有关分块正定矩阵和分块负定矩阵的一些结论

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１ 瑚 。们
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Ｌｈ
则 ＝
ｎ
ｚ
也是正定矩 阵，
ｍ
…
，
其 中ｋ ｌ ＜ｋ ２ ＜… 且ｋ ｌ ， ｋ ２ ， …， 取 值 于｛ ｌ ， ｚ ， … ， 口 ｝ 。
性 质 ｓ ： 设 兰 】 是 正 定 矩 阵 且 测 ４ ＜ 。
Ａ
＜， 。 注意到 是 《 任意的一个特征值且 和 ４ 具
都是正定矩阵。
４ ４ … ４
…
性质 ２ ： 设 Ａ＝
。 …
是正定矩 阵，
４ ４ … ４ ｊ
则
…
ｊ
也是正定矩阵 ， 其中 ｋ 口。
有相 同的特征值 ， 由Ａ ＜ｘ Ｔ ｘ， 可以得到 Ａ ｍ ｏ ｘ （ Ａ ｌ 。 ） －－ …（ ）＜ Ｉ 。 注： 由性质 １ 至性质 ４ ， 我们可以类 似地得 到分块负定矩 阵的一 些相关结论。上述知识在线性 代数 中教材很少提及。根据矩阵的一 些性质和线性代数教材 中有关正定矩阵和负定矩阵的知识 ， 我们不 难得到上述关于分块正定矩阵和分块负定矩阵 的结论 ， 这些结论 在 研究 马尔科夫跳变系统 、 时滞系统 、 广义系统等 系统 的稳定性等 问 题 中有着非常广泛的应用 。 参 考 文 献 ［ １ 】 同济大学数学 系． 工程数 学： 线性代数（ 第 ５版） ［ Ｍ ］ ． 北京 ： 高等教 育
４ ，４ …
…
性 质 ４ ： 设 乏 Ｊ 是 正 定 矩 阵 ， 其 中 ４ ＜ ｚ 且 Ａ ｚ 是 方
Ｊ。 ， 即
推论 １ ： 设
。 …
是正定矩阵 ， 则
特 征值 ， 存在一个具 有适 当维数 的 向量 ≠ ０， 满足 由４ 。 ＜ （ 通过性质 ３ 很 容易看出 ） ， 我们可得 ４ ： 《 ＜ ＝ｌ ， ２ ， …， 刀 ）
矩 阵。
Ｉ
的证 明相类似 ， 我们容易得到 Ｈ ｒ Ａ Ｉ Ｉ ＞０ ， 即 一 ４ 《 ＞０ 。 １ 。 ｝ 是正定矩阵， 则Ａ 。 和Ａ 都是正定 和性质 Ｉ 。 Ｊ 由４ 《＞ （ ） （ ４ 。 ） 和４ ＜ （ ４ ） ， 可得
证明： 令 ＝ Ｉ 。 通过计算， 容易得到
证 明 ： 设 ＝ ｌ 一 ∥ Ｊ 。 通 过 计 算 容 易 得 到 ４ ｚ ～ ４ 。
ｋ （ Ａ 甚 ） （ ２ Ａ ） ＜ Ａ ｚ ２ Ａ ｉ 《 ２ ＜ ｉ ‘ Ａ （ ｉ ） Ｊ 鄙 Ａ ！ ： ２ ＜ 争 ！ Ｉ 。
性质 １ ： 设 Ａ：
＝
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Ｈ＝４ 。 对于任
～
由４ ・ ＜ ， 可得 （ ４ 。 ） ＜ （ ） ， 进一步可得 。 《 ＜， 。 意 的具有适 当维数 的向量 ≠ ０， 式子 胁 ≠ ０成立。 不然 ， 假设 ０， 那 么 Ｈ Ｔ Ｈ ｘ＝ ＝ ０， 这 与 善 ０相 矛 盾 ， 所 以 对 于任意 的具有适 当维数 的向量 ≠ ０， 式子 Ｈ ｘ ≠ ０成立 。 注意到 阵 ，贝 Ｕ （ ） ・ （ 。 ）＜ １。 Ａ是正定 矩 阵 ， 我们可得 Ｉ Ｉ Ｍｉ ｘ ＞ ０， 即 Ａ Ｈ ｘ＝ ４， 是正 定 矩阵 。利用类似 的方法 ， 我们 同样可得 如 是正定矩阵。 证明： 由性质 ３ ， 我们可得４ 《＜ 。设 是 任意的一个
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有关分块正定矩阵和分块负 定矩阵的一些结论
龙 少 华
（ 重庆理 工大学数学与统计学院 ， 重庆 ４ ０ ０ ０ ０ ０ ）
摘 要： 矩阵的正定性是矩 阵理论 中一个很重要的理论 。矩阵的正定性在 系统科学的研 究中 占有非常重要的地位 。本 文借助 于线性 代数教材上的有关矩 阵和二次型的知识 ， 对分块正定矩阵和分块 负定矩 阵进行 了一些探 讨， 得到 了一些相 关的结论。 关键词 ： 分块矩阵； 正定矩阵 ； 负定矩 阵 线性代数是高 等学校 电子 、 机械 、 化工 、 会计和经管等很 多专业 的具有适 当维数的 向量 ≠ ０ ，式子 放 ≠ ０成立。不然 ，假设 的一 门非 常重 要的基础课 。在我们现实世界里 ， 线性 问题广泛存在 ＝ ０ 那 么可 以推 出 Ｈ 肋 ＝ Ｘ ＝ ０， 这 与 ≠ ０ 相 于科学技术 的各个领域 。对 于某些非线性 问题 ， 我们常 常通过一些 矛盾 ， 所 以对于任意 的具有适 当维数的 向量 ≠ Ｏ ， 式子 ≠ ０ 成 线性化 的方法将非线性 问题转化成线性 问题进行研究 。因此 ， 线性 立 。注意到 Ａ是正定矩阵 ， 我们可得 Ｊ ｒ Ｈ ｒ Ａ Ｈ ｘ ＞０ ， 即Ｈ ｒ ￣ Ｈ ｘ： 代数在数学 、 物理学 、 医学和工程技术等学科 中有非 常重要 的应用 。 是正定矩阵。 线性代数课程 的学 习非 常有助于 以后专业课程 的学 习 ， 也非常有助 。 … ４ 于 以后 的一些相关研究工作 。 线性代数的研究对象包括矩 阵、 向量 、 ： … 推论 ２ ： 设 ： 是正定矩阵， 向量空间 （ 或称线性 空间 ） 、 线性变换 、 线性方程组 和二次型等 。 线性 代数将几何观念和代数方法结合起来 ， 对于强化人 们严 谨的逻辑推 Ａ ｎ Ａ ２ … Ａ
，
理能力和归纳综合能力等有非常重要的作用。
二次型在线性代数 中具有非常重要 的地位 。 通过对二次型的学 习， 除 了能进 一步加深对线性 代数 中的一些 概念 的理解外 ， 还 能为 学习空间解析几何 ， 特别是空 间解析几何 的二 次曲面等打下 一定 的 基础。 另外 ， 二次型 中的正定矩阵 、 负定矩 阵等理论也被广泛应用 于 对 系统科学的研 究中。在 研究 一个系统时 ， 我们 常常需要研究这 个 系统的稳定性。 李亚普诺夫函数方法是研究系统 的稳定性的一个 重 要 的方 法。 我们通常希望所 构造 的李亚普诺夫 函数 的导数是一个 负 定 的二次型。因此 ， 正定矩阵和负定矩阵在对 系统科学 的研究 中 占 有非常重要的地位 。 但是 ， 在线性代数教材 中， 一般都很少对分块正 定 矩阵和分块负定矩阵进行进 一步地分析和讨论 。 本文对分块 正定 矩 阵和分块 负定 矩阵进行 了一些讨论 ， 得 到如 下的一些结论 。