第8讲_函数方程与函数迭代_福州一中__龚梅勇
高中数学竞赛专题讲座---函数方程与迭代
函数方程与迭代1.迭代法先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴55|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1nn na f x a xb a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;169)94()49()11(;49)61()16()11(;164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。
苏教版高中数学必修1第3章3.3.1从函数观点看一元二次方程课件
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6.(多选)关于函数y＝mx2－4x－m＋5的零点，以下说法正确的是
√A.当m＝0时，该函数只有一个零点 √B.当m＝1时，该函数只有一个零点
C.当m＝－1时，该函数没有零点 D.当m＝2时，该函数有两个零点
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跟踪训练2 若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)， B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2＋β2＝51，求p的值；
由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0， Δ＝(p－2)2＋84>0，所以方程有两个不同的实根，易知α，β为方程x2 ＋(p－2)x－21＝0的两个实根， 则αα＋ β＝β＝ －22－1，p， ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51， ∴(2－p)2＋42＝51， 解得p＝－1或p＝5. 即p的值为－1或5.
即5－4>0， 1－m－2×5＋4>0，
解得－241≤m＜－5， ∴实数 m 的取值范围是－241，－5.
反思感悟
二次函数的零点散布问题， 一般要结合二次函数图象以及根与 系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象， 得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点 指的是与方程的根比较大小的数) ，列出不等式组进行求解.
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2.函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是
A.－1 √B.1
C.－2
D.2
设方程ax2＋2ax＋c(a≠0)＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关 系得x1＋x2＝－2aa＝－2，所以方程的另一个根为1.
第8讲_函数方程与函数迭代_福州一中__龚梅勇
2011年协作体夏令营系列讲座(八)函数方程与函数迭代福州一中 龚梅勇许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐，其形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：（1）探求函数的解析式；（2）探求函数的值；（3）讨论函数的性质.本文主要讲解求函数解析式的几种常用方法.一. 知识与方法1. 函数方程的定义:含有未知函数的等式叫做函数方程.2. 函数方程的解:能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解.3. 解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程.4. 柯西函数方程的解定理:若()f x 是单调（或连续）函数且满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈, 则()(1)f x xf =.5. 定义：设()x f 是定义在D 上函数，记()0,fx x = ()()1,f x f x =()()()2f x f f x = ,, ()()1n n f x f f x -=，则称()n f x 是()x f 在D 上的n 次迭代。
讲座八参考答案 2011-7-22二．范例选讲1．代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.例1.(1)已知x f xx 2)1e 1e (=-+，求).(xf (2)已知32231311()32f x x x x x x x x-=+-+++-，求).(x f例1.解:(1)令1e 1e -+=x x y ，则11ln -+=y y x ，带入原方程得到11ln 2)(-+=y y y f，即为()1)f x x =>. (2)323232131111()32()()4f x x x x x x x x x x x x -=-+-+++=-+-+，故32()4()f x x x x R =++∈例2.设220,ab a b ≠≠,求1()()af x bf cx x+=的解. 例2.解：分别令1,x x t t==得11()()af bf t c t t+=（1） 1()()af t bf ctt+=（2）由（1），（2）组成方程组解得222()()()c at b f t a b t-=-即：222()()()c ax b f x a b x -=-例3.解函数方程x xx f x f +=-+1)1()(. 例3.解：令u u x 1-=，代入原式得11211u u f f u u u --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(1) u x -=11，代入原式得：()1211u f f u u u -⎛⎫+= ⎪--⎝⎭(2) 又：()11u f u f u u -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭(3)三个方程中仅含有()111u f u f f u u -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭、、∴由方程组(1)(2)(3)得()321()21u u f u u u --=-即：()()()3210,121x x f x x x x x --=≠≠-检验：11112111)1(21)1()(2323+=⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=-+x x x x x x x x x x x x x x x f x f所以{}1,0\,)1(21)(23R x x x x x x f ∈∀---=.经检验上式满足条件.注:事实上,对于函数方程)())(()()()(x c x f x b x f x a =+ϕ,其中(),(),a x b x (),()x c x ϕ为已知函数,如果存在一个N k ∈，使得x x k =)(ϕ(k 次迭代)，即可用上述的方法求解。
最新福建省高中数学新人教版必修一教案：1.3函数的性质及综合应用名师精编资料汇编
三维目标定向〖知识与技能〗进一步领会函数单调性和奇偶性的定义，并在此基础上，熟练应用定义判断和证明函数的单调性及奇偶性，初步学习单调性和奇偶性结合起来解决函数的有关问题。
〖过程与方法〗体会单调性和奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能力。
〖情感、态度与价值观〗体会转化化归及数形结合思想的应用，培养学生的逻辑思维能力。
教学重难点函数的单调性、奇偶性的灵活应用。
案例背景函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，知识内容可浅可深，问题涉及分类讨论、数形结合、探索性，仅用两课时只能作肤浅的介绍，学生掌握的也只是一些皮毛，不能很好地展示函数丰富的内涵。
但函数的问题既千姿百态，又有章可循，综合单调性与奇偶性的内容，可以设计出很多具有挑战性的问题，有利于培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，有利于创新思维和实践意识的发展。
因此我们设计了《函数的性质及综合应用》这一教学案例，预计用两课时，力图通过种类问题的探究，引导学生领略函数内容的精彩，加深对函数性质的深刻理解。
教学过程设计第一课时一、温故知新1、函数的单调性（概念、判断方法、应用——求函数的最值）；2、函数的奇偶性（概念、图象特征、判断方法）。
二、问题探究1、函数单调性、奇偶性的理解及性质的判定单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，对概念的理解要抓住关键词如“任意”“都有”“给定区间”等，同时要明确两者的区别：单调性是反映函数的局部性质，而奇偶性则反映的是函数的整体性质。
例1、已知f (x ) = ax 3 + bx – 4，若f (2) = 6，则f (– 2) = 。
例2、奇函数f (x )在),0[+∞∈x 时的表达式是f (x ) = x (1 – x )，则]0,(-∞∈x 时，f (x )的表达式为 。
练习：（1）已知f (x ) = ax 5 + bx 3 + cx + 2，若f (– 7) = 7，则f (7) = 。
数学竞赛专题讲座_第三讲_函数的方程与迭代
第三讲 函数的方程迭代大冶二中 纪德贵1、函数迭代定义和符号设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M)f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2)f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。
有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M)2、不定方程有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，91分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c1分给小儿子，并满足 A<b<c, a|n+1, b|n+1, c|n+1, (a 1+b 1+c1)(n+1)=n 问老人的马的匹数n 有多少种可能分法？显然就是求方程a 1+b 1+c 1=1 n n 满足条件a<b<c 且a|n+1, b|n+1, c|n+1的整数解的问题，像这样未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（例如有理数、整数、或正整数）的方程或方程组，就称为不定方程。
3、高斯函数[x]定义：[x]－表示不超过x 的最大整数，称[x]为高斯函数又叫取整函数，与它相伴随的是x 的小数部分函数y={x}, {x}=x －[x]。
图象：性质：① y=[x]的定义域为R ，值域为Z ，y={x}定义域为R ，值域为[0,1)，是周期函数。
y=[x] y={x}②对任意实数x ，有x －1<[x]≤[x]+1； ③[x]是不减函数，即当x ≤y 时，有[x]≤[y]； ④[x+m]=[x]+m ⇔m ∈Z ； ⑤对一切实数x,y 有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1, {x+y}≤{x}+{y}； ⑥ 若x ≥0, y ≥0，则[xy]≥[x]·[y]；⑦ [－x]=⎩⎨⎧---不是整数 为整数 x x x x 1][][ ⑧ 若n ∈N*, x ∈R ，则[nx]≥n[x]；⑨ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x ][，其中x ∈(0,+∞), n ∈N*； ⑩ 把n!中素数p 的最高次记为p(n!)，则p(n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2p n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k p n ，这里p k ≤n ≤p k+1； 取整函数[x]在18世纪为大数学家高斯采用以来，在数论和其他数学分支中有广泛的应用。
3.3.1 从函数观点看一元二次方程(教学课件)-高一数学(苏教版2019必修一)
Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0，
∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有两个不相等的实数根，即一定有实数根.
分层练习-拓展
14.(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，下列关于x1，
2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么
●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题?
新知探究
从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次
函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的
图象与x轴交点的横坐标.
－7＝0有两个不相等的实数根即可.
证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0.
因为 ∆＝32－4×2×(－7) ＝65＞0，
所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根.
因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点.
课本例题
例2
判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点.
y|
x＝－4＝8a＋1<0，
即a
1
∴a<－ ，
3
1
的取值范围是－∞，－3.
分层练习-巩固
1
0 或－
3
11.若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝___________.
解析
1
当 a＝0 时，由 y＝0 得－2x－1＝0，即 x＝－ ，符合题意；
北师大版高中数学必修1第四章《函数应用》方程的根与函数的零点
② 在区间(b,c)上______(有/无)零 点；ff((b2))·.ff((c1))_______0_（_＜_或＞0）（． ＜或＞）．
○2 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞）．
15
理论迁移
例1如果函数 f(x)ax2x1仅有一个零点， 求实数a的取值范围.
例２求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
16
归纳整理，整体认识：1、请学生回顾本节课所学 知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪 些；2、在本节课的学习过程中，还有哪些不太明 白的地方，请向老师提出。 布置作业： P102页练习第二题的（3）、（4） 小题。
思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是 什么？函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点 附近如何分布？
11
知识探究（二）：函数零点存在性原理
问题探究 思考 3：函数 y观＝f(察x)在函某数个区的间上图是象否一定有零点？ ①在区怎样间的(条a件,b下)，上函_数_y_＝_f_(x_)(一有定有/无零点)零？ 点； 探究:f(（aⅠ).）f(观b察)二_次__函_数_f0(x（) x＜2 或2x ＞3 的）图象．：
Ｃ. １
Ｄ.不确定
8
练习：求下列函数的零点： （1）y 2 x 8 ;（2）y2lo3gx .
9
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
10
知识探究（二）：函数零点存在性原理 思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布？
福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 三角函数专题复习 新人教版
（一）、本专题的学习的主要内容是什么，要达到什么要求？ 1、本专题主要内容必修4：三角函数（16课时） 三角恒等变换（8课时） 必修5：解三角形（8课时） 2、课标要求:三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。
在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。
学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
3、考试说明（本专题文、理科要求相同，近几年基本不变） 1.三角函数（16课时） （1）任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念．② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化． （2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出πα±的正弦、余弦、正切，及2πα±的正弦、余弦的诱导公式，能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象，了解三角函数周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等）；理解正切函数在区间(,)22ππ-的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=． ⑤了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题. 2．三角恒等变换（8课时） （1）和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．3．解三角形（8课时）①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 4、考查要求的可测性细化 三角函数部分：了解：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
苏教版高中数学必修1《函数与方程(第1课时)》教学课件1
花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。
阿贝尔(1802～1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。
求一元二次方程的根并画出二次函数的图象
方程
函数 函 数 的 图 象
x2－2x－3=0
y= x2－2x－3
y
.
.
2
.1 .
－1 0 1 2 3 x －1
一元二次方程的根就是二次函数图象 与x轴的交点的横坐标.
一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式、根、图象与二次函数的关系
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
没有实数根
y= ax2 +bx+c (a>0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
y=ax2+bx+c (a>0)的零点
－2 －3
. －4
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
y
.2
.
1. .
. －1 0 1 2
x
x2－2x+3=0
y= x2－2x+3
y
.5 4
Байду номын сангаас
.
3.
2
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
零点吗?
4.判断函数f(x)=2x+x-4在区间(1,2)上是否 有零点?
(江苏专用)高考数学总复习 第二篇 函数与基本初等函数《第8讲 幂函数与二次函数》课件 理 苏教版
．Hale Waihona Puke 2 ②二次函数的顶点式为 y＝a(x－h) ＋k(a≠0) ，其中顶点
为 (h，k) ． ③二次函数的两根式为 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1，x2 是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．(也就是函数的零点)根据已知条 件，选择恰当的形式，利用待定系数法可求解析式．
(2)二次函数图象和性质 ①二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为
2 4 ac － b b b －2a， 4a ，对称轴方程为x＝－ 2a .熟练通过配方法求顶
点坐标及对称轴，并会画示意图． ②在对称轴的两侧单调性相反． ③当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数．
2 2 ∴y0＝x2 0＋2x0，∴－y＝x －2x，∴y＝－x ＋2x，
即g(x)＝－x2＋2x.
求二次函数解析式的问题一般都采用待定系数法，其关键在 于根据题设合理选用二次函数解析式的形式． 一般式在任何题目中都适用，其缺点是假设的字母较多，容易 引起混乱．顶点式一般需要先知道二次函数的顶点坐标，而两 根式则需要先知道图象与x，y轴的交点坐标．在解题时，遵循 的原则是出现字母越少越好．
3 答案 2
3．设α∈
1 －1，1， ，3 2
，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇
函数的所有α值为________． 解析 当α＝1,3时，y＝xα的定义域为R且为奇函数，符合要 1 求；当α＝－1时，y＝ 的定义域为{x|x≠0，x∈R}，不符合要 x 1 1 求；当α＝2时，y＝x2的定义域为[0，＋∞)，不符合要求． 答案 1,3
β
解得x＝± 1. 答案 ± 1
教学设计3：3.1.1 函数的概念
3.1.1 函数的概念教材分析函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.教学目标与核心素养课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
教学重难点重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a＜x＜b}开区间{x|a≤x＜b}半开半闭区间{x|a＜x≤b}半开半闭区间3．其它区间的表示R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 定义符号四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A ={x |0≤x ≤4},B={y |0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C 题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f (x )=(√x )2,g(x )=√x 2; (2)y =x 0与y =1(x ≠0);(3)y =2x +1(x ∈Z )与y =2x -1(x ∈Z ). 【答案】见解析【解析】(1)因为函数f (x )=(√x )2的定义域为{x |x ≥0},而g(x )=√x 2的定义域为{x |x ∈R },它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y = x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y = x 0=1,故y = x 0与y =1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y =2x +1(x ∈Z )与y =2x -1(x ∈Z )两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f (x )=x 2-x x,g(x )=x -1;②f (x )=√xx ,g(x )=√x ;③f (x )=√(x +3)2,g(x )=x +3;④f (x )=x +1,g(x )=x +x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f (t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x )=80x (0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f (x )与g(x )的定义域不同,不是同一函数; ②f (x )与g(x )的解析式不同,不是同一函数; ③f (x )=|x +3|,与g(x )的解析式不同,不是同一函数; ④f (x )与g(x )的定义域不同,不是同一函数;⑤f (x )与g(x )的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A ={x |5-x ≥0},集合B ={x ||x |-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A ={x |5-x ≥0},∴A ={x |x ≤5}. ∵B ={x ||x |-3≠0},∴B ={x |x ≠±3}. ∴A ∩B ={x |x <-3或-3<x <3或3<x ≤5},即A ∩B =(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x |0<x <1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A =[2a -1,a +2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a ,b )(或[a ,b ])成立的条件是a <b . ∵A =[2a -1,a+2],∴2a -1<a +2.∴a <3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y =(x+2)0|x |-x; (2)f (x )=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x <0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f (x )是整式,那么函数的定义域是实数集R ;(2)如果函数f (x )是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f (x )是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f (x )是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y =√2x +3−√2-x+1x 的定义域.2.已知函数f (x )的定义域是[-1,4],求函数f (2x +1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x <2,且x ≠0,所以函数y =√2x +3−1√2-x+1x 的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}. (2)已知f (x )的定义域是[-1,4],即-1≤x ≤4. 故对于f (2x +1)应有-1≤2x +1≤4, ∴-2≤2x ≤3,∴-1≤x ≤32.∴函数f (2x +1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f (x )＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x )＝x 2＋2(x ∈R)，则f (2)＝________，f (g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x； ④y ＝2x －√x −1.【答案】（1）13 17（2）① R ② [2,6) ③ {y |y ∈R 且y ≠3} ④ ⎣⎡⎭⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6，∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17. (2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R .②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3 x －1 x ＋1＝3 x ＋3－4 x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3 x －1 x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝⎛⎭⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f (x )的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f (a )的值.2.求f (g(a ))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax +b +√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2.【答案】(1) [1，＋∞)(2) (－1,1]【解析】(1)因为2x＋1≥0，所以2x＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业教学反思本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）
新课标数学竞赛讲座目录（七、八、九年级）新课标数学竞赛讲座目录七年级第一讲走进美妙的数学世界第二讲跨越——从算术到代数第三讲创造的基石——观察、归纳与猜想第四讲数轴——数与形的第一次碰撞第五讲解读绝对值第六讲计算——工具与算法的变迁第七讲物以类聚——话说同类项第八讲一元一次方程第九讲绝对值与一元一次方程第十一讲列方程解应用题——设元的技巧第十二讲社会、生活、经济——情境应用题第十三讲一次方程组第十四讲一次方程组的应用第十五讲倾斜的天平——由相等到不等第十六讲不等式（组）的应用第十七讲整式的乘法与除法第十八讲乘法公式第十九讲丰富的图形世界第二十讲线段第二十一讲角第二十二讲平行线的判定与性质第二十三讲简单的面积问题第二十四讲质数、合数与因数分解第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析第二十六讲整数整除的概念和性质第二十七讲不定方程、方程组第二十八讲计数方法第二十九讲最值问题第三十讲创新命题第三十一讲代数式的值第三十二讲最大公约数与最小公倍数八年级第一讲分解方法的延拓第二讲分解方法的延拓第三讲因式分解的应用第四讲分式的概念、性质及运算第五讲有条件的分式的化简与求值第六讲实数的概念及性质第七讲二次根式的运算第八讲二次根式的化简求值第九讲三角形的边与角第十讲全等三角形第十一讲等腰三角形的性质第十二讲等腰三角形的判定第十三讲从勾股定理谈起第十四讲多边形的边角与对角线第十五讲平行四边形第十六讲完美的正方形第十七讲梯形第十八讲由中点想到什么第十九讲平行截割第二十讲飞跃-从全等到相似第二十一讲相似三角形的性质第二十二讲直角三角形的再发现第二十三讲代数证明第二十四讲配方法的解题功能第二十五讲整体的方法第二十六讲面积问题评说第二十七讲图形的折叠、剪拼与分割第二十八讲奇妙的对称第二十九讲图形的平移与旋转第三十讲数形互助第三十一讲完全平方数和完全平方式第三十二讲几何不等式第三十三讲代数式的化简与求值第三十四讲分式方程（组）第三十五讲应用题九年级第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第二十讲直线与圆第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第十二讲方程与函数第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手。
函数的概念(龚新尚)完整PPT课件
题型三、求函数的定义域 【例4】已知函数 f ( x) x 3 1 ,求函数的定义域
x2
解：要使函数有意义，
只要
x x
3 2
0 0
x x
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
x
3且x
2
所以f ( x)的定义域为{x | x 3，且x 2}
注意 ①研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求
定义域是研究任何函数的前提；
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系 是否为函数？
问： 三个实例有什么共同点和不同点？ 不同点 实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系，
实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系； 共同点（1）都有两个非空数集
（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对
应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟
一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集
合 B的函数。 2.函数的三要素
定义域 值域 对应法则f
定义域
决定
值域
对应法则
3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
（年）
恩格尔 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 系数 （%）
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变 化范围分别是什么？
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8，52.9， 50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}
高考数学总复习 第2章 第8节 函数与方程课件 理(新版)苏教版必修1
＝(a＋1)(1－5a)<0，∴a>15或 a<－1. [答案] (－∞，－1)∪15，＋∞
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4．(2014·北京高考改编)已知函数 f(x)＝6x－log2x，在下列区间 中，包含 f(x)零点的区间是________．(填序号)
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5．(2014·常州模拟)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2
和 3，则不等式 af(－2x)>0 的解集是________．
[解析] ∵f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3 是方程 x2＋ax＋b＝0 的两根，
由根与系数的关系知－－22＋×33＝＝－b，a， ∴ab＝＝－－16，， ∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式 af(－2x)>0，
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固
基
础
·
自
主
落
实
第八节 函数与方程
提 知 能
· 典 例 探 究
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启 智 慧 · 高 考 研 析
课 后 限 时 自 测
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考纲传真
内容
要求 AB C
函数与
√
方程
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f(a)·f(b)<0 ，则函数 y＝f(x)在区间 (a，b)上有零点，即存在 x0∈(a，
高中数学 3.4.1 函数与方程(3)教案 苏教版必修1(2021年整理)
快业绩进步，以下为江苏省镇江市丹徒镇高中数学3.4.1函数与方程（3）教案苏教版必修1的全部内容。
教学目标:1．进一步理解二分法原理,能够结合函数的图象求函数的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及数形结合在实际问题中的应用．2．通过本节内容的学习，渗透无限逼近的数学思想及数学方法．教学重点：用图象法求方程的近似解；教学难点:图象与二分法相结合．教学过程备课札记一、问题情境1．复习二分法定义及一般过程；2．二分法求方程近似解的前提是确定根存在的区间，如何能迅速地确定呢？二、学生活动利用函数图象确定方程lg x＝3－x解所在的区间．三、建构数学1．方程的解的几何解释:方程f(x）＝g(x）的解，就是函数y＝f(x)与y＝g（x）图象交点的横坐标．2．图象法解方程：利用两个函数的图象，可精略地估算出方程f(x）＝g（x）的近似解，这就是图象法解方程．注:（1)在精确度要求不高时,可用图象法求解；（2)在精确度要求较高时，先用图象法确定解存在的区间，再用二分法求解．3．数形结合：数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面,正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科,才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微。
”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想。
数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来。
四、数学运用例1 利用函数图象确定方程lg x ＝3－x 的近似解．例2 在同一坐标系作出函数y ＝x 3与y ＝3x －1的图象，利用图象写出方程x 3－3x ＋1＝0的近似解（精确到0。
1）．变式训练：用二分法求方程3310x x -+=的近似解（精确到0。
1)．例3 在同一坐标系中作出函数y ＝2x 与y ＝4－x 的图象，利用图象写出方程24x x +=的近似解(精确到0。
福建省福州市第十八中学高一数学必修1《第一章集合与函数的概念1.3.2奇偶性》课件人教新课标
f(-x)= - f(x)
如果一个函数的图象关于原点对称，那么它的定义域应该有什么特点？
定义域也应该关于原点对称！
型如: (-a,a)或[-a,a]
填写右边表格
图象关于原点对称
对于定义域内的任意一个自变量x，都有f(-x)= -f(x)
判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
练习：
1、根据定义判断下列函数的奇偶性：
继续视察剩下的3幅函数图象:
根据我们由图象推导偶函数的方法和步骤，同学们结合课本内容归纳一下奇函数的定义.
图像特征：这三张图像都关于原点中心对称
若函数f(x)的图像关于原点中心对称，我们称这个函数为奇函数
由此我们可以得到奇函数的定义：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x, 都有____________,那么函数f（x）就叫做奇函数.
教学目标:
知识教学目标：1.理解函数的奇偶性概念.2.会判定函数的奇偶性.3.会推断奇偶函数的性质.能力训练目标：1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力；2.加强视察、化归、转化能力的训练.德育渗透目标：1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规律、归纳概括的能力；2.培养学生辨证思维、求异思维等能力.
思考：奇函数是否具有相同的性质？
观看下列两个奇函数的图像，思考：y轴两侧的图像有何特点？可得出什么结论？
结论：奇函数在y轴两侧的图像的升降方向是相同的； 即：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.
例 已知函数 是奇函数，其定义域为
，且在 上为增函数.若
试求 的取值范围.
分析：由于奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.所以在 上也是增函数.
练习：
已知函数 是奇函数，其定义域为
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2011年协作体夏令营系列讲座(八)函数方程与函数迭代福州一中 龚梅勇许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐，其形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：（1）探求函数的解析式；（2）探求函数的值；（3）讨论函数的性质.本文主要讲解求函数解析式的几种常用方法.一. 知识与方法1. 函数方程的定义:含有未知函数的等式叫做函数方程.2. 函数方程的解:能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解.3. 解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程.4. 柯西函数方程的解定理:若()f x 是单调（或连续）函数且满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈, 则()(1)f x xf =.5. 定义：设()x f 是定义在D 上函数，记()0,fx x = ()()1,f x f x =()()()2f x f f x = ,, ()()1n n f x f f x -=，则称()n f x 是()x f 在D 上的n 次迭代。
讲座八参考答案 2011-7-22二．范例选讲1．代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.例1.(1)已知x f xx 2)1e 1e (=-+，求).(xf (2)已知32231311()32f x x x x x x x x-=+-+++-，求).(x f例1.解:(1)令1e 1e -+=x x y ，则11ln -+=y y x ，带入原方程得到11ln 2)(-+=y y y f，即为()1)f x x =>. (2)323232131111()32()()4f x x x x x x x x x x x x -=-+-+++=-+-+，故32()4()f x x x x R =++∈例2.设220,ab a b ≠≠,求1()()af x bf cx x+=的解. 例2.解：分别令1,x x t t==得11()()af bf t c t t+=（1） 1()()af t bf ctt+=（2）由（1），（2）组成方程组解得222()()()c at b f t a b t-=-即：222()()()c ax b f x a b x -=-例3.解函数方程x xx f x f +=-+1)1()(. 例3.解：令u u x 1-=，代入原式得11211u u f f u u u --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(1) u x -=11，代入原式得：()1211u f f u u u -⎛⎫+= ⎪--⎝⎭(2) 又：()11u f u f u u -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭(3)三个方程中仅含有()111u f u f f u u -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭、、∴由方程组(1)(2)(3)得()321()21u u f u u u --=-即：()()()3210,121x x f x x x x x --=≠≠-检验：11112111)1(21)1()(2323+=⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=-+x x x x x x x x x x x x x x x f x f所以{}1,0\,)1(21)(23R x x x x x x f ∈∀---=.经检验上式满足条件.注:事实上,对于函数方程)())(()()()(x c x f x b x f x a =+ϕ,其中(),(),a x b x (),()x c x ϕ为已知函数,如果存在一个N k ∈，使得x x k =)(ϕ(k 次迭代)，即可用上述的方法求解。
解二:令x x x 1)(-=ϕ，則x xx x x x x x -=--=-==1111)1())(()(2ϕϕϕϕ; x xx xx x =---=-==1111)11())(()(23ϕϕϕϕ此时可将(2)式表示为x x f x f +=+1))(()(ϕ……(1)'迭代一次可得xx x x f x f 12)(1))(())((2-=+=+ϕϕϕ……(2)'再迭代一次可得xx x f x f x x x f x f --=+=-=+12)())(()(1)(2))(())((232ϕϕϕϕϕ…(3)' 解方程可得321()0,1;2(1)x x f x x x R x x --=∀≠∈-（）检验略。
2．赋值法赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量赋以一些特殊值代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的. 例 4.设)(x f 是在实数域上有定义的函数，满足1)0(=f 且对任意的R y x ∈,，)12()()(+--=-y x y x f y x f 都成立，试求)(x f . 例4.解:取y x =代入(1)式，则可得 x x x f x x x x f x x f f --=+--=-==2)()12()()()0(1， ∴R x x x x f ∈∀++=,1)(2易检验1)(2++=x x x f 满足已知条件。
例5.已知函数)(x f 满足：2)2(,1)0(==πf f ，且对任意的R y x ∈,，y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++都成立，试求)(x f .例5.解:在已知条件中令t y x ==,0可得t t f t f t f cos 2cos )0(2)()(==-+……(1) 令2,2ππ=+=y t x 可得0)()(=++t f t f π (2)令t y x +==2,2ππ可得t t f t f t f sin 4sin )2(2)()(-=-=-++ππ (3)解方程可得()cos 2sin f t t t =+x x x f sin 2cos )(+=∴易检验)(x f 满足已知条件。
例 6.()f x 的定义域在非负实数集合上并取非负数值的函数，求满足下列所有条件的()f x ：（1）(())()()f xf y f x f x y ⋅=+；（2）(2)=0f ；（3）当02x ≤<时，()0f x ≠. 例 6.解：（Ⅰ）令=22(2)x y t t =-≥，得0(2(2))(2)()f f t f f t =-⋅=.所以当2t ≥时，()0f t =.（Ⅱ）考虑02,02x y ≤<≤<（即()()0f x f y ≠）时，（1）两边等于零的特殊情况。
设(())()0f xf y f x ⋅=,由（Ⅰ）得：()2xf y ≥，即)(2y f x ≥。
设()0f x y +=，由（Ⅰ）得；2x y +≥，即2x y ≥-，因为)(2y f x ≥，且2x y ≥-，所以y y f -=2)(2，解得y y f -=22)(.所以当02x ≤<时,x x f -=22)(.所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=)2.(0)20(,22)(x x x x f .3．递推法 这一方法的其本思想是:当()f x 是定义在自然数集上的函数(实际上就是通项为a n =f (n )的数列)时,可根据题中所给函数方程,通过持殊值得到关于f (n )的递推关系,然后根据递推关系求出()f x (即数列{a n}的通项表达式).例7.设()f x 定义在正整数集上，且(1)1f =,()()()f x y f x f y xy +=++，求()f x .例7.解：令1y =，得(1)()(1)()1f x f x f x f x x +=++=++ 再依次令1,2,3,,1x n =-，有(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n=+=+=-+累加可得(1)()1232n n f n n +=++++=∴*(1)()()2x x f x x N +=∈例8.设函数)(n f 在自然数上都有定义，1)2(,0)1(==f f ，并满足： *(2)2(1)()f n f n f n n n N +-++=∈（），试求)(n f . 例8.解：将原式变形为n n f n f n f n f =-+-+-+)]()1([)]1()2([令1,2,,2n n =-可得2)]2()1([)]1()([2)]2()3([)]3()4([1)]1()2([)]2()3([-=------=---=---n n f n f n f n f f f f f f f f f累加可得)2(21)]1()2([)]1()([-+++=----n f f n f n f2)1)(2(]01[)]1()([--=----⇒n n n f n f ， 2≥∀n2)1)(2(1)1()(--+=--⇒n n n f n f ， 2≥∀n 。
再次利用累加法可得)]1()([)]2()3([)]1()2([--++-+-n f n f f f f f]2)1)(2(1[]2211[]2101[--+++⋅++⋅+=n n )]1)(2(3221[21)1()1()(--++⋅+⋅+-=-n n n f n f{}]1)2)[(2()]12(2[)11(1[21)1(+--++++++-=n n n )]2(21[21])2(21[21)1(222-++++-++++-=n n n2)1)(2(216)32)(1)(2(21)1(--⋅+---⋅+-=n n n n n n)62)(1(612+--=n n n)62)(1(61)(2+--=∴n n n n f )0)1((=f4．待定系数法当我们知道函数的类型（如多项式函数，对数函数，指数函数等）及函数的某些特性（如已知函数在某些点的值或函数的对称性、周期性等），可以考虑用待定系数法来求解。
例9.已知)(x f 为多项式函数，解函数方程x x x f x f 42)1()1(2-=-++例9.解：因为)(x f 为多项式函数，而)1(+x f 与)1(-x f 并不会改变)(x f 的次数，故由已知条件可知)(x f 为二次函数，不妨设c bx ax x f ++=2)()()2()1()1()1(22c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+⇒ )()2()1()1()1(22c b a x a b ax c x b x a x f +-+-+=+-+-=-⇒x x c a bx ax x f x f 42)(222)1()1(22-=+++=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-==∴04222c a b a ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==121c b a∴12)(2--=x x x f 易检验)(x f 满足条件。