软件2010组合数学第五章生成函数三

xk (1 x)(1 x 2 ) (1 x k )
若 n k ，则 B(n, k ) 0 ，因此当 n 0,1,2, k 1 ，它 们对应的生成函数的系数为零，所以
n n B ( n , k ) x B ( n , k ) x nk n 0
1 n B ( n ) x k 2 k (1 x)(1 x ) (1 x ) n 0
其中展开式中 的系数即为n的最大分项不超过k的分拆个 数。
5
（2） 根据定理 3.6.3知，将n分拆为k个分部（每一分部的大 小不受限制）的分拆数等于将n分拆为最大分部为k（分部 个数不限）的分拆数，其分拆数相当于求方程
1) 不同构的有n 条边的种植树(planted tree) 的棵数是Catalan 数Cn 。 2) 有n 片树叶的有序三度根树的个数是Catalan 数Cn-1。 3) n 个顶点的不同二元树的个数是Catalan 数Cn。二元树的定义: 空 集或一组有限个顶点, 满足: ① 有一个特定的点称作“根点”; ② 去 掉这个根点后, 余下的顶点组成两支子二元树: 左子树与右子树。 4) 从点(0, 0) 到点(n+ 1, n+ 1), 除端点外与对角线不相交的( 在对角线 一侧的) 非降路径数是Catalan 数Cn。 5) 2n 个均匀分布在一个圆周上, 用n 条不相交的弦将这2n 个点配成n 对,则不同的配对方式数是Catalan 数Cn。 6) n 个1 和n 个0 组成一2n 位的二进制数, 要求从左到右扫描,1 的累计 数不小于0 的累计数, 满足这一条件的2n 位的二进制数的个数是Cn
(1)
(2) (3)
1 Bk (n) x (1 x)(1 x 2 ) (1 x k ) n 0
n
k x n B ( n , k ) x 2 k ( 1 x )( 1 x ) ( 1 x ) n 0

1 B(n)x 2 k ( 1 x )( 1 x ) ( 1 x ) n 0
显然所求为 x 的系数，为7，说明贴出6角面值的方案有7种。具体为：
6
6= 1 + 1 + 1 + 1，6 = 2 + 2 + 2，6 = 2 + 2 + 1 + 1， 6=2 + 1 + 1 + 1 + 1，6=3 + 3， 6=3 + 2 + 1，6=3 + 1 + 1 + 1.
例5.5.1中，若考虑不同面值贴的顺序，则有多少种方案。此问题留作习题
17
1 1 4x 因为 h0 0 ，开方应该取负号，故舍去 Gx 2
1 2n , 称为第k个Catalan数，用Cn表示，有 一般地，我们把 hn1 n 1 n
1 2k 2 Ck 1 , k k 1
h(n) h(k )h(n k ).
k 1
n 1
这正是Catalan数列的通项公式。
14
Ak+1 Ak R2 T
Ak+2
R1
A1
An+1
15
那么如何求 h(n) ,本节用 hn 的生成函数 G ( x) 来计算。
Gx h1 x h2 x 2 hk x k
G 2 x hi x i hi x i hi h j x i j
i 1 i 1 i 1 j 1

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 1

x k hi hk i hk x k
k 2 i 1 k 2
k 1
hk x k x G x x
n
4

（1）
Bk (n) 等于不定方程
1 x1 2 x2 k xk n
的非负整数解的个数。因此其分拆数列的生成函数为
(1 x x2 )(1 x2 ( x2 )2 ) (1 x3 ( x3 )2 ) (1 xk ( xk )2 ( xk )3 )
11
§5.4 Catalan数列的生成函数

§5.4.1 Catalan数列的生成函数


Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不 同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常 出现在组合计数问题中。 定义:一个凸n+1 边形，通过不相交于n+1边形内部 的对角线把n +1边形拆分成的三角形个数，记作hn 称为Catalan数.
§5.5.1 有序分拆
定理5.5.1 对于n的k有序分拆
n n1 n2 nk , 1 ni ri ,
k
k 1 i 1,2,, k
其k有序分拆数数列 的生成函数是
ri j x ( x x 2 x r1 )( x x 2 x r2 ) ( x x 2 x rk ) i 1 j 1
19
Catalan数列的应用
7) 在两个候选人A 和B 的投票选举中, 共有2n 个人投票, 最终结果是支持A 和B 票数都是n 票。在开票过程中始终使A 的票数不少于B 的票数的投票 方案数是Catalan 数Cn。 8) 有2n 个人在剧院票房门前准备买票入场。每张票价是50 美分, 而且此时 票房售票员没有零钱。这2n 个人恰好有n 个人有50 美分的钱, 其余n 个人 只有1 美元的钱。如果在任何时候售票员都能找开零钱的2n 个人的排列 方法数是Catalan 数Cn 。 9) 有2n 个高低不同的人, 排成两行, 使得第一排n 个人都比第二排n 个人高 的排列方法数是Catalan 数Cn。 10) 设a1, a2, ⋯, an 与b1, b2, ⋯, bn 是两个完全不同的序列, 则把这两个序列融 合在一起组成一个新的序列，使得后一个序列与前一个序列相对应的数 始终排在前一个序列数后面的排列的个数是Catalan 数。
这个定理等价于如下分配模型：即把n个相同的球放入k 个不同的盒子里，第i个盒的容量为 ri ，且使每盒非 空的方案数为 k ri j x i 1 j 1
1

推论5.5.1 若对n的k有序分拆的各分量 ( 1 ri ) 没有 限制，则其k有序分拆数数列 的生成函数是 p (n) k k ， x 且 n 1 pk (n) k 1 1 x

1 1 4 x 1 1 1 2k 2 k 1 2k 2 k G x x x 2 2 2 k 1 k k 1 k 1 k k 1
1 2n 2 显然一个凸n+1边形中有 种不同的剖分方法。 n n 1
数数列的生成函数，因此结论成立.
9
例 5.5.1 用1角、2角、3角的邮票贴出面值6角，求有多少种不 同的方案？ 解 这是可重复的无序分拆，相应的生成函数为 G ( x) (1 x x 2 )(1 x 2 x 4 )(1 x3 x 6 )
1 1 1 1 2 3 1 x 1 x 1 x 1 x x 2 x 4 x5 x 6 1 x 2 x 2 3x3 4 x 4 5 x5 7 x 6
对于Ck-1和Ck的形式我们并不陌生，例3.4.6的结论是从（0，0）点到
如果用Catalan数表示就是，从（0，0）点到（n , n）点的除端点外不 接触直线y = x的路径数为 2Cn 1 ，从（0，0）点到（n , n）点的除 端点外不穿过直线y = x的路径数为 2Cn 。
18
Catalan数列的应用
10
§5.4 Catalan数列的生成函数

§5.4.1 Catalan数列的生成函数


Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不 同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常 出现在组合计数问题中。 定义:一个凸n+1 边形，通过不相交于n+1边形内部 的对角线把n +1边形拆分成的三角形个数，记作hn 称为Catalan数.

8
推论5.5.2 n 的各分部量两两互不相同的分拆数等于 n的 各分部量是奇数的分拆数。 证明 n的各分部量两两互不相同的分拆数的生成函数为
2 4 6 2n 1 x 1 x 1 x 1 x j ( 1 x ) 2 3 n 1 x 1 x 1 x 1 x j 1 1 1 1 1 3 5 2 j 1 1 x 1 x 1 x 1 x j 1 1 而 显然是n的各分部量是奇数的分拆 2 j 1 1 x j 1
12
例如五边形有如下五种拆分方案，所以h4=5
例5.4.1 在一个凸n+1边形中，可以用(n-3)条不在内部相交 的对角线将其剖分成(n-2)个三角形，问有多少种不同的分法？
13
解 令 h(n) 表示将一个凸(n+1)边形剖为三角形的方法数，规定 h(0) 0, h(1) 1 。 当n = 2时，(n+1)边形就是三角形，不需剖分，故 h(2) 1 当 n 3 考虑一个凸(n+1)边形，它的顶点分别用 A1 , A2 ,, An1 表示，如图5.4.1所示。取边 A1 An1，任取顶点 Ak 1 (k 1,2,, n 1) 将 Ak 1 分别与 A1 , An 1 之间连线，得三角形T，三角形T将凸 (n+1)边形分成 T，R 1和R 2 三部分，其中， R 1为(k+1)边形 ， R 2为(n-k+1)边形。因此，R 1可以用 h(k ) 种方法剖分，R 2 可以用 h(n k ) 种方法剖分，所以
7
（3）
Bk (n) 等于不定方程
1 x1 2 x2 k xk n
的非负整数解的个数。因此其分拆数列的生成函数为
n B ( n ) x n 0
(1 x x 2 )(1 x 2 ( x 2 ) 2 ) (1 x j ( x j ) 2 ) 1 j j 1 1 x
1 2k Ck k 1 k
2 2n 从(0,0)点到（n , n）点的除端点外不穿过直线y = x 的路径数为 n 1 n
2n 2 , （n , n）点的除端点外不接触直线y = x的路径数为 2 n n 1
k 1
解 G x Gx x 0
2
1 1 4x 得 Gx 2
16
利用牛顿二项式定理，有
11 1 1 k 1 2 2 2 (4) k x k 1 4x 1 k! k 1 2 2k 2 k 1 x . k k 1 k 1
2
§5.5.2 无序分拆

在3.6节中可知无序分拆和有序分拆的区别在于是否考 虑分拆后的各分量的顺序， 将n分拆为k个分部（每一分部的大小不受限制）的分 拆数等于将n分拆为最大分部为k（分部个数不限）的 分拆数，该分拆数也记为 B ( n, k )
3
定理5.5.2 令B(n)表示正整数 的所有分拆数， Bk(n)表示 n的各分部量都不超过 k的分拆数，则它们相应的生成 函数分别为
xk n B ( n , k ) x 2 k (1 x)(1 x ) (1 x ) n k
6
其中展开式中 的系数即为n的最大分项等于k的分拆个数 容易证明：B(n, k ) Bk (n) Bk 1 (n) ，因此
n n B ( n , k ) x ( B ( n ) B ( n )) x k k 1 n 0 n 0 k 1 1 1 i i 1 x 1 x i 1 i 1 k
1x1 2 x2 kxk n xi 0, i 1,2,, k 1, xk 1
的整数解的个数，其生成函数为
( x x2 )(x2 ( x2 )2 ) ( x3 ( x3 )2 ) ( xk ( xk )2 ( xk )3 )