单电子原子
量子力学中的单电子原子
量子力学中的单电子原子量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它在解释原子和分子行为以及宏观物体的粒子性和波动性时起着至关重要的作用。
在量子力学中，对于单电子原子的研究具有重要意义。
本文将介绍单电子原子的量子力学模型、电子能级结构以及与之相关的实验现象。
1. 量子力学模型量子力学中的电子在原子中呈现出粒子性和波动性，因此需要通过波函数来描述其运动状态。
对于单电子原子而言，其波函数可以用薛定谔方程来表示。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
2. 电子能级结构根据量子力学的理论，单电子原子的能级是分立的，即只允许取特定的能量值。
这些能量值对应着电子在不同轨道上的分布情况。
根据波函数的性质，可以得到不同轨道上的电子密度分布图。
在单电子原子中，最重要的能级结构就是径向能级和角向能级。
径向能级主要由原子核与电子之间的库仑相互作用决定，而角向能级则与电子角动量有关。
3. 电子跃迁与光谱在单电子原子中，当电子跃迁从一个能级到另一个能级时，会产生辐射或吸收特定频率的光子。
这就是光谱现象。
根据电子跃迁的规则，可以解释原子光谱线的产生原因。
光谱分为发射光谱和吸收光谱两种情况，发射光谱是电子从高能级跃迁到低能级时释放能量产生的，而吸收光谱则是电子从低能级跃迁到高能级时吸收能量产生的。
4. 原子的稳定性量子力学模型可以解释为何电子能够稳定地停留在某一轨道上。
根据不确定性原理，不能同时准确确定电子的位置和动量，因此电子在原子中呈现出一定的不稳定性。
然而，由于量子力学描述了电子的波动性，波函数可以呈现出概率密度分布，因此电子在某一轨道上存在的概率较大，从而使得电子能够稳定地停留在该轨道上。
总结：量子力学中的单电子原子是研究原子结构和光谱现象的重要模型。
通过量子力学模型，我们可以理解电子能级结构、光谱现象以及原子的稳定性等问题。
量子力学的发展和应用，不仅深化了我们对微观世界的认识，也对物理学和化学等学科产生了深远的影响。
单电子原子体系的薛定谔方程及解
波尔半径
根据波尔原子模型，电子稳定地绕核运动，其圆周运动的向心力和电子与核 间的库仑引力大小数值相等，
即
mv 2 e2 = r 4πε 0 r 2
电子在稳定轨道上运动的能量E等于电子运动的动能和静电吸引的势能之和
mv 2 e2 e2 E= − =− 2 4πε 0 r 8πε 0 r
根据能量量子化条件，电子轨道运动角动量为
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（2）Θ(θ )方程的解
1 d dΘ m2 − sin θ + 2 Θ = l (l + 1)Θ sin θ dθ dθ sin θ
Θl , m(θ ) = CPl (cos θ )
m
(2l + 1)(l − m ! 2 C= 2(l + m !
2 2 h 2 n x n y n z2 E= ( 2 + 2 + 2) 8m a b c
1 2
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
一、人类对物质构成认识历史
（一）“五行”学说
西周（公元前1046年—公元前771年）
中 文
日 文
日曜日 月曜日 火曜日 水曜日 木曜日 金曜日 土曜日
2
薛定谔方程
∂ ∂ϕ ∂ 2ϕ 8π 2 µ Ze 2 1 ∂ 2 ∂ϕ 1 1 + 2 E + ϕ = 0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ h 4πε 0 r
卢瑟福, 卢瑟福 英国物理学家 （1）大部分射线可以穿透薄的金属薄，如入无人之境 (Ernest Rutherford, 1871—1937)
原子的能级结构与光谱特征
23
但原子实与氢原子核不同，价电子有相当的概率出现在原子实内部。所以平均而言，价 电子感受到的有效核电荷数不是 1，而是大于 1 的值，设为 Z*（>1） 。由此引起的能量降低 称为轨道贯穿。 相同的主量子数 n，角量子数 l 小的电子，出现在原子核附近的概率大，感受到的有效
∗ ∗ ∗ 核电荷数也越大，即 Z ns > Z np > Z nd > .... ，所以碱金属价电子的能级不仅与 n 有关，还显
M
M J 可能取值的个数。
在典型的 LS 耦合下，一个 给定的电子组态可能形成的各 个原子态的能量高低次序， 可以 用洪德 (F.Hund)提出的一个经 验法则来确定。 它的内容可陈述 如下： 图 2.2 2 3 PJ 光谱项及其分裂示意图 （1）对一给定的组态，能 量最低的原子态必定具有泡利 原理所允许的最大 S 值； (2)相同 S 值的状态中，L 值最大的态的能量最低； (c)在电子组态为(nl)v 的情形下，当价电子数 v＜(2l+1)，即不到半满支壳层时，一个 多重态中 J 值最小的状态其能量最低，这称为正常次序；而在 v＞(2l+1)时，即超过半满支 壳层的情形，J 值最大的状态其能量最低，这是倒转次序。 例 1、某原子的一个光谱项为 2 PJ ，试画出其能级图。
25
每个电子的状态仍用四个量子数（n，l，ml，ms）表征。电子在原子中的分布遵从下列 两个原理： 1、泡利不相容原理 在多电子原子中，不能有任何两个电子处于完全相同的状态， 亦即不可能具有相同的四个量子数。 因此，角量子数为 l 的支壳层上可以容纳的最多电子数为 N l = 2（2 l+1） ；当 n 给定时， l 的可能值为 0，1，2，….（n-1）共 n 个，所以，每一个壳层可以容纳的最多电子数目为
单电子原子结构
sin m
2C C ( m m ) cos m 2 i2D D ( m m ) sin m 2
② 定态能级假设；
1922年获诺贝尔奖
③能级间跃迁的频率条件。 局限性 ①用经典理论推出电子有固定轨道、确定的空间坐标 和速度 ② 人为引进量子条件，限制电子运动 ③只能解释H及类H原子，也解释不了原子的精细结构 不能自洽。对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的 光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解释 。
2、单电子原子Schrö dinger方程的球极坐标表示式
p 为了进行变数分离，便于直接 求解方程式，要进行直角坐标与球 极坐标之间的变换。
r
M
x r sin cos y r sin sin z r cos r x 2 y2 z2 2 2 2 2 2 2 2 x y z 1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin r sin 2 2
8
奥本海默
罗伯特· 奥本海默（J. Robert Oppenheimer）1904年 出生在纽约一个富裕家庭。由于家道中落，法西斯主义的 崛起，到他成为伯克莱加州大学物理学教授的时候，已经 是一个政治观念左倾激进的人了。 1942年，奥本海默入选一个物理学家团体，评估制造 原子弹的可能性。主持美国政府这个“曼哈顿计划”的戈 罗夫斯将军（Gen. Leslie R. Groves）深为奥本海默的思想 和才华所吸引，他不顾监督“曼哈顿计划”的一些安全官 员的反对，将奥本海默任命为洛斯· 阿拉莫斯实验室（the Los Alamos Scientific Laboratory）的主任。
高三复习-单电子原子是什么意思
单电子原子是什么意思
就是原子只由原子核和一个绕核旋转的电子组成的原子，如氢原子。
多电子原子有一个以上的电子。
从元素周期表可以看出，单电子原子只有氢元素，其他元素的都是多电子原子。
氢原子和类氢原子（如：氦离子、锂离子，铍离子）氢原子和类氢原子，称为单原子电子，是最简单的原子结构。
单原子分子是由一个原子就可以形成物质，一般来说只有稀有气体,因为他们在每周期的最后位置自身满足八电子（除He最外层为二电子结构）结构。
除稀有气体外，有些元素在特定条件下也能形成单原子分子，如原子氢。
04.1_单电子原子的光谱
Z *2 RA n2
RA (n / Z*)2
RA n*2
• 也可以用有效量子数n*=n-Δn表示
• Δn表示对量子数的修正值，也称作量子数 亏损
锂原子的光谱
实验测得的锂原子光谱线
按组合法则 将光谱线分类
每一个线系有一个共同的m*
%
1 RLi[ m *2
1 n *2
] % T (m) T (n)
每一条谱线都表示为光谱项的组合
如何将光谱线分类为不同的谱线系?
• 光谱线是原子在能级之间跃迁而产生的 • 因而光谱线的波数等于两相关的能级之差 • 这就是组合法则
%
RLi
[
1 m *2
1 n *2
]
%
%与 1 是性关系
RLi
RLi n *2
可用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图法进行拟合
%
RLi
1 m *2
1 n *2
11 1 1
1
49 36 25 16
9
§4.1 单电子原子的光谱
-e
r
• 4.1.1 单电子原子
+Ze
• 1．氢原子和类氢离子
• 核外只有1个电子，电子轨道运动的波函数可以求
得，原子状态由量子数n、l、ml描述
• 原子的能量由主量子数n决定；电子轨道运动角动
量由量子数l决定；电子轨道角动量在z方向的分量
有En确 定 12的(4e数20 )值2 (mh，ecc)22由Zn2量2 子n正数整m数l决rn定l
1
1
n *2
4
碱金属原子的4个光谱线系
• 主线系（Principal series） • np → 2s
p%n
RA (2 s )2
7单电子原子能级的精细结构ok
二、相对论效应产生的能量
Heisenberg的相对论修正
相对论的基本关系:
质能关系 E0 m0c2 E mc 2
2 能量动量关系 E 2 m0 c4 p2c2 2 动能 T E E0 E m0c 2 m0 c 4 p 2c 2 m0c 2
碱金属原子实的总角动量等于零，所以 价电子的角动量就等于原子的总角动量
碱金属原子的光谱是由其价电子能级间的跃迁引起的 由于其只有一个价电子，其跃迁选择定则与与氢原子相似
l 1；j 0， 1
碱金属原子的光谱项
碱金属原子处于基态时，价电子的量子数为ns
2 对于Li, Na, K n 2,3, 4, 基态谱项： 1/ 2 S
nP能级双层,nS单层 principle主线系 2 P3 2,1 2 2 S1 2
Na黄光：2 P3 2,1 2 3 2S1 2 3
s
p
锐线系
锐线系：亦称第二辅线系。每条谱线也是由两条精细结构成 分组成，但两成分的间隔是固定的，不随谱线的波数而变化， 因此锐线系有两个线系限。
等间隔 S1 2 P3 2,1 2 : sharp锐线系
单电子原子光谱的精细结构
氢原子光谱的赖曼系谱线是双线结构
巴耳末系Hα第一谱线双线结构(包含更精细结构)
碱金属光谱的每条线都由二或三条谱线组成
单电子跃迁的选择定则
只有当处态和末态的量子数满足：
l l l 1 j j j 0, 1 j 0 j 0跃迁是不允许的
p 2c 2 p2 m0 c 2 ( 1 2 4 1) m0 c 2 ( 1 2 2 1) m0 c m0 c
第二章 原子的结构和性质2.3-2.4
作图方法主要包括：
函数-变量对画图 等值面（线）图 界面图 网格图 黑点图
有些图形只能用某一种方式来画, 有些图形则可 能用几种不同方式来画。作图对象与作图方法结合 起来, 产生了错综复杂的许多种图形。
采用列表的形式, 可使这种关系变得一目了然。
2.3 原子轨道和电子云的图形表示
波函数 ( ，原子轨道) 电子云 ( ||2 ，概率密度)
当n相同，l不同时， l越 大，主峰离核越近； l越小 峰越多，而且第一个峰离 核越近，俗称钻得越深。 钻穿效应
2.3.2 原子轨道 和电子云 ||2 的角度分布
角度分布是以角度波函数 Y ,m ( , ) 在球坐标系中对 θ、角作图，其做法是在坐标系中，选原子核作为 坐标原点，在每一个(θ, )方向上引一条直线，取长 度为|Y|的线段，将这些线段的端点连接起来，在空 间形成一个曲面，根据 Y值的大小标明正负号。若 取直线的长度为|Y|2，所以直线端点构成的曲面称 为电子云 的角2 度分布。
毋庸置疑, Rydberg原子一定是个大胖子. 事实上, 它的半径 大约相当于基态原子的十万倍! 这样一个胖原子, 即使受到微弱 的电场或磁场作用, 也会显著变形.
由于 Yl,m (q ,f )只与角量子数 l 和磁量子数m有关，而 与主量子数n无关，因此 l,m 相同的状态，其原子轨 道的角度分布图都相同。如2pz, 3pz, 4pz角度部分图 形都完全相同。
原子轨道ψ的角度分布
s 00
1
4
对s-型轨道而言，只
与r有关，没有角度依赖
+
性，所以从原点到曲线
数的形式。
5. 磁量子数及角动量在磁场方向的分量
角动量在Z方向(磁场方向)的分量Lz的算符 作用于单电子原子波函数ψ，得：
第13-15讲 单电子原子的解1
第13-15讲 单电子原子的薛定谔方程及其解氢原子是结构最简单的原子，因为它核外只有一个电子。
同样，+He ，,2+Li +3Be 等离子，其核外也只有一个电子。
这一类核外只有一个电子的离子，即单电子离子，被称为类氢离子，其核电荷数用Z 表示。
它们的共同特点是不存在电子和电子之间复杂的相互作用，因而在数学上可以做到严格求解其定态薛定谔方程。
（一） 方程的建立 类氢离子有一个原子核（电荷为+Ze ，质量为M ）核一个核外电子（电荷为-e ，质量为m ），原子核核电子之间的距离为r （见图2-1-1）。
由于原子核的质量比电子大的多，即M=1836.1m ，于是我们可以把体系的坐标原点放在原子核上，并把核看不动。
这样氢原子核类氢离子的 量子力学问题就成为求解一个单电子运动的薛定谔方程：ϕϕπεE rZe m =-∇-]42[0222 (2-1-1)其中第一项(222∇-m )是动能符,第二项-(rZe 024πε)是位能函0数，它代表电子和核的静电作用势，Z 是核电荷数，氢原子的Z=1.（2-1-1）式采用的是SI 制单位，位能项中0ε是真空介电常数，其值为8.85419×2121210---∙∙m N C 。
在厘米克秒制静电单位中，040≈πε，于是位能项就简化为)(2r Ze -，这就是在有些参考书的薛定谔方程中不出现04πε的原因。
描述三维空间中一个电子的运动状态需要用三个变量，为了分离方便，通常采用球极坐标的形式来描述电子运动。
将直角坐标变量x,y,z 变换成球极坐标变量r,θ,φ，变换关系是（见图2-1-1）θθcos sin r x =; φθsin sin r y =; θcos r z =2222z y x r ++=; ;cos 222z y x z ++=θ xy =φtan φθθτd drd r dxdydz d sin 2== (2-1-2) 0≤θ ≤π ; 0≤φ ≤2π 在球极坐标下，拉普拉斯算符为22222222sin 1sin sin 11φθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r 于是球极坐标中单电子原子的薛定谔方程是ψψπεθθθθθE rZe r r r r r r m =-Φ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-]4)sin 1sin sin 11(2[0222222222 (2-1-4)(二)方程的一般解1.方程的分离变量令),()(),,(φθφθψY r R r =,代入薛定谔方程中，并两边同乘以RYm r 222 -，并移项得:Y Y r Ze E mr r R r r R ]sin 1sin sin 1[1]4[2]1[22202222φθθθθπε∂∂+∂∂-=++∂∂∂∂ (2-1-5) 方程左边是r 的函数，右边是φ和θ的函数，要使（2-1-5）成为恒等式，左右边必须等于同一个常数。
print 第2章.原子的结构和性质
三个量子数n, l和m具有如下的关系
• 主量子数
n = 1, 2, 3, …, n;
• 角量子数
l = 0, 1, 2, …, n-1;
• 磁量子数
m= 0, ±1, ±2,…, ±l
每套量子数n, l和m决定一个波函数ψnlm的形式，即 决定了单电子原子体系的一种状态，因此简称为原子轨
道(AO, Atomic Orbital)。
• 两个径向节面，
3s
即n-l-1=2，所以n=3
§2.4 多电子原子的结构
2.4.1 多电子原子的Schrödinger方程
• 原子单位 atomic unit， a.u.
定核近似
r
2.4.1 多电子原子的Schrödinger方程
两个电子的 电子与原子核相互 两电子之间相互作 动能算符 作用的势能算符 用的势能算符
能级交错
2.4.1 多电子原子的Schrödinger方程
• 单电子波函数求 解结果与类氢粒 子波函数一样
n例：He原子基态
零级近似的计算结果：
实验值：
结论：零级近似的计算结果与实验值相差很大， 说明电子间的相互作用不可忽略。
2.4.2 单电子原子轨道能
和单电子波函数 Ψi 相应的能量 Ei
2. 由屏蔽常数近似计算原子轨道能
l 单电子原子的能级公式：
单电子原子的 能量E只与主量 子数n有关
1. 主量子数
• 能量量子化 • 能量为负，电子离
核无穷远时作为位 能的零点 • 简并度：在相同n 下，而l, m不同的 AO有n2个 例如，n=2时，空间波函数有
2. 角量子数 l：决定电子的原子轨道角动量的大小。
• 原子只要有角动量 也就有磁距
单原子电子
单原子电子
原子电子是一种微型电子电源，用于供应微小量的电流。
它可以替代传统的板载电池，重量轻、体积小。
原子电子出现的时候，很多电子产品的设计就有所改变，更加小巧精致，成为一种非常流行的元件。
原子电子的特点是电量小、效率高。
它的工作电压很低，只有几毫伏，只要给它提供一丝微弱的电流，就可以从中获得超过400毫安的输出电流，又能在电压200毫伏左右的范围内持续供电。
原子电子也有一定的缺点，它寿命比较短，其连接点容易损坏而且容易受到静电和磁场的影响，因此在设计中需要特别注意，否则会影响产品的性能和可靠性。
尽管有一定的缺点，原子电子仍然在电子行业中应用广泛，特别是在便携类电子设备中，比如智能手机、MP3播放器、数码相机、无线耳机等。
另外，原子电子也被广泛应用在耳机、手表、按键盘等小型电子设备中。
可以说，原子电子给电子行业带来了很大的变革，它不仅提高了电池的续航时间，也实现了电子设备体积和重量的精简。
因此，它不仅能够为商业市场提供更好的抗干扰和安全性能，也能为个人消费者提供更轻便的电子设备，提高了用户的操作体验。
单原子电子
单原子电子
单原子电子是一种非常新颖的电子物理研究领域，它包括一个单独的电子，通过光学系统把它放入量子环境中。
它极大地丰富了量子物理中的概念和研究，让我们有机会利用单个原子的特性来测试和探索宇宙中的本质特征。
近年来，单原子电子吸引了越来越多的科学家，因为它有可能用来制造由单个原子构成的纳米结构，目前被认为是未来计算机的构造块。
从单原子电子研究起步，科学家发现了一些新的物理现象，比如，电子在量子态下表现出强烈的量子隔离，这也是一个重要的发现，因为它改变了我们对于量子物理的认识和理解。
单原子电子的应用也很广泛，比如用来测量磁场的强度，可以使用单原子电子在磁场中的局域状态检测磁场的方向和强度。
此外，单原子电子也可以用来研究物质的基本本质，比如两个原子间的相互作用，它还可以用来研究量子态，包括量子纠缠、多体量子力学和量子信息学等。
单原子电子也有可能用来探索物质的基本本质，它可以检测和操纵物质的原子结构，如原子能级差，电子云结构等。
此外，它还可以用来研究新型材料的性质，如量子点材料、量子线材料等，以及新型能源的研究，如电化学能源、光伏能源等。
随着单原子电子研究的进展，这项技术对于纳米科技有着重要的意义。
未来，单原子电子可能将成为最小的“芯片”，由于它们可以体现出空间维度的精细控制，这可能会改变计算机的组成结构，使计
算机的性能大大提升。
综上所述，单原子电子研究将为我们提供新的技术和思想，比如可以改善计算机的性能，探索物质的本质，测量磁场的强度，以及研究新型材料和新型能源。
由于单原子电子在近几年受到科学家的高度关注，因此，我们期待着它将来会有更大的应用，帮助我们实现人类梦想。
单电子原子
5.3 角動量、磁矩、能階的精細構造5.3.1 軌角動量算機及其本徵值□ 軌角動量算機（orbital angular momentum operator ）軌角動量p r L ⨯=. 在量子力學裡∇⨯-=⨯=→r i p r L L ˆˆˆ.有三個分量：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=y z z y i L x ˆ, etc.. 不難證：φ∂∂-= i L zˆ, =++≡2222ˆˆˆˆz y x L L L L ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-2222sin 1sin sin 1φθθθθθ , 而[].,ˆˆˆˆˆˆ,ˆetc L i L L L L L L z x y y x y x =-≡ 因此，x L ˆ, y L ˆ, z L ˆ三者不能對易，意指角動量的三個分量不能同時測準（除非是遇到角動量為零的特殊情況）。
0ˆ,ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡L L z, 因此，角動量的大小與角動量的一個分量可同時測準。
比對上節知：()l l lm lm Y l l Y L 221ˆ +=，ll lm l lm z Y m Y L =ˆ。
因此2ˆL 與z L ˆ的本徵值各為()21 +l l 與 l m 。
給定一l ，可有12+l 個l m 。
□ 以向量模型（vector model ）顯示量子力學裡角動量的性質──角動量的大小與取向都是分立的，且沿z 軸「旋轉」:──z 軸方向乃由測量決定（例如外加磁場或電場）□ 又，[]0ˆ,ˆ=z L H , 0ˆ,ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡L H . 所以，z L L H ˆ,ˆ,ˆ2 三者有共同的本徵函l nlm ψ： l l nlm n nlm E H ψψ=ˆ, ()l l nlm nlm l l L ψψ221ˆ +=, ll nlm l nlm z m L ψψ =ˆ.5.3.2 儀角動量算機及其本徵值□ 儀角動量算機（spin angular momentum operator ） Stern-Gerlach 實驗已發現電子的「內稟雙態性」（intrinsic two-states ）。
第三章单电子原子
1 pl 2m
pl
dφ
r
e
l
31
e pl e l pl 2m 2m
由于电子带负电
pl
dφ
r
e
e l pl 2m
l
e e h lz plz ml ml B 2m 2m 2
32
he l l (l 1) l (l 1) B 4m he B ——波尔磁子 4m
总角量子数 j l s, l s 1, l s
波长（埃）
锂的光谱线系
7
每个线系的每一条光谱线的波数都可以表示为两个光谱 项之差：
R ~ ~ n Tm Tn n
2
等式右边的第一项是固定项，它决定线系限及电子 末态。第二项是动项，它决定电子初态。
~ ~ 实验上测量出 n 和
由
Tn 和 R
我们可以求得 n
R 则可求出 Tn 2 n *
外场方向投影：
lz l cos ml B
共
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
37
§3.5 电子自旋与轨道运动的相互作用
一、电子自旋 二、总角动量 三、电子自旋与轨道运动的相互作用 四、碱金属原子光谱精细结构
38
一
电子自旋角动量和自旋磁矩
荷兰的乌伦贝克和古德史密特提出了电子自旋的假设： 每个电子都具有自旋的特性。
15
例、 碱金属原子从基态的电离电势如下， Li为5.38V， Na为5.14V，K为4.33V。 试 计算出相应原子基态的谱项值，再算出 这些元素的主线系短波限的波长。
16
解、根据电离能公式：
单电子原子
Stern-Gerlach实验的解释
N Ag
S N
S
进入磁场的Ag原子受到力的作用
Ag的核外电子为（Kr）4d10 5s1
l
0,
s
1 2
,基态为2S1/2 ,
j
1 2
总角动量J的空间取向是量子化的
jz m jh mj j, j 1,L , j 1, j
Bz
1
11
j
2
,mj
, 2
2
μj
gj
6.1 原子的有效磁矩
• 原子中的核外电子，由于具有角动量，而产生磁 矩
• 电子由于绕原子核运动的角动量pl，产生轨道磁 矩μl
• 电矩子 磁由 矩于μs 自旋运动的自旋角动量ps，产生自旋磁 • 原子的轨道角动量、自旋角动量合成为原子的总
角动量 • 轨道磁矩、自旋磁矩合成为原子的总磁矩
原子的角动量与磁矩
j
B
z
μj
2
, jz
Z
总角动量增大， 原子能量增大
j
2
, jz
Z
总角动量减小， 原子能量减小
μj
磁矩与外磁场作用产生的附加能量 E μ j B
外磁场中原子能级的分裂
E μ j B
g e 2me
jB g eB 2me
jz
总角动量在磁 场方向的分量
jz M jh M j j, j 1,L j 1, j 磁量子数
μs ps
pj) pj )
pj
pp2jj
p
2 j
gj
e 2me
pj
gj
gl pl
pj
gs ps p2j
pj
pl p j
第二章 原子结构与性质
③ 电子填入顺序 基态原子: ns →(n–2)f→ (n–1)d→ np 价电子电离: np →ns→(n1)d → (n–2)f 徐光宪： 原子 (n+0.7l)， 离子(n+0.4l) 越大能级越高
28
ⅠA-ⅡA ⅠB-ⅡB
ⅢA-ⅧA ⅢB-Ⅷ
La系 Ac系
例:氩(Z=18)的电子组态 1s2 2s22p6 3s23p6 Fe (Z=26) Cu (Z=29)
轨道角动量与z轴的夹角
e m mμB 2. 磁矩在磁场方向的分量量子化: μz 2me
3. m决定磁场中轨道的空间方向，磁矩与外磁场的作用能
18
2.4 电子的自旋运动与泡利原理
一. 电子的自旋运动
19
●自旋角动量量子化
Ls s(s 1)
电子的自旋量子数 s ≡1/2
26
四. 原子核外电子的排布规则 1. Pauli不相容原理 2. 能量最低原理 3. Hund规则：简并轨道上全充满、半充满或全空较稳定 4. 原子的构造: ① 电子组态：确定每个电子的n,l ② 电子层：ns2到ns2np6构成一个能级组 4(N) 3(M) 2(L) 1 2 0 1 2 3 0 1 0 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 ±1 ±1 ±1 ±2 ±2 ±2 ±3 亚层轨道数 1 1 3 5 7 3 5 1 3 1 42 12 22 32 电子层轨道数 27 第n能层有n2个“轨道”，可以容纳2n2个电子 电子层 1(K) 角量子数l 0 电子亚层符号 1s 0 磁量子数m 可能取值
7
氢原子或类氢离子的轨道波函数举例 轨道 n
1s 2s
原子物理简介
r s1 ( s1 + 1) h , p s 2 =
r PS =
s 2 ( s 2 + 1) h
它们耦合的总角动量的大小由量子数S表示为：
S ( S + 1) h
⎧s1 > s2取2s2 + 1个值⎫ 当⎨ ⎬ s1 < s2取2s1 + 1个值⎭ ⎩
其量子数取值限定为：
s1 + s2 ; s1 + s2 −1L s1 − s2 PSz = mS h
右图是L-S耦合总能 2s3s 级和跃迁光谱图
1S 0
2s3s
1P 1
3S
1 3P 2,1,0
2s2p
2s2p
2s2
1S 0
例题3：求一个P电子和一个d电子（n1p n2d)可能 形成的原子态。 S= L=1 2 3 0
1 1 1
1
3 3 3
P 1 D2 F3
P0,1,2 D1,2,3 F2,3,4
ps
11 ( )1 22 11 ( )0 22
两个价电子p和s在jj耦合中形成的能级
注意:同一电子组态在j-j耦合和在L-S耦合中形成的原 子组态的数目是相同的,而且代表原子态的J值也是相同的, 所不同的是能级间隔,这反映几个相互作用强弱对比不同。
原子能级的类型实质上是原子内部几种相互作用强弱 不同的表现, L-S耦合和j-j耦合是两个极端情况,有些能级类 型介于二者之间,只有程度的差别,很难决然划分,j-j耦合一般 出现在高激发态和较重的原子中。
1 1
P 1 D2 F 3
S=0, 单一态
1
3
P0 P1 P2 D D D F F F
3 2 1 4 3 2
第1章 fx原子结构
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二、描述核外电子的运动状态
1．四个量子数的取值和意义 （1）主量子数n 取值：n=1、2、3……正整数 物理意义：a 表示电子层数。n是几为第几层， n越大，电子离核越远。 b 表示电子能层。n主要决定轨道或电子的 能量高低 （2） 角量子数l 取值： l =０、１、２、 ３……（ｎ-１）
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2．原子轨道和波函数、电子云和概率密 度 根据现代结构理论，核外电子的空间运 n ,l , m 动状态用波函数 来描述，习惯上称它 为原子轨道。 2 表示电子在核外某点上出现的概率 2 密度。电子云是概率密度 的图象或形 象化表示。 2 d d 表示电子在核外微体积元 内 出现的概率。
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四、核外电子排布和元素周期表 1．构造原理： 1s 2s2p 3s3p 4s3d4p 5s4d5p 6s4f5d6p 7s5f6d7p 8s5g6f7d8p …… 从ns到np为一个能级组，即1s为第1能级组； 2s2p为第2能级组……8s5g6f7d8p为第8能级 组。
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0 （3）磁量子数m 取值：m= ,1,2,3 l 物理意义：a 表示原子轨道或电子云在空间的 取向（或伸展方向）。m取几个值就有几个取向。 b 表示同一亚层中的不同轨道。m取几个值就 有几个轨道。 各亚层的轨道数为2l+1，又称简并轨道，简并度 =2l+1。各层的轨道数为n2。 1 （4）自旋量子数ms 取值：ms= 2 物理意义：描述电子的自旋运动状态。有顺时 针和逆时针两种，分别用↑和↓表示。一个轨道中 最多可容纳2个自旋相反的电子。
mV 4 10 3 kg 1.50 107 m s 1 6.02 10 23
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z
2. 角动量
e
角动量平方和角动量可能的取值：
角动量的取值是量子化的。
角动量 z 分量可能的取值：
角动量空间是量子化的。
例 求: l = 2 电子角动量的大小及空间取向 ？ L 的大小 z 磁量子数：ml = 0 , ±1 , ±2 L 在 Z 方向的投影
➢ l=1？
四. 电子的几率分布
单位体积中发现电子的几率为：
代表几率随角度的分布； 代表几率随矢径的分布；
因此，在(r, , f ) 附近、dt 内找到电子的几率为：
在全部空间中发现电子是必然的，有 球极坐标系中的体积元为
在全部空间中发现电子是必然的，有
1. 概率随φ，θ角的分布
几率密度的分布绕 Z 轴旋转对称。
2. 角向θ，φ分布概率
在( ~ +d, f ~ f +df )之间的圆锥
§4.1 量子力学对氢原子的描述
一. 氢原子的薛定谔方程
势能函数 定态薛定谔方程：
采用球坐标系：
分离变量：
径向方程 角方程
二. 方程求解
角方程
球谐 函 数
缔合勒襄德多项式
l0 m0 l 1 m0 l 1 m 1 l2 m0 l 2 m 1 l 2 m 2
P00 1
00
1 2
P10 cos
体的立体角内找到电子的几率为： 显然，其由角量子数 l 和磁量子数 m 的值决定。
(2 ~ )，φ是均匀的
3. 电子的径向分布概率
在离核 (r ~ r +dr) 处的球形壳层内发 现电子的几率:
0
r/a0
其由主量子数 n 和角量子数 l 的值决定。
例，氢原子处于基态时，求径向概率分布极大值的原子半径。
三、氢原子薛定谔方程解的总结 波函数
定态波函数：
能量和角动量
1. 能量
当 E > 0 时，对于E 的任何值，径向方程都有满足波函数条件的解， 即体系的能量有连续谱，相当于自由电子与H+离子结合为原子时释 放的能量。
当 E < 0 时，E 有分立谱，电子的状态是束缚态。
在求解径向方程的过程中，可以知道要让R有限，能量必须等于某 些值，即只有这些状态才能实现。
10
3 2
cos
P11 sin
P20
1 2
(3cos2
1)
P21 3sin cos
P22 3sin2
11
3 sin
4
20
5 (3cosБайду номын сангаас 1)
8
21
15 sin cos
4
22
15 sin 2
16
径向方程 (E<0情形)
且要求
关联拉盖尔多项式
n 1, l 0 n 2, l 0 n 2, l 1 n 3, l 0 n 3, l 1 n 3, l 2