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江西理工大学

2010(±)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答

一、填空题(每小题3分，共15分)

1,设总体X和丫相互独立,且都服从正态分布N(0, 32),而(X P X2---,X9)和(片卫…,匕)是分

x +・・・+x

别来自X和丫的样本，则u= '9服从的分布是________ •

膚+…+*

解："9)・

2,设&与玄都是总体未知参数0的估计，且&比玄有效，则a与玄的期望与方差满足一

解：E(^)=E(4), w,)< w2)・

3,“两个总体相等性检验”的方法有____ 一与_______ •

解：秩和检验、游程总数检验.

4,单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是______ ・

解：正态性、方差齐性、独立性.

5,多元线性回归模型丫二邓+ W屮，B的最小二乘估计是P二_______ •

解：B yxf XY ・

二、单项选择题(每小题3分，共15分)

1,设(X|,X2，・・・，X”)Gn2)为来自总体N(0,l)的一个样本，乂为样本均值，S?为样本方差，则D

(A) nX□ N(0,1) ；(B) H S20/2(H)；

(C) 乂口心)；(D) □F(1,TI-1).

/=2

2,若总体X 口N(“，(T?),其屮er?已知，当置信度1-Q保持不变时，如果样本容量农增大，则“的

置信区间B

(A)长度变大；(B)长度变小；(C)长度不变；(D)前述都有可能.

3,在假设检验中，分别用0表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量〃一定时，下列

说法屮正确的是_£_・

(A) G减小时0也减小; (B) Q增大吋0也增大;

4, 对于单因素试验方差分析的数学模型，设S 7•为总离差平方和，S,,为误差平方和，S A 为效应平方

5, 在-元回归分析中，判定系数定义为宀沽则

三、（本题10分）设总体XDN （M ，C /）、庆），（XpX?,…,和（乙,蛉,・・・,/）分别

是来自X 和y 的样本，且两个样本相互独立，X. P 和S ；、S ：分别是它们的样本均值和样本方差，证明

其中 $2 二（®T ）S ：+（〃2 j ）S ： 、 ① q +佝_ 2

证明：易知

由定理可知

由独立性和X 2分布的可加性可得

b

CT

由［/与U 得独立性和t 分布的定义可得

（元-力-仙 -〃2）_

〜

"（+ 2）.

JV /（q + $ _ 2）

“

和，则总有__A__ .

(A) Sy = S« + ；

(C) S"-1) s e /(n-r)

□ F(r -1,77-r)；

（B ） 2□才2（厂

j ）；

（D ） S A 与S.相互独

（A ） 接近0时回归效果显著; （B ） 接近1时回归效果显著; （C ） 接近OO 时冋归效果显著;

（D ）前述都不对.

X-YD

2

(7

、

，芍晋0

叫）.

1),

cr

1).

cr

v =(72,-l)S^+(n 2-l)S^a

力2(厲+$一2).

—c ° x 〉0

四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为f （x ） = lo ' ，其屮未知参数&>0,

0, 其它

（X|,X2,…，X”）为取自总体的一个样本，求&的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量.

=X •

(2) E(0) = E (X) = - V E(X Z ) = E(X) = 0,所以该估计量是无偏估计.

五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为/（x;0） = （l + 0）/Ovxvl,其中未知参数&>—1,

（X,,X 2,---X w ）是来自总体X 的一个样本，试求参数&的极大似然估计. 解：

n

厶⑹=（& + 1）〃（屮代°<叮1

0 , 其它

0 = -\-

E ln%/ /=!

六、（本题10分）设总体X 的密度函数为/（x ；2） = P e 巴

为总体的-个样本，证孵硝的-个映E.

证明：由指数分布的总体满足正则条件可得

+的的无偏估计方差的"下界为

解：(1) Vj = £* (X) = j xf(x)cbc

讣一—,用心纠汰代替'所以

当0

讥⑹“ng +吆毗，令讐L 冷+ £叶。，得 r > Q* '未知参数2>0,(X P X 2<--XJ

x<0,

ia )= -E 各n/M)二岸

另一方面

E （X ） = 1/2 , Var （乂）=丄，

即乂得方差达到C-R 下界，故文是丄的UMVUE.

A

七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重，得 其样本标准差为S = 0.007公斤，试问：（1）在显著性水平a = 0.05T,可否认为该批苹果重量标准差达到 要求？ （2）如果调整显著性水平4 = 0.025,结果会怎样？

参考数据:滋。25⑼= 19.023, Xao5(9) = 16.919, %^5(8) = 17.535, 心⑻= 15.507.

P (X 2 > 总(8)) = 0.005,3 加⑻=15.507 ,

Xx （） （）072

具体计算得：宀丽产皿.68>"7,所以拒绝假设仏，即认为苹果重量标准差指标未达到要 求.

Xx() ()072

(2)新设 H.:(y 2 < 0.005, rtlZo.()25 = 17-535, =>^2=—— =15.68 < 17.535,则接受假设,

0 *00^5

即对以认为苹果重量标准差指标达到要求.

八. （本题io 分）已知两个总体x 与y 独立，冷“2,未知,

（X,,X 2,...,XJ 和（冷匕,…，打）分别是来自X 和Y 的样本，求终的置信度为1-G 的置信区间.

■ 6

解：设S ；, S ；分别表示总体X, 丫的样本方差，由抽样分布定理可知

巧

由F 分布的定义可得

对于置信度\-a .査F 分布表找你/2（耳一1，2 一 1）和件仙2（4 7〃2 一 1）使得

解：(1) //0:(T 2

< 0.005,才=

S ；）S 〜才（8）,则应有:

[(in 2

nl(A)