第5章 广义最小二乘法
中国农业大学《计量经济学》(6 广义最小二乘法(GLS)与异
——对于线性函数，模型参数可以通过求解由一阶条件构成的 方程组估计得出；
——对于非线性方程，我们常常无法确保得到估计参数的解析 解，但通常能够利用数值逼近方法得到方程组的近似解。 此时估计参数可能不是唯一的，并且存在收敛困难。
线性性、无偏性、最小方差性
~
Var(b )
E
~ (b
b
~ )(b
b
)
E (
X
1X
)
1X
1
1uu
1X
(
X
1X
)
1
2 u
(
X
1
X
)1
s 4、
2 u
的估计：
2 e*e* * n k 1
二、异方差
1、含义
Var(ui
)
2 u
f
(
X
i
)
i 1,2,...n
即可：通u过i在散解点释图变观量察取。不同值时方差不同，异方差是X 的函数。
um
1 ni
Yi ni
Yij
j 1
1 ni
X i1 ni
X ij1
j 1
1 ni
X i2 ni
X ij 2
j 1
(i 1, 2, ...,m)
(i 1, 2,...,m)
(i 1, 2,...,m)
1 ni
X ik
ni
X ijk
j 1
(i 1, 2,...,m)
1
E(ui
4
NLS估计技术
求解非线性方程组的常用方法：
——线性化迭代求解法(Iterative linearization method)，即从一组参数的初始值开始将非线性 函数线性化，然后求解线性方程组并得到新的估 计值；重复上述步骤直到估计结果达到收敛标准 或达到最大迭代次数时为止。
广义最小二乘法
FGLS估计—
异方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 4.5.2 4.5.3 产生原因 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 异方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 X 2. limn →∞ n
(4.1)
是一个正定对角矩阵；
X = Q∗ ，其中， Q∗ 正定、有限。
假设 1 是我们本章考虑的重点，我们将干扰项的方差-协方差矩阵从经典 OLS 回归模型中 的 σ 2 I 一般化为非均齐方差 σ 2 。这是一般化线性回归模型的根本特点。利用该假设，我们可
以捕捉单个干扰项的方差，即， V ar (ε) 对角线上的元素的差异（这就是我们后面将要提到的异 方差问题）；同时也可以捕捉两个干扰项之间的同期相关性，即， V ar (ε) 非对角线上的元素不 为零（如后面提到的自相关和 SURE 模型）。处理一般化模型的基本思路是通过一些变换，使 其满足经典 OLS 回归模型中的基本假设，然后采用 OLS 进行估计即可。 假设 2 也是一个新加的假设条件。它限制了样本矩阵 X 和方差-协方差矩阵 σ 2 的关系，
谢所有耐心读完这份笔记的同学，希望你们把发现的错误和不妥之处E-mail 给我以便于我做进 一步的修改。
矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘
第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。
作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。
其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。
广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。
据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。
其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。
为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。
§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。
用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。
利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。
在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。
定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。
(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
广义最小二乘法
4.5 广义最小二乘法（GLS ） GLS----Generalized Least Squares 1. 基本原理广义最小二乘法的基本思想在于引入一个所谓成形滤波器（白化滤波器），把相关噪声)(k ξ转化成白噪声)(k ε。
由方程（4-4）、（4-5），系统的差分方程可以表示为)()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （4-114）式中n n z a z a z a z a ----++++=ΛΛ221111)(nn z b z b z b b z b ----++++=ΛΛ221101)(如果知道有色噪声序列)(k ξ的相关性，则可以把)(k ξ看成白噪声通过线性系统后所得的结果。
这种线性系统通常称为成形滤波器，其差分方程为)()()()(11_k z d k zc εξ---= （4-115）式中)(k ε是均值为零的白噪声序列，)()(11_---z d 、z c 是1-z 的多项式。
令 _111212_1()()1()m m c z f z f z f z f z d z ------==+++L L （4-116）有 )()(1)()()()(11k z f k k k z f εξεξ--==或 （4-117）即1212(1)()()m m f z f z f z k k ξε---++++=L L （4-118）或)()()2()1()(21k m k f k f k f k m εξξξξ+-------=ΛΛ ()1,,n k n N =++L L（4-119）这一噪声模型（自回归模型）的阶m ，一般事先是不知道的，实际经验表明，若指定m为2或3，就可以获得令人满意的描述)(k ξ的模型。
把方程（4-119）看作输入为零的差分方程，并由此式来写出N 个方程。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+---+--+-=+++-+---+-=+++-+-----=+)()()2()1()()2()2()()1()2()1()1()1()()1(212121N n m N n f N n f N n f N n n m n f n f n f n n m n f n f n f n m m m εξξξξεξξξξεξξξξΛΛM ΛΛΛΛ写成向量矩阵形式为εξ+Ω=f （4-120）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n ξξξM ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m f f f M 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n εεεM ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+--+--+--+--+----=Ω)()2()1()2()()1()1()1()(m N n N n N n m n n n m n n n ξξξξξξξξξM Λ(4-120)式所示的线性组合关系是辨识问题的基本表达形式,称作最小二乘格式。
第五章：(一) 序列相关性
• 检验步骤 ①计算D.W.统计量的值， ②根据样本容量T和解释变量数目k，查D.W. 分布表，得到临界值dL和dU， ③按照下列准则考察计算得到的D.W.值，以判 断模型的自相关状态。
若 0<D.W.<dL dL<D.W.<dU dU<D.W.<4-dU
则存在正自相关 不能确定 无自相关
4-dU<D.W.<4-dL
– 采用时间序列数据建立计量经济学模型，无论是平稳 时间序列和非平稳时间序列，模型随机误差项一般都 存在序列相关，这就违背了经典模型的一个重要的基 本假设。 – 所以模型的序列相关性肯定是时间序列计量经济学模 型必须重点讨论的一个问题。
§5.1时间序列模型的序列相关性 Serial Correlation
(2)模型设定偏误：不正确的函数形式
例：如果边际成本模型应为：
Yt 0 1Xt 2Xt2 t
其中：Y=边际成本，X=产出。 但在建模时误将模型设定为： Yt 0 1Xt t 因此，由于vt 2Xt2 t ，包含了产出的平方对随 机误差项的系统性影响，随机误差项也呈现序列相 关性。
• 雨果说“所谓活着的人就是不断挑战的 人，不断攀登命运峻峰的人。”时间总 是在你颓废的一无所有的时候残酷的炫 耀这些年来那些曾经和你一个起跑线的 人的辉煌成就，然后在你的脑海里公示 奋斗的重要性。我们向命运低下高贵的 头颅，蜷进狭小的天地顾影自怜的时候， 别人的天已经无比辽阔了。
• 时间序列模型的序列相关问题（§5.1节）
(3)数据的“编造”
例：如果季度数据来自月度数据的简单平均， 那么这种平均的计算会减弱每月数据的波动而使 季度数据更为平滑，从而使随机干扰项出现序列 相关。 此外，当历史数据缺失时，在两个时间点之 间采用“内插”技术，也可能导致随机干扰项出 现序列相关。 一般经验告诉我们，对于采用时间序列数据 作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点上 解释变量以外的其他因素在时间上的连续性，带 来它们对被解释变量的影响的连续性，所以往往 存在序列相关。
广义最小二乘法的推导
广义最小二乘法的推导1. 引言广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是一种用于解决线性回归问题的方法。
与最小二乘法相比，GLS可以处理数据中存在异方差（heteroscedasticity）和自相关（autocorrelation）的情况，提高了回归模型的准确性和效果。
在本文中，我们将详细推导广义最小二乘法的数学原理和推导过程。
首先，我们将介绍最小二乘法的基本概念和原理，然后讨论广义最小二乘法的推导过程，并最后给出一个示例来说明广义最小二乘法的应用。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的用于拟合线性回归模型的方法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来选择最优的回归系数。
对于一个具有n个数据点的线性回归模型：Y=Xβ+ε其中，Y是n维的因变量向量，X是n行p列的自变量矩阵，β是p维的系数向量，ε是n维的误差向量。
最小二乘法的目标是找到最优的β，使得残差平方和最小：εTεminβ通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂=(X T X)−1X T Y其中，β̂表示最优的回归系数。
3. 广义最小二乘法最小二乘法假设误差项具有同方差且不相关的性质，然而在实际问题中，数据往往存在异方差和自相关的情况。
为了解决这些问题，我们引入广义最小二乘法。
3.1 异方差问题当误差项具有异方差性质时，最小二乘法的估计结果可能是偏误的。
为了解决异方差问题，我们可以对误差项进行加权处理。
假设误差项的方差为σi2，我们可以使用加权最小二乘法来估计回归系数。
目标函数可以表示为：minεT Wεβ其中，W是一个对角矩阵，对角线元素为σi−2。
通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂GLS=(X T WX)−1X T WYβ̂GLS表示广义最小二乘法的估计系数。
3.2 自相关问题当误差项存在自相关性质时，最小二乘法的估计结果也可能是偏误的。
广义空间两阶段最小二乘法stata代码
广义空间两阶段最小二乘法stata代码
广义空间两阶段最小二乘法是一种用于解决具有内生性问题的经济学分析方法，它可以有效地控制内生变量对估计结果的影响。
下面是一份stata代码，以便更好地理解这种方法的实现：
第一阶段：
reg instrument1 instrument2 control1 ... controlk, robust 生成一个工具变量回归模型，其中instrument1和instrument2是被认为与内生自变量有关联的工具变量，control1到controlk是被认为影响被解释变量但不影响内生自变量的控制变量。
robust选项指定鲁棒标准误，以避免误差项的异方差性问题。
predict ivresid1, resid
将第一阶段的残差（即ivresid1）预测出来，并用其代替内生自变量，以控制内生性问题的影响。
第二阶段：
reg y ivresid1 control1 ... controlk, robust
生成第二阶段回归模型，其中y是被解释变量，ivresid1是第一阶段生成的工具变量残差，control1到controlk是被认为影响被解释变量但不影响内生自变量的控制变量。
再次指定robust选项来控制标准误。
通过这种方法，广义空间两阶段最小二乘法可以有效地控制内生性问题，得到更可靠的估计结果。
第五章 经典线性回归模型(II)(高级计量经济学-清华大学 潘文清)
如何解释j为“当其他变量保持不变，Xj变化一个 单位时Y的平均变化”？
本质上： j=E(Y|X)/Xj 即测度的是“边际效应”(marginal effect)
因此，当一个工资模型为 Y=0+1age+2age2+3education+4gender+ 时，只能测度“年龄”变化的边际效应： E(Y|X)/age=1+22age 解释：“当其他变量不变时，年龄变动1个单位时 工资的平均变化量” 2、弹性： 经济学中时常关心对弹性的测度。
X1’X1b1+X1’X2b2=X1’Y (*) X2’X1b1+X2’X2b2=X2’Y (**) 由(**)得 b2=(X2’X2)-1X2’Y-(X2’X2)-1X2’X1b1 代入(*)且整理得： X1’M2X1b1=X1’M2Y b1=(X1’M2X1)-1X1’M2Y=X1-1M2Y=b* 其中，M2=I-X2(X2’X2)-1X2’ 又 M2Y=M2X1b1+M2X2b2+M2e1 而 M2X2=0， M2e1=e1-X2(X2’X2)-1X2’e1=e1 则 M2Y=M2X1b1+e1 或 e1=M2Y-M2X1b1=e* 或
b1是1的无偏估计。
设正确的受约束模型(5.1.2)的估计结果为br，则有 br= b1+ Q1b2
或 b1=br-Q1b2 无论是否有2=0, 始终有Var(b1)Var(br) 多选无关变量问题：无偏，但方差变大，即是无效 的。变大的方差导致t检验值变小，容易拒绝本该纳 入模型的变量。
§5.2 多重共线性
1、估计量的方差 在离差形式的二元线性样本回归模型中： yi=b1x1i+b2x2i+e
第五章经典线性回归模型(II)(高级计量经济学清华大学潘文清)
X1’X1b1+X1’X2b2=X1’Y (*) X2’X1b1+X2’X2b2=X2’Y (**) 由(**)得 b2=(X2’X2)-1X2’Y-(X2’X2)-1X2’X1b1 代入(*)且整理得： X1’M2X1b1=X1’M2Y b1=(X1’M2X1)-1X1’M2Y=X1-1M2Y=b* 其中，M2=I-X2(X2’X2)-1X2’ 又 M2Y=M2X1b1+M2X2b2+M2e1 而 M2X2=0， M2e1=e1-X2(X2’X2)-1X2’e1=e1 则 M2Y=M2X1b1+e1 或 e1=M2Y-M2X1b1=e* 或
X2=X1Q1+(I-P1)X2 =explained part + residuals
其中，Q1=(X1’X1)-1X1’X2
对
X2=X1Q1+(I-P1)X2 =X1Q1+M1X2
=explained part + residuals
M1X2就是排除了X1的其他因素对X2的“净”影响。
X2对X1的回归称为辅助回归(aon: 如何测度X1对Y的“净”影响？ 部分回归(Partial regression) Step 1: 排除X2的影响。 将Y对X2回归，得“残差”M2Y=[(I-X2(X2’X2)-1X2’]Y 将X1对X2回归，得“残差”M2X1=[(I-X2(X2’X2)1X ’]X 1 M 2Y为排除了 X 的净Y，M X 为排除了X 的净X
2 2 2 1 2
1
Step 2: 估计X1对Y的“净”影响。
将 M2Y对M2X1回归，得X1对Y的“净”影响：
M2Y=M2X1b*+e*
这里，b*=[(M2X1)’(M2X1)]-1(M2X1)’M2Y=X1-1M2Y e*=M2Y-M2X1b*
广义最小二乘法的推导
广义最小二乘法的推导广义最小二乘法是一种用于拟合数据的统计方法，在该方法中，我们希望通过拟合一个参数向量β，使得模型预测值与实际观测值之间的残差（差异）平方和最小。
设我们有一个数据集D，其中包含n个样本，每个样本都有d个特征。
我们用矩阵X表示这些样本的特征，其中每行对应一个样本，每列对应一个特征。
向量y表示样本的目标值（即实际观测值）。
根据最小二乘法的原理，我们的目标是找到一个参数向量β，使得模型预测值ŷ和实际观测值y之间的平方差和最小。
我们的模型可以表示为：ŷ= Xβ为了表示残差的平方差和最小，我们引入了损失函数（loss function）的概念。
广义最小二乘法使用的损失函数是残差的平方和的平均值，即均方误差（mean squared error）：L(β) = (∑(y - ŷ)²) / n为了推导广义最小二乘法，我们需要最小化损失函数。
为了实现这一目标，我们需要计算损失函数关于参数向量β的导数，并将导数等于零的点解释为参数的最优解。
计算损失函数关于β的导数，可以得到一个关于β的向量，记为∇L(β)。
令∇L(β)等于零并求解，可以得到参数向量β的估计值β_hat。
为了计算∇L(β)，我们可以利用矩阵运算和微积分的规则。
具体而言，我们可以将损失函数展开，然后计算其关于β的偏导数。
这样，我们就可以使用线性代数的方法将∇L(β)表示为一个与数据集相关的矩阵和向量的函数。
当我们求解∇L(β) = 0时，可能没有解析解。
此时，我们可以使用数值优化算法，如梯度下降法（gradient descent），来逼近解。
梯度下降法通过迭代更新参数向量β，使得损失函数逐渐减小，从而找到最优解β_hat。
总之，广义最小二乘法通过最小化损失函数，找到一个最优的参数向量β，从而实现数据拟合的目标。
这是一种常用的统计方法，在回归分析等领域得到了广泛应用。
广义最小二乘法
广义最小二乘法第五章广义最小二乘法当计量经济学模型同时存在序列相关和异方差,而且随机误差项的方差-协方差矩阵未知时我们可以考虑使用广义最小二乘法(gls)。
即下列模型：y=xβ+μ满足这样一些条件：e(μ)=0cov(μμ')=δ2ωω=11ω1221ω221ωn2...ω1n...ω2nωnn设立ω=dd'用d左乘y=xβ+μ的两边，得到一个新的模型d-1y=d-1xβ+d-1μy=x**-1β+μ*（1）该模型具备同方差性和随机误差相互独立性。
因为可以证明：e(μ*μ*')=δ2i于是需用普通最轻二乘法估算（1）式，获得的参数估计结果为ˆ=(x*'x*)-1x*'y*β=(x'ωx)x'ωy整个过程最重要的一步就是要估计ω，当模型存在一阶自相关时。
我们取-1-1-1ρn-1ρn-2ρn-1ρn-21案例四：广义最小二乘法在这里我们举例子去表明广义最轻二乘法的应用领域。
在探讨这个问题时所使用的数据如下表中5.1右图：首先我们计算ρ，我们可以直接根据ols估计出来的dw来计算，ols估计出来的结果为下表5.2：可以根据ρ=1-dw/2，dw=0.8774，因此ρ=0.5613,在这个基础上,我们可以得出结论这个方差-协方差矩阵。
方差协方差矩阵可以由以下一个程序去赢得：!p=0.5613matrix(17,17)fac1for!i=1to17fac1(!i,!i)=1for!j=1to17for!i=!j+1to17fac1(!i,!j)=!p^(!i-!j)fac1(!j,!i)=fac1(!i,!j)得到的矩阵结果为下表5.3下面再展开cholosky水解,获得d,展开cholosky水解时所用至的命令如下:1sym(17,17)fact1matrixfact1=@cholesky(fact)得到的fact1矩阵如下解fact1的逆矩阵就可以将数据展开切换,获得m2和gdp,解逆矩阵时使用的命令如下:matrix(17,17)fact2**fact2=@inverse(fact)得到的fact1矩阵的逆矩阵fact2如下m2*=m2*fact2gdp*=gdp*fact这样就可以获得一组转换后的数据,数据如下再对这组数据进行普通最小二乘法就可以得到这个方程的广义最小二乘法的估计结果,结果如下:可以看见，采用广义最轻二乘法后，序列有关的情况获得提升。
计量经济学名词解释
计量经济学名词解释1．经济变量：经济变量是用来描述经济因素数量水平的指标。
（3分）2．解释变量：是用来解释作为研究对象的变量（即因变量）为什么变动、如何变动的变量。
（2分）它对因变量的变动做出解释，表现为方程所描述的因果关系中的“因”。
（1分）3．被解释变量：是作为研究对象的变量。
（1分）它的变动是由解释变量做出解释的，表现为方程所描述的因果关系的果。
（2分）11．相关关系：如果一个变量y的取值受另一个变量或另一组变量的影响，但并不由它们惟一确定，则y与这个变量或这组变量之间的关系就是相关关系。
（3分）12．最小二乘法：用使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法，称为最小二乘法。
（3分）13．高斯－马尔可夫定理：在古典假定条件下，OLS估计量是模型参数的最佳线性无偏估计量，这一结论即是高斯－马尔可夫定理。
（3分）14．总变差（总离差平方和）：在回归模型中，被解释变量的观测值与其均值的离差平方和。
（3分）15．回归变差（回归平方和）：在回归模型中，因变量的估计值与其均值的离差平方和，（2分）也就是由解释变量解释的变差。
（1分）16．剩余变差（残差平方和）：在回归模型中，因变量的观测值与估计值之差的平方和，（2分）是不能由解释变量所解释的部分变差。
（1分）17．估计标准误差：在回归模型中，随机误差项方差的估计量的平方根。
（3分），定系数会随着解释变量的增加而增大的缺陷提出来的，（2分）其公式为：2/(1)1()/(1)tte n kRy y n--=---∑∑（1分）。
27．偏相关系数:在Y、X1、X2三个变量中，当X1既定时（即不受X1的影响），表示Y与X2之间相关关系的指标，称为偏相关系数，记做2.1YR。
（3分）28.异方差性：在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此不同，则称随机项i u 具有异方差性。
（3分）29.戈德菲尔特-匡特检验:该方法由戈德菲尔特（S.M.Goldfeld ）和匡特（R.E.Quandt ）于1965年提出，用对样本进行分段比较的方法来判断异方差性。
计量经济学-期末考试-名词解释
第一章导论1、截面数据：截面数据是许多不同的观察对象在同一时间点上的取值的统计数据集合，可理解为对一个随机变量重复抽样获得的数据。
2、时间序列数据:时间序列数据是同一观察对象在不同时间点上的取值的统计序列，可理解为随时间变化而生成的数据。
3、虚变量数据:虚拟变量数据是人为设定的虚拟变量的取值。
是表征政策、条件等影响研究对象的定性因素的人工变量，其取值一般只取“0”或“1”。
4、内生变量与外生变量:。
内生变量是由模型系统决定同时可能也对模型系统产生影响的变量，是具有某种概率分布的随机变量,外生变量是不由模型系统决定但对模型系统产生影响的变量，是确定性的变量。
第二章一元线性回归模型1、总体回归函数：是指在给定X i下Y分布的总体均值与X i所形成的函数关系（或者说将总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数）2、最大似然估计法（ML): 又叫最大或然法,指用产生该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的方法。
3、OLS估计法：指根据使估计的剩余平方和最小的原则来确定样本回归函数的方法。
4、残差平方和：用RSS表示,用以度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量之外的其他因素引起的被解释变量变化的部分。
5、拟合优度检验：指检验模型对样本观测值的拟合程度，用表示,该值越接近1表示拟合程度越好。
第三章多元线性回归模型1、多元线性回归模型:在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量,这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了随解释变量的增加而增大的缺陷，与的关系为。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组:采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导,并令偏导数为0后得到的方程组,其矩阵形式为。
常用算法分析——最小二乘法
常用算法分析——最小二乘法目录1.引言2.普通最小二乘法（OLS）3.OLS实现4.广义最小二乘法（GLS）简介1、引言最小二乘法应该是我们最早接触的一种数值估计算法。
它的特殊形式，一元线性回归，被广泛地应用于多种数值统计分析场合。
例如，在验证欧姆定律（U = IR）时，通常的实验方法是分别测量出多个不同电压Ui下，通过电阻的电流值Ii，然后将这些(Ui, Ii)观测点，代入到一元最小二乘公式(1-1)中，便可计算出\hat{R}。
\begin{cases}a&=&\frac{\sum{xy}-\frac{1}{N}\sum{x}\sum{y}}{\sum{x^2}-\frac{1}{N}(\sum{x})^2}\\b&=&\frac{1}{N}\sum{y}-\frac{a}{N}\sum{x}\end{cases} (1-1)由此可得出线性拟合式(1-2)\hat{y}=a\hat{x}+b (1-2)其中，\hat{y}=\hat{U},\ \hat{x}=\hat{I},\ a=\hat{R},\ b 是残差。
通过此方法将观测点及拟合曲线绘制在同一个直角坐标系中，正常情况下可以直观地看到，观测点会均匀分布在直线附近，且每个点的残差平方和（即方差）最小。
“最小二乘法”由此得名。
2、普通最小二乘法（OLS）最小二乘法显然不只是一元线性回归那么简单，它还可以应用于多元参数的拟合。
本节将对普通最小二乘法（Ordinary Least Squares）的原理进行简单的推导和证明。
2.1、高斯—马尔可夫定理高斯—马尔可夫定理（the Gauss–Markov theorem，简称G-M定理）在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量（即Best Linear Unbiased Estimator，简称BLUE)。
G-M定理共对OLS普通线性方程提出5个假设：假设1（线性关系）：要求所有的母集团参数（population parameters）为常数，用来保证模型为线性关系。
广义最小二乘
由递推广义最小二乘的计算可知：
θs:=[1.60 ,0.80,0.412,0.309] θn:=[0.80]
1 w(t ) : v (t ) c( z )
s (t ) : [ y (t 1), y (t 2), u (t 1), u (t 2)]T n (t ) : [ w(t 1)]T s (t ) ( t ) n
T w(t ) n (t ) n v (t )
y (t ) T (t ) v (t )
s 是系统模型参数向量，信息向量s (t )
向量。
，
n 是噪声模型参数向量 ， n (t )
是信息
s (t )
n (t )
是由输入输出 数据构成的已知信息向量 。 是由噪声构成的未知信息向量。
初始化
计算估计
生成数据
结果展示
李国朝，Matelab基础及应用—北京大学出版 社.2011
汇报人：刘兵、 夏鑫
第一组组员：韩宇 王伟 马丽艳 韩栉 曾朴 汪英博 蒋克成 夏鑫 刘兵
相关背景 递推广义最小二乘分析 仿真结果
什么是广义最小二乘？
广义最小二乘法是用迭代的松弛算法对最小二 乘估计的一种改进，它的基本思想是引入一个白 化滤波器，把相关噪声转换为白噪声，基于对观 测数据先进行一次滤波处理然后利用普通最小二 乘法对滤波后的数据进行辨识。 缺点：一般可给出好的结果，但计算量较大， 信噪比较小时收敛不到真值。可能出现局部最小 值的情况。
估计CARAR模型参数向量的递推广义最小二乘算法：
广义最小二乘法的基本思想是：
先对输入输出进行滤波处理，然后在利用最小二乘法对 滤波后的数据进行辨识。如果滤波器选择合适，对输入输出 进行了较好的白色化处理，那么直接利用最小二乘就能获得 无偏、一致的估计。但是，由于实际问题的复杂性，要事先 选好滤波器一般是比较困难的。广义最小二乘所用的滤波器 是动态的，在迭代过程中根据偏差信息不断调整滤波器参数， 逐渐逼近与理想的滤波器，以便对于输入输出数据进行实时 的白色化处理，使模型参数估计成为无偏、一致估计。从理 论上说，广义最小二乘经过几次迭代后是可以找到合适的滤 波器的。但是，如果系统噪声较大或者参数较多，这种迭代 的处理方法可能会导致出现多个局部收敛点，致使辨识结果 不能收敛到全局极小点上，造成模型参数估计可能是有偏的。
广义最小二乘法(GLS)与异方差
2 Xn
1
X2
1 Xn
P 左乘 Y b 0 b1 X u, 得
1
Y1 1 X1 x1 Y 1 2 X x2 2 1 Yn xn Xn
参数非线性
当模型为参数非线性形式ຫໍສະໝຸດ ，需要采用非线性估计 技术。 非线性模型的一般形式为：
——Yi = f(Xi, b) + ei
——式中f(.)为一个可微分的非线性函数，b为（K+1）×1 未知参数向量，X为 n ×(K+1） 解释变量矩阵，e为服从 某种形式统计分布的误差项（通常用正态分布）。
Y1 1 X 11 X 12 X 1k b 0 u1 Y2 1 X 21 X 22 X 2 k b1 u2 Ym 1 X m1 X m 2 X mk b k um
0
1
2
F
F F F F
2 e 1
2 H1 : 12 2
2 e 2
~
nc nc F( 2, 2) 2 2
拒绝H 0 ，有异方差； 接受H 0 ，无异方差。
五、模型估计—GLS
1、对分组资料情况， 已知
Yi b 0 b1 X i1 b 2 X i 2 ... b k X ik ui ( i 1, 2, ..., m )
12 1n 2 2 2n
2n
2 n
β的OLSE 特性：线性性、无偏性、方差最小不成立。
第五章参数的最小二乘法估计
第二节 线性参数的最小二乘法
a1 j a2 j aj a nj
y1 y2 y y n
第二节 线性参数的最小二乘法
[al ak ] 和 [a j y ]分别为如下两列向量的内积：
如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量
x1 x2 x3
待求量 测得值
为了获得更可靠 的结果，测量次 数总要多于未知 参数的数目
y1
y3 y2
0.3 ( y1 )
y4
待解的数学模型
x1 x2 x1
0.4 ( y2 )
x3 0.5 ( y3 ) x2 x3 0.3 ( y4 )
• （1）最小绝对残差和法： • （2）最小最大残差法： • （3）最小广义极差法：
v
i
Min
max vi Min
maxvi minvi Min
主要内容
• 最小二乘法原理 • 线性测量方程组中参数的最小 二乘法 • 非线性测量方程组中参数的最 小二乘法 • 组合测量
第二节 线性参数的最小二乘法
v1 v2 V vn
l1 l2 L= ln
和n×t阶矩阵
第二节 线性参数的最小二乘法
a11a12 a1t A a21a22 a2t a a a nt n1 n 2
第二节 线性参数的最小二乘法
测量方程组系数与正规方程组系数
y1 a11 x1 a12 x2 a1t xt y2 a21 x1 a22 x2 a2t xt yn an1 x1 an 2 x2 ant xt
最小二乘法
而最小方差估计由(4.65) 得 ψ Mv = E{[ X T (σ 2 I ) −1 X ]−1} = σ 2 E{( X T X ) −1} = ψ
ˆ 在满足一定噪声条件下 这说明 LSE 的估计 Θ
是一个最小方差估计， 即一个有效估计。 由此可知， LSE 是无偏的、有效的、一致的 4.5.5 最小二乘的局限性
i =1 n
列。以一阶系统为例，对于系统 y ( k ) = − ay ( k − 1) + bu ( k − 1) + ε (k ) ，ε ( k ) = v ( k ) + av ( k − 1) 。它的 最小二乘估计为
θˆ = ( X T X ) −1 X T Y ，
-3-
⎡ X T (1) ⎤ ⎢ T ⎥ X (2) ⎥ T ⎢ ˆ 其中 θ = [− a, b] ， X = ， X T (i ) = [ y (i ) u (i )] ⎢ M ⎥ ⎢ T ⎥ ⎢ X ( N )⎦ ⎥ ⎣ ⎡ N 2 ⎢ ∑ y (i ) θˆ = ⎢ Ni =1 ⎢ ⎢∑ y (i )u (i ) ⎣ i =1
= aσ 2
ˆ} ≠ Θ 。 可见，即使 E{v ( k )} = 0 ，因为一阶系统 ε (k ) 一步相关， Rεε (1) ≠ 0 ，所以 E{Θ
-4-
4.6 辅助变量法（IV） 设为有色噪声或相关序列，则因为
Y = XΘ + ε 所以它的 N 次观测 (N>2n) 后的最小二乘估计为
ˆ = ( X T X ) −1 X T Y = Θ + ( X T X ) −1 X T ε Θ
2 (0) 其中 Δ = R yy (0) Ruu (0) − Ruy
R yy (1) = E[ y ( k + 1) y ( k )]
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武汉大学经济学系数量经济学教研室《实践教改项目组》 编
广义最小二乘法运用环境
当计量经济学模型同时存在序列相关和 异方差,而且随机误差项的方差-协方差矩 阵未知时我们可以考虑使用广义最小二 乘法(GLS)。即下列模型：
满足这样一些条件：
如果模型存在一阶自相关
案例
以序列相关中的案例为例:首先我们计算ρ ， 我们可以直接根据OLS估计出来的DW来计算， p=1-DW/2， 在上例中，DW=0.6279，因此p=0.6861在这个 基础上,我们可以写出这个方差-协方差矩阵 建立对称矩阵的命令为 sym(24,24)fact
方差-协方差矩阵（fact)
分解矩阵
将上面的方差协方差矩阵进行cholesky分 解，以得到分解后的矩阵D,命令为 Matrix fact1=@cholesky(fact) 对于分解后的矩阵fact1，我们运用命令 matrix fact=@transpose(fact1),我们就 可以得到最初的方差协方差矩阵。
分解矩阵（fact1)
求逆矩阵
通过求解fact1的逆矩阵，我们就可以对 原数据进行变化，从而消除异方差和序 列相关，求解逆矩阵的命令为 Matrix fact2=@inverse(fact1) 得到其逆矩阵如下：
逆矩阵（fact2)
数据转换
数据转换命令为: matrix m1=fact2*m Matrix gdp1=fact2*gdp数据
Ols估计
估计变换后的数据，我们进行最小二乘估计得到估计结果
结果分析
通过对DW值的观察我们可以看出，尽管我们不能排除随机误差 项之间仍然存在序列相关性，然而模型的准确性比数据变化前有 所提高。之所以没有完全消除序列相关性，根据我们上一章的分 析知道是由于随机误差项之间存在二阶自相关，而这里我们是以 一阶自相关为基础对数据进行处理的。因此，按照同样的方法， 我们写出二阶自相关的方差协方差矩阵，并对数据进行变化，便 可以消除随机误差项之间存在的序列相关性。 值得注意的是，由于广义最小二乘法的实用性，因此当我们拿到 数据时，无论它是否存在异方差性或者序列相关性，我们均可以 直接运用GLS方法进行估计。在有异方差性或者序列相关性时， 即可消除，如果不存在，同样不会影响估计结果。