高三数学第一轮复习《第21课时 平面向量的概念及其线性运算》课件
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平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
变条件)点C在线段AB上,且 = ,则=______,
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一 平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
2
2
1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一 平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
2
2
1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
[总结反思]利用共线向量定理解题的方法
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
向量的概念及线性运算+课件-2023届高三数学一轮复习
(4)实数与向量的积(数乘)．
①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，λa 与 a 平行．规定： |λa|＝__|λ_||_a|___，当 λ ＞ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ；当 λ ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
②运算律：λ(μa)＝_(λ_μ_)a__，(λ＋μ)a＝_λ_a＋__μ_a __，λ(a＋b)＝_λ_a_＋_λ_b___．
面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( D )
→ A.OM
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以O→A＋
O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M.所以O→A＋O→B＋O→C＋O→D＝4O→M.
故选 D.
(3)在△ABC 中，延长 BC 至点 M 使得 BC＝2CM，连接 AM，点 N 为 AM 上
A.1A→B－1A→D 23
C．－1A→B＋1A→D 23
B.1A→B－1A→D 32
D．－1A→B＋1A→D 32
4.如图所示，设 O 是△ABC 内部一点，且O→A＋O→C＝－2O→B，则△ABC 与
△AOC 的面积之比为( )
A．4∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．4∶3
5、如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则 m＋n 的值为________
2、如图所示，在△ABC 中，A→N＝1A→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋ 2 A→C，
高三一轮总复习文科数课件：-平面向量的概念及其线性运算 .ppt..共42页
敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
高三一轮总复习文科数课件：-平面向 量的概念及其线性运算 .ppt..
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高三一轮总复习文科数课件：-平面向 量的概念及其线性运算 .ppt..
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算课件
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
精选ppt
17
知识点三 共线向量定理
5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( )
21
问题3 为什么共线定理b＝λa中要求a≠0？如何应用共线定
理证明三点共线？
(1)若a＝0，当b＝0时，λ有无数多个值，b≠0时，λ值不存
在，所以要求a≠0；
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使
→ AB
＝λ
→ AC
，则A，B，C
三点共线．这里注意A→B与A→C有公共点A.
精选ppt
22
高频考点 考点一 向量的有关概念 【例1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若A→B＝D→C，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝
μb，但a与b不一定共线．
答【规律方法】 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④ 是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行 判定的行之有效的方法．
10
对点自测 知识点一 向量的有关概念 1.判一判 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量．( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
高三数学一轮复习 平面向量概念与线性运算课件 新人教B版
• (6)向量加法的三角形法则与多边形法则，要点是“首尾相接、首 指向尾”． • 向量减法的三角形法则，必须满足起点相同这个条件，其规则是 “同始连终，指向被减”．
• 一、“数形结合”思想 • 数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意 义，充分体现了数形结合思想． • [例] 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． • 已知：AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，且AC与BD互相平 分． • 求证：四边形ABCD是平行四边形．
3．实数与向量的积 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa. ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方 向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.
• 分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四 边形法则来求，二是应用平行向量基本定理，用待定系数法求系 数．
1→ 1 1 → → 解析：BA＝a－b，BM＝6BA＝6a－6b， 1 5 → → → → ＝a＋b， OM＝OB＋BM＝6a＋6b，OD 1→ 1→ → → → ON＝OC＋CN＝2OD＋6OD 2→ 2 2 ＝ OD＝ a＋ b， 3 3 3 1 1 → → → MN＝ON－OM＝2a－6b.
②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a. ③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示 (2)减法 ①三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点O， → ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝a－b. 作OA ②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
+ + = ,所以 = −,所以为的中点. 又因为为
的中点，所以△ =
△
=
,
△
△
则
△
= .
考点一 平面向量的有关概念
例1 （多选）下列命题中的真命题是(
)
A.若 = ，则 =
B.若,,,是不共线的四点，则“ = ”是“四边形为平行四边
√
形”的充要条件
C.若 = , = ��,则 =
√
D. = 的充要条件是 = 且//
解析：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确;因为
= ,所以 = 且//,又,,,是不共线的四点，所以四
边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则
2025届高考数学一轮复习讲义
平面向量、复数之
平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
方向
（1）向量：既有大小又有①______的量叫做向量，向量的大小叫做向量
模
的②____.
0
（2）零向量：长度为③___的向量，其方向是任意的.
1个单位长度
（3）单位向量：长度等于④_____________的向量.
定义
法则（或几何意义）
运算律
=⑩______，当
> 时,
=⑭_______;
相同
求实数
与的方向⑪______；
+ =⑮
数乘 与向量的 当 < 时,与 的方向⑫
+
_________;
相反
积的运算 ______；
+
第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
2025年高考一轮总复习
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
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4
2.向量的加法和减法 （1）加法 ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则. ②运算性质： a+b= b+a (交换律）； (a+b)+c=a+(b+c)（结合律）； a+0= 0+a = a . (2)减法 ①减法与加法互为逆运算； ②法则：服从三角形法则.
3.实数与向量的积
（1）长度与方向规定如下：
17
知能迁移1 下列结论中，不正确的是 （ D ） A.向量 AB ，CD 共线与向量 AB ∥CD 同义 B.若向量 AB ∥ CD ，则向量 AB 与 DC 共线 C.若向量 AB = CD ，则向量 AB = DC D.只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b 解析 根据平行向量（或共线向量）定义知A、B 均正确；根据向量相等的概念知C正确；D不正确.
等于
（ A）
A. BC 1 BA
2
B. BC 1 BA
2
C. BC 1 BA
2
D. BC 1 BA
2
解析 ∵D是AB的中点，∴BD 1 BA
CD CB BD BC 1 BA.
2
2
9
3.已知向量a、b不共线， c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（D ） A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
）
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
AD DA.B矩形BC CD
解析AD 由2 B已C 知得
=-8a-2b，
故
，由共线向量知识知AD∥BC，
且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选
A.
13
03 例题精讲
题型一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
，
02 基础过关
1.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错
误的是
（ C）
A.AB DC
B.AD AB AC
C.AB AD BD
D.AD CB =0
解析 A显然正确，由平行四边形法则知B正确. AB AD DB ，故C错误.D中 AD CB AD DA=0.
8
2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD
. AB DC
AB DC AB DC
②由AB DC 可得| |=| |且 ∥ ，
由于 ∥ 可能是A，B，C，D在同一条直线上，
故此命题不正确.
③正确.
④不正确.当b=0时， a∥c不一定成立.
答案 D
12
5.在四边形ABCD中，AB =a+2b，BC =-4a-bC，D =-
5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为A （
解析 ①中，∵向量AB与 BA 互为相反向量，
∴它们的长度相等，∴此命题正确.
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的
方
向不一定相同或相反，∴此命题错误.
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起
点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确.
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不
一定共线，∴该命题错误.
解析 ∵c∥d,∴c= d,即ka+b= (a-b).又a、b
不共线，
k= , =-1, ∴ 1=- ,∴ k=-1. ∴c=-d,∴c与d反向.
10
11
解析 ①由|a|=|b|可知向量a,b模长相等但不能确
定
AB AD
向AB量的A方D 向，如在正方形ABCD中，| |=| |，但
与 既不相等也不互为相反向量，故此命题错误
2
22
AG AB BG AB 2 BE 3
AB 1 (BA BC) 3
19
2 AB 1 ( AC AB) 33
1 AB 1 AC 1 a 1 b.
33
33
探究提高 （1）解题的关键在于搞清构成三角形
的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的
相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转
16
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量， ∴若 与 是共线向量，则A、B、C、D四点不一
定 AB CD 在一条直线上，∴该命题错误. ⑥∵零向量不能看作是有向线段，∴该命题错误. 探答究案提高C
（1）本题涉及的主要内容有向量的概 念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共 线向量. （2）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过 的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、 抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方 向的量.
化.
（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧
18
题型二 平面向量的线性运算
【例2】在△ABC中，D、E分别为 BC、AC边上的中点，G为BE上 一点，且GB=2GE，设 AB =a， AC =b，试用a、b表示AD ，AG . 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法 则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
解 AD 1 ( AB AC) 1 a 1 b;
①| a|=| ||a| ; ②当 ＞0 时， a与a的方向相同；当 ＜0 时， a 与a的方向相反；当 =0时， a= 0 . (2)运算律：设、μ∈R，则： ① (μa)=( μ)a ;②( +μ)a= a+μa; ③ (a+b)= a+ b .
4.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 使得b= a .
高三数学第一轮复习
01 双基回顾
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向
量的大小叫做向量的 长度 （或模）. (2)零向量：长度为0 的向量叫做零向量，其方向是 任意 的. (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量 又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直 线上. 规定：0与任一向量平行 . (5)相等向量：长度 相等且方向相同 的向量. (6)相反向量：长度 相等且方向相同的向量.
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反
；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同
；
④两个A有B 共同终点CD的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、
D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为
（）
15
A.2
B.3
C.4
D.5
思维启迪 熟练掌握向量的有关概念并进行判断.
2.向量的加法和减法 （1）加法 ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则. ②运算性质： a+b= b+a (交换律）； (a+b)+c=a+(b+c)（结合律）； a+0= 0+a = a . (2)减法 ①减法与加法互为逆运算； ②法则：服从三角形法则.
3.实数与向量的积
（1）长度与方向规定如下：
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知能迁移1 下列结论中，不正确的是 （ D ） A.向量 AB ，CD 共线与向量 AB ∥CD 同义 B.若向量 AB ∥ CD ，则向量 AB 与 DC 共线 C.若向量 AB = CD ，则向量 AB = DC D.只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b 解析 根据平行向量（或共线向量）定义知A、B 均正确；根据向量相等的概念知C正确；D不正确.
等于
（ A）
A. BC 1 BA
2
B. BC 1 BA
2
C. BC 1 BA
2
D. BC 1 BA
2
解析 ∵D是AB的中点，∴BD 1 BA
CD CB BD BC 1 BA.
2
2
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3.已知向量a、b不共线， c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d，那么（D ） A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
）
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
AD DA.B矩形BC CD
解析AD 由2 B已C 知得
=-8a-2b，
故
，由共线向量知识知AD∥BC，
且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形，所以选
A.
13
03 例题精讲
题型一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题
①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
，
02 基础过关
1.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错
误的是
（ C）
A.AB DC
B.AD AB AC
C.AB AD BD
D.AD CB =0
解析 A显然正确，由平行四边形法则知B正确. AB AD DB ，故C错误.D中 AD CB AD DA=0.
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2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD
. AB DC
AB DC AB DC
②由AB DC 可得| |=| |且 ∥ ，
由于 ∥ 可能是A，B，C，D在同一条直线上，
故此命题不正确.
③正确.
④不正确.当b=0时， a∥c不一定成立.
答案 D
12
5.在四边形ABCD中，AB =a+2b，BC =-4a-bC，D =-
5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为A （
解析 ①中，∵向量AB与 BA 互为相反向量，
∴它们的长度相等，∴此命题正确.
②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的
方
向不一定相同或相反，∴此命题错误.
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起
点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确.
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不
一定共线，∴该命题错误.
解析 ∵c∥d,∴c= d,即ka+b= (a-b).又a、b
不共线，
k= , =-1, ∴ 1=- ,∴ k=-1. ∴c=-d,∴c与d反向.
10
11
解析 ①由|a|=|b|可知向量a,b模长相等但不能确
定
AB AD
向AB量的A方D 向，如在正方形ABCD中，| |=| |，但
与 既不相等也不互为相反向量，故此命题错误
2
22
AG AB BG AB 2 BE 3
AB 1 (BA BC) 3
19
2 AB 1 ( AC AB) 33
1 AB 1 AC 1 a 1 b.
33
33
探究提高 （1）解题的关键在于搞清构成三角形
的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的
相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转
16
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量， ∴若 与 是共线向量，则A、B、C、D四点不一
定 AB CD 在一条直线上，∴该命题错误. ⑥∵零向量不能看作是有向线段，∴该命题错误. 探答究案提高C
（1）本题涉及的主要内容有向量的概 念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共 线向量. （2）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过 的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、 抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方 向的量.
化.
（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧
18
题型二 平面向量的线性运算
【例2】在△ABC中，D、E分别为 BC、AC边上的中点，G为BE上 一点，且GB=2GE，设 AB =a， AC =b，试用a、b表示AD ，AG . 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法 则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
解 AD 1 ( AB AC) 1 a 1 b;
①| a|=| ||a| ; ②当 ＞0 时， a与a的方向相同；当 ＜0 时， a 与a的方向相反；当 =0时， a= 0 . (2)运算律：设、μ∈R，则： ① (μa)=( μ)a ;②( +μ)a= a+μa; ③ (a+b)= a+ b .
4.两个向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 使得b= a .
高三数学第一轮复习
01 双基回顾
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向
量的大小叫做向量的 长度 （或模）. (2)零向量：长度为0 的向量叫做零向量，其方向是 任意 的. (3)单位向量：长度等于 1个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量 又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直 线上. 规定：0与任一向量平行 . (5)相等向量：长度 相等且方向相同 的向量. (6)相反向量：长度 相等且方向相同的向量.
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反
；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同
；
④两个A有B 共同终点CD的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点A、B、C、
D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为
（）
15
A.2
B.3
C.4
D.5
思维启迪 熟练掌握向量的有关概念并进行判断.