小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第19讲-+比例关系求解直线形
《比例线段》课件
在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样 不可忽视。建筑师需要利用比例来协 调各个部分之间的关系，以创造和谐 、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使 用比例尺来表示实际建筑与设计图纸 之间的比例关系，以确保施工过程中 的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地 图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这 两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在 解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相 等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段 被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和 应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关 系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。
小学奥数题库《几何》-直线型-一半模型-4星题(含解析)
几何-直线型几何-一半模型-4星题课程目标知识提要一半模型•平行四边形的一半模型•梯形的一半模型•任意四边形一半模型精选例题一半模型1. 如图，四边形ABCD是正方形，ABGF和FGCD都是长方形，点E在AB上，EC交FG于点M，假设AB=6，△ECF的面积是12，那么△BCM的面积是．【答案】6【分析】根据一半模型，S△EFM+S△BMG=S÷2,长方形AFBG÷2S△FMC+S△CMG=S长方形FDCG所以÷2=6×6÷2=18.S△ECF+S△BMC=S正方形所以S△BMC=18−12=6.2. 如下列图所示，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH．假设△PAC的面积为6，求平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大．【答案】12【分析】根据差不变原理，要求平行四边形PGDF的面积与平行四边形PEBH的面积差，相当于求平行四边形DAEF的面积与平行四边形ABHG的面积差．如下列图所示，连接BP、DP．根据一半模型．由于S△ADP+S△BCP=S△ABP+S△ACP+S△BCP=12S ABCD,所以S△ADP−S△ABP=S△ACP.而S△ADP=12S DAEF,S△ABP=12S ABHG,所以S DAEF−S ABHG=2(S△ADP−S△ABP)=2S△ACP=12.即平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大12．3. 正方形ABCD的面积为9平方厘米，正方形EFGH的面积为64平方厘米．如下图，边BC 落在EH上．三角形ACG的面积为6.75平方厘米，那么三角形ABE的面积为平方厘米．【答案】 2.25【分析】连接EG，EG是正方形EFGH的对角线，∠GEH=45∘；AC是正方形ABCD的对角线，∠ACB=45∘．∠GEH=∠ACB，可以知道AC∥EG．所以△ACG与△AEC面积相等，都是6.75平方厘米，那么△ABE的面积是：6.75−9÷2= 2.25(平方厘米).4. 如下图，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12【分析】因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO 面积为矩形ABCD的面积的1，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为3平方厘米，所以4三角形AMO与三角形BNO的面积之和是18−9−3=6(平方厘米)．又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影局部面积为18−6=12(平方厘米)．5. 长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点；三角形EFG的面积是平方厘米．【答案】5【分析】 三角形 EFG 的面积是三角形 AHD 的 14，三角形 AHD 的面积是长方形 ABCD 面积的 12，故三角形 EFG 的面积是长方形 ABCD 面积的 18，三角形 EFG 的面积为 40×18=5(平方厘米)．6. 如图，阴影局部四边形的外接图形是边长为 10cm 的正方形，那么阴影局部四边形的面积是 cm 2．【答案】 48【分析】 如下图，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 MNPQ ，易知长方形 MNPQ 的面积为4×1=4(平方厘米).从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH 、BFME 、CGQF 、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形 MNPQ 的面积，为10×10+4=104(平方厘米),所以四个空白三角形的面积之和为104÷2=52(平方厘米),那么阴影四边形 EFGH 的面积为100−52=48(平方厘米).7. 四边形ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】21平方厘米【分析】连接AC．由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3,根据梯形蝴蝶模型，S△COE:S△AOC:S△DOE:S△AOD=22:2×3:2×3:32=4:6:6:9,所以S△AOC=6(平方厘米),S△AOD=9(平方厘米),又S△ABC=S△ACD=6+9=15(平方厘米),阴影局部面积为6+15=21(平方厘米)．8. 如图，长方形ABCD中，AB=67，BC=30．E、F分别是AB、BC边上的两点，BE+ BF=49．那么，三角形DEF面积的最小值是．【答案】717【分析】由于长方形ABCD的面积是一定的，要使三角形DEF面积最小，就必须使△ADE、△BEF、△CDF的面积之和最大．由于△ADE、△BEF、△CDF都是直角三角形，可以分别过E、F作AD、CD的平行线，可构成三个矩形ADME、CDNF和BEOF，如下图．容易知道这三个矩形的面积之和等于△ADE、△BEF、△CDF的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形ABCD的面积加上长方形MDNO的面积．所以为使△ADE、△BEF、△CDF的面积之和最大，只需使长方形MDNO的面积最大．长方形MDNO的面积等于其长与宽的积，而其长DM=AE，宽DN=CF，由题知AE+CF=(AB+BC)−(BE+BF)=67+30−49=48，根据〞两个数的和一定，差越小，积越大〞，所以当AE与CF的差为0，即AE与CF相等时它们的积最大，此时长方形MDNO的面积也最大，所以此时三角形DEF面积最小．当AE与CF相等时，AE=CF=48÷2=24，此时三角形DEF的面积为：67×30−(67×30+24×24)÷2=717．9. 下列图ABCD是一个长方形，其中有三块面积分别为12、47、33，那么图中阴影局部为．【答案】92【分析】如下列图所示，设阴影局部面积为S，其他未知局部的面积为a、b、x和y．那么÷2x+S+y=a+S+b=S长方形ABCD(a+S+b)+(x+S+y)=S长方形ABCD根据覆盖的方法，那么阴影局部S=33+47+12=92．10. 如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC=3:2:1，BG:GH:AH=3:2:1，AD:BC=1:2，四边形ABCD的面积等于4，那么四边形EFHG的面积=．【答案】43【分析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接AC、AE、GC、GE，因为DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1,所以，在△ABC中，S△BCG=12S△ABC,在△ACD中，S△AED=12S△ACD,在△AEG中，S△AEH=12S△HEG,在△CEG中，S△CFG=12S△EFG.因为S△BCG+S△AED=12S△ABC+12S△ACD=12(S△ABC+S△ACD)=12S ABCD=2S△BCG.所以S AGCE=S ABCD−(S△BCG+S△AED)=4−2=2.又因为S AGCE=S△AEH+S△HEG+S△CFG+S△EFG=12S△HEG+S△HEG+12S△EFG+S△EFG=32(S△HEG+S△EFG)=32S EFGH,所以S EFGH=2÷32=43.11. 如下列图所示，梯形ABCD的面积是48，E是下底BC上的一点，F是腰CD的中点，并且甲、乙、丙三个三角形面积相等，那么图中阴影局部的面积是．【答案】19.2【分析】因为三角形乙、丙的面积相等，且DF=FC，所以三角形乙、丙的高相等，于是AE∥DC，四边形AECD是平行四边形，易知S乙+S丙=S阴影=12S四边形AECD，因此，阴影局部的面积是48÷5×2=19.2．12. 正方形的边长为10，EC=3，BF=2，那么S四边形ABCD=．【答案】53【分析】如图，作BM⊥AE于M，CN⊥BM于N．那么四边形ABCD分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形ABCD周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为3×2=6，所以S四边形ABCD =10×10−3×22+3×2=53．13. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),所以S△FCN=14S△BDC=7.5(平方厘米),那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．14. 如图，正方形的边长为12，阴影局部的面积为60，那么四边形EFGH的面积是．【答案】6【分析】如下图，设AD上的两个点分别为M、N．连接CN．根据面积比例模型，△CMF与△CNF的面积是相等的，那么△CMF与△BNF的面积之和，等于△CNF与△BNF的面积之和，即等于△BCN的面积．而△BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为122×12=72．又△CMF与△BNF的面积之和与阴影局部的面积相比拟，多了2个四边形EFGH的面积，所以四边形EFGH的面积为：(72−60)÷2=6．15. 下列图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影局部与右图中阴影局部的面积之比是最简分数mn，那么，(m+n)的值等于．【答案】5【分析】左、右两个图中的阴影局部都是不规那么图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白局部面积都比拟好求，所以可以先求出空白局部的面积，再求阴影局部的面积．如下列图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．左图中AEGD为长方形，可知△AMD的面积为长方形AEGD面积的14，所以三角形AMD的面积为12×12×14=18．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影局部的面积为1−18×4=12．如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．可知EF∥AC且AC=2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的14，所以三角形BEF的面积为12×12×14=18，梯形AEFC的面积为12−18=38．在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四局部的面积比为：12:1×2:1×2:22=1:2:2:4，所以三角形EFN的面积为38×11+2+2+4=124，那么四边形BENF的面积为18+124=16．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影局部的面积为1−16×4=13．那么左图中阴影局部面积与右图中阴影局部面积之比为12:13=3:2，即mn=32，那么m+n=3+2=5．16. 如图，正方形ABCD的边长为10，AE＝2，CF＝3．长方形EFGH的面积为．【答案】94．【分析】连接DE，DF．在正方形ABCD中，S△DEF=S△ABCD−S△ADE−S△EBF−S△DFC,在长方形DEFG中，S△DEF=12S△EFGH,因为BE=10−2=8,BF=10−3=7,所以S△DEF=10×10−2×10÷2−8×7÷2−3×10÷2=47,所以S△EFGH=47×2=94.17. ABCD是边长为12的正方形，如下图，P是内部任意一点，BL=DM=4、BK=DN=5，那么阴影局部的面积是．【答案】34【分析】〔方法一〕特殊点法．由于P是内部任意一点，不妨设P点与A点重合〔如下列图〕，那么阴影局部就是△AMN和△ALK．而△AMN的面积为(12−5)×4÷2=14，△ALK的面积为(12−4)×5÷2=20，所以阴影局部的面积为14+20=34．〔方法二〕寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得下列图所示：那么有：S△PDC+S△PAB=12S ABCD=12×122=72.同理可得：S△PAD+S△PBC=72;而S△PDM:S△PDC=DM:DC=4:12=1:3,即S△PDM=13S△PDC;同理：S△PBL=13S△PAB,S△PND=512S△PDA,S△PBK=512S△PBC;所以：(S△PDM+S△PBL)+(S△PND+S△PBK)=13(S△PDC+S△PAB)+512(S△PDA+S△PBC)而(S△PDM+S△PBL)+(S△PND+S△PBK)=(S△PNM+S△PLK)⏟阴影面积+(S△DNM+S△BLK);S△DNM=S△BLK=12×4×5=10;所以阴影局部的面积是：S△PNM+S△PLK=13(S△PDC+S△PAB)+512(S△PDA+S△PBC)−(S△DNM+S△BLK),即为：1 3×72+512×72−10×2=24+30−20=34.18. 下列图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，那么ABCD的面积是平方厘米．【答案】 180【分析】 解法一：蝴蝶模型与一半模型． 〔1〕E 是 CD 的中点，DE:AB =1:2，所以S △DEF :S △DAF :S △BEF :S △ABF =1:2:2:4.〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是 CD 的中点，所以 S △ABG 、S △ADG 、S △BEC 占平行四边形面积的 14，梯形 S ABED 占平行四边形面积的 34； 〔3〕所以S △DAF =34×21+2+2+4=16,S △GAF =14−16=112, 同理可知 S △GHB =112．〔4〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112;〔5〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2).解法二：相似模型、等积变形与一半模型．〔1〕E 是 CD 的中点，DE:AB =1:2，所以 DF:FB =1:2，而 DG =GB ，DF:FG =11+2:(12−11+2)=2:1;〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是 CD 的中点，所以 S △ABG 、S △ADG 占平行四边形面积的 14，所以S △GAF =14×12+1=112,同理可知 S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112;〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2).解法三：燕尾模型与一半模型．〔1〕设平行四边形面积为“1〞．S △ADC =12．〔2〕E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点，连接 FC ，设 S △DEF 为 1 份，S △ECF 也为 1 份，根据燕尾 S △ADF 为 2 份，再根据燕尾 S △ACF 也为 2 份，根据按比例分配，S △AGF 、S △GCF 都为 1 份，所以S △GAF =12÷(2+1+1+1+1)=112,同理可知 S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112;〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2).解法四：风筝模型与一半模型． 连接 EG 同样可解．19. 如图，正方形ABCD的边AD上有一点E，边BC上有一点F，G是BE的中点，H是CE 的中点，如果正方形的边长是2，那么阴影局部的面积是．【答案】1【分析】2×2÷2÷2=1.20. 如下列图所示，在长方形内画出一些直线，边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影局部的面积是多少？【答案】97【分析】三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+(13+35+49) =长方形面积+阴影部分面积;又因为三角形ABC的面积=三角形CDE的面积=12长方形面积,所以可得：阴影部分面积=13+35+49=97.21. 如下列图所示长方形ADEH由上、中、下三个小长方形组成，AB+CD=BC，三角形ABI的面积为3，四边形GIJF的面积为12，求四边形CDEJ的面积．【答案】9【分析】因为AB+CD=BC，所以长方形BCFG的面积等于长方形ADEH面积的一半，即S梯形BCJI +S梯形IJFG=12S长方形ADEH，又S△ABI+S梯形BCJI+S梯形CDEJ=12S长方形ADEH，所以S△ABI+S梯形CDEJ =S梯形IJFG，故四边形CDEJ的面积是12−3=9．22. 如下图，O是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】 318【分析】 由 S △AOD =4 可知 S △BCD =12×S 长方形ABCD =12×4×S △AOD =8．而 △CDF 与 △CDB 从 C 出发的高相同，那么 DF DB =S △CDF S △CDB=58．由于 EF ∥CD ，把线段的比例转移到 BC 上，那么有 CE BC =DF DB =38，从而得到 BE BC =1−38=58，所以阴影 △BEF 的面积是 △BCF 面积的 58．于是阴影三角形的面积是58×S △BCF =58×(S △BCD −S △CDF )=58×(8−3)=258.23. 如图，正六边形的面积为 120，P 是其内任意一点，求 △PBC 和 △PEF 的面积之和．【答案】 40【分析】 由一半模型，两个三角形面积和等于四边形 BCEF 面积的一半，而这个四边形的面积又是六边形面积的 23，所以所求面积和就是正六边形面积的 13，为 40．24. 如下图，E、H、F、G是四边形ABCD的AD、BC边上的三等分点，四边形ABCD的面积为18平方厘米，那么四边形EFGH的面积是平方厘米．【答案】6【分析】首先连接BE、DG、BD，如下列图所示：可以看出，三角形ABD的面积是三角形ABE面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形GCD 的面积的3倍，所以三角形ABE与三角形GCD的面积和是6平方厘米，那么四边形BGDE 的面积是12平方厘米．再利用不规那么四边形中的一半模型可得，EFGH的面积是BFDG的一半，也就是6平方厘米．25. 如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，BC边对应的高是6厘米，E、F分别为AB和AC 的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【答案】6【分析】S△ABC=8×6÷2=24(平方厘米)，因为F是中点，所以S△AFB=S△FBC=24÷2=12(平方厘米),因为E是中点，所以S△BEF=S△EFA=12÷2=6(平方厘米).26. 如下图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13请问：三角形PBD的面积是多少？【答案】8【分析】图1阴影局部的面积是整个长方形的一半，而图2阴影局部的面积也是整个长方形的一半，两个阴影局部有一块公共局部，那就是△APD．去掉这块公共局部之后，剩下的阴影局部仍然应该相等，因此就有S1=S2+S3．由题意，S1=13，S2=5，所以S3=13−5= 8．27. 一张面积为7.17平方厘米的平行四边形纸片WXYZ放在另一张平行四边形纸片EFGH上面，如下列图所示，得出A、C、B、D四个交点，并且AB∥EF，CD∥WX．问纸片EFGH的面积是多少平方厘米？说明理由．【答案】7.17【分析】连接AC、CB、BD、DA如下列图所示，因为AB∥EF∥GH，所以△ABC的面积是平行四边形AEFB面积的一半，△ABD的面积是平行四边形AHGB的面积的一半，因此四边形ACBD的面积是平行四边形EFGH面积的一半．同理可证，四边形ACBD的面积也是平行四边形WXYZ面积的一半．因此，平行四边形EFGH的面积=平行四边形WXYZ的面积=7.17平方厘米．28. 如下列图所示，在平行四边形ABCD中，三角形ABP、BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．【答案】27【分析】根据平行四边形的一半模型可知，S△APD+S△BPC=S△APD+S△APB+S△BPD=1 2S平行四边形ABCD，所以有S△BPC=S△APB+S△BPD，那么三角形BPD的面积等于100−73=27．29. 如图，ABCD为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2cm，请问四边形PQRS 的面积为多少？【答案】23cm2【分析】〔法1〕由AB∥CD，有MP MN = PC DC,所以PC=2PM,又MQ QC = MB EC,所以MQ=QC=12 MC,所以PQ=12MC−13MC=16MC,所以S SPQR占S AMCF的16，得到S SPQR=16×1×(1+1+2)=23(cm2).〔法2〕如图，连结AE，那么S△ABE=12×4×4=8(cm2),而RB AB = ER EF,所以RB EF =ABEF=2,S△ABR=23S△ABE=23×8=163(cm2).而S△MBQ=S△ANS=12×3×4×12=3(cm2),因为MN DC = MP PC,所以MP=13 MC,那么S△MNP=12×2×4×13=43(cm2),阴影局部面积等于S△ABR−S△ANS−S△MBQ+S△MNP=163−3−3+43=23 (cm2).30. 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰△AOB的面积为16，等腰△DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影△AOC的面积是多少？【分析】 先算出长方形面积，再用其一半减去 △DOC 的面积〔长方形面积的 18%〕，再减去 △AOD 的面积，即可求出 △AOC 的面积．根据模型可知 S △COD +S △AOB =12S ABCD , 所以 S ABCD =16÷(12−18%)=50,又 △AOD 与 △BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以 △AOD 的面积等于长方形面积的 14，所以 S △AOC=S △ACD −S △AOD −S △COD =12S ABCD −25%S ABCD −18%S ABCD =25−12.5−9=3.5.31. 如下列图所示，点 P 及点 Q 在正方形 ABCD 之内部，假设 △ABP 与 △DPC 的面积比为 3:2，△ADP 与 △BCP 的面积比为 3:7，△ABQ 与 △CDQ 的面积比为 3:5，并且 △ADQ 与 △BCQ 的面积比为 4:1．请问四边形 APCQ 的面积〔阴影局部〕与正方形 ABCD 的面积比是多少？【分析】根据一半模型，△ABP与△DPC的面积和为正方形面积的一半，△ADP与△BCP的面积和为正方形面积的一半，△ABQ与△CDQ的面积和为正方形面积的一半，△ADQ与△BCQ的面积和也为正方形面积的一半，那么△DPC的面积占整个图形的25×12=15，△ADP的面积占整个图形的310×12=320，△ABQ的面积占整个图形的38×12=316，△BCQ的面积占整个图形的15×12=110，那么阴影局部占正方形面积的1−15−320−316−110=2980．32. 如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形ABCD．在各边上取点E,F,G,H，再连接H,F的线上取点P，与点E和点G相连．当四边形AEPH的面积是5cm2时，求四边形PFCG的面积．【答案】8cm2．【分析】连结EH,EF,FG,GH，题目中的线段长度如右图所示．所求四边形的面积可以化为三角形FGP与FCG的面积和．易见中间的四边形EFGH是平行四边形．根据一半模型，S△EHP+S△FGP=12S EFGH.S平行四边形EFGH=4×6−2×3÷2×2−1×4÷2×2=14(cm2),那么S△EHP+S△FGP=14÷2=7(cm2).S△EHP=5−3=2(cm2),所以S△FGP=7−2=5(cm2).因此四边形PFCG的面积是5+2×3÷2=8(cm2)33. 在图中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形BDF的面积是多少？【答案】18【分析】连接FE，那么三角形BFO的面积与三角形DOE的面积相等．那么图中阴影局部的面积为正方形ABDE面积的一半，为6×6÷2=18．34. 如图，阴影局部四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，那么阴影局部四边形的面积是多少平方厘米？【答案】68【分析】如下图，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易知长方形MNPQ的面积为4×2=8平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为12×12+8=152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152÷2=76平方厘米，那么阴影四边形EFGH的面积为144−76=68平方厘米．35. 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？【答案】60．【分析】由一半模型知：黄+绿=长方形的面积一半，所以绿占长方形面积的：12−15%=720，所以长方形的面积为：21÷720=60〔平方厘米〕．36. 如下图，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，那么OG=厘米．【答案】4【分析】由于AD与FG平行，因此S△FDO+S△CFO=S△CEF=32(平方厘米).而S△CFD=12×8÷2=48(厘米),所以S△CDO=S△CFD−S△FDO−S△CFO=48−32=16(平方厘米),故OG=2S△CDO÷CD=2×16÷8=4(厘米).37. 图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27．那么阴影局部面积是多少？【答案】 4.8【分析】设△ADF的面积为“上〞，△BCF的面积为“下〞，△ABF的面积为“左〞，△DCF 的面积为“右〞．左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3．△ADE的面积为1.8，那么△AEF的面积为1.2，那么EF:DF=S△AEF:S△AED=1.2:3=0.4.△CEF与△CDF的面积比也为EF与DF的比，所以有\[ {S}_{\vartriangle {{ACE }}}=0.4\times{S}_{\vartriangle {{ACD}}} $ =0.4\times(3+9)=4.8. \]即阴影局部面积为4．8．38. 如图，ABCD是一个直角梯形．以AD为边长向外做一个长方形ADEF，其面积是10平方厘米，连结BE交AD于P，再连接PC，那么图中阴影局部的面积是多少平方厘米？【答案】5平方厘米【分析】连结BD，如下列图．因为AD∥BC，所以S△PCD=S△PBD，所以阴影局部的面积等于S△EBD，再根据FB∥ED，所以阴影的面积就是长方形AFED面积的一半，即10÷2=5(平方厘米)．39. 有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影局部的面积？【答案】80cm2【分析】如下列图左所示，S阴①=4S1．S阴①=16×16÷2=128(cm2)如下列图中所示，此时斜放的正方形面积为128cm2，S=S阴②．S=S阴②=128÷2=64(cm2)如图右所示，此时外面正方形面积为64，图中S阴③=64÷2÷2=16(cm2)所以，图中阴影局部总面积为：S阴②+S阴③=64+16=80(cm2)40. 如图，四边形ABCD中，DE=4FC，EF=3FC，BG=4AH，GH=3AH，四边形ABCD 的面积等于24，那么四边形EFHG的面积=．【答案】9【分析】首先连接AE、CG、AC，由条件看出E、G分别为CD和AB的中点，那么根据所学的一半模型，四边形AECG的面积占ABCD的一半，也就是面积为12．接下来连结EG，又可看出HEG面积是HEA的3倍，以及FGE面积是FGC的3倍，所以推出四边形EFGH的面积是12÷(1+3)×3=9．41. 如图，长方形被其内的一些直线划分成了假设干块，边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影局部的面积是多少？【答案】97【分析】如下列图所示，为了方便表达，将局部区域标上序号，设阴影局部面积为“阴〞：(49+①+35)+(13+②)=12矩形的面积①+阴+②=12矩形的面积.比拟上面两个式子可得阴影局部的面积为97．42. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长一倍至点E，三角形BCE的面积是10平方厘米，阴影局部面积是多少平方厘米？【答案】10【分析】连接AC．因为DC=CE=AB，且AB∥CE，所以四边形ABEC是平行四边形．推知S△ABF=S△BEF，因为DC=CE，所以S△DCF=S△CEF，可得S△ABF+S△DCF=S△BEF+S△CEF．那么阴影局部的面积是10平方厘米．43. 如图，平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？【答案】10．−8=10．【分析】由根本一半模型知：三角形BOC的面积为36×1244. 如图，四边形ABCD中，DE=3FC，EF=2FC，BG=3AH，GH=2AH，四边形ABCD 的面积等于24，那么四边形EFGH的面积=．【答案】8．【分析】首先连接AE、CG、AC，由条件看出E、G分别为CD和AB的中点，那么根据所学的一半模型，四边形AECG的面积占四边形ABCD面积的一半，也就是面积为12．接下来连结EG，又可看出HEG面积是HEA的2倍，以及FGE面积是FGC的2倍，所以推出四边形EFGH的面积是12÷(1+2)×2=8．45. 如下列图，正方形ABCD的面积是20，正三角形△BPC的面积是15，求阴影△BPD的面积．【答案】10【分析】连接AC交BD于O点，并连接PO．如上图所示，可得PO∥DC，所以△DPO与△CPO面积相等〔同底等高〕，所以有：S△BPO+S△CPO=S△BPO+S△PDO=S△BPD,因为S△BOC=14S ABCD=14×20=5,所以S△BPD=15−5=10.46. 如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影局部的面积是多少？【答案】23【分析】不妨设上底长2，那么下底长3，那么上面局部的三角形的高为10÷2×2=10，下面局部的三角形的高为12÷3×2=8，那么梯形的高为10+8=18．所以梯形的面积为1 2×(2+3)×18=45,所以余下阴影局部的面积为45−10−12=23.47. 如下图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是5平方厘米，△CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【答案】25厘米【分析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10×10÷5=20(平方厘米),所以长方形的面积为(20+10)×2=60(平方厘米),四边形ABEF的面积为60−5−10−20=25(平方厘米).48. 如图，正六边形ABCDEF的面积为1，那么阴影局部的面积是多少？【答案】14【分析】把三角形EGD移到三角形CHB的位置，那么长方形DHBG面积为六边形面积一半，阴影面积又为此长方形面积一半，因此为1÷2÷2=1 4 .49. 下列图中的大正方形ABCD的面积是1，其他点都是它所在的边的中点．请问：阴影三角形的面积是多少？【答案】 332【分析】 图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的 12，所以小正方形面积是 14，将小正方形各顶点标上字母，如下列图所示，很容易看出 $\triangle JFG\text{面积}=\triangle IHG\text{面积}=\dfrac 1 4\times \text{正方形$ EFGH $面积}$，$\triangle EJI\text{面积}=\dfrac 1 4\times \triangle EFH\text{面积}=\dfrac 1 8\times \text{正方形$ EFGH $面积}$．所以阴影 △JGI 面积=(1−14−14−18)×小正方形面积=38×小正方形面积=332．50. 三角形 ABC 中，BD =CD ，三角形 ABD 的面积为 20 平方厘米，AD =8 厘米，求高 CE 的长是多少厘米？【答案】5【分析】因为三角形ACD的面积=20平方厘米，同时三角形ACD的面积=AD×CE÷2，所以CE=20×2÷8=5〔厘米〕．51. 平行四边形内有一个点N，连接这个点和平行四边形的四个顶点，把平行四边形分成几块，各块的面积如下图，那么阴影局部的面积应该是多少？【答案】6【分析】平行四边形中也有一半模型．8+2−4=6就是阴影的面积．52. 如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形〔阴影局部〕的周长是8，那么最大的正方形的边长是多少？【答案】8厘米【分析】最小正方形的面积是2×2=4(平方厘米)最大的正方形的面积是4×2×2×2×2=64(平方厘米)那么最大的正方形的边长是8厘米．53. 如图，长方形ABCD的边上有两点E、F，线段AF、BF、CE、BE把长方形分成假设干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影局部面积是多少平方米？【答案】97【分析】运用等积变换，S DFA+S FCB=12S ABCD,S BCE=12S ABCD=S DAF+S FCB,因此，阴影面积为15+36+46=97(平方米).54. 如图，正方形ABCD的边长为8，AE=2，CF=3．长方形EFGH的面积为．【答案】58【分析】连接DE，DF，正方形ABCD的面积为8×8=64，三角形AED的面积为8×2÷2=8,三角形DFC的面积为8×3÷2=12,三角形BEF的面积为(8−2)×(8−3)÷2=15,那么三角形DEF的面积为64−8−12−15=29,长方形EFGH的面积为29×2=58.55. 一个长方形分成4个不同的三角形，黄色的三角形面积是50平方厘米，绿色三角形的面积占长方形面积的20%，那么长方形的面积是多少平方厘米？【答案】5003【分析】由一半模型知：黄+绿=长方形的面积一半,所以绿占长方形面积的：1 2−20%=310,所以长方形的面积为：50÷310=5003(平方厘米).56. 如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2．长方形EFGH的面积是多少？【答案】33．【分析】连接DE，DF．在正方形ABCD中，S△DEF=S△ABCD−S△ADE−S△EBF−S△DFC,在长方形DEFG中，S△DEF=12S△EFGH,因为BE=6−1.5=4.5,BF=6−2=4,所以S△DEF=6×6−1.5×6÷2−2×6÷2−4.5×4÷2=16.5,。
小学奥数五年级经典讲义之第一讲直线型面积的计算
第一讲 直线型面积的计算内容概述前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：① 等底等高的两个三角形面积相等．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=则可知直线AB 平行于CD 。
这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！例题精讲【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2个面积相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形；（3）4个面积相等的三角形。
分析：（1）如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；（2）如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例2 。
【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。
如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。
那么请你说明：（1）DE与BC平行（2）DE= 1/2 BC（3）S△ADE= 1/4 S△ABC分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。
如右图（1），连接DC、BE。
因为D、E分别是AB、AC的中点，所以S△BDC=1/2 S△ABC= S△BEC，又因为△BDC与△BEC同用BC做底，根据“内容概述”部分常用结论③可得：DE与BC平行。
小学奥数讲义5年级-4-倍比关系解直线形面积-难版
本将主要学习利用边上的倍数关系求解图形面积，需要掌握以下几个知识点： 1.等底等高的两个三角形面积相等．2.两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；3.在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD .【例1】★已知三角形ABC 的面积为1，BE=2AB ，BC=CD ，求三角形BDE 的面积?【解析】BCE 面积为2,ECD 面积也为2，所以BED 面积为4.【小试牛刀】如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 典型例题知识梳理的面积是多少？【解析】连接CE∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆= 又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===.【例2】★★E 是长方形ABCD 中AB 边的中点，CE 和BD 交于F 。
如果三角形EBF 的面积是1平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【解析】连结AF ，两个三角形△AEF 、△BEF 等底等高，面积都是1平方厘米。
连结AC ，交BD 于O 点，O 点是AC 、BD 的中点。
△AOF 、△COF 是等底等高三角形，面积相等。
因为△AOB 、△ACE 面积都是△ABC 的一半（△AOB 面积=△ACE 面积），各自减去四边形AOFE ，剩下的部分是△COF 与△BEF ，面积相等，是1平方厘米。
△AOF 、△AEF 、△BEF 面积相等，都是1平方厘米，△AOB 的面积就是1+1+1=3（平方厘米），所求长方形面积是△AOB 面积的4倍，因此所求长方形面积为3×4=12（平方厘米）。
【小试牛刀】如图，平行四边形ABCD 中，EF 平行于AC ，连结BE ，AE ，CF ，BF ，与△BEC 等积的三角形还有哪几个？【解析】由于图中平行线有三组：AD 平行于BC ，AB 平行于CD ，EF 平行于AC ，不妨依据同底等高的三角形等积来寻求等积三角形。
小学奥数平面直线型几何知识汇总
平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。
2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。
比例线段知识点总结
比例线段知识点总结一、概念比例线段是指在空间中，两条相交直线及其被它们截断的线段之间的比例关系。
即在一条直线上，有两个点A、B，它们分别位于C、D两点之间，若AC：CB=AD：DB，则称AB 与CD成比例，这里的A、B、C、D称为比例线段。
二、性质1. 等价性：如果AB与CD成比例，那么CB与AD也成比例。
2. 共线性：如果AB与CD成比例，那么A、B、C、D四点共线。
3. 分解性：如果AB与CD成比例且BC=BD-CD，那么A、C、D三点共线。
4. 反比例性：如果AB线段与CD线段成比例，那么AB与DC反比例。
三、比例线段的性质1. 正比例和反比例（1）正比例：如果两个比列线段是正比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D。
即AB/CD=AC/BD；（2）反比例：如果两个比例线段是反比例的，那么它们之间的关系是A处乘B等于C处乘D的倒数。
即AB/CD=AD/BC。
2. 合比例与轴比例（1）合比例：如果两个比例线段是合比例的，那么它们之间的关系是有一个共同的中点E，其中AE/EB=CE/ED；（2）轴比例：如果两个比例线段是轴比例的，那么它们之间的关系是有中点E，其中AE/BE=CE/DE。
3. 调和比调和比是指四个不相等的正数a、b、c、d，如果满足a/b=c/d，那么称a、b、c、d为调和比，用(a,b,c,d)表示。
四、比例线段的运算1. 和与差（1）和：如果AB与BC成比例，那么AB+BC等于线段AC的长度；（2）差：如果AB与BC成比例，且AB大于BC，那么AB-BC等于线段AC的长度。
2. 积与商（1）积：如果AB与BC成比例，那么AB*BC等于AC*BC；（2）商：如果AB与BC成比例，那么AB/BC等于线段AC的比例。
3. 比值定理如果在三角形ABC内，D、E分别是AB、AC的两个点，而线段DE与BC平行，那么AD/DB=AE/EC。
五、应用1. 已知比例求线段长度对于等比例线段AB、CD，通过已知比例和其中一个线段的长度，可以求解另一个线段的长度。
线段成比例的原理
线段成比例的原理线段成比例的原理是指当两个线段与第三个线段成比例时，它们的长度之间存在一种固定的比例关系。
这种比例关系可以用数学式表示为：若线段AB与线段CD成比例，则有AB/CD=AC/BC。
线段成比例的原理是几何学中的一个基本原理，在解决与线段相关的问题时经常使用。
理解和掌握线段成比例的原理可以帮助我们在解决实际问题时，更好地应用几何知识，进行推理和计算。
要理解线段成比例的原理，首先需要明白成比例的含义。
两个线段成比例，意味着它们的长度比是相等的。
具体来说，假设线段AB和线段CD成比例，那么它们的长度比可以表示为AB/CD。
这个比值是一个定值，无论AB和CD的具体长度是多少，它们的比值都保持不变。
线段成比例的关键在于共线性。
只有当线段AB和线段CD处于同一直线上时，它们才能成比例。
这是因为两个线段之间的比值与它们在直线上的位置有关。
对于非共线的线段，无法通过长度比来描述它们之间的关系。
借助线段成比例的原理，可以解决各种与线段相关的问题。
例如，在正方形中，对角线与边上的线段成比例。
假设正方形的边长为a，那么对角线的长度为√2a。
根据线段成比例的原理，可以得到√2a/a的比值，即√2/1。
这个比值说明了对角线与边的长度之间的关系，即对角线是边长度的√2倍。
这个结论可以应用于解决各种与正方形相关的问题，如求正方形的对角线长度、边长等。
线段成比例的原理还可以用于判断两条线段是否成比例。
假设有两段线段AB和CD，需要判断它们是否成比例。
首先可以计算它们的长度比，即AB/CD。
然后再计算AC/BC的比值，若这两个比值相等，则可以得出AB和CD成比例的结论。
这种方法可以应用于解决实际问题，如判断图形中的线段是否成比例、求解未知长度的线段等。
总之，线段成比例的原理是几何学中的一个重要概念。
理解线段成比例的原理可以帮助我们解决与线段相关的问题，进行几何推理和计算。
通过应用线段成比例的原理，可以推导出许多与线段长度相关的定理和结论，丰富我们的几何知识。
比例线段概念整理
比例线段概念整理
比例线段是数学中重要的概念之一，主要涉及比例、线段和比例线段的性质。
在学习比例线段时，我们需要了解以下几个关键概念：
1. 比例的概念：
比例是指两个量之间的对应关系。
如果两个量之间的比相等，我们就说它们成比例。
比例的基本性质是乘法性质，即如果a/b=c/d，则a×d=b×c。
比例在实际生活中有着广泛的应用，比如食谱中的配料比例、地图上的比例尺等。
2. 线段的概念：
线段是指两个端点之间的部分，它有固定的长度。
线段的长度可以用数值来表示，通常用单位长度来进行测量。
线段的性质包括长度、起点、终点等。
3. 比例线段的概念：
比例线段是指在同一直线上的几条线段，它们之间满足比例的关系。
比例线段的基本性质是比例性质，即如果两条线段成比例，那么它们的比相等。
比例线段的比例关系可以用比例式来表示，比如AB:CD=EF:GH，表示线段AB与线段CD的比等于线段EF与线段GH的比。
4. 比例线段的比例式性质：
比例线段的比例式有一些重要的性质，包括交叉相乘等于交叉相乘、比例线段的比例是对称的等。
其中，交叉相乘等于交叉相乘是比例线段的重要性质，它可以用来求解未知线段的长度。
比例线段的比例是对称的性质则表示比例线段的比例与线段的位置无关，只与线段的长度有关。
总的来说，比例线段的概念涉及比例、线段和比例线段的性质。
通过理解比例线段的概念和性质，可以帮助我们更好地应用比例线段的知识，解决实际生活和数学问题。
希望以上整理的内容对您有所帮助。
如果有任何疑问，欢迎继续咨询。
五年级下册讲义 13讲 比和比例(含答案、奥数板块)--北师大版
比和比例【知识讲述】学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基本要求。
比和比例的学习,也是为中学学习函数打下基础。
用比和比例解答的应用题有：1．按比例分配应用题。
把一个数量按一定的比进行分配，解答这类应用题的关键是根据题中所给的比，转化成求一个数的几分之几来做。
2．正、反比例应用题。
解答这类应用题，首先要找出相关联的量，然后判断成什么比例关系，建立比例式。
【例题精讲】例1 、 一个长方体的棱长总和是180厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2。
这个长方形的体积是多少立方厘米？练习、一个长方体长与宽的比是4:3，宽与高之比是5:4，长方形的长是100厘米，求长方体的体积。
例2 、 兄弟俩共有85元，他们都买了一支价格相同的钢笔，哥哥花掉了自己钱数的34，弟弟花掉了自己钱数的23，哥哥还剩多少元？练习、甲乙两数的和是99，甲数的45 等于乙数的23，那么甲数与乙数各是多少？例3 、甲、乙、丙三人一起去商场购物，甲花钱数的12 等于乙花钱数的13 ，乙花钱数的34等于丙花钱数的47，结果丙比甲多花钱93元。
问他们三人共花了多少钱？练习、周、吴、张3人共有810元，周用了自己钱数的23 ，吴用了自己钱数的35，张用了自己钱数的34，都买了一件价格相同的衣服，那么周和吴剩下的钱共有多少元？例4、 饲养场里有鸡、鸭、鹅共860只，鸡、鸭的只数比是3:4，鸡、鹅的只数比是4:5，鸡、鸭、鹅各有多少只？练习、商店运进香蕉、梨、苹果共775千克，其中香蕉、梨的重量比是3:5，梨、苹果的重量比是2：3。
商店运进苹果、梨、香蕉各多少千克？例5、 一批货物共值171万元。
如果第一、二、三批货物的质量比为2：4：3，单位质量的价格之比为6：5：2，这三批货物各值多少万元？练习、一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50千米.问:此人走完全程用了多少时间?例6、有两杯体积相同的酒精溶液，第一杯中酒精与水的比是3：5，第二杯酒精与水的比是1：4。
比例线段ppt
THANK YOU.
应用：在解决实际问题时，常常需要利用比例线段来 解决长度测量、面积计算等问题。
高手练习题
总结词：解决复杂的比例线段问题，掌握综合运用技 巧
综合运用：需要综合运用比例线段的基本性质和几何 学、物理学、工程学等领域的知识。
详细描述
技巧：需要灵活运用比例的性质，掌握相似三角形的 判定和性质，了解等腰三角形的性质等。
乘法规则
总结词
比例线段的乘法运算是通过将两条线段相乘来获得新的比例 线段。
详细描述
给定比例线段AB和CD，若需要找到与它们成相同长度比例的 新线段EF，可以通过在对应点E和F之间添加一个点G，使得 EG和FG与原线段AB和CD等长，从而得到新的比例线段EF。
除法规则
总结词
比例线段的除法运算是通过将一条线段除以另一个线段来获得新的比例线段 。
详细描述
全等三角形具有相同的边和角，因此它们对应的线段成比例 。在证明比例线段时，可以构造全等三角形，并利用全等三 角形的性质来证明线段之间的比例关系。
利用相似三角形证明
总结词
相似三角形是证明比例线段的另一种有效工具，通过相似三角形的性质，可 以将比例线段的证明转化为相似三角形的证明。
详细描述
相似三角形具有相同的角和相似的边，因此它们对应的线段成比例。在证明 比例线段时，可以构造相似三角形，并利用相似三角形的性质来证明线段之 间的比例关系。
详细描述
给定比例线段AB和CD，若需要找到与它们成相同长度比例的新线段EF，可以 通过在对应点E和F之间添加一个点G，使得EG和FG与原线段CD和AB等长， 从而得到新的比例线段EF。
04
比例线段的证明方法
利用平行线证明
总结词
【5年级奥数课本(上)】第18讲_直线形计算中的比例关系
小学奥数创新体系5年级（上册授课课本）最 新 讲 义小学奥数第十八讲直线形计算中的比例关系- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系，下面我们复习一下其中的基本结论．当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．如图所示，对于三角形ABD 与三角形BDC ，它们有共同的高BH ，可知ABD ADBDC DC=三角形的面积三角形的面积．例题1．如图，AE :EB =3:2，CD :DB =7:5，三角形ABC 的面积是60，求三角形AED 的面积． 「分析」图中是否有等高的三角形？练习1．如图，:2:5CE AE =，:7:5CD DB =三角形ABC 面积为120，求三角形AED 的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖”．把“飞镖”立起来（如图），标好字母，会发现两个三角形：三角形ADE 与三角形ABC ．这两个三角形有一个公共的角A ，并且角A 的两边AD 、AE 分别在AB 、AC 上．对于符合这种情况的三角形ADE 与三角形ABC ，我们称之为“共角三角形”．BA C DH AB CDEAD C BEA D CBE对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如：在“小黎飞镖”中，有ADE AD AEABC AB AC=⨯三角形的面积三角形的面积．（同学们，可以想一想如何来证明这个结论．提示：连结四边形BDEC 的一条对角线）例如：如果在“小黎飞镖”中，D 点是AB 上靠近B 的3等分点，E 点是AC 上靠近A 的3等分点，那么23AD AB =，13AE AC =，那么三角形ADE 的面积就是三角形ABC 面积的212339⨯=． 有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了．请看下面的问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．如图，在三角形ABC 中，AD 的长度是BD 的3倍，AC 的长度是EC 的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC 的面积是多少？「分析」△ADE 占△ABC 的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算？练习2．三角形ABC 中，BD 的长度是AB 的14，AE 的长度是AC 的13．三角形AED 的面积是8，那么三角形ABC 的面积是多少？例题3．如图，已知长方形ADEF 的面积是16，BE =3BD ，CE =CF ．请问：三角形BEC 的面积是多少？「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？ABCDEA B CD EC A EBD F练习3．如图，长方形ABCD 的面积是48，BE :CE =3:5，DF :CF =1:2．三角形CFE 的面积是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -接着，我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系．如图，对于一个任意的四边形ABCD ，连结对角线AC 和BD ，将整个四边形分成4个小三角形，由等高三角形的基本结论，我们可以得到如下关系：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成4个部分．三角形BOC 的面积是2平方千米，三角形COD 的面积是3平方千米，三角形AOB 的面积是1平方千米．如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？「分析」△BOC 、△COD 和△AOB 的面积都知道了，那么△AOC 的面积是多少呢？练习4．四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于O 点，三角形ABO 的面积为6，三角形AOD 的面积为8，三角形BOC 的面积是15，那么四边形ABCD 的面积是多少？ABCDO S 1S 2 S 3S 414142323S S S S BO DO S S S S +===+ 12124343S S S S AO CO S S S S +===+ 1324S S S S ⨯=⨯A B CD E FC ABD O AB CDO例题5．如图，△ABC 的面积是36，并且13AE AC =，14CD BC =，15BF AB =，试求△DEF 的面积．「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢？例题6．图中四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，如果△ABD 的面积是30平方厘米，△ABC 的面积是48平方厘米，△BCD 的面积是50平方厘米．请问：△BOC 的面积是多少？ 「分析」题目中给出了3个大三角形的面积，能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？AB CDE F C DAOB三角形中的五心重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心；垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三角形旁心．1. 如图，△ABC 中，BD 的长度是AB 的23，如果△ABC 的面积为15，那么△ADC 的面积是多少？2. 如图，:4:3AE EB =，:3:1CD DB =，三角形ABC 的面积是84，三角形AED 的面积是多少？3. 如图，:1:4AD DB =，:1:5AE EC =，如果△ABC 的面积是120，那么△ADE 的面积是多少？4. 如图所示，在长方形ABCD 中，DE CE =，2CF BF =，如果长方形ABCD 的面积为18，那么阴影部分的面积是多少？5. 如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 两条对角线交于O 点，△ADO的面积为30，△ABO 的面积为6，△DOC 的面积是20，那么四边形ABCD 的面积是多少？ABC DEABCDOADCBECBFAD EABCD。
数学练习巧解比例与比例线段
数学练习巧解比例与比例线段比例是数学中常见的概念，它指的是两个或多个量之间的相对大小关系。
在实际生活和数学问题中，通过比例可以帮助我们解决许多计算困难，尤其是关于比例线段的问题。
本文将介绍一些关于比例与比例线段的巧妙解题方法。
一、比例的基本概念和运算法则在解决比例与比例线段的问题之前，我们首先需要了解比例的基本概念和运算法则。
比例通常用字母a/b或a:b来表示，其中a和b分别表示两个或多个数量的大小。
当a与b之间存在一种恒定的数量关系时，我们可以说a 与b成比例。
在比例的运算中，我们常用到三种基本的比例关系：等比例、反比例和复合比例。
等比例指的是两组或多组数之间的比例相等，反比例指的是一组数与其倒数之间的比例关系，而复合比例则是由多个比例组合而成的复合关系。
二、比例解题方法在实际问题中，我们经常遇到需要解决比例与比例线段的问题。
以下将介绍一些巧妙的解题方法，以帮助读者更好地理解和应用比例的概念。
1. 通过图形解题在解决比例与比例线段的问题时，我们通常可以通过图形来帮助我们理解和推导解题过程。
例如，我们通过绘制平行四边形的边长比例图来求解两个线段的比例关系。
通过观察图形中的线段长度，我们可以很容易地得出比例关系，并用数学表达式进行表示和计算。
2. 利用比例的性质比例具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来简化解题过程。
例如，当两个比例相等时，我们可以将其称为“各异比例”，即a/b=c/d。
在解决比例问题时，如果我们知道其中三个量，那么我们可以通过交叉乘积法则来求出第四个量。
3. 利用比例线段的性质比例线段是指一条线段中的各个部分与整体之间的比例关系。
在解决比例线段问题时，我们可以利用一些关于比例线段的性质来简化解题过程。
例如，对于一条分割线段的比例问题，我们可以利用比例线段内外的对应线段长度的比例关系来求解。
通过将已知信息与待求信息进行比例运算，我们可以快速得到答案。
4. 利用变量解题在解决比例与比例线段的问题时，我们可以引入未知数来帮助我们建立方程和求解问题。
数学比例线段的概念和性质
数学比例线段的概念和性质数学中，比例线段是指具有相等比例关系的线段。
比例线段具有以下性质：1. 相似性：比例线段的长度比是相等的。
如果两个线段AB和CD成比例，即AB/CD=k，则两个线段是相似的。
相似的线段具有相似的性质和形状。
2. 约束性：比例线段是有限制的，即如果一条线段成比例于其他两条线段，那么这两条线段的关系也是成比例的。
例如，如果AB/CD=k，CD/EF=m，那么AB/EF=(AB/CD)*(CD/EF)=k*m。
3. 反比关系：比例线段的倒数也是成比例的。
如果AB/CD=k，则CD/AB=1/k。
这意味着如果一个线段是另一个线段的倍数，那么这两个线段的倒数也是成比例的。
4. 比例线段的比例可乘性：如果有三个比例线段AB、BC和CD，且AB/BC=k，BC/CD=m，那么AB/CD=(AB/BC)*(BC/CD)=k*m。
这个性质可以用于求解比例线段之间的未知量。
5. 分离性：如果有两个比例线段AB/CD=k，EF/CD=m，则AB/EF=k/m。
这意味着两个比例线段之间的比例关系不受其他线段的影响，可以独立分析。
6. 平行性：如果两条平行线上的线段成比例，那么这些线段上的任意线段也成比例。
例如，如果ABCD，且AB/CD=k，则对于平行线段EF和GH，有EF/GH=k。
7. 三角形的角平分线：在一个三角形中，角的平分线把相对边分割成比例线段。
例如，如果BE是三角形ABC中角B的平分线，那么AE/EC=AB/BC。
8. 重心和垂心：在三角形中，重心到各个顶点的距离成比例，垂心到各个顶点的距离也成比例。
这是由重心和垂心的特殊性质决定的。
具体来说，如果G是三角形ABC的重心，D是三角形ABC中BC边上的垂足，则AG/GC=BD/DC。
9. 正弦定律和余弦定律：在三角形中，正弦定律和余弦定律也可以看作是比例线段的定理。
正弦定律可以表示为a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)，其中a、b和c是对应的边长，A、B和C是对应的角度。
五年级数学思维能力拓展专题突破系列(二)用比例解直线型面积问题讲义(含答案)
五年级数学思维能力拓展专题突破系列（二）用比例解直线型面积问题——简单直线型面积图形认识简单直线型图形并了解直线型图形面积的求法1、认识简单直线型图形2、了解直线型图形面积的求法1. 计算下图的面积：AB=12，BF=10，EF=8，DE=5。
（单位：厘米）2. 已知△ABC，ADEF是正方形，BE=10，CE=8，求△BDE和△EFC的面积之和是多少？3. 如图，ABCF是梯形，EFCD是正方形，AF=6，BC=8，求三角形AEF的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1. 简答题：小学要学的五个常规直线型图形是哪些？2. 简答题：有哪些常用技巧？3. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？4. 在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
5. 如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
1. 答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。
2. 答案：割补法，平移法，旋转法，差不变等。
3. 答案：1 3将两个这样的三角形拼成一个平行四边形。
显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13，根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面积的13。
4. 答案：24题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法与矩形联系起来。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见图）。
因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
5. 答案：14平方厘米因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（如下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。
苏科版五(下)奥数教案第16讲~直线型中的比例关系
五（下）奥数第16讲~直线型中的比例关系重点、难点1、探索发现直线型中的比例关系2、理解并牢记等高三角形的比例关系3、会运用风筝模型解题教学内容本讲说明：本讲内容和比的知识相结合，以等高三角形的贯穿始终，与之前所接触的几何知识相比，会比较难判断，甚至有的孩子理解起来都有点困难，老师要做好心理预期，课上在讲解的时候注意方法的引导，另外在讲解的时候注意步骤要规范，并且要求学生也要规范。
课堂目标：1、探索发现直线型中的比例关系；2、理解并牢记等高三角形的比例关系；3、会运用风筝模型解题。
知识点一：复习等高三角形通过图形可以较直观地了解，同底等高或等底同高的三角形面积相等。
知识点二：三角形中的倍数关系衔接：我们已经知道了等高三角形的特征，如果把一个三角形两等分，所得到的三角形之间又存在什么倍数关系呢？知识点三：知识新授(直线型中的比例关系）衔接:等高三角形中存在这样的倍数关系，如果把倍数关系转化成份数的思想，利用我们之前学过的比的知识该如何进行解题呢？大三角形的底边和小三角形的底边是4倍关系，转化成比例关系底边之比就是4：1 ，面积之比也是4：1，再按比例分配求出各自的面积。
如果两个三角形的底边是3：2，它们的面积又有什么关系呢？板书总结：直线型中的比例关系热身小练习1 注意：这些题主要是要看出BD 和DC 的比是多少，底边之比等于面积之比，确定三角形所占份数，求出答案。
(1) BD:DC = 3:5,△ABC 的面积为24，求△ABD(2) BD = 53DC ，△ACD 比△ABD 面积大18 ，求△ABD(3) BD = 83BC ，△ACD 比△ABD 面积大14，求△ABD(4) BD = 30，BC = 80，△ACD 比△ABD 面积大20，求ABD热身小练习2 （1）已知：AD=AC 54，标出两个三角形的份数（2）已知：AD =54AC ，BE =41BD ； △AED 比△BDC 的面积大24，求总面积注意：倒推.由BE =41BD 先求出△AED 和△BDC 各自的份数，求出份数差与每份是多少。
小学五年级数学教案分享比例与相似形的认识
小学五年级数学教案分享比例与相似形的认识教案分享：比例与相似形的认识一、教学目标：1.了解比例的概念，能够用比值表示比例关系。
2.认识相似形，了解相似形的性质。
3.能够应用比例和相似形解决实际问题。
4.培养学生合作学习和问题解决的能力。
二、教学内容：1.比例的概念及表示方法。
2.相似形的认识和性质。
3.比例和相似形的应用。
三、教学过程：一、导入（5分钟）老师可以通过提问的方式引入课题：“小明每天骑自行车上学需要20分钟，那么他骑车走一半的时间需要多长时间？”，引导学生思考比例的概念。
二、概念讲解（15分钟）1.比例的概念：比例是指两个或多个有联系的数或者量之间的比关系。
比例的表示方法：用冒号“：”或者分数表示。
例如：小明骑车上学的时间比小红的时间为2：1，可以表示为2/1。
2.相似形的认识和性质：相似形是指形状相同但大小不同的几何图形。
相似形的性质：对应两边的长度比相等，对应两个角度的度数比相等。
例如：两个三角形的边长比和角度比分别相等，则表示这两个三角形相似。
三、实例讲解（20分钟）1.比例的应用：通过几个实际问题的讲解，引导学生应用比例解决问题。
例如：如果1本书需要花费10元，那么3本书需要花费多少元？2.相似形的应用：通过几个实际问题的讲解，引导学生应用相似形解决问题。
例如：已知一根100米高的杆子在阳光的垂直照射下投影的长度为80米，那么一个树影为20米的人的身高是多少？四、巩固练习（15分钟）教师分发练习册，让学生进行个人或小组讨论，完成练习题。
例如：1. 已知两个相似三角形的边长比为3：5，若小三角形的边长为12米，求大三角形的边长。
2. 男生队伍有48人，女生队伍有32人，男生队伍的人数与女生队伍的人数的比为多少？五、拓展应用（20分钟）让学生自由发挥，提出一些实际生活中的问题，应用比例和相似形进行解决。
例如：1. 如果一辆小车每小时行驶80千米，那么3小时行驶了多少千米？2. 如果一个用透明胶纸做的图案是原图的1/3，那么原图的边长是多少？六、总结归纳（10分钟）通过学生的回答和讨论，总结比例和相似形的概念和应用方法。
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如图，AC的长度是AD的4
5，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半．请问：
AE是AB的几分之几？
A
B
C
D
E 4
1
S∆ABC=5份
S∆ADE=2份
S∆BD E=3份
AE:EB=2：3
AE
AB
=
2
5
三角形ABC 并且 试求 。
15BF AB =，11,,34
AE AC CD BC ==A B C D E
F S DEF S ABC S∆AEF=45×13=4
15 S∆BD F=15×34=320 S∆DEC =14×2
3=16
1−
415−320−16=512
如图，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上．
（1）当水箱像图4-4这样倾斜，水箱中水流出15 ，这时AB 长多少厘米？
（2）如图4-5，当水箱这样倾斜到AB 的长度为8厘米后，再把水箱放平，如图4-6，这时水箱中水的深度是多少厘米？
(1) 20×(1−25)=12厘米 （2） 20−8÷20=35
倒出=310整体 310
×20=6 20-6=14厘米
如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是2，三角形ACF 的面积是4。
请问：三角形ABC 的面积是多少？
C A E B
D F S∆AB
E =8-2=6 BD:EB=1：3 S∆ACE =8-4=4 BD:EB=1：1 S∆BCE S∆DFE =12×3
4
=38 S∆BCE =38×8=3
16-2-4-3=7
如图，3个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为6，求三角形ABC的面积．
C D
A B
E
F
图4-16
CB:EB=1：2
S∆ABC=
1
3
×6×6×2÷2=12
图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。
6 7 52÷13×6=24 24-6=18
52÷13×7=28 28-7=21
18 21
图中四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，如果三角形ABD 的面积是30平方厘米，三角形ABC 的面积是48平方厘米，三角形BCD 的面积是50平方厘米。
请问：三角形BOC 的面积是多少？
C D A O
B
CO:OA=5：3 S∆AOC =58
×S △ABC =30平方厘米
如图，梯形ABCD 中，三角形ABE 的面积是60平方米，AC 的长是AE 的4倍，梯形ABCD 的面积是多少平方米？ A B C
D E AE:EC=1：3 1份
9份 3份
3份 1+3+3+9=16份 60÷3×16=320平方米
如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？
B O 图4-20 A
C D
1份 4份
2份 2份 1+2+2+4=9份
36÷9×4=16
如图所示，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积。
A B C
D
E F O G
H
GF:BE=3：5 GO:OE=3：5 阴影面积=12×12÷2÷8×5=45平方厘
米
如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，已知正方形ABCD 的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积。
A
C
D E F
B AD:BE=2：1 M N
BM:MD=1：2 同理ND:NB=1：2 S △ABD=60÷2=30平方厘
米 30÷3=10平方厘米
如图所示，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长．
A
B C D
E
F
G
图4-23 平行四边形ABCD−S∆BEC=10
S∆BEC=10×8÷2=40平方厘米
平行四边形ABCD=10+40=50平方厘米平行四边形ABCD=BC×FC
FC=50÷10=5厘米
如图所示，已知D 是BC 的中点，E 是AC 的中点。
三角形ABC 由①至⑤这5部分组成，其中①的面积比④的多6平方厘米。
请问：三角形ABC 的面积是多少平方厘米？
A
B C
D E
① ② ③ ④ ⑤ DE ∥AB
DE:AB=1：2 2份 2份
4份 1份 6÷（4-1）=2 3份
2×（4+2+2+1+3）=24平方
厘米
根据图中所给的条件(其中EC 的长度是10)，求梯形ABCD 的面积。
13 12 15 10
A
B C D E F DE 2=15×15−12×12=81 DE=9 FC 2=13×13−12×12=25
FC=5
AB=EF=10-
5=5
DC=9+10=19 (5+19)×12÷2=144
本讲知识点汇
总
一、共角三角形的性质：它们的面积之比等于对应两边长
度之比的乘积。
二、任意四边形连结对角线，对应三角形面积之比等于对
应线段长度之比。
三、梯形“两翼”的三角形面积相等。
本讲知识点汇
总 一、沙漏型的比例关系：
二、勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方。
AB AO BO DC DO CO ==。
A B C D O
下节课见！。