排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略

樊晓春 甘肃省泾川县高平中学 744306

摘要：排列组合问题的解法有特殊元素优先法，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，正难问题排除法，多元问题合理分类与准确分步，定序问题除法，大小排列问题字典法，名额分配问题隔板法，复杂问题转换法。 关键字：排列、组合、解题策略

排列组合问题是历年高考必考的内容，题目设置在选择或填空题，虽然分值少，但是也是容易失分的题，下面就简单的介绍几种排列组合问题的解法。

1．特殊元素——优先法：

对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。

例1.用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。①当0排在末尾时，有2

4A 个；②当0不排在

末尾时，有131312A A A ⨯⨯个，根据分类计数原理，其中偶数共有30个。 例2.1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种?

[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有3种。剩下的位置由4名学生全排列，有44A 种。因此共有72344=A 种不同的排法。

2．相邻问题——捆绑法：

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。 例3.5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。

[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有66A 种排法；而3名老师之间又有33A 种排法，故满足条件的排法共有7263

366=A A 种。 例4.计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成

一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？

[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。水彩画放中间，油画和国画放两端有2

2A 种排法。再考虑油画和国画本身可

全排列，故排列方法共有554422A A A 种。 3．不相邻问题——插空法：

对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。

例5.有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？

[解析]先将其余6人进行排列，有6

6A 种；再把不相邻的4人分别排在前6人

形成的7个空隙中，有47A 种。所以共有4766A A ⨯种排列次序。 例6.有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？

[解析]由于要求女生不相邻，应先排男生，有44A 种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有35A 种，所以共有3544A A ⨯种。

4．正难问题——排除法：

对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转换为一个较简单的问题来处理。

例7.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A 、 140种

B 、120种

C 、 35种

D 、 34种

[解析]本题只要选出四个人就行，所以只选而不排，是组合问题，先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有4

7C 种选法，其中不符合条件的是选出的4人都是男生，即44C =1种。所以符合条件的选法是34种，故选D 。

例8.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A 、150种

B 、147种

C 、144种

D 、141种

[解析]首先只要考虑从10个点中任取4个点的取法，有410C 种，然后再取掉“共面”的情况：其中一个面内的6个点中任意4点都共面，任取4点有464C ⨯种；

又每条棱上三点与相对棱的中点共面共有6种；各棱的中点中4点共面的有3种。

故10个点中4点不共面的取法，共有14136446410=--⨯-C C 种。故选D 项。

5．多元问题——合理分类与准确分步：

对于约束条件较多的排列组合问题，可能的情况也较多，可根据结果要求，按元素性质进行分类，按时间发生的连续过程分步，做到分类标准明确、分布层次清楚，不重不漏的原则。

例9．平面上4条平行直线与另5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有 个

[解析]按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步，先在4条平行直线中取两条，有24C 种；第二步，再在5条平行线中取两条，有2

5C 种，这样取出的4条

直线构成一个矩形。根据乘法原理，构成的矩形共有602524=⨯C C 个。 6．定序问题——除法：

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个数的全排列数。(如有n 个元素,其中m 个元

素的顺序一定,则这个n 个元素的排法有m m

n n A A 种) 例10．由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数

小于十位数的共有 A 、 210种 B 、300种 C 、 464种 D 、 600种

[解析]若不考虑附加条件，组成的六位数共有6005515=⨯A A 个，而其中个位数与十位数的两种排法中只有一种符合要求，故符合要求的六位数共有3002

5515=⨯A A 个，故选B 项。 7．大小排列问题——字典法：

对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，逐位依次确定。 例11．在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

A 、 56种

B 、57种

C 、58种

D 、 60种

[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：①当首位是2时，若千位是4、5，