 2}，{a 2，y 1}，{a 2，y 2}，所以事件N 的概率P (N )＝421. 记事件Q 为“取出的两件样品是等级系数为D 与E ”，则事件Q 所包含的基本事件有6种，分别为{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，所以事件Q 的概率P (Q )＝621＝27. 因为事件M ，N ，Q 为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为P (M ∪N ∪Q )＝P (M )＋P (N )＋P (Q )＝1621. 法二：记事件L 为“取出的两件样品是不同等级”，则事件L －为“取出的两件样品是同等级”，所以事件L －所含的基本事件有5种，分别为{a 1，a 2}，{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，所以事件L －的概率P (L －)＝521， 所以P (L )＝1－P (L －)＝1－521＝1621， 即取出的两件样品是不同等级的概率为1621.。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学3-4
基础巩固强化一、选择题1．(2013·山东济南一模)设a ＝⎠⎛121x d x ，b ＝⎠⎛131x d x ，c ＝⎠⎛151x d x ，则下列关系式成立的是( )A.a 2<b 3<c 5B.b 3<a 2<c5 C.c 5<a 2<b 3 D.a 2<c 5<b 3[答案] C[解析] ∵a ＝⎠⎛121x d x ＝ln2，b ＝⎠⎛131x d x ＝ln3，c ＝⎠⎛151x d x ＝ln5，∴a 2＝12ln2＝ln 2，b 3＝13ln3＝ln 33，c 5＝15ln5＝ln 55，而55<2<33，∴c 5<a 2<b 3，选C.2.(2012·深圳第一次调研)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3[答案] B[解析] 依题意得，区域M 的面积等于2⎠⎛0πsin x d x ＝－2cos x |π0＝4，圆O 的面积等于π×π2＝π3，因此点A 落在区域M 内的概率是4π3，选B.3．(2013·湖北理，7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5 D ．4＋50ln2[答案] C[解析] 由于v (t )＝7－3t ＋251＋t ，且汽车停止时速度为0，因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4s. 该汽车在此期间所行驶的距离s ＝⎠⎛04(7－3t ＋251＋t )d t ＝[7t －3t 22＋25ln(t ＋1)]|4＝4＋25ln5(m)．4．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( )A ．2πB ．3π2[答案] A [解析] 如图，S ＝∫2π0(1－cos x )d x＝(x －sin x )|2π0＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了．5．(2013·安徽联考)设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足⎠⎛0a f ′(x )d x＝0的实数a 有________个．( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] C[解析] ∵⎠⎛0a f ′(x )d x ＝f (a )－f (0)＝0，∴a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1，选C.6．(2013·保定调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1(－1≤x ≤0)cos x (0<x ≤π2)，( )2C ．2 D.32[答案] D [解析]二、填空题7.(2013·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (2,0)，B (2,4)，C (0,4)．曲线y ＝ax 2经过点B ，现将一质点随机投入正方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________. [答案] 23[解析] ∵y ＝ax 2过点B (2,4)，∴a ＝1， ∴所求概率为1－⎠⎛02x 2d x 2×4＝23.8．(2013·湖南省五市十校联考)⎠⎛01(e x ＋x )d x ＝________.[答案] e －12[解析] ⎠⎛01(e x＋x )d x ＝(e x＋12x 2)|10＝e ＋12－1＝e －12.9．(2013·滨州一模)设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(a x －1x)6展开式的常数项等于________．[答案] －160 [解析] a ＝⎠⎛πsin x d x ＝－cos x |π0＝2，T r ＋1＝C r6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 26－r C r 6x3－r， ∵T r ＋1为常数项，∴3－r ＝0，∴r ＝3， ∴常数项为(－1)3×23×C 36＝－160.10．(2013·北京东城区检测)图中阴影部分的面积等于________．[答案] 1[解析] 由题知所求面积为⎠⎛013x 2d x ＝x 3|10＝1.能力拓展提升一、选择题11．(2013·长春一模)与定积分∫3π01－cos x d x 相等的是( )A.2∫3π0sin x 2d xB.2∫3π0|sin x 2|d xC ．|2∫3π0sin x 2d x |D ．以上结论都不对[答案] B[解析] ∵1－cos x ＝2sin 2x2， ∴∫3π01－cos x d x ＝∫3π2|sin x 2|d x＝2∫3π0|sin x2|d x .12．(2013·日照一模)设(1x ＋x 2)3的展开式中的常数项为a ，则直线y ＝ax 与直线y ＝x 2围成图形的面积为( )A.272 B ．9 C.92 D.274[答案] C[解析] (1x ＋x 2)3，即(x 2＋1x )3的通项T r ＋1＝C r 3(x 2)3－r (1x )r ＝C r 3x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴常数项为3.则直线y ＝3x 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S ＝⎠⎛03(3x －x 2)d x ＝(32x 2－13x 3)|30＝92.故选C.13．(2013·山西诊断)若函数，则f (2012)＝( )A ．1B ．2C.43D.53[答案] C [解析]二、填空题14．(2013·江西省七校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n＝∫n ＋1n 1xd x (n ∈N *)，则S 100＝________.[答案] ln101[解析] 依题意，a n ＝ln x |n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，因此S 100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x .解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量，x ＝y 22、x ＝4－y三、解答题16.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.考纲要求了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．补充说明1．掌握本节内容需熟记微积分基本定理及积分的三条性质；明确曲边梯形面积(只取正值)与定积分(任意实数)的关系．抓住三个考点：定积分的计算，已知定积分求参数值，定积分的应用．2．用定义求定积分的一般方法是： ①均匀分割：n 等分区间[a ，b ]； ②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； ③求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an ；④取极限：⎠⎛abf (x )d x ＝li m n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.3．由两条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )(f (x )≥g (x ))围成的平面图形的面积：S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x (如图)．4．本节重点体会数形结合思想，无限逼近的极限思想． 备选习题1．设集合P ＝{x |⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8 [答案] B[解析] 依题意得⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝(t 3－5t 2＋6t )|x0＝x 3－5x 2＋6x＝0，由此解得x ＝0或x ＝2或x ＝3.又x >0，因此集合P ＝{2,3}，集合P 的非空子集的个数是22－1＝3，选B.2． ( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[答案] C [解析]3．设f (x )＝⎠⎛0x (1－t )3d t ，则f (x )的展开式中x 的系数是( ) A ．－1 B ．1 C ．－4 D ．4[答案] B[解析] f (x )＝⎠⎛0x(1－t )3d t ＝－14(1－t )4|x0＝14－14(1－x )4，故展开式中x 的系数为－14×(－C 14)＝1，故选B.4．(2013·郑州二测)等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.5．(2012·太原模拟)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( ) A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1[答案] A [解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.6.(2014·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.12B.16C.14D.13[答案] D[解析] 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)|10＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.。
高中数学 3.3 几何概型配套训练 新人教A版必修3
3.3 几何概型1.函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率为( )A.0.1B.C.0.3D.0.4答案:C2.有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望最容易中奖,他应当选择的游戏盘为( )解析:四个游戏盘中奖概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=.∵P(A)>P(B)>P(D)>P(C),∴A中奖率大.答案:A3.(2012湖北高考,文10)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A. B.C.1-D.解析:设OA=OB=2R,连接AB,如图所示,由对称性可得,阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积,S阴影=π(2R)2-×(2R)2=(π-2)R2,S扇=πR2,故所求的概率是=1-.答案:C4.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径为r(r<a)的硬币任意抛掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解:设“硬币不与任一平行线相碰”为事件A,硬币中心为O,过O向较近的平行线作垂线,垂足为M,则0≤OM≤a,而A要发生,则有r<OM≤a,∴P(A)=.5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在正方体内随机取点M.(1)求M与面ABCD的距离大于的概率;(2)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率.解:V 正方体=a 3.(1)所求概率为. (2)所求概率为.6.如图所示,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB 上任取一点C ,试求△AOC 为钝角三角形的概率. 解:先看使△AOC 为直角三角形的情况: 若∠OCA=90°,则OC=1; 若∠OAC=90°,则OC=4.如图,C 1和C 2分别是适合以上两种情况的点C ,它们均在线段OB 上,由题意知,当点C 在线段OC 1或C 2B 上时,△AOC 为钝角三角形.又OB=5,OC 1+C 2B=1+1=2,则△AOC 为钝角三角形的概率为.7.已知函数f (x )=-x 2+ax-b ,若a ,b 都是从区间[0,4]内任取的一个数,则f (1)>0成立的概率是( )A. B. C. D.解析:f (1)=-1+a-b ,令f (1)>0,则a-b>1.又0≤a ≤4,0≤b ≤4,满足a-b>1的阴影部分如图所示. ∴P=. 答案:B8.如图,在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m 之外向此板投镖.设投中线上或没有投中木板时不算,可重投,则:(1)投中大圆内的概率是 .(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是 . (3)投中大圆之外的概率是 .解析:设事件A={投中大圆内},事件B={投中小圆与中圆形成的圆环},事件C={投中大圆外}.S 正方形=162=256(cm 2),S 大圆=62π=36π(cm 2),S 中圆-S 小圆=12π(cm 2),S 大圆外=S 正方形-S 大圆=(256-36π)(cm 2).由几何概型概率公式得P (A )=,P (B )=,P (C )==1-.答案:(1) (2)π (3)1-9.在△ABC 内任取一点P ,求△ABP 与△ABC 的面积之比大于的概率.解:如图,设点P ,C 到边AB 的距离分别为d P ,d C ,则S △ABP =AB ·d P ,S △ABC =AB ·d C ,所以.要使,只需点P落在某条与AB平行的直线EF的上方,当然点P应在△ABC之内,而这条与AB平行的直线EF与AB的距离等于d C,由几何概型概率公式,得P=.10.两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时,求有一艘船欲停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解:分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间,一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0≤x-y≤2,0≤y-x≤1,即(x,y)落入如图阴影区域,因此所求概率为≈0.121.11.某人从甲地去乙地共走了500m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件东西丢在了途中,若东西掉在河里,则找不到;若东西不掉在河里,则能找到,已知该件东西能被找到的概率为,问河宽为多少?解:设“该件东西能被找到”为事件A,由已知P(A)=,得x=100.答:河宽为100m.12.在区间[-1,1]上任取两实数a,b,求方程x2+ax+b2=0的两根:(1)都是实数的概率;(2)都是正数的概率.解:如图,把a,b分别看作平面直角坐标系中的横坐标、纵坐标,则总区域面积为4.(1)要使方程两根为实数,只需Δ=a2-4b2≥0,则|a|≥2|b|,区域为图中所示阴影部分,面积为1,所以所求概率为.(2)要使两根均为正数,则应满足:所以区域仅为阴影部分的左半部分,面积为,故所求概率为.。
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学3-3
基础巩固强化一、选择题1．(文)正三棱柱体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V [答案] C[解析] 设正三棱柱底面边长为a ，高为h ，则体积V ＝34a 2h ，∴h ＝4V 3a 2，表面积S ＝32a 2＋3ah ＝32a 2＋43V a ，由S ′＝3a －43V a 2＝0，得a ＝34V ，故选C.(理)在内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2 (0＜x ＜R )，l ′＝2－4x R 2－x2，令l ′＝0，解得x ＝55R .当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0.所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R .2．(文)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] ∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)． 令y ′＝0得x ＝9，令y ′<0得x >9，令y ′>0得0<x <9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评] 利用导数求函数最值时，令y ′＝0得到x 的值，此x 的值不一定是极大(小)值时，还要判定x 值左、右两边的导数的符号才能确定．(理)某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系是R ＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400.则总利润最大时，每年生产的产品产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x .所以总利润为P ＝R－C ＝⎩⎨⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a [答案] C [解析]如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ，则y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R ，∴y ′＝4πaR －2bVR 2.令y ′＝0并将V ＝πR 2h 代入解得，2R h ＝ba .(理)圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )A.S 3πB.3πSC.6πS 6π D ．3π·6πS[答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ， ∴S ＝2πr 2＋2πrh ，∴h ＝S －2πr 22πr ，又V ＝πr 2h ＝rS －2πr 32，则V ′＝S －6πr22，令V ′＝0， 得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，r ＝6πS 6π.4．(文)内接于半径为R 的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R[答案] C[解析] 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R .(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cmB.1033cmC.1633cm D.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033.当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0， 所以当x ＝2033时，V 取最大值．5．(2013·荆州市质检)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )在x ＝－2处取极小值知f ′(－2)＝0且在x ＝－2的左侧f ′(x )<0，在x ＝－2的右侧f ′(x )>0，因此，x <－2时，y ＝xf ′(x )>0，x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0，－2<x <0时，y ＝xf ′(x )<0，x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0，x >0时，y ＝xf ′(x )>0，故选C.6．(2013·沈阳二中月考)已知函数f (x )的定义域为[－3，＋∞)，且f (6)＝2.f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示．若正数a ，b 满足f (2a ＋b )<2，则b ＋3a －2的取值范围是()A ．(－∞，－32)∪(3，＋∞) B ．(－92，3)C ．(－∞，－92)∪(3，＋∞) D ．(－32，3) [答案] A[解析] 由导函数的图象可以看出f (x )在(－3,0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，由f (2a ＋b )<2可得f (2a ＋b )<f (6)，又a ，b 为正数，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，2a ＋3b >6，将此不等式组看作关于a ，b 的约束条件，画出可行域如图所示，结合图形，b ＋3a －2表示连接点(2，－3)和可行域内一点(a ，b )的直线的斜率，结合图形可得其取值范围是(－∞，－32)∪(3，＋∞)．二、填空题7．(2013·开封第一次模拟)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋3(a ，b ∈R )，若函数f (x )在[0,1]上单调递减，则a 2＋b 2的最小值为________．[答案] 95 [解析]依题意，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝b ≤0f ′(1)＝3－2a ＋b ≤0，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，如图所示，结合图形不难得知，该平面区域内的点(a ，b )与原点的距离的平方即为a 2＋b 2，其最小值等于原点到直线3－2a ＋b ＝0的距离的平方，即等于95.8．(文)用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <32，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.(理)用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案] 1.2m[解析] 设容器的短边长为x m ， 则另一边长为(x ＋0.5)m ， 高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x . 由3.2－2x >0和x >0，得0<x <1.6，设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0<x <1.6)， 整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， ∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，有－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，即15x 2－11x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－415(不合题意，舍去)， ∴高为3.2－2＝1.2，容积V ＝1×1.5×1.2＝1.8， ∴高为1.2m 时容积最大．9．(文)若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－1，＋∞)[分析] 函数f (x )存在单调减区间，就是不等式f ′(x )<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f ′(x )<0在(0，＋∞)上有实数解时a 的取值范围．[解析] 解法1：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ， 由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x 2－2x 在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1. (理)(2012·黄冈市期末)对于三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，根据这一发现可得：(1)函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为________； (2)计算f (12014)＋f (22014)＋f (32014)＋f (42014)＋…＋f (20132014)＝________.[答案] (1)(12，1) (2)2013[解析] (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由2x －1＝0得x ＝12，f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1，由拐点的定义知f (x )的拐点即对称中心为(12，1)．(2)f (k 2014)＋f (1－k 2014)＝f (k2014)＋f (2014－k 2014)＝2(k ＝1，2，…，1007)，∴f (12014)＋f (22014)＋…＋f (20132014)＝[f (12014)＋f (20132014)]＋[f (22014)＋f (20122014)]＋…＋[f (10062014)＋f (10082014)]＋f (10072014)＝2×1006＋1＝2013.三、解答题10．(2013·湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为30元，并且每件玩具的加工费为t 元(其中t 为常数，且2≤t ≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．(1)求该工厂的日利润y (元)与每件玩具的出厂价x 元的函数关系式；(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．[解析] (1)设日销售量为k e x ，则k e 40＝10，∴k ＝10e 40，则日销售量为10e 40e x 件，∴日利润y ＝(x －30－t )·10e 40e x .∴y ＝10e 40(x －30－t )e x(35≤x ≤41)． (2)y ′＝10e 40(31＋t －x )e x，令y ′＝0得x ＝31＋t . ①当2≤t ≤4时，33≤31＋t ≤35，∴当35≤x ≤41时，y ′≤0.∴当x ＝35时，y 取最大值，最大值为10(5－t )e 5.②当4<t ≤5时，35<t ＋31≤36，函数y 在[35，t ＋31]上单调递增，在[t ＋31,41]上单调递减．∴当x ＝t ＋31时，y 取最大值10e 9－t .∴当2≤t ≤4，x ＝35时，日利润最大值为10(5－t )e 5元； 当4<t ≤5，x ＝31＋t 时，日利润最大值为10e 9－t 元.能力拓展提升一、解答题11．(2012·山东苍山县模拟)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，销售量为100kg.(每日利润＝日销售量×(每公斤出厂价－成本价－加工费))．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．[解析] (1)设日销售量q ＝k e x ，则k e 30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销售量q ＝100e 30e x ，∴y ＝100e 30(x －20－t )e x(25≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30(x －25)e x ，y ′＝100e 30(26－x )e x. 由y ′≥0得x ≤26，由y ′≤0得x ≥26，∴y 在[25,26]上单调递增，在[26,40]上单调递减，∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e 4元．12．(文)(2014·希望高中月考)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系；(2)求ab 的最大值．[解析] (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直．∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.(2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a (52－a )＝－(a －54)2＋2516.∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.(理)(2013·洛阳统考)已知函数f (x )＝a 2x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－x －1.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M ，求满足该不等式的最大整数M ；(2)如果对任意的s ，t ∈[13，2]，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M ⇔x 1，x 2∈[0,2]，[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .∵g ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，∴当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当1<x <2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴g (x )max ＝max{g (0)，g (2)}＝g (2)＝1，g (x )min ＝g (1)＝－2， ∴[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝3，满足不等式的最大整数M ＝3.(2)由(1)知，当x ∈[13，2]时，g (x )max ＝g (2)＝1，依题意，对任意的s ，t ∈[13，2]都有f (s )≥g (t )成立⇔当x ∈[13，2]时，f (x )＝a 2x ＋x ln x ≥1恒成立．则有f (1)＝a 2≥1，∴a ≥2.当a ≥2且x ∈[13，2]时，f (x )＝a 2x ＋x ln x ≥1x ＋x ln x .记h (x )＝1x ＋x ln x ，∴h ′(x )＝－1x 2＋ln x ＋1，且h ′(1)＝0.当x ∈(13，1)时，h ′(x )＝－1x 2＋ln x ＋1<0，当x ∈(1,2)时，h ′(x )＝－1x 2＋ln x ＋1>0，∴h (x )＝1x ＋x ln x 在(13，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴h (x )min ＝h (1)＝1，即h (x )≥1，∴当a ≥2时原不等式成立．∴a 的取值范围是[2，＋∞)．13．(文)甲乙两地相距400km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h ，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (km/h)的函数关系是P ＝119200v 4－1160v 3＋15v .(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用400v h ，故全程运输成本为Q ＝400P ＝v 348－5v22＋6000 (0<v ≤100)．(2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0得，v ＝80，∴当v ＝80km/h 时，全程运输成本取得最小值，最小值为20003元．(理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[解析] (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5. 再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 又建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为，f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2， 令f ′(x )＝0，即2400(3x ＋5)2＝6.解得x ＝5，或x ＝－253(舍去)． 当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元． 14.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 依题意，有xy ＋12x ·x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x 4(0<x <42)，于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2×2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x ，l ′＝32＋2－16x 2， 令l ′＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)，当0<x <8－42时，l ′<0；当8－42<x <42时，l ′>0；所以当x ＝8－42时，l 取得最小值，此时，x ＝8－42≈2.343m ，y ≈2.828m.即当x 约为2.343m ，y 约为2.828m 时，用料最省．考纲要求1．能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题．2．会利用导数解决某些简单的实际问题．补充说明1．利用导数解决含参数函数的单调性问题一般转化为不等式恒成立问题．2．不等式的证明、方程根的个数的判定可转化为函数的单调性与极值问题．3．实际问题转化为函数问题后，要注意定义域的限制，结果要符合实际情况，若实际问题目标函数只有一个极值点，该点就是最值点．备选习题 1．一艘渔艇停泊在距岸9km 处，今需派人送信给距渔艇334km处的海岸渔站，如果送信人步行速度每小时5km ，船行速度每小时4km ，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？[分析] 如图，设BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，设D 为海岸线上一点，CD ＝x ，只需将时间T 表示为x 的函数，即可确定登岸的位置．[解析] ∵AB ＝9，AC ＝334，BC ＝AC 2－AB 2＝15，设CD ＝x ，由A 到C 所需时间为T ，则T ＝15x ＋14(15－x )2＋81 (0≤x ≤15)， T ′＝15－15－x 4(15－x )2＋81. 令T ′＝0，解得x ＝3.在x ＝3附近，T ′由负到正，因此在x ＝3处取得极小值．又T (0)＝3344，T (15)＝214，T (3)＝8720，比较可知T (3)最小．答：在距渔站3km 处登岸可使抵达渔站的时间最省．2．已知球的直径为d ，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？[解析] 如图所示，设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，由于x 2＋x 2＋h 2＝d 2，∴x 2＝12(d 2－h 2)． ∴球内接正四棱柱的体积为V ＝x 2·h ＝12(d 2h －h 3)，0<h <d . V ′＝12(d 2－3h 2)＝0，∴h ＝33d .在(0，d )上，函数变化情况如下表： ↗ 3．(2013·湖南长郡中学测试)学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright 博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f (t )＝34＋a ·2－·100%(其中f (t )为掌握该任务的程度，t 为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f (2)＝60%.(1)求f (t )的表达式，计算f (0)并说明f (0)的含义；(2)已知2x >x ln2对任意x >0恒成立，现定义f (t )t 为该类学习任务在t 时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t ∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．[解析] (1)∵f (t )＝34＋a ·2－t ·100%(t 为学习时间)，且f (2)＝60%， 则34＋a ·2－2·100%＝60%，解得a ＝4. ∴f (t )＝34(1＋2－t )·100%(t ≥0)， ∴f (0)＝34(1＋2－)·100%＝37.5%， f (0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(2)令学习效率指数f (t )t ＝y ，则y ＝f (t )t ＝34t (1＋2－t )＝34(t ＋t 2t )(t >0)， 现研究函数g (t )＝t ＋t 2t 的单调性，由于g ′(t )＝1＋2t －t ·2t ln2(2t )2＝2t －t ln2＋12t (t >0)， 又已知2x >x ln2对任意x >0恒成立，即2t －t ln2>0，则g ′(t )>0恒成立，∴g (t )在(0，＋∞)上为增函数，且g (t )为正数．∴y ＝f (t )t ＝34(t ＋t 2t )(t >0)在(0，＋∞)上为减函数，而y |t ＝1＝f (1)1＝12，y |t ＝2＝f (2)2＝310，即y ＝f (t )t ∈(310，12)，故所求学习效率指数的取值范围是(310，12)．。
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必修Ⅲ达标练习（10）
几何概型
1、有一杯1L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取0.1L 水，则小杯中含有这个细菌的概率是（ ）
A 、0
B 、0.1
C 、0.01
D 、1
2、从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于
4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）
A 、0.62
B 、0.38
C 、0.02
D 、0.68
3、在区间（0，L ）内任取两点，则两点之间的距离小于3L
的概率为 ( )
A 、13
B 、23
C 、49
D 、5
9
4、随机数就是在一定范围内随机产生的数,得到这个范围内每一个数的机会( )
A 、相等
B 、不相等
C 、不确定
D 、为零
5、将[0,1]内的均匀随机数转化为[-6,6]内的均匀随机数,需实施的变化为( )
A 、
112a a =* B 、1126a a =*+ C 、1126a a =*- D 、16a a =*
6、向长度为1厘米的线段内随机投点，则事件A “该点命中线段的中点”的概率为_____ .
7、已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站立即上车的概
率是 .
8、某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超5min 的概率是 .
9、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.
10、在地球上海洋约占71%的面积,陆地约占29%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________.
11、下面是利用随机模拟方法计算图中阴影部分(4y =2和y=x 所围城的部分)面积
的过程:
○1利用计算器或计算机产生两组01区间的均匀随机数，1
,;a RAND b RAND ==○2进行平移和伸缩变换:()110.5,;
a a m
b b m =-*=* ○3数出落在阴影部分内的样本点数1N ,用几何概型公式计
算阴影部分的面积.上述过程中m = ，若做N
次试验，模拟得到落在阴影部分内样本点数为1N ，则阴影部分面积近似的值S ≈ .
12、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间
为40秒，当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少？
（1）红灯（2）绿灯（3）不是红灯
13、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，
现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？。