用空间向量求点到面的距离.

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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
用向量方法求点到平面的距离时：
1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个法向量
4、代入公式—通过公式 d
| AP n | n
代入求解．
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第三章 空间向量与立体几何
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练考题、验能力、轻巧夺冠
| PA n |

.
A
O
|n| 这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值. 第三章 空间向量与立体几何 栏目导引 工具
用空间向量求点到面的距离
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第三章 空间向量与立体几何
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一、求点到平面的距离
一般方法：
利用定义先作出过
P
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个

O
垂线段的长度。
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向量法求点到平面的距离
sin
sin
d
AP
d | AP | sin
P
n
| AP n | AP n
GA ＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
n· EF ＝0， 则 EG ＝0， n· x－2y＋z＝0， ∴ 2x－y－z＝0，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
代入公式
|GA · n| 1 3 ∴d＝ ＝ ＝ ， |n| 3 3 即点 A 到平面 EFG 的距离为 3 . 3
10 答案： 3
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[例1]
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别
是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
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解： 建系
求向量 求法向量
如图,建立空间直角坐标系，
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)， ∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
1 1 所以－2x＋2y＝0，
1 x＋2y－z＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， →· |DE n| 所以点D到平面PEF的距离为d＝ |n| |2＋1| 3 ＝ ＝ 17， 17 4＋4＋9 3 因此，点D到平面PEF的距离为 17. 17
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第三章 空间向量与立体几何
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变式练习：已知正方形 ABCD 的边长为 1 ， PD⊥平面 ABCD ，
且 PD ＝ 1 ， E ， F 分别为 AB ， BC的中点．求点 D 到平面 PEF 的距 离；
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第三章 空间向量与立体几何
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解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，
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[题后感悟]
用向量法求点面距的方法与步骤
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利用向量点到平面的距离 如何利用空间向量求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
1 1 E1，2，0，F2，1，0， 1 1 1 → ＝－ ， ，0，PE → ＝1， ，－1， EF 2 2 2
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， → ＝0，且n· → ＝0， 则n· EF PE
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
P
n
则 d=| PO |=| PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA ||cos PA, n |=

d
A
O
d
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|Baidu NhomakorabeaAP n | n
n 为法向量。 其中 AP 为斜向量，
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练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，
点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________．
→· |PA n| |1×－2＋2×－2＋－4×1| 解析： d＝ ＝ |n| －22＋－22＋12 10 ＝3.