傅里叶变换和拉普拉斯变换

at 还有一些信号，例如单边增长的指数信号 e U t a 0 等，则根本就不存在傅里叶变换。
另外，在求傅里叶反变换时，需要求 从 到 区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至 是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。 利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利 用别的方法，例如时域经典法。 由于上述几个原因， 从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。 所以， 当今在研究线性系统问题时， 拉普拉斯变换仍是主要工具之一。 实际上，信号 f t 总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号 f t 接入系统的时刻作为 t 0 的时刻(称
(5-4b)
二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
t 当函数 f t 不满足绝对可积条件时，可采取给 f t 乘以因子 e （ 为任意实常数)的办法，这样即得到一
t 个新的时间函数 f t e 。今若能根据函数 f t 的具体性质，恰当地选取 的值，从而使当 t 时，函
拉普拉斯变换（Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。 对一个实变量函数作拉普拉斯变 换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在 实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有 效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的 分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。 引入拉普拉斯变换的一个主要优点， 是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。 这就为采用直
观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图） 、分析控制系统的运动过程 （见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法） ，以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 拉普拉斯变换在工程学上的应用： 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程， 可以将微分方程化为代数 方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域 （s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数 f t 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。
0 0

j j Ims
左 半 开 平 面 0 右 半 开 平 面
s 平面
由此式可见， 欲使 F s 存在， 则必须使 f t e 满足条件
t
收 敛 域
lim f t e t 0 0 t
Res
t 数 f t e 0 ，即满足条件
lim f t e t 0
t
t
t ；则函数 f t e 即满足绝对可积条件了，因而它的
傅里叶变换一定存在。可见因子 e
t 起着使函数 f t 收敛的作用，故称 e 为收敛因子。
t 设函数 f t e 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ 的值来达到)，则根据式(5-3)有
三、复频率平面
以复频率 s j 的实部 和虚部 j 为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称 s 平面，如图 5-1 所示。复频率平面(即 s 平面)上有三个区域： j 轴以左的区域为左半开平面； j 轴以右的 区域为右半开平面； j 轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将 s 平面划分为这 样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。
我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1) 为起始时刻)， 那么， 在 t＜0 的时间内即有 f t =0。
即可改写为
F j f t e jt dt
0

(5-3) ；式(5-3)中的积分下限取为 0 ，是考虑到在 t 0 的

时刻 f t 中有可能包含有冲激函数 t 。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是 )，
四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域
t t 上面已经指出，当函数 f t 乘以收敛因子 e 后，所得新的时间函数 f t e 便有可能满足绝对可积条件。
但是否一定满足，则还要视 f t 的性质与 值的相对关系而定。下面就来说明
这个问题。因
j

F s f t e st dt f t e t e jt dt
不过此时要在公式后面标以 t＞0，意即只有在 t＞0 时 f t 才有定义，即 t＞0 (5-4a)
f t
1 2



F j e jt d
或用单位阶跃函数 U t 加以限制而写成下式，即
1 f t 2



F j e jt d U t
F j f t e st dt
0

；由于上式中的积分变量为 t，故积分结果

F s f t e st dt F j F s 0 必为复变量 s 的函数，故应将 改写为 ，即
(5-5)
复变量函数 F s 称为时间函数 f t 的单边拉普拉斯变换。 F s 称为 f t 的像函数， f t 称为 F s 的原函 数。一般记为
t
f t
1 2



F s et e jt d
1 2



F s e j t d
1 2



F s e st d
(5-6)
由于式(5-6)中被积函数是 F s ，而积分变量却是实变量 。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因
傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义
傅里叶变换（Transformé e de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、 声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是 将信号分解成幅值分量和频率分量） 。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分
即
F j f t e jt dt


(正变换) (5.1) ，
f t
1 2



F j e jt d
(反变换)
(5.2)
但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号 U t ，斜变信号 tU t ，单边正弦信号
sin tU t 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。
s j ，故 ds d jd (因 为任意实常数)故
d
1 ds j ；
且当 时， s j ；当 时， s j 。将以上这些关系代入式(5-6)即得
f t
1 2j

j
j
F s e st ds
t 0 (5-7a)，写成
1 j f t F s e st dsU t 2j j
(5-7b)
一般记为 f t L1 F s 式(5-7b)称为拉普拉斯反变换， 可从已知的像函数 F s 求与之对应的原函数 f t 。
符号 L
1
也为一算子，表示对括号内的像函数 F s 进行拉普拉斯反变换。
f t F s 或 F s f t

式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为
F s f t e st dt f t 若 不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为( )，即 (5-8)
式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边 拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。 由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即 f t F j 而拉普拉斯变 换则是建立了信号的时域与复频域之间的关 L f t ；符号 L1 为一算子，表示对括号内的时间函数 f t 进行拉普拉斯变换。
f t e t 1 2
利用式(5-4)可推导出求 F s 反变换的公式，即
t



F s e jt d
对上式等号两边同乘以 e ，并考虑到 e 不是 的函数而可置于积分号内。于是得
的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变 换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信 号可以看作是一个个小信号的叠加， 从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号， 将信号这么分解后有 助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每 一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠 加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有 固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频 率值） ，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ， 频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式； 逆傅里叶变换恰好相反。 这都是 一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量 的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域） 与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波， 可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每 个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个 正弦波之间的相位。 傅立叶变换用于信号的频率域分析， 一般我们把电信号描述成时间域的数学模型， 而数字信号处理对信 号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、 相位、 频率的基本正弦 （余弦） 信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的 频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根 据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。