圆锥曲线与方程练习题7套(含答案)

圆锥曲线与方程练习题7套(含答案)

双基限时练(九)

1．命题“曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是( )

A．方程f(x，y)＝0的曲线是

B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是

．f(x，y)＝0是曲线的方程

D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上

解析由题设知曲线与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确．

答案 B

2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是( )

A．y＝x与y＝x2

B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0

．y＝1x与xy＝1

D．y＝lgx2与y＝2lgx

解析易知A，B，D中两方程不是同一曲线，中两方程表示的是同一曲线，故应选.

答案

3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( ) A．两个点B．四个点

．两条直线 D．四条直线

解析由方程⇔x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)．

答案 B

4．已知0≤α≤2π，点P(sα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )

A.π3

B.5π3

.π3或5π3 D.π3或π6

解析依题意有(sα－2)2＋sin2α＝3，化简得sα＝12，又0≤α≤2π，∴α＝π3或5π3，故选.

答案

5．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是( )

A．(1,1) B．(－1，－1)

．(1,1)和(－1，－1) D．(0,0)

解析x－y＝0，xy＝1⇒x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.

∴直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)．

答案

6．方程y＝|x|x2表示的曲线是( )

解析y＝|x|x2＝1x x>0，－1x

x<0，且y>0，还是偶函数，故应选D.

答案 D

7．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k 的取值范围是________．

解析依题意，知a2＝a(－a)＋2a＋k，

∴k＝2a2－2a＝2(a－12)2－12.

∵a∈R，∴k≥－12.

答案[－12，＋∞)

8.

如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，P⊥y 轴，垂足为，点N与点P关于x轴对称，且P→•N→＝4，则动点P的轨迹方程为________．

解析依题意可知(0，y)，N(x，－y)，

∴P→＝(x，y)，N→＝(x，－2y)．

由P→•N→＝4，得x2－2y2＝4，这就是点P的轨迹方程．

答案x2－2y2＝4

9．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是________________．

解析设PQ的中点(x，y)，P(x0，y0)，则x＝x0＋02，y＝y0－12，

又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2x20＋1，

即2y＋1＝2(2x)2＋1，∴y＝4x2.

即y＝4x2为所求的轨迹方程．

答案y＝4x2

10．已知定点A，B，且AB＝2a(a>0)，如果动点P 到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程．

解以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(－a,0)，B(a,0)．

设点P的坐标为(x，y)，由题意得|PA||PB|＝2，即x＋a2＋y2x－a2＋y2＝2.

化简整理得3x2－10ax＋3y2＋3a2＝0.

即(x－53a)2＋y2＝169a2(a>0)为所求的轨迹方程．11．如图所示，从曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x ＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．解设P点的坐标为(x，y)，曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N的坐标为(2x－x0,2y －y0)．

又点N在直线l上，

即x0＋y0＝2x＋2y－2.①

又QN⊥l，∴kQN＝2y－y0－y02x－x0－x0＝1

即x0－y0＝x－y.②

由①②得

x0＝12(3x＋y－2)，

y0＝12(x＋3y－2)．

又因为点Q在曲线上，

∴14(3x＋y－2)2－14(x＋3y－2)2＝1.

化简整理得

(x－12)2－(y－12)2＝12.

故线段QN的中点P的轨迹方程为

(x－12)2－(y－12)2＝12.

12．已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|A|＝2|B|，求证：点的轨迹方程为x－432＋y＋132＝89.

证明设点的坐标为(x，y)，由两点间距离公式，得

|A|＝x－02＋y－12，

|B|＝x－12＋y－02.

∵|A|＝2|B|，

∴x－02＋y－12

＝2x－12＋y－02.

两边平方，并整理得

3x2＋3y2＋2y－8x＋3＝0.

即x－432＋y＋132＝89.①

∴轨迹上每一点的坐标都是方程①的解．

设1(x1，y1)是方程①的解，

则x1－432＋y1＋132＝89，

即3x21＋3y21－8x1＋2y1＋3＝0.

|1A|＝x1－02＋y1－12

＝x21＋y21－2y1＋1

＝x21＋y21＋3x21＋3y21－8x1＋3＋1

＝2x1－12＋y1－02＝2|1B|.

即1(x1，y1)在符合条件的曲线上．

综上可知，点的轨迹方程为x－432＋y＋132＝89.