高考数学数列题型之数列与函数交汇的综合题

四、数列与函数交汇的综合题

例27 已知函数44

44

(1)(1)()(1)(1)

x x f x x x ++-=+--（0x ≠）。 （Ⅰ）若()f x x =且x ∈R ，则称x 为()f x 的实不动点，求()f x 的实不动点； （II ）在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式。

解：（Ⅰ）由42361

()44x x f x x x

++=+及()f x x =得

42422

36132101

44x x x x x x x x

++=⇒--=⇒=+或213x =-（舍去）， 所以1x =或1-，即()f x 的实不动点为1x =或1x =-；

（II ）由条件得4

44411444

1(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫

++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭

，从而有 1111

ln

4ln 11

n n n n a a a a ++++=--，

由此及111

ln

ln301a a +=≠-知：数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭

是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有 1

1141

441131ln 4ln 331131

n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---（n *∈N ）。

例28 二次函数2()()0,()2(1)1f x f x f x x f ≥≤=符合且恒成立， （1）求(0)f 并求()f x 的解析式； （2）若(1)(2)

()1

,,12

n n n

f f f n a b n a =

+++

=求数列{}.n n b n S 前项和并求lim .n n S →∞

（3）若1112(),2,...,n n n n c f c c T c c c +===⋅⋅⋅且记求符合2008n T >最小自然数n ．

.解：（1）(0)0f ≥　又：

2

(0)200(0)0f f ≤⨯=∴= 2

2

()00()f x ax bx x b f x ax =+==∴= 对称轴即 又2

(1)11()f a f x x =∴=∴=

（2）22

212(1)1212

2n n n n a n n

+=+++=+++=

211

2()(1)1

n b n n n n =

=-++ 12(1);1n S n =-

+ 1lim lim 2(1) 2.1n n n S n →∞→∞⎡

⎤=-

=⎢⎥+⎣

⎦ （3）1 2.C = 2

1()n n C C += 1

22

n n C -∴=

1

112482(1242)

(21)

222222

2

2008n n n n T --+++

+-∴=⋅⋅⋅==>

min 4,4n n ⇒≥∴=

例29 已知函数()()R x x f x ∈+=

2

41

，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为2

1． ⑴求证：点P 的纵坐标是定值；

⑵若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1, =∈⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=，求数列{}n a 的前

m 项的和

m S ；

解：⑴由题可知：12

1

221=⨯

=+x x ，所以， ()()(

)(

)(

)(

)

2

1

4442444444244442

4244

442412412

12

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2121=++++=+++++=++++=

+++=+=++x

x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y y

点P 的纵坐标4

1

221=+=

y y y P 是定值，问题得证． ⑵由⑴可知：对任意自然数n m ,，2

1

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛m n m f m n f 恒成立．

由于⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫

⎝⎛=m m f m m f m m f m f m f S m 1221 ，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m f m f m m f m m f m m f m m f m m f m m f m f m f S m 12211221

所以，

()()136

1

)1(212121122112-=+-=⎪

⎭⎫

⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=m f m m m f m f m m f m m f m f m m f m f S m

所以，()1312

1

-=

m S m