(完整版)2.2.1椭圆及其标准方程优秀课件

y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b
0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注:由标准方程判断焦点位置——“大定轴”
例1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并写出焦点坐标
x2 25
y2 16
1 答：在 X 轴（-3，0）和（3，0）
x2
y2 1
144 169
答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆
的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离 的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，
y M
F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 O F2 x
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a.
因为 | MF1 | ( x c)2 y2 ,| MF2 | ( x c)2 y2 ,
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| |MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
椭圆 线段 不存在
探究点2 椭圆的标准方程 设M是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别
为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距 离的和等于2a(2a>2c>0) ，求椭圆的轨迹方程.
b2 a2 c2 10 4 6.
所以所求椭圆的标准方程为 y2 x2 1. 10 6
练习1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 (5 , 3) .求它的标准方程.
圆锥曲线
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
椭圆形的实物
每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在 椭圆的一个焦点上。
探究点1：椭圆的画法及图像
数学实验
❖ (1)取一条细绳，
❖ (2)把它的两端固定在板上 的两点F1、F2
❖ (3)用铅笔尖（M）把细绳 拉紧，在板上慢慢移动看 看画出的 图形
所以 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
移项，再平方
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2,
a2 cx a ( x c)2 y2 ,
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
解：(法一)因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 x2 a2 b2
1
(a b 0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点 3 ，5
∴
(
5 2
)Biblioteka Baidu
2
a2
(
3 2
)2
b2
1
2
2
……②
联立①②可求得：a2 10, b2 6
∴椭圆的标准方程为
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
x2
y2
m2 m2 1 1 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
练习：
下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2 , b2 ，写出焦点坐标.
x2
y2
(1)
1
(4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
25 16
(5) 3x2 2 y 2 1
范围是(0,4)
.
类型一 求椭圆的标准方程
例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) (2)
a a
=4，b=1，焦点在 x 轴上； =4，b=1，焦点在坐标轴上；
x2 16
y2
1x2
16
y2
1或
x2 y 2 1 16
(3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P（ -1.5 ，2.5）.
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ),
两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 c 2 )， 得 ：
x2
y2
a2 a2 c2 1.
请看图片：你能从图中找出表示a,c, a2 - c2的线段吗？
解 ： 令 b2 a 2 - c 2 (a b 0),
y
P
思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相
互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似
的方法呢？
y
y
M
F2
M
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
y2 x2 1
10 6
P
F2
x
F1
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
由椭圆的定义知，
2a ( 3 )2 ( 5 2)2
2
2
3 10 1 10
2
2
( 3 )2 ( 5 2)2
2
2
2 10,
a 10 . 又c 2,
? (3) x2 y 2 1(6) x2 y 2 1
m2 m2 1
24 k 16 k
椭圆方程的理解
1.方程 x2 y2 1表示焦点在x轴上的椭圆， a3
则a的范围为( a>3 )。
2.方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆， b9
则b的范围为( 0<b<9 )。
3.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的
观察做图过程
(1)绳长应当大于F1、F2之间的距离。
(2)由于绳长固定，所以 M 到两个 定点的距离和也固定。
椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于
常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
F1
M F2
【提升总结】
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F2
M
ox
F1
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
两类标准方程的对照表
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2