2.2直接证明与间接证明PPT优秀课件
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反证法课件
数学—公理化思想
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是 只有一 个
不等于
小于或 大于或 等于（≤）等于（≥） 不是
任意的 所有的
没有或 不都是 至少有 两个 至多 有n个 任意两 个
至多有 至少有一 一个 个
至少有 否定 两个
一个也证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷
多个” ---类命题；
（4）结论为
“唯一”类命题；
例2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
2 2
∴ m = 2n ∴ m = 2n ∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
假设不成立，故
2
2
2
2
∴n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾
（3）与已有公理、定理、定义矛盾； （4）与客观事实矛盾。
例1
证明：如果a>b>0，那么
a> b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 反设
数学：2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》PPT课件(新人教选修2-2)
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s 试证s<2a
1 = (a + b + c), 2
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
2.2.1《直接证明与间接证 明-综合法和分析法》
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法 的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思 考过程、特点，选择适当的证明方法.
Q P1
P1 P2
2 2 2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s 试证s<2a
1 = (a + b + c), 2
例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E
A
B
C
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
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《高中数学》
选修2-2
2.2.1《直接证明与间接证 明-综合法和分析法》
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两 种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法 的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思 考过程、特点，选择适当的证明方法.
Q P1
P1 P2
2 2 2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
直接证明与间接证明 高考大一轮复习ppt课件 人教版
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练3】 已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
b 证明 由于 a≠0，因此方程至少有一个根 x＝a. 假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，
①
ax2＝b，
由①－②得a(x1－x2)＝0， 因为x1≠x2，所以x1－x2≠0， 所以a＝0，这与已知矛盾，故假设错误． 所以当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根.
基础诊断
考点突破
课堂总结
b 2 1 2 2 a· ＝ |a| |b| 1－|a||b| 4 1 2 2 ＝ [|a| |b| －(a· b)2] 4 1 ∴S△ABC＝ |a|2|b|2－（a· b）2. 2
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 证明
分析法的应用 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问 题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分 析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
基础诊断 考点突破 课堂总结
3．利用反证法证明数学问题时，要假设结论不成立，并用 假设的命题进行推理，不用假设命题推理而推出矛盾结 果，其推理过程是错误的． [易错防范] 注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充 分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了 的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论．在
基础诊断
考点突破
课堂总结
2. 间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是
一种常用的间接证明方法． 不成立 即在原命题的条件 (1)反证法的定义：假设原命题_______( 下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此
2.2直接证明与间接证明ppt 人教课标版
2 .2
直接证明与间接证明
我们知道, 合情推理所得结论的正确性 是需要证明的 , 这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻 辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的证明方法 : 直接 证明与间接证明 .
2.2.1 综合法和分析法
综合法和分析法 ,是直接证明中最基本的 两种方 法 ,也是解决数学问题时常 用的思维方式 .
因此 a b c b c a 4 abc .
2 2 2 2
1 综合法
已知 a ,b 0 ,求证 a b
在数证明中 ,我们经常从已知条件和 某些数学定 义、公理、定理等出发 ,通过推理推导出所要的 结论 ,例如 : a 4abc . 2 2 证明 因为 b c 2 bc , a 0 ,
2 2 2 2
c bc
2 2 所以 a b c 2 abc . 22 22 又 c a 2 ac , b 0 , 所以 b c a 2 ab .
直接证明与间接证明
我们知道, 合情推理所得结论的正确性 是需要证明的 , 这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻 辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的证明方法 : 直接 证明与间接证明 .
2.2.1 综合法和分析法
综合法和分析法 ,是直接证明中最基本的 两种方 法 ,也是解决数学问题时常 用的思维方式 .
因此 a b c b c a 4 abc .
2 2 2 2
1 综合法
已知 a ,b 0 ,求证 a b
在数证明中 ,我们经常从已知条件和 某些数学定 义、公理、定理等出发 ,通过推理推导出所要的 结论 ,例如 : a 4abc . 2 2 证明 因为 b c 2 bc , a 0 ,
2 2 2 2
c bc
2 2 所以 a b c 2 abc . 22 22 又 c a 2 ac , b 0 , 所以 b c a 2 ab .
直接证明与间接证明ppt课件
知能迁移2 已知a>0,求证: a21 2a12.
a2
a
证明 要证 a212a12,
a2
a
只要证a2 1 2a1 2.
a2
a
a0,故只要(证a2 1 2)2 (a1 2)2,
a2
a
即a2 1 4 a2 1 4
a2
a2
a2 2 1 2 2(a 1) 2,
a2
a
从而只要证2 a2 1 2( 1),
2分
只需 1 (six 1 证 n six 2明 n ) ta x 1 n x 2, 2co x 1 c s o x 2 s 2
只需证si明 nx1(x2) sinx1(x2) . 2coxs1coxs2 1cosx1(x2)
4分
由于 x1、x 2(0,π2),故x1x2(0,π).
∴cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,
f
(x1)
f
(x2)]
f
(x1
x2 2
).
12分
探究提分高析法是数学中常用到的一种直接证明 方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从 结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设 所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结 论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的 命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命 题的已知条件时命题得证.
D.既不充分也不必要条件
解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条
件成立，即② ①，所以①是②的必要条件.
题型分类 深度剖析
题型一 综合法
【例1】 设a,b,c>0,证明：a2b2c2abc. bca
思维启迪 本题因为有三项分式，不主张用分
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)(PPT课件)
![2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)(PPT课件)](https://img.taocdn.com/s3/m/608022b3360cba1aa911da5d.png)
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
8
小结
综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
特点：执果索因.
分析法又叫执果索因法或叫逆推证法
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
11
例4:求证 3 72 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数， 所以为了证明 3 72 5 只需证明 ( 3 7)2(2 5)2
1
4
22
a b (1 cos ห้องสมุดไป่ตู้C)
2
1 4
a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2]
4
于是 SΔABC
1 2
22
a b (a• b)2
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
7
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
2014年人教A版选修2-2课件 2.2 直接证明与间接证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.
第六章 第六节 直接证明与间接证明46页PPT
(2)分析法 分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因 的思维 方法．即是从 特征结论出发，一步一步寻求结论成立 的 充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠 拢 “已知”．
[思考探究] 综合法和分析法有什么区别和联系？
提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的 充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法 是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的 分析、思考的逆过程.
即a2＋ ≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.
用反证法证明问题的一般步骤为： (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面
(否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的
推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定 义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于 “反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定 了结论成立．(结论成立)
解析：a＝lg2＋lg5＝1， ∵x<0，∴b＝ex<1， ∴a>b.
答案：A
3.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么 a、
b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( )
A.a、b都能被5整除
B.a、b都不能被5整除
C.a、b不都能被5整除
D.a不能被5整除
解析：用反证法证明命题应先否定结论. 答案：B
2．反证法 (1)定义：
一般地，由证明p⇒q转向证明： q⇒r⇒…⇒t.t与 假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 q 为 假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)所谓矛盾主要是指： ①与假设矛盾； ②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论 矛盾； ③与公认的简单事实矛盾．
2014年人教A版选修1-2课件 2.2 直接证明与间接证明
因为两平面相交, 有且只有一条公共直线. 所以 P, Q, R 共线于平面 a 与平面 ABC 的交线.
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 分析: 所证三角形面积的式子 b 中是用向量的模以及向量的数量积 表示的, 于是我们考虑用三角形面 积公式 SABC = 1 AC BC sin C . 2 sinC 再通过向量的数量积转换.
综合法是由因导果的顺序.
习题 2.2 A组 第 1、2 题. B组 第 1、2 题.
习题 2.2 A组 1. 已知 A, B 都是锐角, 且 A+B≠ , 2 (1+tanA)(1+tanB)=2, 求证A+B= . 4 证明: 由 (1+tanA)(1+tanB)=2 得 1+tanA+tanB+tanAtanB=2, 整理得 tanA+tanB=1tanAtanB, ① tan A + tan B 又因为 tan( A + B) = , ② 1 tan Atan B 将①代入②得 1 tan A tan B =1, tan( A + B) = 1 tan Atan B 因为 A, B 都是锐角,
B
a C
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 证明: 如图, b SABC = 1 BC AC sin C , a C 2 B 又因为 CB = a, CA = b, ab , cos C = 则 | a | | b | 于是得 sin C = 1 cos2 C = 1 ( a b )2 , | a | | b | (a b)2 1 1 SABC = | a | | b | 1 2 2 = | a |2| b |2 (a b)2 . 2 | a | | b | 2
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97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
因 a b 2 c 此 2 b c 2 a 2 4 a .bc
一般地 ,利用已知条件和某 学些 定数 义、公理、 定理等 ,经过一系列的推理 ,最论后证推导出所 要证明的结论,这 成种 立证明方法综叫合做 法
synthetilcmaetho.d
综合法,又叫顺推证法或由因果导法.
2.2 直接证明与间接证明
我们知道, 合情推理所得结论的正确性 是需要证明的,这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻 辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的证明方法 : 直接 证明与间接证明.
2.2.1 综合法和分析法
综合法和分 ,是析直法接证明中最 两基 种本 方的
已知条件、定理、定 、义 公理等为止.
例,基 如本不 ab等 a式 b a0,b0的证明
2 就用了.上述方法
要a 证 ba,只 b a 需 b 2 证 a,b
只需 2 ab证 2a b0 , 只a 需 b 0 证 . 由a 于 b0 显然 ,因 成 此 立 原.不
用P表示已知条件、定已义有、的公理、定 等,Q表示所要证明的 ,则结 综论 合法可用框 表示:为
PQ1 Q1Q2 Q2 Q3 Qn Q
例1 在ΔAB中 C,三个内A,角 B,C对应的边分别 a,b,c,且A,B,C成等差,数 a,b,列 c成等比,数 求列 证 ΔAB为 C 等边三. 角形 分析将A,B,C成等差数 ,转列 化为符号语言 2BAC; A,B,C为ΔAB的 C 内,这 角是个隐含 件,明确表示出 A来 BC 是π;
QP1 P1 P2 P2 P3
得到一个明显 成立的条件
S
例2 如图2.21所示,SA
平面ABC, AB BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的
F E
垂线,垂足为F.求证AF SC. A
C
分析 本例所给的已知条件 B 中,垂直条件较,我多们不容易 图2.21
确定如何在证明中它 使们 用,因而用综合法比
法,也是解决数学问 用题 的时 思常 维.方式
1 综合法
在数证明,我 中们经常从已知条某件些和数学定
义、公理、定理等,通 出过 发推理推导出所要的
结论,例如:
已知a,b0,求证ab2 c2 bc2 a2 4abc.
证明 因b为 2c22b,c a0,
所a以 b2c2 2ab. c 又 c 2 a 2 2 a , b 0 , c 所 b c 2 a 2 以 2 a . b
A
C
要证 AF SB, AF BC 成立;要证 SC 平
B
图2.21
面AEF,需要证 SC AE,SC EF 成立.
而已知条"过件 E作SC的垂,线 垂足为 F(转化 为符号语言E就F是SC)"已经满足S了 C 平面AEF所需要的两个条一 件个 中 ,因的 此 可以朝证S明 C平面AE这 F 个方向.努力
思考 请对综合法与分析 行法 比进 较 ,说出 它们各自的.回 特顾 点以往的数学 ,说学说习 你对这两种证明方 新法 认的 识 .
事实上,在解决问题时,我们经常把综合法 和分析法结合起来使用: 根据条件结构特 点去转化结论, 得到中间结论Q; 根据结论 的结构特点去转化条件,得到中间结论P. 若由P 可以推出Q 成立,就可以证明结论 成立.下面来看一个例子.
sin2 β cos2 β
.
21 csoins22ββ
即 c证 2 o α s s2 iα n 1c2 o β s s2 iβ n , 2
即1 证 2s2 iα n112s2 iβ n, 2
即 4 s 证 2 iα n 2 s2 iβ n 1 .
由于上式 ③ 相 与同 ,于是问题.得证
用P表示已知条件定义 理、 、定 公理 等,用Q表示要证明的,则 结上 论述过 程可用框图表:示为
PP1 P1 P2
Pn1 Pn
Q m1 Q m
பைடு நூலகம்
QQ1 Q1 Q2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
一般地,从要证明的结论出,逐发步寻求使它成立
的充分条件 ,直到最后 ,把要证明的结论归结 判为
定一个明显成立的条 (已件知条件、定理、定 、义
公理等)为止.这种证方法叫分做析法 (analytical
metho)d.
分析法,又叫逆推证法或执果因索法.
用Q表示要证明,的 则结 分论 析法可用框 为:图表
因a 此 c.从而 A有 C.
⑤
由 ② ③ ⑤ 得 ,ABCπ.所Δ 以 AB 是 C等边 . 三
3
解决数学问,往 题往 时先作语言,如转把换文字语言
转换成符号,或 语把 言符号语言转形 换语 成言 图. 等
还要通过细致的 ,把分 其析 中的隐含条表 件示 明显
出来 .
2.分析法
证明数学命题,还 时经常从要证明的结 Q出论发, 反推回去 ,寻求保证Q成立的条,件 即使Q成立的 充分条件P1,为了证明P1成立,再去寻求P1成立的 充分条件P2;为了证明P2成立,再去寻求P2成立的 充分条件P3 直到找到一个明显成 的立 条件
a,b,c成等比,转 数化 列为符号语 b2 言 ac.就是 此时,如果能把角和边统来一 ,那起么就可以进一 步寻找角和边之间系的 ,进关而判断三角形的形 状,余弦定理正好满足 .于要是,求 可以用余弦定理 为工具进行证 . 明
证明 由 A ,B ,C 成等,差 有 2B 数 AC 列 . ①
系sinθcosθ2 2sinθcosθ 1,于是,由①22
② 得4sin2 α 2sin2 β 1.
把 4 sin 2 α 2 sin 2 β 1与结论相比较 , 发现 角相同 , 但函数名称不同 ,于是尝试转化结 论 : 统 一 函 数 名称 ,即 把正切函数化为正
余 弦函数 .把结论转化为 cos 2 α sin 2 α
把 ① ② 代入 ,可 上 4s 得 2 i式 α n 2s2 iβ n 1 . ③
另一 ,要 方 1 1 证 tta a 面 2 2α α n n 2 1 1 tta a 2 2 β β n n .
1 即证
1
sin2 α
cos2 α sin2 α
cos2 α
1
证明要证 AFSC 只需S证 C平面 AE,F
S
只需A证ESC(因为
F E
),
只需 A E 证 平S 面 B , CA
C
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
因 a b 2 c 此 2 b c 2 a 2 4 a .bc
一般地 ,利用已知条件和某 学些 定数 义、公理、 定理等 ,经过一系列的推理 ,最论后证推导出所 要证明的结论,这 成种 立证明方法综叫合做 法
synthetilcmaetho.d
综合法,又叫顺推证法或由因果导法.
2.2 直接证明与间接证明
我们知道, 合情推理所得结论的正确性 是需要证明的,这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻 辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的证明方法 : 直接 证明与间接证明.
2.2.1 综合法和分析法
综合法和分 ,是析直法接证明中最 两基 种本 方的
已知条件、定理、定 、义 公理等为止.
例,基 如本不 ab等 a式 b a0,b0的证明
2 就用了.上述方法
要a 证 ba,只 b a 需 b 2 证 a,b
只需 2 ab证 2a b0 , 只a 需 b 0 证 . 由a 于 b0 显然 ,因 成 此 立 原.不
用P表示已知条件、定已义有、的公理、定 等,Q表示所要证明的 ,则结 综论 合法可用框 表示:为
PQ1 Q1Q2 Q2 Q3 Qn Q
例1 在ΔAB中 C,三个内A,角 B,C对应的边分别 a,b,c,且A,B,C成等差,数 a,b,列 c成等比,数 求列 证 ΔAB为 C 等边三. 角形 分析将A,B,C成等差数 ,转列 化为符号语言 2BAC; A,B,C为ΔAB的 C 内,这 角是个隐含 件,明确表示出 A来 BC 是π;
QP1 P1 P2 P2 P3
得到一个明显 成立的条件
S
例2 如图2.21所示,SA
平面ABC, AB BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的
F E
垂线,垂足为F.求证AF SC. A
C
分析 本例所给的已知条件 B 中,垂直条件较,我多们不容易 图2.21
确定如何在证明中它 使们 用,因而用综合法比
法,也是解决数学问 用题 的时 思常 维.方式
1 综合法
在数证明,我 中们经常从已知条某件些和数学定
义、公理、定理等,通 出过 发推理推导出所要的
结论,例如:
已知a,b0,求证ab2 c2 bc2 a2 4abc.
证明 因b为 2c22b,c a0,
所a以 b2c2 2ab. c 又 c 2 a 2 2 a , b 0 , c 所 b c 2 a 2 以 2 a . b
A
C
要证 AF SB, AF BC 成立;要证 SC 平
B
图2.21
面AEF,需要证 SC AE,SC EF 成立.
而已知条"过件 E作SC的垂,线 垂足为 F(转化 为符号语言E就F是SC)"已经满足S了 C 平面AEF所需要的两个条一 件个 中 ,因的 此 可以朝证S明 C平面AE这 F 个方向.努力
思考 请对综合法与分析 行法 比进 较 ,说出 它们各自的.回 特顾 点以往的数学 ,说学说习 你对这两种证明方 新法 认的 识 .
事实上,在解决问题时,我们经常把综合法 和分析法结合起来使用: 根据条件结构特 点去转化结论, 得到中间结论Q; 根据结论 的结构特点去转化条件,得到中间结论P. 若由P 可以推出Q 成立,就可以证明结论 成立.下面来看一个例子.
sin2 β cos2 β
.
21 csoins22ββ
即 c证 2 o α s s2 iα n 1c2 o β s s2 iβ n , 2
即1 证 2s2 iα n112s2 iβ n, 2
即 4 s 证 2 iα n 2 s2 iβ n 1 .
由于上式 ③ 相 与同 ,于是问题.得证
用P表示已知条件定义 理、 、定 公理 等,用Q表示要证明的,则 结上 论述过 程可用框图表:示为
PP1 P1 P2
Pn1 Pn
Q m1 Q m
பைடு நூலகம்
QQ1 Q1 Q2
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
一般地,从要证明的结论出,逐发步寻求使它成立
的充分条件 ,直到最后 ,把要证明的结论归结 判为
定一个明显成立的条 (已件知条件、定理、定 、义
公理等)为止.这种证方法叫分做析法 (analytical
metho)d.
分析法,又叫逆推证法或执果因索法.
用Q表示要证明,的 则结 分论 析法可用框 为:图表
因a 此 c.从而 A有 C.
⑤
由 ② ③ ⑤ 得 ,ABCπ.所Δ 以 AB 是 C等边 . 三
3
解决数学问,往 题往 时先作语言,如转把换文字语言
转换成符号,或 语把 言符号语言转形 换语 成言 图. 等
还要通过细致的 ,把分 其析 中的隐含条表 件示 明显
出来 .
2.分析法
证明数学命题,还 时经常从要证明的结 Q出论发, 反推回去 ,寻求保证Q成立的条,件 即使Q成立的 充分条件P1,为了证明P1成立,再去寻求P1成立的 充分条件P2;为了证明P2成立,再去寻求P2成立的 充分条件P3 直到找到一个明显成 的立 条件
a,b,c成等比,转 数化 列为符号语 b2 言 ac.就是 此时,如果能把角和边统来一 ,那起么就可以进一 步寻找角和边之间系的 ,进关而判断三角形的形 状,余弦定理正好满足 .于要是,求 可以用余弦定理 为工具进行证 . 明
证明 由 A ,B ,C 成等,差 有 2B 数 AC 列 . ①
系sinθcosθ2 2sinθcosθ 1,于是,由①22
② 得4sin2 α 2sin2 β 1.
把 4 sin 2 α 2 sin 2 β 1与结论相比较 , 发现 角相同 , 但函数名称不同 ,于是尝试转化结 论 : 统 一 函 数 名称 ,即 把正切函数化为正
余 弦函数 .把结论转化为 cos 2 α sin 2 α
把 ① ② 代入 ,可 上 4s 得 2 i式 α n 2s2 iβ n 1 . ③
另一 ,要 方 1 1 证 tta a 面 2 2α α n n 2 1 1 tta a 2 2 β β n n .
1 即证
1
sin2 α
cos2 α sin2 α
cos2 α
1
证明要证 AFSC 只需S证 C平面 AE,F
S
只需A证ESC(因为
F E
),
只需 A E 证 平S 面 B , CA
C