各类不等式的解法
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各类不等式的解法
一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有：
(1)对称性或反身性：a>b ⇔bb ，b>c ，则a>c ；
(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac (1)同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； (2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。 特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； (4)开方法则：若a>b>0，n ∈N + ，则n 1n 1 b a >； (5)倒数法则：若ab>0，a>b ，则 b 1a 1<。 例1： 1)、5768--与的大小关系为 . 2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 . 3）已知,αβ满足11 123αβαβ-+⎧⎨+⎩≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围. 例2.比较()21+a 与12+-a a 的大小。 例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。 二、一元二次不等式的解法 一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或 )0.(02><++a c bx ax 的求解原理：利用二次函数的图象通 过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 1.解下列不等式： （1）02322≥--x x (2)01692>++x x (3)542<-x x (4)0122 ≤++x x 2.解不等式组 （1）22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩ （2）22 23054x x x x ⎧-->⎨->⎩ 3.若不等式02>++c bx ax 的解集为(-2,3),求不等式02 <-+b ax cx 的解集. 4.当k 为何值时，不等式08 3 22<- +kx kx 对于一切实数x 都成立？ 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 ⎩⎨ ⎧≠≤⋅⇔≤⎩⎨ ⎧≠≥⋅⇔≥<⇔<>⇔>0 )(0)()(0) ()(0 )(0)()(0)()(0)()(0)() (0)()(0)() (x g x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f 2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切） 典型例题 例1解下列不等式 （1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （3）4x －3 ＞2－x 3－x －3 （4） 3x ＞1 例2 解下列不等式： （1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 （2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0 (3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0 （5） （6）． （7） （8） 四、无理不等式的解法 解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换 01522 3>--x x x 0)2()5)(4(3 2 <-++x x x 22123+-≤-x x 12731 42 2<+-+-x x x x 题型Ⅰ：⎪⎩ ⎪⎨⎧>⇒⎭ ⎬⎫≥≥⇔> )()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域 型 例1 解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x 题型Ⅱ： ⎩ ⎨ ⎧<≥⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0 )()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2 解不等式x x x 211322 +>+- 题型Ⅲ： ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>>≥⇔<2)] ([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 例3解不等式x x x 211322 +<+- 例4解不等式 1112-+>+x x 例5解不等式36922>-+-x x x 五、绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说 一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推. （1）含有一个绝对值：