用数学归纳法解题
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题数学归纳法是一种常用的数学推理方法，特别适用于解决涉及自然数的问题。
它的基本思想是通过证明某个命题在第一个自然数上成立，并假设该命题在第k个自然数上成立，再利用这一假设证明该命题在第k+1个自然数上也成立。
本文将着重讨论高中数学中一些典型问题，介绍如何使用数学归纳法解决这些问题。
一、等差数列的性质证明等差数列是高中数学中一个重要的概念，其性质证明常常可以使用数学归纳法。
我们以等差数列的前n项和公式为例进行说明。
首先，我们需要证明等差数列前n项和公式在第一个自然数上成立。
当n=1时，等差数列的前n项和显然等于它的第一个项，命题成立。
其次，我们假设等差数列前k项和公式在第k个自然数上成立，即Sn = (2a1 + (k-1)d)k/2 （式1）我们需要证明等差数列前(k+1)项和公式在第(k+1)个自然数上也成立。
通过对等差数列前k+1项求和可以得到：S(k+1) = a1 + a2 + ... + ak + a(k+1)S(k+1) = [(k+1)(a1 + a(k+1))/2] + kd （式2）将式1代入式2中，整理后可得：S(k+1) = [(k+1)(2a1 + (k+1-1)d)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd) + 2kd]/2S(k+1) = (2a1 + (k+1)d)(k+1)/2由此可见，假设在第k个自然数上等差数列前k项和公式成立，可以推出在第(k+1)个自然数上该公式也成立。
因此，根据数学归纳法的推理步骤，我们可以得出等差数列前n项和公式对于任意正整数n都成立的结论。
二、数学归纳法解决不等式问题数学归纳法不仅可以用于证明等式的性质，还可以用于解决不等式问题。
我们以证明平方不等式n^2 ≥ n（n ≥ 1）为例。
首先，我们需要证明当n=1时平方不等式成立，即1^2 ≥ 1，命题成立。
高中数学数学归纳法的使用技巧
高中数学数学归纳法的使用技巧在高中数学中，数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明一些关于自然数的命题。
它的基本思想是通过证明命题在某个特定条件下成立，并且在该条件下，命题在下一个自然数也成立，从而推导出该命题对于所有自然数都成立。
数学归纳法的使用技巧对于高中数学学习者来说至关重要，本文将从基本原理、典型例题以及解题技巧三个方面进行论述。
一、基本原理数学归纳法的基本原理可以概括为以下两点：1. 基础步骤：证明当n等于某个特定值时，命题成立。
2. 归纳步骤：假设当n等于k时，命题成立，然后证明当n等于k+1时，命题也成立。
基于这两个原理，我们可以使用数学归纳法证明一些关于自然数的命题。
接下来，我们通过几个典型例题来说明数学归纳法的具体应用。
二、典型例题例题1：证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
解析：首先，在n=1时，等式左边为1，右边也为1，等式成立。
接下来，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
根据归纳步骤，我们可以得到：1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)= (k^2 + k + 2k + 2) / 2= (k^2 + 3k + 2) / 2= (k+1)(k+2) / 2由此可见，当n=k+1时，等式也成立。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
例题2：证明2^n > n^2，其中n为正整数且n≥4。
解析：首先，在n=4时，等式左边为16，右边为16，等式成立。
接下来，假设当n=k时，等式成立，即2^k > k^2。
我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
根据归纳步骤，我们可以得到：2^(k+1) = 2^k * 2> k^2 * 2= 2k^2由于k≥4，所以2k^2 > (k+1)^2。
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路
数学归纳法在解题中的常见技巧与思路数学归纳法是一种重要的证明方法，常常被应用于数学领域中。
它的基本思想是通过证明某个命题在n=1时成立，并假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
在解题中，数学归纳法有许多常见的技巧和思路，本文将介绍其中的一些。
一、确定归纳假设在使用数学归纳法时，首先需要确定一个归纳假设。
归纳假设是指假设当n=k时，命题成立。
通常我们可以通过观察前几项的情况，找到一个与k有关的表达式或性质，作为归纳假设。
这个归纳假设可以是一个等式、不等式、性质等。
例如，我们想要证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
我们观察前几项的和的情况，可以发现1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立时，对于n+1也成立。
因此，我们可以假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
二、验证基础情形接下来，我们需要验证基础情形，即n=1时命题是否成立。
如果命题在n=1时成立，那么作为归纳假设的基础，我们就可以使用归纳法进一步证明命题成立。
对于上述例子，当n=1时，1=1(1+1)/2成立。
因此，我们可以使用数学归纳法来证明该命题。
三、进行归纳步骤在归纳步骤中，我们假设当n=k时命题成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时命题也成立。
对于上述例子，假设当n=k时，1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2也成立。
根据归纳假设，1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
所以，1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。
通过化简，可得1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
因此，当n=k+1时，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2成立。
四、总结归纳法的应用技巧和思路在使用数学归纳法解题时，有几个常见的技巧和思路可供参考。
高中数学中的数学归纳法解题技巧
高中数学中的数学归纳法解题技巧数学归纳法是一种常用的解题思路，特别适用于高中数学中的证明、递推问题以及数列等内容。
通过观察题目的特点，我们可以灵活运用数学归纳法的解题技巧，快速解决问题。
本文将从数学归纳法的基本概念、应用场景以及解题策略三个方面，介绍高中数学中的数学归纳法解题技巧。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种数学推理方法，常用于证明命题对于所有自然数都成立。
其基本思想是：先证明当n为某个自然数时命题成立，然后证明如果n为某个自然数时，命题对于n+1也成立。
根据这个思路，如果命题对于n=1成立，并且对于n=k成立时，可以推出对于n=k+1也成立，那么我们可以断定命题对于所有自然数都成立。
二、数学归纳法的应用场景数学归纳法的应用场景广泛，特别适用于证明与递推问题。
在高中数学中，常见的应用场景包括：1. 证明等式和不等式成立。
2. 证明数列的通项公式。
3. 证明递推关系式成立。
4. 证明集合中的元素具有某种性质。
三、数学归纳法解题策略在应用数学归纳法解题时，我们可以按照以下策略进行操作：1. 确定基本情况：首先证明当n为某个具体的数时命题成立。
通常选择n=1或n=0作为基本情况。
2. 假设归纳成立：假设命题对于n=k成立，即假设命题在n=k时是成立的。
3. 证明归纳成立：利用假设的前提，证明对于n=k+1时命题也成立。
可以通过计算、推导、代入等方法进行证明。
4. 总结归纳：由于基本情况成立并且归纳步骤推导成立，我们可以得出结论，命题对于所有的自然数n成立。
通过上述解题策略，我们可以快速有效地运用数学归纳法解决涉及证明、递推、数列等问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们要保证每一步的推导都是准确无误的，以确保最终结论的可靠性。
总结数学归纳法是高中数学中常用的解题思路，它能够帮助我们理清问题的思路，快速解决证明、递推、数列等类型的问题。
在运用数学归纳法时，我们要注意确定基本情况，假设归纳成立，证明归纳成立以及总结归纳的步骤。
掌握数学归纳法高中数学归纳法问题的解题技巧
掌握数学归纳法高中数学归纳法问题的解题技巧数学归纳法是一种证明数学定理的技巧，它被广泛应用于高中数学中的数列、递归和整数论等分支中。
掌握数学归纳法不仅是学生迈向高中数学成功的重要一步，也对于日后从事理科相关工作的人士非常有用。
但是，许多学生在学习数学归纳法时，可能会感到困难和挫败。
接下来，本文将提供一些有用的技巧，以帮助学生掌握高中数学归纳法。
1. 理解归纳法归纳法的基本思想是，如果证明了一个定理对于其中某一个数值成立，那么就可以证明该定理对于如此数值以上所有的数值均成立。
也就是说，这种技巧要通过逐步证明某些特定的问题，以确保它们与已知的问题保持一致性。
2. 寻找基准情况在使用数学归纳法证明定理时，我们首先需要找到一个基准情况，即某个特定情况下，定理是否成立。
如果只是单纯的陈述一个问题，是无法进行任何操作的。
例如，如果证明一个数列的特点适用于数列的第一项或第二项，那么我们就可以说明在这些元素上定理是完全成立的。
这就是所谓的“基准情况”。
3. 假设成立条件在数学归纳法中，需要假设某些情况下定理是成立的。
这些情况不一定要包括所有的情况，也可以是一部分情况。
你需要考虑哪种形式的假设能够完成证明。
4. 做归纳假设的情况下证明定理公式成立在这一步中，我们通常会针对基准情况进行证明，并假设此时证明是成立的。
接下来，我们使用归纳假设对定理的公式进行证明，以证明基准情况之后所有的情况都是成立的。
需要注意的是，当证明过程中会出现一些细节问题，需要认真考虑如何解决。
5. 以基准情况为前提，证明更广泛的情况当基于归纳假设证明某定理的公式成立时，我们还需要证明它适用于更广泛的情况。
这一步的关键问题是，我们已经知道基准情况以及在某些情况下成立，所以我们也就需要证明除此之外的其他情况均成立。
在运用数学归纳法时，我们需要确保对这些所谓的“其他情况”进行明确的定义，并给出符合这些条件的例子以加强证明的可行性和可靠性。
6. 思考如何使用归纳法学会如何正确运用数学归纳法并不容易，需要经过实践和思考。
谈谈运用数学归纳法解题的思路
数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的重要方法，是从特殊到一般的推理方法.运用数学归纳法证明命题的步骤如下：1.若n 0是满足条件的最小整数，需先验证n =n 0时命题是否成立；2.假设n =k ()k ≥n 0,n ∈N 时命题成立，据此进行推理、运算，证明当n =k +1时，命题也成立3.得出结论：对任意n ≥n 0,n ∈N ，命题均成立.下面举例说明.例1.若n ∈N ，且n ≥5，证明：2n >n 2.证明：①当n =5时，2n =32，n 2=25，故不等式2n >n 2成立；②假设n =k ()k >5时，2k >k 2成立，当n =k +1时，2k +1=2×2k >2k 2=k 2+k 2，因为k 2+k 2>k 2+5k >k 2+2k +1=()k +12，所以2k +1>()k +12，即当n =k +1时，2n >n 2成立，综上所述，n ∈N ，且n ≥5，2n >n 2成立.本题中n 的初始值为5，需从n =5时开始验证不等式是否成立，再假设当n =k 时不等式成立，将其作为已知条件，利用不等式的传递性和可加性证明当n =k +1时不等式成立，从而证明对任意自然数n ≥5不等式都成立.运用数学归纳法证明不等式时需注意：（1）首先确定初始值n 0，有些命题不一定从n =1开始成立，可从任意一个正整数n 0开始，此时需从n =n 0开始验证命题是否成立；（2）在假设n =k 命题成立时，要注意k ≥n 0，以保证递推的连续性；（3）将f ()k 拓展至f ()k +1时，常需采用放缩法，对不等式进行放大或缩小，以证明不等式成立.例2.若数列{}a n 的通项公式为a n =4()2n -12，数列{}b n 的通项公式为b n =()1-a ()1-a 2∙∙∙()1-a n .求证：b n =2n +11-2n .证明：①令n =1，b 1=()1-a 1=()1-4=-3，满足b n =2n +11-2n；②假设当n =k 时，b k =2k +11-2k，b k =(1-a )(1-a 2)∙∙∙(1-a k )，当n =k +1时，b k +1=(1-a )(1-a 2)∙∙∙(1-a k )(1-a k +1)，可得b k +1b k=1-a k +1，则b k +1=b k ()1-a k +1=2k +1()1-2k ()1-a k +1=2k +1()1-2k ⋅1-4()2k +12=2k +3-1-2k =2()k +1+11-2()k +1，满足b n =2n +11-2n.所以命题得证.由n =k 时的命题证明n =k +1时的命题成立，要将n =k 时的命题作为推理、运算的条件，并寻找n =k +1与n =k 时命题之间的联系，通过因式分解、添拆项、配方等方式进行恒等变换，从而证明当n =k +1时命题也成立.例3.某平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，三条直线不相交于同一点，证明：这n 条直线有P n =12n ()n -1个交点.证明：①当n =2时，P 2=1，命题成立；②假设n =k ()k >2时，命题成立，即k 条直线共有P n =12n ()n -1个交点；③当n =k +1时，直线有k +1条，因为其中任何两条直线不平行，三条直线不相交于同一点，所以新增的一条直线与原来的k 条直线均有1个交点，即新增了k 个交点，此时P k +1=P k +k =k ()k -1+k =12k ()k -1=12()k -1⋅[]()k +1-1，即当n =k +1时，命题成立.综上所述，对任意自然数n ，这n 条直线有P n =12n ()n -1个交点.解答本题的关键在于由n =k 时的命题成立推出在n =k +1时的命题成立.需明确n 从k 到k +1的转变过程中，对P n 的影响，并重点分析k 条直线所形成的交点的个数与k +1条直线所形成的交点的个数之间的差异以及联系.总之，运用数学归纳法证明命题，要按照上述两个步骤对命题进行证明，这样才能确保对任意n ≥n 0,n ∈N ，命题均成立.同时，同学们要重视培养运算、观察、逻辑推理能力，这样才能灵活地运用数学归纳法来顺利证明命题.（作者单位：江苏省如东高级中学）备考指南57。
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧
高中数学中的数学归纳法应用解题技巧数学归纳法是高中数学中常见的一种解题方法，它通常用于证明数学结论或者计算数列等。
但是，并不是所有的数学归纳法都适用于所有的数学问题，在实际解题中，我们需要根据具体问题具体分析，选择合适的数学归纳法作为解题方法。
本文将详细介绍在高中数学中，如何应用数学归纳法解题。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明方法，它基于如下原理：如果能够证明一个命题对于某一个正整数成立，同时能够证明它对于任何一个大于该正整数的正整数也成立，那么可以证明这个命题对所有正整数都成立。
数学归纳法的证明分为两步：第一步是证明当$n=1$时命题成立；第二步是假设$n=k$时命题成立，证明$n=k+1$时命题也成立。
这样证明完了这两步之后，便可以得出结论：这个命题对于所有正整数都成立。
二、数学归纳法的应用技巧1. 注意命题的表述方式在应用数学归纳法解题时，需要注意命题的表述方式。
一般来说，命题的表述应该是对于所有正整数$n$，某一个性质成立，而不是只对于某一个正整数成立。
比如说，我们要证明所有的正整数的平方都大于该正整数本身，那么命题的表述应该是对于所有正整数$n$，$n^2>n$ 成立，而不是只对于某一个正整数成立。
2. 确定归纳假设在利用数学归纳法证明某一结论时，需要先确定归纳假设。
归纳假设是指我们假设当$n=k$时命题成立，然后尝试证明当$n=k+1$时命题也成立。
归纳假设的选择很关键，一般来说，需要根据命题的特点和数学归纳法的思想，选择合适的归纳假设。
3. 找到证明方法在确定归纳假设之后，需要找到一个证明方法，证明当$n=k+1$时命题也成立。
这个证明方法可以直接由归纳假设推导得到，或者是通过某些算术变形、代数运算等得到。
需要注意的是，证明方法必须是正确的，不能有逻辑漏洞或者不严谨的地方。
三、数学归纳法的实例下面通过两个实例来说明如何应用数学归纳法解题。
实例1：证明$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$解：首先进行基本步骤的证明，当$n=1$时，显然，$1=1^2$，公式成立。
数学归纳法在解题中的技巧
数学归纳法在解题中的技巧1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体内容转变方法存有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段探讨法：适用于于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于于存有显著几何意义的情况。
2、因式分解根据项数挑选方法和按照通常步骤就是顺利进行因式分解的关键技巧。
因式分解的通常步骤就是：提取公因式；选择用公式；十字相乘法；分组分解法；拆项添项法；3、分体式方法。
利用全然平方公式把一个式子或部分化成全然平方式就是分体式方法，它就是数学中的关键方法和技巧。
分体式方法的主要根据存有：4、换元法。
解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、未定系数法。
未定系数法就是在未知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于于求点的座标、函数解析式、曲线方程等关键问题的化解。
其解题步骤就是：①设立②列于③求解④写下6、复杂代数等式。
复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最了不起的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)谋值域范围的思路列于欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式。
基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法存有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)特别注意：当表达式的代数式就是字母的“等距式”时，通常可以化成字母“和与内积”的形式，从而用“和内积代入法”表达式。
11、解含参方程。
方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型解(2)根据需要讨论(3)分类写下结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任一x都设立关于x的方程ax+b=0存有无数个求解a=0且b=0。
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题数学归纳法是一种常见且重要的数学技巧，在高考数学中经常被用于解决一些复杂的问题。
通过合理运用数学归纳法，可以简化问题的复杂性，从而更好地解决数学题。
本文将探讨高考数学中如何利用数学归纳法解决问题的技巧和方法，并通过一些例题进行说明。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它的基本原理是：设n为一个正整数，如果能证明当n取某个值时命题成立，而且如果在命题成立的情况下可以推导得到n+1的情况也成立，那么就可以得出结论：当n为任意正整数时，命题都成立。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法主要包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
1.基础步骤：首先需要证明当n取某个值时命题成立。
这个值通常是最小的正整数，可以是1或任意不为0的正整数。
2.归纳假设：假设当n取k（其中k为正整数）时命题成立，即假设命题P(k)为真。
3.归纳步骤：在已知P(k)为真的情况下，利用此假设证明P(k+1)为真。
通过推理和运算，将P(k+1)的真实性转化为某个已知条件的真实性，即从P(k)推导得到P(k+1)。
三、利用数学归纳法解决高考数学问题的技巧1.明确问题类型：在高考数学中利用数学归纳法解题，首先要明确问题的类型。
常见的问题类型包括数列、方程、不等式、集合等。
2.观察规律：利用数学归纳法解题的关键在于观察规律。
通过对问题的分析和计算，观察数列、方程等中数值、系数的变化规律，总结出规律的特点。
3.列出基础步骤：根据观察所得的规律，找到问题中的基础步骤。
基础步骤通常是证明当n取某个值时命题成立。
4.假设并证明：在观察到的规律的基础上，假设命题P(k)为真，并通过计算和推理证明该命题成立。
5.归纳得出结论：在已知P(k)为真的情况下，运用数学归纳法的归纳步骤，将P(k+1)的真实性转化为已知条件的真实性，进而得出结论。
四、数学归纳法解题的例子【例题】已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则证明：a_n=n^2。
如何合理利用数学归纳法得出结论
如何合理利用数学归纳法得出结论一、数学归纳法的基本概念知识点：数学归纳法的定义知识点：数学归纳法的基本步骤知识点：数学归纳法的适用范围二、数学归纳法的步骤及应用知识点：验证基础情况知识点：假设命题在某一情况下成立知识点：证明命题在下一情况下也成立知识点：归纳结论三、数学归纳法的常见题型知识点：数列问题知识点：函数问题知识点：几何问题知识点：组合问题四、数学归纳法的解题技巧知识点：善用数学归纳法的性质知识点：灵活运用数学归纳法知识点：注意归纳假设的合理性知识点：避免数学归纳法的滥用五、数学归纳法在实际应用中的案例分析知识点：求解等差数列的求和公式知识点：证明恒等式知识点：解决函数的性质问题知识点：分析几何图形的性质六、数学归纳法在学习中的重要性知识点：培养逻辑思维能力知识点：提高数学证明能力知识点：锻炼问题解决能力知识点：深化对数学知识的理解七、数学归纳法的拓展与延伸知识点：数学归纳法的变种知识点：数学归纳法与其他证明方法的结合知识点：数学归纳法在高等数学中的应用知识点：数学归纳法是一种强大的数学证明方法知识点：掌握数学归纳法的步骤和应用知识点：善于运用数学归纳法解决实际问题知识点：不断探索数学归纳法的拓展与延伸习题及方法：1.习题：证明对于所有的自然数n，等式n^2 + n + 41总是能够被41整除。
解答思路：使用数学归纳法，首先验证基础情况n=0时等式成立，然后假设对于某个自然数k，等式成立，即k^2 + k + 41能被41整除，接着证明当n=k+1时等式也成立。
答案：等式n^2 + n + 41可以被41整除。
2.习题：求解等差数列1, 3, 5, …, 2n+1的和。
解答思路：使用数学归纳法，首先验证基础情况n=1时等式成立，即1=1，然后假设对于某个自然数k，等式成立，即1+3+5+…+(2k+1)=k^2+k，接着证明当n=k+1时等式也成立。
答案：等差数列1, 3, 5, …, 2n+1的和为n^2 + n。
高数解题中总结归纳法的应用
高数解题中总结归纳法的应用总结归纳法是数学中一种非常重要的思想方法，其应用广泛，可以解决各种问题。
在高等数学学习中，总结归纳法也是必不可少的一种方法，能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学概念和理论，解决各种数学问题。
下面就是对高数解题中总结归纳法的应用的一些总结。
一、数列问题数列问题是总结归纳法最常用的应用之一。
在数列问题中，我们可以使用归纳法的方法，递推求出数列的通项公式，从而得到数列的一些性质和定理。
例如：1. 证明等差数列的通项公式：对于等差数列an，如果已知a1和d，则可以通过递推求出数列的通项公式an=a1+(n-1)d，然后通过归纳法证明。
3. 证明斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其通项公式为an=F(n)=[(1+sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)-[(1-sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)，可以通过递推求出，然后通过归纳法证明。
二、数学归纳法证明数学归纳法是总结归纳法中最常见的一种方法，可以用来证明各种数学定理和命题。
归纳法的基本思想是：对于某个命题或定理，如果已知它对某个整数成立，同时又知道它对某个整数k+1成立，那么可以推导它对所有大于等于该整数的整数也成立。
例如：1. 证明等差数列的前n项和公式：首先假设k=1时该公式成立，那么对于k+1时，有Sn+1=S(n+1)+a(n+1)，代入等差数列通项公式可以得到Sn+1=1/2(n+1)(a1+an)，证毕。
2. 证明数学归纳法原理：假设P(1)成立，即当n=1时命题成立；再假设当n=k时命题成立，则要证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
证毕。
三、不等式证明不等式证明也是总结归纳法的一种应用方式。
在不等式证明中，我们可以通过找到一些基准式，从而验证不等式的成立。
例如：1. 证明柯西不等式：对于数列a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn，柯西不等式表示(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。
发展数学问题的归纳和演绎的解题技巧
发展数学问题的归纳和演绎的解题技巧在数学领域中，归纳和演绎是两种重要的解题技巧。
它们不仅在解决数学问题时起着关键作用，也有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍发展数学问题的归纳和演绎的解题技巧，并讨论它们的应用。
一、归纳法归纳法是一种从特例到一般的推理方法。
它基于观察到的若干特殊情况，通过总结规律或模式，得出一般性结论。
在使用归纳法解题时，主要包括以下几个步骤：1. 观察现象：观察给定的特例或者一系列数学问题中的模式或规律。
2. 形成假设：通过观察，发现可能存在的规律，并形成一个假设。
3. 进行证明：使用数学方法对假设进行证明，通常使用数学归纳法。
4. 得出结论：在证明过程中，通过数学归纳法可得出一般性结论。
归纳法的典型例子是证明等差数列的求和公式。
我们首先观察到等差数列中的数之间的差是一个常数，然后假设等差数列的前n项和与n有关，通过归纳法证明了等差数列的求和公式Sn=n(a1+an)/2的正确性。
二、演绎法演绎法是一种从一般到特殊的推理方法。
它基于已知的一般原理或定理，通过逻辑推理和推导，得出特定问题的结论。
在使用演绎法解题时，主要包括以下几个步骤：1. 确定已知条件：清楚地了解和确定问题中所给出的所有已知条件。
2. 应用定理或原理：根据已知条件，找到适用的数学定理或原理，作为解决问题的基础。
3. 进行推理和推导：利用所选定的定理或原理进行逻辑推理和推导，一步一步地得出结论。
4. 检查和验证：对得出的结论进行检查和验证，确保符合条件和要求。
演绎法的典型例子是证明数学中的命题。
例如，要证明“三角形的内角和为180度”，我们可以根据数学基本公理和几何定理来进行推导，最终得出结论。
三、归纳和演绎的应用归纳和演绎是解决数学问题不可或缺的两种技巧。
在解题过程中，我们可以根据问题的特点和条件，选择适合的方法。
1. 培养逻辑思维：通过归纳和演绎，学生可以培养逻辑思维的能力。
归纳法能够帮助学生从具体到抽象，从特例到一般；演绎法则帮助学生从已知到未知，从一般到特殊。
如何利用高一数学中的数学归纳法解题
如何利用高一数学中的数学归纳法解题在高一数学的学习中，数学归纳法是一种非常重要的解题方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，对于培养我们的逻辑思维和推理能力也具有重要意义。
那么，究竟如何利用数学归纳法来解题呢？下面就让我们一起来探讨一下。
首先，我们来了解一下数学归纳法的基本概念。
数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。
它的基本步骤分为两步：第一步是基础步骤，也就是证明当 n 取第一个值（通常是 1）时命题成立；第二步是归纳步骤，假设当 n ＝ k（k 是自然数，且k ≥ 第一个值）时命题成立，然后证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
接下来，我们通过一些具体的例子来看看如何运用这两步来解题。
例 1：证明 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2n 1) ＝ n²第一步（基础步骤）：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1²＝ 1，左边等于右边，命题成立。
第二步（归纳步骤）：假设当 n ＝ k 时命题成立，即 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＝ k²。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋… ＋（2k 1) ＋（2(k ＋ 1) 1)＝ k²＋（2k ＋ 1)＝（k ＋ 1)²右边＝（k ＋ 1)²左边等于右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
通过以上两步，就证明了这个命题对于所有的自然数 n 都成立。
再来看一个例子：例 2：证明 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ n²＝ n(n ＋ 1)（2n ＋ 1)／6基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1²＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1)×（2×1 ＋ 1)／6 ＝ 1，左边等于右边，命题成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k 时命题成立，即 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ k²＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1)／6当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1²＋ 2²＋ 3²＋… ＋ k²＋（k ＋ 1)²＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1)／6 ＋（k ＋ 1)²＝（k ＋ 1)k(2k ＋ 1)／6 ＋（k ＋ 1)＝（k ＋ 1)（2k²＋ k ＋ 6k ＋ 6)／6＝（k ＋ 1)（2k²＋ 7k ＋ 6)／6＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3)／6右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3)／6左边等于右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证 据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。 注意： （1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）． （2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误 （即跨度问题）． （3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
2
2
2.原理 数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法 想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你 可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】
解题秘诀如何灵活运用数学归纳法解决问题
解题秘诀如何灵活运用数学归纳法解决问题在数学领域中，归纳法是一种常用的解题方法。
它的核心思想是通过已知论断的真实性来推断未知论断的真实性。
归纳法可以帮助我们解决一系列类似的问题，而不必进行繁琐的证明过程。
本文将介绍如何灵活运用数学归纳法来解决问题，并给出一些解题的秘诀。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是从小范围到大范围的推理方法。
它包含三个基本步骤：1. 第一步：基础情况的验证首先，我们需要验证论断在最小的情况下是否成立。
这可以作为我们推断更一般的情况的基础。
2. 第二步：归纳假设的建立假设论断在某一情况下成立，我们将其称为归纳假设。
这个归纳假设需要十分准确，并且能够包含更一般的情况。
3. 第三步：归纳法的推理根据归纳假设，我们通过推理来证明论断在下一个情况下是否成立。
通过这样的不断递推，我们可以得到论断在所有情况下的真实性。
二、灵活运用数学归纳法的方法1. 寻找规律在运用数学归纳法解决问题之前，我们需要先找出问题中的规律。
可以通过观察问题的示例、列举数据等方式来找到问题的规律性。
2. 善于设置归纳假设归纳假设是数学归纳法的关键，它应该能够涵盖问题的一般情况。
在设置归纳假设时，我们需要仔细思考问题的性质，并确保归纳假设的准确性。
3. 注意问题的边界情况在运用数学归纳法解决问题时，我们需要注意问题的边界情况。
边界情况通常是指问题的最小值或最大值，我们需要验证论断是否在这些边界情况下成立。
4. 合理运用数学定理或公式在解决一些特定类型的问题时，可以考虑使用一些已知的数学定理或公式。
这些定理或公式可以作为归纳假设或推理步骤中的重要工具，帮助我们更好地解决问题。
三、解题秘诀示例为了更好地理解如何灵活运用数学归纳法解决问题，我们将通过一个具体的例子来说明。
假设我们要证明以下论断：对于任意正整数n，都有1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2.首先，我们验证基础情况。
当n = 1时，等式左侧为1，右侧为1^2，基础情况成立。
数学归纳法典型例题
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题型四 “归纳、猜想、证明”问题
【例4】 (12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an， bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)． 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论． 审题指导 归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一， 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问 题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探 索出一般规律．
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【解题流程】 由条件得an，bn，an＋1，bn＋1之间的关系 ―→ 代入a1＝2，b1＝4，求出a2，a3，a4，b2，b3，b4的值 ―→ 归纳猜想an，bn的通项公式 ―→ 用数学归纳法证明所得结论 [规范解答] 由条件得 2bn＝an＋an＋1， a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可以得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立．
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＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＋3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1 >56＋3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1 >56＋3×3k＋1 3－k＋1 1＝56. 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)，(2)可知，原不等式对一切 n≥2，n∈N＋都成立．
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【训练4】 设数列{an}满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，… (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项 公式；
数学归纳法在解题中的技巧
，
６ ， 均 为 常数 ） ， 点（ ， Ｓ ） 在 函数 图象
上 ， 司知 Ｓ 一ｂ ” ＋ｒ ．
数 学 归纳法 作 为一种 特 殊 的计算 技 巧 和 方 法 ， 在
当 ” 一１时 ， ｎ １ 一Ｓ １ ＝６ ＋ｒ ； 当 ≥２ 时，
ｎ 一Ｓ ～Ｓ １ 一ｂ ＋ｒ 一（ ６ ＋ｒ ） 一
① 当ｎ ＝１ 时， 左式一导， 右式一 ， 鲁＞ ， 所
以不 等式成 立 ． ② 假 设 ＝ｋ时 ， 不等 式成 立 ， 即
（ １ ）当 一 １ 时， １ ２ 一 （ １ ）当 一 时 ， 一
一 ， 等 式成 立・ 立．
（ ２ ）假 设 当 ｎ ＝ ｋ时 ， ｋ ∈Ｎ＋， 等 式成 立．
ｂ ２
２ ｋ ＋３ ＞何
２ 忌＋ ２ …
・ ２ ｋ ＋３
２ 足＋ ２ ． 。
（ 忌 ＋１ ） ｒ 足 （ ２ ｋ ＋３ ） ＋２ （ 是 ＋１ ） ］
２ （ ２ ｋ ＋ １ ） （ ５ ｋ＋ ２）
一
６
２ 是
２ （ ２ ｋ ＋ １ ） （ ２ ｋ ＋３ ） （ 忌 ＋１ ） （ ２ ｋ ＋１ ） （ 是＋ ２ ） （ 忌＋ １ ） ＋ （ 志 ＋１ ） ２ （ ２ ｋ ＋ １ ） （ ２ ｋ ＋３ ） ４ （ ｋ＋ １ ） ＋２ ‘
ｂ 一 ｂ 一 一 （ ６— １ ） ｂ 一 ．
高考试 题 中的 应用 十分 广 泛 ． 为此， 本 文 将 结 合 几 道
典 型 的例 题来 阐述 数学 归纳 法 的应用 ． １ 数 学 归纳 法在数 列 中的 应用
对 于 数列 的证 明 ， 可结合个体 到整体 ， 特 殊 到 一 般 的思路 ， 从 而利用 数学 归 纳法 是常 见 的解 题 方法 ．
考研数学数学归纳法题解题步骤
考研数学数学归纳法题解题步骤考研数学是许多学生备考过程中最让人头疼的一门科目。
其中，数学归纳法是考研数学中的一个重要内容，也是考生们常常会遇到的一个难点。
在本篇文章中，我将为大家详细介绍数学归纳法的题解步骤，希望对考研数学的备考有所帮助。
数学归纳法是一种数学证明的方法，常常被用来解决递推问题。
在考研数学中，也经常会遇到需要运用数学归纳法进行证明的题目。
下面，我将以一个具体的例子来说明数学归纳法的题解步骤。
假设我们有一个数列{a1, a2, a3, ... , an}，其中a1=1，且满足递推关系式an =an-1 + 2(n-1)，我们需要证明对于任意正整数n，都有an = n²。
首先，我们需要进行基本步骤的验证。
即验证当n=1时，递推关系式an = an-1 + 2(n-1)是否成立。
当n=1时，an-1 = a0 = 1，而2(n-1) = 2(1-1) = 0。
因此，an = an-1 + 2(n-1) = 1 + 0 = 1。
与a1=1相符，基本步骤验证成功。
接下来，我们进行归纳步骤的证明，即假设对于任意正整数k，都有ak = k²成立，来证明对于正整数k+1，也有ak+1 = (k+1)²。
在归纳步骤中，我们首先将递推关系式中的n替换为k+1，即ak+1 = ak +2(k+1-1) = ak + 2k。
接下来，我们利用归纳假设，将ak替换为k²，即ak+1 = k² + 2k。
我们将上式进行化简，ak+1 = k² + 2k = k² + k + k = k(k+1) + k = (k+1)k + k。
进一步化简，ak+1 = (k+1)k + k = (k+1)(k+1) = (k+1)²。
由此可见，ak+1 = (k+1)²，即对于任意正整数k+1，都有ak+1 = (k+1)²成立。
2022年高中数学北师大版选修教案复习点拨利用数学归纳法解题举例
利用数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，)时成立，这是递推的基础；第论证的第一步是证明命题在n＝1(或n二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n 且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递≥n推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、运用数学归纳法证明整除性问题例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。
证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。
命题成立。
(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。
又能被133整除。
所以，11(k+1)+122(k+1)-1能被133整除，即n=k+1时，命题成立。
由(1),(2)命题时n∈N都成立。
点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。
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用数学归纳法解题
数学归纳法是中学数学中的常用方法，也是证明与自然数n 有关的命题的有力武器，在中学数学中有十分重要的地位. 数学归纳法在中学数学教材中被安排在极限一节，也只介绍了第一数学归纳法，其应用也局限在证明等式、不等式、整除、证明有关几何图形的命题、和与递推有关的数列问题. 本文将结合几个简单例题谈一下第二数学归纳法及数学归纳法的几种灵活运用（变形用法），意在加深对数学归纳法的理解，提高同学们的学习兴趣.
数学归纳法证明问题的一般步骤是：1o 验证n=n 0 时命题成立；20 假设n=k(k ≥n 0)时命题成立，推出n=k+1时命题也成立，从而得出对任意自然数n (n ≥n 0)命题都成立的结论. 第二数学归纳法是在第一数学归纳法的基础上把第二步的归纳假设改为：假设n ≤k(k ≥n 0)时命题成立，从而得出命题成立的结论.
例1．将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数，3算作第二个质数，依次类推. 求证：第n 个质数P n ＜n 22 . 证明：1O 为当n=1时，P 1＝2＜22＝4，结论成立.
2O 假设n ≤k 时结论成立，即
i i p 22< （i=1，2，……，k ）将这k 个不等式两边分别相乘,得 P 1·P 2·P 3·…·P k ≤ k
2...22212+++＜
2212-+k
所以所以P1·P2·P3·…·Pk ≤ 122+k
因为P 1，P 2，P 3，…，P k 都不能整除P 1·P 2·P 3·…·P k ＋1，
所以P 1·P 2·P 3·…·P k ＋1的质因数q 不可能是P 1，P 2，P 3，…，P k ，
只能是大于或等于P k+1, 于是有
P k+1≤q ≤P 1·P 2·P 3·…·P k ＜
122+k
即 P k+1< 122+k .
由以上两步可知，对于任意的自然数n ，命题都成立.
评注：本题用的是第二数学归纳法，在第二步由归纳假设推证n ＝k+1时成立时，不仅用到了n=k 的结论，而要用n<k 的所有结论，这也是第二数学归法与第一数学归纳法的不同之处.
例2．求证：()()n n 5353-++能被n 2整除. 证明：(1)当n=1时（3+5）+（3－5）＝6 能被2 整除
当n=2 时（3＋5）2＋（3－ 5）2 ＝28，也能被22 整除
(2)假设n=k －1和n=k （k 2≥）时，命题都成立，
即（3＋5）1-k +( 3－5)1-k 能被21-k 整除
（3＋5）k + ( 3－5 ) k 能被2k 整除
当n=k+1时，
（3＋5）k+1+(3－5)k+1
=[（3＋5）k +( 3－5)k ][( 3+ 5)+(3－5)]－(3－5)k (3+5 )－(3+5 )k (3－5)
=6 [（3＋5）k +( 3－5) k ]－4[（3＋5）k －1+( 3－ 5)k －1 ]
也是2k+1的倍数.
由以上两步可知，命题对任意的n 都成立.
评注：本题在第一步验证时，不是验证一个初始值，而是验证两个，在第二步证明时不是由n=k 推出n=k+1也成立，而是由n=k －1和n=k 同时成立才能推出n=k+1成立. 这与第二数学归纳法相似，却不尽相同.
例3．求证：当n ≥6时，可以把平面正方形ABCD 分割成n 个小正方形.
证明：（1）可验证n=6、7、8时命题成立（如下图）
（1） （2） （3）
（2）假设n=k (k ≥6)时成立，则易得n=k+3时成立，只要把k 个正方形中有某一个正方形平均分成四个正方形即可.
综合上述，可得命题成立.
评注：本题和前题一样，也需要验证多个初始值，但这多个初始值在第二步归纳设中各自独立推出n=k+3时成立，这是和前例的区别所在.
例4．试证用面值为3角和5角的邮票可以支付任意n （n>7,n ∈N ）角的邮资.
证明：1O 当n=8时，结论显然成立.
2O 假设当n ＝k(k>7,k ∈N)时命题成立.
若这k 角邮资全是用3角票支付，则只少出3张，可将这3张3角票换成2张5角票就可支付k ＋1角的邮资；若这k 角邮资至少有一张是5角票，只要将这一张5角票换成两张3 角票便可以支付k ＋1角的邮资.故当n ＝k+1时命题也成立.
综合上述，对n>7的自然数n ，命题都成立.
评注：本例在应用归纳假设时，采用了分类讨论的方法.本例题也可用例三中的方
法来证明.
例5．求证：任何一个正的分数
n m （m>n ）都可以表示成若干个互不相同的自然数的倒数之和. 证明：对m 进行数学归纳： 10 当m ＝1 时，命题成立.
当m =2 时，n ≥3且为奇数，可令n=2k+1,k ∈N
(再对n 进行数学归纳：（1）当k=1时，6
12132+= 成立. （2）假设当k ≤k 0时成立，当k=k 0+1时
)
32)(2(1213211)1(22200000++++=+=++=k k k k k n 命题也成立.且其中各项分母均不为n.）
20 假设m ≤L 时成立，当m=L+1时，
n L n n L +=+11 依归纳假设 n
l 可以表示成若个自然数（不等于n )的倒数和，即当m ＝L ＋1时也成立. 综合上述，命题成立.
评注：本题中的结论与两个独立的自然数m 、n 有关，证明时，同时对m 、n 进行数学归纳，是‘双重数学归纳法’. 例6．（加强命题）设0＜a<1，定义a 1=1+a ，a n+1= a+
n a 1 (n ≥1)，证明 a n ＞1 证明：先将命题加强为求证：1＜a n < a
-11 1O 当n ＝1时，a 1＝1＋a>1, 且由（1－a ）(1＋a)=1－a 2 )<1可得1＋a<
a -11 ∴有1＜a 1< a
-11成立. 20 当n=k 时成立，即1＜a k <
a -11 当n=k+1时 a k+1= a+ k
a 1>a+1－a=1，即a k+1>1 又 a k+1= a+k
a 1 ＜a+1< a -11 ∴当n=k+1 时命题也成立.
综合上述，命题对任意的自然数n 都成立.
评注：数学命题一般是越弱越容易证明，但是数学归纳法证明命题时，要充分利用归纳假设，命题越强，假设的条件也就越强，促使下一步的证明也越容易. 在证明不等式时应注意灵活运用.
例7．求证：对意任意给定的n 元集合M ，可以把M 的所有子集排成一列，使得相邻的两个子集最多相差一个元素.
证明：1O 为当n ＝1时，M 只有两个子集Φ和M ，两个集合只差一个元素，命题成立.
2O 假设当n=k 时命题成立，当n=k+1时，先把M 的所有子集分成两类：一类是不含元素A(A 为集合M 中的任意一个给 定的元素)的子集，可把这些集合看作是某一个n 元集的所有子集，据归纳假设，可以把这2n 个子集按要求排成一列；另一类是含有元素A 的子集，把每一个子集中的元素A 去掉后，便是前一类种的2n 个集合，也能把它们按要求排成一列（按与前一次相反的次序排好），每一个集合都添加上A 后仍然符合要求.只要把两列子集首尾相接，便是把n ＋1元集M 的2n+1个子集按要求排成了一列.
综合上述，命题对任意的n 都成立.
评注：本题两次使用归假设，才是问题圆满解决.当然有些命题也可能多次用到或多重使用，应视问题的繁简灵活运用.
数学归纳法是一种证明的方法，也是一种科学的思维方式.其应用范围也不局限于证明与自然数有关的命题，有些与整数或与有理数有关的命题，也可用它来解决. 要撑握数学归纳法，更要理解数学归纳的思想，去创造性地解决问题.。