有限元理论与方法讲

讲 授 内 容

备 注 第13讲(第13周)

4.1 结构动力学问题有限元方法

动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象：一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如高速旋转的电机、汽轮机、离心压缩机，往复运动的内燃机、冲压机床，以及高速运行的车辆、飞行器等，它们承受着本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力载荷。如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性，是极为重要的研究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，石化厂的反应塔和管道，核电站的安全壳和热交换器，近海工程的海洋石油平台等，它们可能承受强风、水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用。这些结构的破裂、倾覆和垮塌等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大的损失。正确分析和设计这类结构，在理论和实际上也都是具有意义的课题。

动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。它是研究短暂作用于介质边界或内部的载荷所引起的位移和速度的变化，如何在介质中向周围传播，以及在界面上如何反射、折射等的规律。它的研究在结构的抗震设计、人工地震勘探、无损探伤等领域都有广泛的应用背景，因此也是近20多年一直受到工程和科技界密切关注的课题。

现在应用有限单元法和高速电子计算机，已经可以比较正确地进行各种复杂结构的动力计算，本章阐明如何应用有限单元法进行动力分析。

4.1.1 运动方程

结构离散化以后，在运动状态中各节点的动力平衡方程如下

F i +F d +P (t )=F e (2-2-1)

式中：F i 、F d 、P (t )分别为惯性力、阻尼力和动力荷载，均为向量；F e 为弹性力。 弹性力向量可用节点位移δ和刚度矩阵K 表示如下

F e =K δ

式中：刚度矩阵K 的元素K ij 为节点j 的单位位移在节点i 引起的弹性力。

根据达朗贝尔原理，可利用质量矩阵M 和节点加速度22t

∂∂δ

表示惯性力如下

22i t

∂∂-=δ

M F

式中：质量矩阵的元素M ij 为节点j 的单位加速度在节点i 引起的惯性力。 设结构具有粘滞阻尼，可用阻尼矩阵C 和节点速度

t

∂∂δ

表示阻尼力如下 2d t

∂∂-=δC

F 式中：阻尼矩阵的元素C ij 为节点j 的单位速度在节点i 引起的阻尼力。 将各力代入式(2-2-1)，得到运动方程如下

)(22t t t

P K δδC δM =+∂∂+∂∂ (2-2-2)

t ∂∂=δδ ，22t

∂∂=δδ 则运动方程可写成

)( t P δK δC δ

M =++ (2-2-3) 在地震时，设地面加速度为a ，结构相对于地面的加速度为δ

，结构各节点的实际加速度等于a +δ ，在计算惯性力时须用它代替式(2-2-3)中的δ

。至于弹性力和阻尼力，则分别取决于结构的应变和应变速率，即取决于位移δ和速度δ

，与地面加速度无关。 2.2.2 质量矩阵

下面用m 表示单元质量矩阵，M 表示整体质量矩阵。求出单元质量矩阵后，进行适当的组合即

可得到整体质量矩阵。组合方法与由单元刚度矩阵求整体刚度矩阵时相似。

在动力计算中可采用两种质量矩阵，即协调质量矩阵和集中质量矩阵。 1.协调质量矩阵

从运动的结构中取出一个微小部分，根据达朗贝尔原理，在它的单位体积上作用的惯性力为

22i t

∂∂-=r

p ρ

式中：ρ为材料的密度。

在对结构进行离散化以后，取出一个单元，并采用如下形式的位移函数

e δN r =

则

2

2i t

e

∂∂-=δN p ρ 再利用荷载移置的一般公式求得作用于单元节点上的惯性力为

⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-==2

2T

i T

i d d t V V e

e

δN N p N F ρ

即

e e δ

m F -=i 可见，单元质量矩阵为

⎰⎰⎰=V d T N N m ρ (2-2-4)

如此计算单元质量矩阵，单元的动能和位能是互相协调的，因此叫做协调质量矩阵。

2.集中质量矩阵

假定单元的质量集中在它的节点上，质量的平移和转动可同样处理。这样得到的质量矩阵是对角线矩阵。

单元集中质量矩阵定义如下：

⎰⎰⎰=

V d T ϕρϕm (2-2-5)

式中，ϕ为函数i ϕ的矩阵，i ϕ在分配给节点i 的区域内取l ，在域外取0。

由于分配给各节点的区域不能交错，所以由上式计算的质量矩阵是对角线的。

3.平面等应变三角形单元集中质量矩阵与协调质量矩阵

设单元重量为W ，将它3等分，分配给每一节点，得到单元集中质量矩阵如下

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000100000010000001000000100000013g W m (2-2-6) 单元协调质量矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=

210

4

10

4

100210410414102104100410210414104102100410410213g W m (2-2-7) 在单元数目相同的条件下，两种质量矩阵给出的计算精度是相差不多的。集中质量矩阵不但本身易于计算，而且由于它是对角线矩阵，可使动力计算简化很多。对于某些问题，如梁、板、壳等。由于可省去转动惯性项，运动方程的自由度数量可显著减少。当采用高次单元时，推导集中质量矩阵是困难的。另外，只要离散化时保持了单元之间的连续性，由协调质量矩阵算得的频率代表结构真实自振频率的上限。

2.2.3 阻尼矩阵

如前所述，结构的质量矩阵[M ]和刚度矩阵[K ]是由单元质量矩阵[m ]和单元刚度矩阵[M ]e 经过集合而建立起来的。相对来说，阻尼问题比较复杂，结构的阻尼矩阵[C ]不是由单元阻尼矩阵经过集合而得到的，而是根据已有的实测资料，由振动过程中结构整体的能量消耗来决定阻尼矩阵的近似值。

1.单自由度体系的阻尼

单自由度体系的自由振动方程为

0=++δδδ

k c m 式中：m 为质量；c 为阻尼系数；k 为刚度系数；δ为变位。

上式两边除以m 后得到

022=++δωδζωδ

其中，m k /=

ω，()ωζm c 2/=，ζ称为阻尼比，ω为体系的自振频率（角频率）。

设初始条件为：当t ＝0时，δ＝δ0，δ ＝0

v ，符合这些初始条件的解为