高一正弦定理(第一课时)PPT课件

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高中数学必修五 1.1 正弦定理和余弦定理教学课件 PPT (4)

C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
C
b
a
A
c
B
四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
b A
或（推论）
C a=?
c
B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边；
2.已知三边，求三个角。
例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
转化：在 △ABC中，
B
AB 8km, AC 3km, A 600,
求a。
C A
例2：在△ABC中，已知 a=2,b= ，求A。
解：
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知 a=2 ,b= ，解三角形。
解：由例2可知 A=45°
方法一：
方法二：
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若AB AC = BA BC = 1，c = 2.
（1）判断ABC的形状；（2）若 AB AC 6，求ABC的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径

版高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件新人教B版必修5.pptx

12
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟踪训练 3 在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是答案解析

正弦定理-PPT课件

a b c sin A sin B sin C
C
c aB
斜三角形中这一关系式是否仍成立呢? 数学实验、
验证猜想
证明猜想
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角函数的定义,得到
aE
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
实际问题
已知 BC 长和∠ABC、∠ACB的值,如何求AB长？
A
B
C
解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.
提出猜想
三角形边、角之间B b ,sin C 1 A
c
c
即c a , c b , c c
sin A sin B sin C b
sin C
B 仿上可得 a b c
sin A sin B sin C
c b
CD
形成定理
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
正弦
a b c sin A sin B sin C
定理
应用定理
例1 ABC中a=5,B=450,C 1050,解三角形.
解：由三角形内角和定理 ,得A 180 (B C) 30
(1)特殊到一般 (2)数形结合 (3)化归转化
作业布置 1、必做作业：P47练习第1、2题 2、选做作业：已知在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C 和 c.
3、研究课题：
（1）请尝试用向量方法证明正弦定理，并探究正弦定理的其他证明方法写成论文。
（2）
a b c k sin A sin B sin C

正弦定理完整版课件

75°，∴c＝bssiinnBC＝
s2isnin457°5°＝
6＋ 2
2；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝
bsin C sin B
＝
s2isnin451°5°＝
6－ 2
2.故当A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2；
当A＝120°时，C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
[母题探究]
(2)由sina A＝sinb B，得sin B＝bsian A＝6
3sin 6
30°＝
23，
∵b>a，∴B>30°，∴30°<B<150°，∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
又sinc C＝sina A，∴c＝assiinnAC＝6ssiinn3900°°＝6×1 1＝12； 2
[跟踪训练]
在△ABC中，已知3b＝2 3asin B，且cos B＝cos C，角A是锐
角，则△ABC的形状是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：由3b＝2
3 asin
B，得
b sin
B
＝
2
3a 3
，根据正弦定理，得
b sin
B＝sina
A，所以sina
A＝2
33a，即sin
在初中我们学习了三角形全等的判定，你还记得三角形全等的判定方法吗？两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即两边和其中一边的对角分别相等不能作为判定两个三角形全等的依据．如图，在△ABC 和△ADC中，AC＝AC，CB＝CD，∠CAD ＝∠CAB，其中A是CB，CD的对角，△ABC 与△ADC不全等．

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版

a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想：余弦定理在直角三角形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)．由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

6.4.3正弦定理(一)-课件--高一年级数学人教A版必修第二册

A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝_2_R_（__R圆_为_半_三_径_角_）；形外接
(3)a＝__2_R_s_in__A___，b＝__2_R_s_in__B___，c＝__2_R_s_in__C___；
a
b
c
(4)sin A＝__2_R____，sin B＝__2_R____，sin C＝__2_R____.
题型一已知两角及一边解三角形例1 已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c. [解] ∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理，得c＝assiinnAC＝10 2， b＝assiinnAB＝10ssiinn3100°5°＝20sin(60°＋45°)＝5( 6＋ 2)， ∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
则 a∶b∶c＝( D )
A．1∶2∶3
B．3∶2∶1
C．2∶ 3∶1
D．1∶ 3∶2
2．已知△ABC 外接圆的半径是 2，∠A＝60°，则 BC 边长为___2__3______. 3.在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，则assiinnBC＝___83_________.
正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
1．已知三角形的任意两个角与一边，解三角形．
2．已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形．
常见变形 (1)sin A∶sin B∶sin C＝_a_∶__b_∶__c____；
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin

正弦定理课件.ppt

解三角形。
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
ＡＢＡ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导

正弦定理PPT课件

定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.

1.1.1正弦定理(1)课件人教新课标

∴原式 = CF - BD + AE - CF + BD - AE = 0
CF,AE,BD都是三角形的高.
5.在△ABC中,若B=30°,AB= 2 3 ,AC=2,
求△ABC的面积. B
解：由正弦定理
A
AB = AC sinC sinB
C
得 C = 600或1200，所以 A = 900或300
C. 2
D. 3 3
【解析】由正弦定理， BC = 3 ， sin 45 sin 75
得BC＝3 3 ，故选A.
2.（19广东）已知△ABC中，∠A，∠B，
∠C的对边分别为a，b，c．若a＝c＝
6 2 ，且∠A＝75°，则ｂ＝（Ａ）
A．2
B．4 2 3
C．4 2 3
D． 6 2
【解析】本题考查三角函数的基本公式、
解：根据正弦定理
a=c sinA sinC
得到a = 10 2.由三角形内角和可以知道 B = 1050
由
b=c
sinB sinC
得到 b = 20sin1050
例3 在ΔABC中，AD为∠A的平分线，请用
正弦定理证明：BD = AB DC AC
A
解：在ΔABD中，AB = BD sinα sinβ
则B = ___3_0_。___
有一解
(3)在ΔABC中，已知a = 2 2,b = 2 3，A = 1200,
则B = __无__解___
无解
注意
在ΔABC中，已知a, b和A时,解三角形的情况：当A为锐角
当A为直角或钝角
C a
b
A a>b一解 B
Ca
b A

1.1.1正弦定理课件(PPT)

sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C/ 能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角三角形中
B
jc
a
A
b
C
证明：过点A作单位向量j垂直
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 , 求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 , 求b, SABC .
b c, sin B sinC
图1 D
C
同理可得 a c ,
sin A sinC
即： a b c sin A sin B sinC
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sin B
AD c
且
sin（
C）
AD b
sinC
仿(2)可得 a b c
一解
ｂa
作三角形
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b

6.4.3.2正弦定理高一数学课件(人教A版必修第二册)

同理,过C点作 j垂直于CB，可得 c b ,在锐角三角形中
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状．【解】在△ABC 中，根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。有两解

正弦定理课件：(比赛用)PPT)

正切定理与正弦定理的关系
正切定理描述了三角形中两边的比值与它们所对的角的正切值之间的关系。具体来说，正切定理指出在任何三角形 ABC中，边BC与角A的正切值的乘积等于边AC与角B的正切值的乘积，以此类推。
正切定理与正弦定理之间存在密切的联系。正弦定理可以通过三角恒等式转化为正切定理的形式，反之亦然。这种关系表明，正弦定理和正切定理在解决三角形问题时可以相互补充。
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、 b、c之比都相等，即$sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
三角形的角度与边长的关系
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、b、c之比都相等，即 $sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
正弦定理在几何学中的应用
正弦定理是解决三角形问题的基本工具之一，它在几何学中有着广泛的应用。例如，利用正弦定理可以计算三角形的面积、解决三角形中的角度问题、判断三角形的形状等。
正弦定理在几何学中的应用不仅限于三角形本身。例如，它可以用来解决与圆、椭圆、抛物线等其他几何图形相关的问题。通过结合其他几何定理和性质，正弦定理可以用于解决各种复杂的几何问题。
三角形的解法
三角形的解法概述
解决三角形问题需要利用三角形的边角关系，通过代数运算和三角函数计算来求解。
常见的三角形解法
常见的三角形解法包括余弦定理、正弦定理、勾股定理等，这些解法在解决三角形问题时具有广泛的应用。
Hale Waihona Puke 三角形的面积计算三角形面积的计算公式

1.1.1公开课正弦定理ppt

2
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正弦定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。

2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30