指数与对数的性质和运算及答案详解

指数与对数的运算

（1）有关规定： 事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n n

m k ∈>= ，m n n m

n k a a a ==)()(由n 次根式定义, n a a m n m 的是次方根，即：n m n m

a a =

（2）同样规定：)1*,,0(1

>∈>=-n N n m a a a n

m n m

且；0的正分数指数幂等于0，

0的负分数指数幂没有意义。

（3）指数幂的性质： )

,0,0()(),,0()()

,,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+

（2）基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；

③1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。

（3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则

①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M

a a a log log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。

（4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a

N

N m m a

两个非常有用的结论①1log log =⋅a b b a ；②b m n

b a n a m log log =。

1、已知3234+⋅-=x x y 的值域为[1，7]，则x 的取值范围是 （

）

A.［２，４］

B.)0,(-∞

C.]4,2[)1,0(

D.]2,1[)0,( -∞

2、若,310,210==y x 则=-2310y

x

3、【08重庆卷13】已知1

24

9a =(a>0) ，则23log a = .

四．典例解析

题型1：指数运算

例1．（1）计算：25.021

21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---； （2）化简3

223

3--+

（3）化简：533233232332

3134

)2(248a

a a a a

b a a ab b b

a a ⋅⋅⨯-÷++--。 （4）化简：

33323323134)21(428a a b b ab a b a a ⨯-÷++-

例2．已知1

1

223x x -+=，求223

3

222

3

x x x x --+-+-的值。

题型2：对数运算

例3．计算

（1）2

(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+； （3）1.0lg 2

1036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2

3--+⋅。 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足22a b c += （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b

+-+

++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 例5（1）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）

（2）设 1643>===t z y x 求证：y

x z 2111=-

题型4：指数、对数方程

例6：解方程（1）()()

1123log 212=-+-x x x （2）()[]0log log log 432=x

例7．设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），

（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

【课外作业】

1.若0log log log log log log log log log 324243432===z y x ，则z y x ++的值为

A ．50

B ．58

C ．89

D ．111 （ ）

2、若273291=⋅---x x ，则x = ；

3、．如果函数)1,0(122≠>-+=a a a a y x x 在区间[-1，1]上的最大值是14，求a 的值。

4、设3

421lg )(a x f x x ⋅++=若]1,(-∞∈x 时)(x f 有意义，求实数a 的范围。