求数列通项公式的方法教案+例题+习题

求数列的通项公式的方法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求

数列{}n a 的通项公式.

解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴9123

a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵255a S = ∴211)4(2

455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，5

3=d ∴n n a n 5

353)1(53=⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

练一练：已知数列Λ,32

19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________； 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{

11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=⇒-==a a S a

当2≥n 时，有

,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- ,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a

经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3

212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合

写时一定要合并．

练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；

②数列{}n a 满足11154,3

n n n a S S a ++=+=，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n =g g L g 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)

n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。 如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n =Λ，则=+53a a ______ ；

4.累加法：

若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：1

11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a 所以n

a a n 111-=- 211=a Θ，n

n a n 1231121-=-+=∴ 如已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=

--11

1(2)n ≥，则n a =________ ； 5.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121

n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。 例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。 解：由条件知1

1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 又321=a Θ，n

a n 32=∴ 如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a

6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23

311=++=++n n n n a a b b 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .

②1n n n a ka b -=+解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q

b q p b n n 11+=+再应用1n n a ka b -=+的方法解决.。 例6. 已知数列{}n a 中，651=a ,11)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。 解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3

2211+•=•++n n n n a a 令n n n a b •=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：n n b )3

2(23-= 所以n n n

n n b a )31(2)21(32-== 练一练①已知111,32n n a a a -==+，求n a ；