解三角形题库大全
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
解三角形(含答案)
解答题1．已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域. 解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-，………………8分 因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分2.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=， 所以T =π． ……2分 所以2ω=． 当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分 所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266x x x ππ=+-12cos 222x x =- sin(2)6x π=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤． 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分3．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值； （2）求函数)(x f 的单调增区间. （3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分 由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分 所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分（2换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分4.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ……4分因为22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分 所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分 当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分5.已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分 令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤. 所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=，…………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07sin 29x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()9x =--=. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2()2)2)22443x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=.……………………………………10分 所以20π12cos()1()433x +=-=. ……………………………………11分 所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=.6.已知π2sin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域． 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且π2sin()410A +=，所以ππ3π244A <+<，π2cos()410A +=-ππππcos()cossin()sin 4444A A +++31021025=-+=． 所以3cos 5A =． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =．212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+，x ∈R ．因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． 7.已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12(, 1)5=-n ，求当⋅m n 取最 小值时，)4tan(π-A 值.解：所以2sin cos sin()sin()sin A B B C A A =+=π-=. ……… 3分 因为0A p <<，所以sin 0A ¹.所以1cos 2B =. ……… 5分3B π=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos 25A A ⋅=-+m n ， ………………… 8分 所以2212343cos 2cos 12(cos )5525A A A ⋅=-+-=--m n . …10分所以当3cos 5A =时，⋅m n 取得最小值.……12分 所以tan 11tan()4tan 17A A A π--==+. …………… 13分8.已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求AB BC 的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． 4分 （Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ． …6分 20π<<x Θ， 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1．…8分 （Ⅲ）Θ)32sin()(π-=x x f ，若x 是三角形的内角，则π<<x 0 令21)(=x f ，得解得4π=x 或127π=x ． ……10分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ， ∴4π=A ，127π=B ， ∴6π=--π=B A C ． …11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥- （均值定理在三角中的应用）所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ． （ 取等条件别忘）所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤ 所以三角形面积的最大值为 ……………………13分 10. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分∴3A π=． ……………………5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=11cos 22x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分11. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =--o , …………………4分………5分（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ． ∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分13.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知(1) 求sin(B+C)的值；(2) 若a=2, 求b,c 的值.【知识点】诱导公式；三角形的面积公式；解三角形.【答案解析】（2解析： A C B -=+π又,分83ΛΛΛ=∴bcA bc c b a cos 2222-+=又分10622ΛΛΛ=+∴c b【思路点拨】(1)由诱导公式及平方关系得sin(B+C)的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理得关于b 、c 的方程组求解.14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。
解三角形专项练习以及答案
解三角形专项练习以及答案一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是A.152，+∞B.10，+∞C.0,10D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.∴04.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，∴sinB+C=2sin Bcos C，∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，∴sinB-C=0，∴B=C.5.在△ABC中，已知b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，∴b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k k>0，则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13，∴sinC=223，∴12absinC=43，∴b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，得A>B，∴B=30°，故C=90°，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案12 6解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sinB+C-sinCcosBsinA+C-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA⇔sinAcosA=sinBcosB⇔sin2A=sin2B⇔2A=2B或2A+2B=π⇔A=B或A+B=π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为3+1∶2，则最大角为A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，∴sinCsinA=sin120°-AsinA=sin120°cosA-cos120°sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，∴tanA=1，A=45°，C=75°.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4， cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sinπ-B-C=sin3π4-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.1.在△ABC中，有以下结论：1A+B+C=π;2sinA+B=sin C，cosA+B=-cos C;3A+B2+C2=π2;4sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
(完整版)解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A． B． C．或 D．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A． B． C． D．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A． B． C． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （ A． B． C． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B． C． D．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C、 D、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则A= 。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
(完整版)解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是（）．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为23，那么b＝（）．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为（ )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°,∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°,a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中,AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°,那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中,∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1,∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2)A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析：设三边分别为5k ,7k ，8k （k ＞0)，中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B 3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1,故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1:由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2，c ＝6,3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°,∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4,∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21,∠C ＝60°或∠C ＝120°,所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析:已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin , ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ，∠B ＝60°,∴∠C ＜∠B ,∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°,∠C ＝30°．19．解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0, ∴（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2)＝0,∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2:由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ,∠B ∈（0，)⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2）由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ,∠C ∈（0，π），∴∠A ＝∠B ＝∠C,∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系;再由a ＋c ＝8，解方程组得a ,c ． 解：由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ,得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4，a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ,∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得（2a －3c ）(a －c ）＝0，∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8，∴a ＝524，c ＝516．。
专题10 解三角形经典必刷小题100题(原卷版)
专题10 解三角形经典必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1．在ABC =，且3A π=，则C =（ ） A ．4π B ．512π C ．3π D ．712π2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan a c b B +-，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．π3或2π3C ．π3D ．π6或5π63．在ABC 中，已知tan tan a ba b A B+=+，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰或直角三角形4．已知ABC ∆三边a ､b ､c 上的高分别为12､1，则cos A =（ ）A B ．C ．D ．5．满足条件a =4，b A =45°的△ABC 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．无数个 D ．不存在6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos :cos :cos 6:3:2A B C a b c =，则cos C 等于（ ）A B ．13C D7．在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B ∠=，则边AC 的长（ ）A B ．4C ．D ．8．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A B C ．D ．9．在ABC 中，1sin 3B =，BC 边上的高为AD ，D 为垂足，且BD ＝2CD ，则cos ∠BAC ＝（ ）A ．BC ． D10．ABC 中，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC 的面积为()AB DA DB ⋅+等于( )A ．2B ．4C ．-4D ．-211．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos 2B a c c+=，则ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若acosB ﹣bcosA ＝c ，则A ＝（ ） A ．3πB ．2π C ．23π D ．56π13．已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC ∆的周长为（ ）A 4B ．4C ．4D ．414．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，3c =，且满足()2cos cos a c B b C -=，则AB BC ⋅的值为（ ） A ．2 B ．3C ．1-D ．3-15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =（ ）A ．1213B ．1321C ．1213D ．211316．在ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =C ∠=（ ）A ．3πB ．23π C ．4πD ．34π17．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,b c ==2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC 的面积是（ ）A B ．12C D 1218．△ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为,,a b c ，23A π∠=，3b =，三角形ABC ，则边a 的长为（ ）A B C ．7 D ．4919．在ABC ∆中，若222cos cos 2sin A B C +>-，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法判断20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,,45,4a b c A a ︒∠==，如果ABC 有两组解，那么b 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(0,4)C ．D ．(4,二、多选题21．不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（ ） A ．30,25,150a b A ===，有一解 B ．7,14,30a b A ===，有两解 C．6,9,45a b A ===，有两解D ．60a b A =，无解22．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin cos b A B ，2AB =，AC =D 为BC 中点，E 为AC 上的点，且BE 为ABC ∠的平分线，下列结论正确的是（ ）A ．cos BAC ∠=B ．=ABC S △C ．2BE =D ．AD =23．在ABC 中，下列结论中正确的是（ ） A ．若A B <，则sin sin A B < B ．若A B <，则cos2cos2A B < C ．若A B <，则cos cos A B > D ．若A B <，则11sin 2sin 2A B<24．对于△ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若cos A ＝cos B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若△ABC 为锐角三角形，有2A B π+>，则sin A ＞cos B C ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个 D ．若sin 2A +sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形25．在ABC 中各角所对得边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的有（ ） A ．cos cos cos a b cA B C==则ABC 为等边三角形； B ．已知()()3a b c a b c ab +++-=，则60C ∠=；C ．已知7a =，b =c =，则最小内角的度数为30；D ．在5a =，60A =，6b =，解三角形有两解.26．在ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，下列结论正确的是（ ） A ．()sin sin B C A +=恒成立B ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形 C ．若sin sin A B >，则A B >D ．若cos cos a A b B =，则三角形ABC 必是等腰直角三角形27．在ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若()222tan a c b B +-=，则角B =（ ） A ．30 B ．60︒ C ．150︒ D ．120︒28．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（ ） A ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 B ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >∣ C ．若tan tan tan 0A B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=29．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．在ABC 中，若4Cπ，22a c bc -=，则ABC 为等腰直角三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =30．在ABC 中，有如下四个命题正确的有（ ） A ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若BA BC AC +=，则ABC 的形状为直角三角形C ．ABC 内一点G 满足0GA GB GC ++=，则G 是ABC 的重心D ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 必为ABC 的外心第II 卷（非选择题）三、填空题31．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，cos 2cos c a B A =+，2b c =，若1cos 4C =-，则ABC 的面积为___________.32．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，C ＝34π，c ＝，D 为BC 中点，cos B ＝，求AD 的长度为______________．33．若a ，b ，c 为ABC 的三边，且a ，c ，b 成等差数列，则cos C 的最小值是___________.34．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，角A ，B ，C 成等差数列，且4b =，若D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，且G 为ABC 的重心，则GDE △面积的最大值为______.35．设,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，已知2cos 2a C b =，则角A 的大小为______．36．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos 20B B -=；且1b =，则ABC 周长的范围为__________.37．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1c =，60C =，则b 的取值范围是_____．38．在ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且222a b c +-=，则C 的值为________.39．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且()2cos cos 0a b C c B ++=，则sin sin A B ⋅的最大值为_________．40．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，c =，sin 2B B +=，则角C =______.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且满足2cos 0b A b c +-=，则2sin sin()BA B -的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．12⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,1)2．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若220a b ac -+=，则sin sin AB的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎭B ．2⎛ ⎝⎭C ．D ．2⎝⎭3．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a +=，且()1cos 6A B -=，则cos C （ ）A ．23B ．34C ．23或34-D ．不存在4．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若b =cos 20B B -=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ）A ．12+B ．C ．D ．6+5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，a （2sin B C cos A ，点D 是边BC 的中点，且AD △ABC 的面积为（ ）A B C D6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222sin sin sin sin sin A B C B C ≤++，则A 的取值范围是 A ．(0,]65π B ．[,)65ππ C ．(0,]32π D ．[,)32ππ7．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（ ）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m8．在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（ ） A ．C 的最大值为3π B ．C 的最大值为23π C ．C 的最小值为3π D ．C 的最小值为6π9．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b >，已知6a =，3sin 3sin sin B C A -=，7cos 29A =-，则ABC 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．D ．10．已知ABC 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos B C =a =（ ）AB C D11．已知ABC 的外心为O ，且4OA =，220OA AB AC ++=，则cos A 的值为（ ） A ．34-B ．23-C ．23D ．3412．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 平分线段BC 于D 点，且1AD =，则4b c +的最小值为（ ）A ．6B ．9C ．D ．3+13．ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若c =4a =，则b 的值为（ ）A ．6B ．2C ．5 D14．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足b c =，1cos cos b B a A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）A BC ．3 D15．已知ABC 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为35，左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线与椭圆在第一象限交点为P ，若12PF F △为等腰三角形，则直线1PF 的斜率为A B C ．D17．设向量a ，b ，c 满足2a b ==，2,,60a b a c b c ⋅=-〈--〉=︒，则c 的最大值等于A ．4B ．2CD ．118．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,2sin 22sin cos a b c c b A a A B =+，点D 在ABC ∆内部，且满足23ADB BDC CDA π∠=∠=∠=，若2,3a ABC π=∠=，则AD BD CD ++=（ ）A ．3B ．6C ．7 D19．在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则AC 的最大值为A ．2B ．C ．D ．20．如图，在ABC 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，AD =，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．4CD ．二、多选题21．已知ABC 的外接圆半径[)1,R ∈+∞，1AB AC ==，则下列说法正确的是（ ）A ．BCB ．A ∠的最小值为23πC ．ABC 的周长的最小值为2D ．ABC22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ）A ．34AC =B ．8AB =C ．18CD BD = D ．ABD ∆23．在ABC 中各角所对得边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的有（ ） A ．cos cos cos a b cA B C==则ABC 为等边三角形； B ．已知()()3a b c a b c ab +++-=，则60C ∠=；C ．已知7a =，b =c =，则最小内角的度数为30；D ．在5a =，60A =，4b =，解三角形有两解．24．己知△ABC 中，角A ，B ．C 所对的边分别是a ，b ，c ，B =3π，2BP =PC ，AP 是（ ）A ．AP =23AB +13AC B ．a +3c 的最大值为C ．△ABC 面积的最大值为D ．a +c 的最大值为25．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ） A ．sin :sin :sin 4:5:6A B C =B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆26．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 是锐角三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 是等腰三角形 D ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 是等边三角形27．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin A B =，且cos cos )2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，2DC =，6DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 面积最大值为12D ．四边形ABCD 面积最小值为1228．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足224sin 02A Bb a a +-+=，则下列结论正确的是（ ） A ．角C 一定为锐角 B ．22220a bc +-=C ．3tan tan 0A C +=D ．tan B29．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，()1cos cos 2A CB -=+，延长BA 至.D 则下面结论正确的是（ ） A ．6A π=B ．3B π=C ．若3CD =，则ACD △ 周长的最大值为3D ．若4BD =，则ACD △30．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列条件能推导出ABC 一定是锐角三角形的是（ ） A ．222a b c +>B ．sin sin sin 567A B C== C ．222cos cos cos 1A B C +-= D ．tan tan tan 0A B C ++>第II 卷（非选择题）三、填空题31．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知c =C 的值为___________．32．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，5a c ==，且227cos 25a b bc A ac -+=-，G 为ABC 的重心，则GA =________33．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____．34．在ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为_______．35．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin()cos 4A B π+==，2b =，则ABC 的面积为______________.36．在三角形ABC 中，2AB =，且角A 、B 、C 满足()2712sin cos 2242C A B -=+，三角形ABC 的面积的最大值为M ，则M =______．37．在ABC ∆中，已知6AB =,60A ∠=︒，BC 边上的中线AD =sin B =________．38．如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π∠=，点D 在线段AB 上，且2AD DB =，sin ACD BCD ∠=∠，则ABC ∆的面积为______.39．若ABC ∆)222a cb +-，且C 为钝角，则c a 的取值范围是______.40．已知O 是锐角ABC ∆的外心，1tan 2A =．若cos cos 2sin sin ⋅+⋅=⋅B CAB AC m AO C B，则实数m =______．任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣2．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥3．在三棱锥A BCD -中，2,AC AD AB CD BC BD ======（ ）A B C D ．4．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．5．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2224a b c +=，则cos C 的取值范围为（ ）A ．12⎡⎢⎣⎭B ．34⎡⎢⎣⎭C ．12⎡⎢⎣⎭D ．34⎡⎢⎣⎭6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．1⎛ ⎝⎭B ．(C ．1⎛ ⎝⎦D ．8．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）A B ．2C ．1D ．9．在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别是a b c 、、，且BC ，若sin sin C k B =，则当k 取最小值时，内角A 的大小为（ ） A ．2π B ．6π C ．3πD ．23π10．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A B C D二、多选题11．在ABC 中，设AB c =，BC a =，CA b =，则下列命题正确的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则ABC 为钝角三角形 B ．0a b b c c a ⋅+⋅+⋅< C ．若a b b c ⋅>⋅，则a c < D ．若a b c b -=-，则a c =12．已知O 是ABC 所在平面内一点，以下说法正确的是（ ）A ．若动点P 满足()sin sin AB AB AC AC OP OA R C B λλ⎛⎫⋅⋅=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则P 点的轨迹一定通过ABC 的重心． B ．若点O 满足,AO AB AO AC CO CA CO CBABAC CA CB⋅⋅⋅⋅==，则点O 是ABC 的垂心． C ．若O 为ABC 的外心，且OA OB OC OM ++=，则M 是ABC 的内心． D ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 为ABC 的外心13．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ） A ．2A B = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭14．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin B C =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB15．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC △，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角ABC 内的点，A 、B 、C 是ABC 的三个内角，且满足13PA PB PC CA ++=，OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则（ ）A ．::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△ B ．πA BOC ∠+∠=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC第II 卷（非选择题）三、填空题16．在三角形ABC 中，B C >，31cos 32A =，()1cos 8B C -=，20AC =，点M 是平面ABC 上的动点，则AM BM -的最大值为___________.17．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点.O 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则sin CADsin BAD∠∠的值是___________.18．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos a B b A =，M 是BC 的中点，若4AM =，则AC 的最大值为___________.19．在ABC 中内角A ，B ， C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则244Sa bc+的最大值是______.20．已知ABC 的面积等于1，1BC =，则当ABC 的三边之积取得最小值时，sin A =______.。
解直角三角形精选题
解直角三角形精选题42道一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3B．2x﹣y2＝9C．3x﹣y2＝15D．4x﹣y2＝212．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．43．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．B．C．D．26．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（）A．B．C．D．27．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．211．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．13．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A 的值是（）A．B．C．D．15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．16．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．17．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．二．填空题（共17小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．19．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．20．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．21．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．22．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．23．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．24．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．26．△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是．27．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是．28．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是．29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是cm2．30．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为．32．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB 上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的序号）．33．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为．34．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．三．解答题（共8小题）35．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．36．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．37．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．38．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tan C＝，BC＝12，求cos B的值．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．40．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝，（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值．41．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．解直角三角形精选题42道参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3B．2x﹣y2＝9C．3x﹣y2＝15D．4x﹣y2＝21【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选：B．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．4【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝，∴，故选：C．3．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，∵S△ABC＝AC•BD＝×3•BD＝×1×3，∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故选：B．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD＝AD，∴CD+BD＝8，∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得：CD＝3，BD＝5，∴BC＝4．故选：A．5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：延长AD、BC，两线交于O，∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tan A＝＝，AB＝3，∴OB＝4，∵BC＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，∵∠ADC＝90°，∴∠ODC＝90°＝∠B，∵∠O＝∠O，∴△ODC∽△OBA，∴＝，∴＝，解得：DC＝，故选：C．6．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（）A．B．C．D．2【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，∵tan C＝2＝，sin B＝＝，∴AD＝2DC，AB＝3AD，∵AB＝3，∴AD＝1，DC＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，故选：B．7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．故选：A．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【解答】解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+（4x）2＝（5x）2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选：C．10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,∴cos∠ECH＝cos B＝,∴＝,∴＝＝2,故选：D．11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2B．C．D．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，故选：B．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．【解答】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故选：B．13．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cos∠A＝cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC＝＝，∴cos∠A＝cos∠BOC＝．又∵cos∠A＝，AB＝4，∴AD＝．故选：B．14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A 的值是（）A．B．C．D．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，∴CD＝＝，∵AC＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：A．15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．16．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选：D．17．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故选：B．二．填空题（共17小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．故答案为．19．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于4﹣4．【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB＝AC＝8，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣30°）＝75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠ACB＝∠CAD+∠E，∴∠E＝75°﹣30°＝45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝4，∴DE＝EH﹣DH＝4﹣（8﹣4）＝4﹣4．故答案为4﹣4．20．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于15或10．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．21．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．【解答】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．22．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．【解答】解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．23．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．24．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，∴AD＝BD＝CD＝AB，又∵CD＝3，∴AB＝6，∴cos∠DCB＝cos∠B＝＝＝，故答案为：．26．△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是21或15．【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°，∴AD＝AB＝6，BD＝AB cos B＝12×＝6，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝6+＝7，则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD＝6、BD＝6、CD＝，则BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15，故答案为：21或15．27．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是2．【解答】解：设菱形ABCD边长为t，∵BE＝2，∴AE＝t﹣2，∵cos A＝，∴，∴＝，∴t＝5，∴AE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，∴tan∠DBE＝＝＝2．故答案为：2．28．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是（4，）．【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是2cm2．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，∴AC＝2cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝2cm．故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．故答案为：2．30．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为2．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∴∠A＝45°，在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，∴BE＝5x，∴x+5x＝6，解得x＝，∴AD＝×＝2．故答案为：2．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为．【解答】解：如图，设DF交AB于M，CD交AB于N，BE交DF于J．∵∠ACB＝90°，∴sin A＝＝，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k，∵C，D关于AB对称，∴CD⊥AB，CN＝DN，∵S△ABC＝×BC×AC＝×AB×CN，∴CN＝DN＝k，∴CD＝k，∵∠FCD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠DCF＝∠A，∵DF⊥BE，CD⊥AB，∴∠BJM＝∠DNM＝90°，∵∠BMJ＝∠DMN，∴∠D＝∠ABE，∴△DCF∽△BAE，∴＝＝＝．32．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB 上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是①③④（填写正确结论的序号）．【解答】解：∵D是AB中点∴AD＝BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°∴CD＝BD∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝故①③正确，②错误∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°∴∠ACB＝90°若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN＝CP∵d12+d22＝MN2＝CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB∴CP＝∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④33．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为2或14．【解答】解：过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝5，∴CD＝＝3，①△ABC是钝角三角形时，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC•BD＝＝2；②△ABC是锐角三角形时，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC•BD＝×7×4＝14，故答案为：2或14．34．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为9．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．三．解答题（共8小题）35．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．36．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵E是AD的中点，∴ED＝AD＝6，∴tan∠DCE＝＝；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴＝＝，＝＝1，∴AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x∴＝．37．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．【解答】解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD+DC＝+1．38．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tan C＝，BC＝12，求cos B的值．【解答】解：∵tan C＝＝＝，∴CD＝4．∴BD＝12﹣4＝8．在Rt△ABD中，AB＝＝10．∴cos B＝＝．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．40．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝，（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，∵tan A＝＝，∴AE＝2x，∴AC＝＝x，∴x＝，解得x＝1，∴CE＝1，AE＝2，在Rt△BCE中，∵sin B＝，∴∠B＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝1，∴AB＝AE+BE＝3，答：∠B的度数为45°，AB的值为3；（2）∵CD为中线，∴BD＝AB＝1.5，∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，∴tan∠CDE＝＝＝2，即tan∠CDB的值为2．41．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cos A＝，∴AD＝＝10，∴＝＝8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝8；（2）由（1）AD＝10，DC＝8，∴AC＝AD+DC＝18，在△ADE与△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，即＝，∴BC＝24，∴．。
解三角形100题
20．在 中， ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，则 ．
21．锐角三角形ABC中，若A=2B， 所对的边分别为 则下列四个结论:
① ② ③ ④
其中正确的是________．
22．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为 米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以_________（米/秒）的速度匀速升旗．
（2）若 的面积 , ,求 的值.
35．在 中，角 所对的边分别为 ，且， .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求三角形ABC的面积.
36．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 为 ， 的等差中项.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为 ，求b，c的值.
37．在 所对的边分别为 且 .
（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线 方向前往 处救援，其方向与 成 角，
求 (x∈ )的值域.
85．（本题14分）
△ABC中，角A、B、C的对边依次为 、 、 ．已知 ， ，外接圆半径 ，
边长为整数，
（1）求∠A的大小（用反三角函数表示）；
（2）求边长 ；
（3）在AB、AC上分别有点D、E，线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，求线段DE长的最小值．
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b= ，A+C=2B，则sinA=.
16．已知a，b，c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5 ，则边c的值为▲.
解三角形经典练习题集锦
解三角形经典练习题集锦解三角形一、选择题1.在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c-b等于（）A．1B．-1C．2/3D．-2/32.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．XXXD．1/tanA3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为（）A．2B．3/2C．3D．2/35.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题1.在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是1/2.2.在△ABC中，若a^2=b^2+bc+c^2，则A=120°。
3.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=2√3.4.在△ABC中，若5.在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是2√7.三、解答题1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为等腰三角形。
2.在△ABC中，证明：a/b-cosBcosA/a-c=b/a-c。
3.在锐角△ABC中，证明：XXX>XXX。
4.在△ABC中，设a+c=2b，A-C=π/3，则sinB=1/2.5．在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A的度数为（）A．90B．60C．135D．150解析：根据余弦定理，有$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2$，代入$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$中，整理得$\cos A=-\frac{1}{2}$，即$A=120^\circ$，选项B正确。
（完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案）
（完整版）解三角形经典练习题集锦（附答案）解三角形一、选择题1．在△ABC中，若0030,6,90BaC，则bc 等于（） A．1 B．1 C．32 D．32 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．Asin B．Acos C．Atan D．Atan1 3．在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A．2 B．23 C．3 D．32 5．在△ABC中，若Babsin2，则A等于（） A．006030或 B．006045或 C．0060120或 D．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．090 B．0120 C．0135 D．0150 二、填空题 1．在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________。
2．在△ABC中，若Acbcba 则,222_________。
3．在△ABC中，若aCBb则,135,30,200_________。
4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。
5．在△ABC中，,26AB030C，则ACBC的最大值是________。
三、解答题1.在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？2．在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba 3．在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin。
4．在△ABC中，设,3,2CAbca求Bsin的值。
解三角形一、选择题1．在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（） A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1 2．在△ABC 中，若角B为钝角，则sinsinBA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若BA2，则a等于（）A．Absin2 B．Abcos2 C．Bbsin2 D．Bbcos2 4．在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A ( ) A．090 B．060 C．0135 D．0150 6．在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（） A．51 B．61 C．71 D．81 7．在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空题1．若在△ABC中，060,1,3,ABCAbS则CBAcbasinsinsin=_______。
解三角形 综合测试题
解三角形综合测试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。
若 A ＝60°，a ＝√3，b ＝ 1，则 c ＝（）A 1B 2C √3D √22、在△ABC 中，若 a ＝ 2，b ＝2√3，A ＝ 30°，则 B 为（）A 60°B 60°或 120°C 30°D 30°或 150°3、在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a ＝ 1，c ＝ 2，B ＝ 60°，则 b ＝（）A √3B √5C √7D 14、在△ABC 中，若 sin A ： sin B ： sin C ＝ 3 ： 4 ： 5，则 cos C 的值为（）A 1/5B 1/5C 1/4D 1/45、在△ABC 中，若 a ＝ 5，b ＝ 6，c ＝ 7，则△ABC 的面积为（）A 6√6B 10√3C 15√3D 20√36、在△ABC 中，若 A ＝ 60°，b ＝ 1，S△ABC ＝√3，则 a ＋ b ＋ c ／ sin A ＋ sin B ＋ sin C ＝（）A 2√39 ／3B 26√3 ／3C 8√3 ／3D 2√37、在△ABC 中，若 a ＝ 7，b ＝ 8，cos C ＝ 13 ／ 14，则最大角的余弦值是（）A 1/7B 1/8C 1/9D 1/108、在△ABC 中，若 a ＝ 2，b ＝ 3，C ＝ 60°，则 c ＝（）A √7B √19C √13D 79、在△ABC 中，若 A ＝ 60°，a ＝4√3，b ＝4√2，则 B 等于（）A 45°或 135°B 135°C 45°D 以上答案都不对10、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a cosA ＝ b cos B，则△ABC 的形状为（）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形11、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a ＝1，b ＝√7，c ＝√3，则 B ＝（）A 120°B 60°C 45°D 30°12、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若（a＋ b ＋ c）（a ＋ b c）＝ 3ab，则角 C 的度数为（）A 30°B 45°C 60°D 90°二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13、在△ABC 中，若 A ＝ 30°，B ＝ 45°，a ＝ 2，则 b ＝＿_____。
解三角形经典练习题集锦
解三角形一、选择题1.在厶ABC 中，若C 900,a 6, B 300，则c b等于（解三角形2. _______________________________________________ 在厶ABC 中，若a2 b2 bc c2,则A ________________________ 。
3. _____________________________________________________ 在厶ABC 中，若b 2, B 30°, C 135°,则a _____________________ 。
4. 在厶ABC 中，若si nA : sin B : si nC 7 : 8 : 13，贝UC ___________ 。
°5. 在厶ABC中，AB .、6 2, C 30°，则AC BC的最大值是。
三、解答题一、选择题1. 在厶ABC 中，A: B: C 1:2:3，则a:b:c 等于（）A. 1: 2:3 B . 3:2:1 C . 1: .3:2 D . 2^ 3 :12. 在厶ABC中，若角B为钝角，则si nB si nA的值（）A.大于零B.小于零C.等于零D .不能确定3. 在厶ABC中，若A 2B，则a等于（）A . 2b si nAB . 2b cos AC . 2bsi nBD . 2b cosB4. 在厶ABC 中，若Ig si nA Ig cos B Ig sin C Ig 2，则△ ABC的形状是（）A.直角三角形 B .等边三角形 C .不能确定 D .等腰三角形A B a b7.在厶ABC中，若tan ，则△ ABC的形状是（）2 a b形或直角三角形、填空题A. 1B. 1C. 2.3D. 2.32. 若A ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）1A. sin AB. cosA C . tanA D .- tan A3. 在厶ABC中，角A, B均为锐角，且cos A sinB,则厶ABC的形状是（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C •钝角三角形 D .等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为600，则底在锐角△ ABC中，求证sin A sin B sinC cosA cosB cosC。
(完整版)解三角形单元测试题(附答案)
解三角形单元测试题6、 A ABC 中，已知ax, b 2, B60°,如果△ ABC 两组解，则 x 的取值范围（）A • x 2B• x 2C • 2 x\3D • 2x \3337、已知△ ABC 的面积为3 2且b 2,c3，则/ A 等于（)A • 30°B • 30° 或 150 °C • 60°D • 60° 或 120°&甲船在岛B 的正南方A 处，AB = 10千米，甲船以每小时 4千米的速度向正北航行, 同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东 60。
的方向驶去，当甲，乙两船相距 最近时，它们所航行的时间是（）15015A-50分钟 B •二分钟 C • 21.5分钟 D • 2.15分钟779、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为30°，向前飞行10000 米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为 （ ）A • 5000 米B • 5000、2 米C • 4000 米D • 4000 • 2 米10、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（、填空题11、在厶 ABC 中，若/ A: / B: / C=1:2:3,1、在厶ABC 中， a = 3, b = .. 7 , c = 2，那么 B 等于() D • 120°A • 30 °B• 45°C •60°2、在厶ABC 中， a = 10, B=60 ° ,C=45° ,则 c 等于（ )A . 10 、3B • 10 ,3 1 C• ,3 1 D • 10'.. 33、 在厶ABC 中， a = 2 . 3 ,b = 2 . 2 , B = ：45°,贝U A 等于（)A • 30°B • 60°C • 30 ° 或 120 °D •30° 或150 °4、在厶ABC 中， 已知a 2 2 2b c bc ，则角A 为（ )2亠2 A •B ——CD •或——363335、在厶ABC 中， 已知 2sin AcosB sinC ,那么△ ABC.宀曰疋疋( )、选择题:B •等腰三角形 C •等腰直角三角形A •直角三角形 D •正三角形 C • 0 x -.5 D •. 13 x 5则 a : b: c _______12、在厶ABC 中，a 3、3,C _______ 2, B 150。
高中解三角形试题及答案
高中解三角形试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC的三个内角A、B、C满足sinA = 2sinBcosC，则三角形ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形答案：A2. 在三角形ABC中，若a = 3, b = 4, c = 5，则三角形ABC的面积S是（）A. 3√3B. 4√3C. 5√3D. 6√3答案：B二、填空题3. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
答案：75°4. 若三角形ABC的三边长分别为a = 2, b = 3, c = 4，则三角形ABC的外接圆半径R为______。
答案：√10/2三、解答题5. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 5, b = 12, c = 13，求三角形ABC的面积。
答案：根据余弦定理，可得cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) = (144 + 169 - 25) / (2 × 12 × 13) = 1/2，因此∠A = 60°。
根据正弦定理，S = 1/2 × b × c ×sinA = 1/2 × 12 × 13 × √3/2 = 39√3。
6. 已知三角形ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，求边长b和c的关系。
答案：根据三角形内角和定理，可得∠C = 180° - 30° - 45° = 105°。
设边长b = x，则根据正弦定理，有a/sinA = b/sinB，即a/sin30° = x/sin45°，解得a = x√2/2。
再根据正弦定理，有a/sinA = c/sinC，即x√2/2 / sin30° = c/sin105°，解得c = x√2/2 × (√6 + √2) / 2。
解三角形练习题和答案
解三角形练习题【1】1.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形2.在△ABC 中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为A ．38B ．37C ．36D ．353.有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,π1cos 2sin 2x x -=4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是 （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p4．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若31sin =A ，B b sin 3=，则a 等于．5.在△ABC 中，已知边10c =, cos 4cos 3A bB a ==，求边a 、b 的长。
6.已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．7．已知△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，其中2=c ，又向量m )cos ,1(C =，n )1,cos (C =，m ·n =1．（1）若45A =︒，求a 的值；（2）若4=+b a ，求△ABC 的面积．8.已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=.(1)求角C 的大小；(2)若,,a c b 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求c 边的长.9.已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= . （1）求角A 的大小； （2）若3a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆的形状.10．在ABC ∆中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ∆的面积．11..已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x⑴求)(x f 的最大值及此时x 的值；⑵求)(x f 在定义域上的单调递增区间。
解三角形30题
1．在ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若,,a b c 成等比数列，且60A =，则sin b Bc= ( )A.B. C. 12 D.【答案】B【解析】,,a b c 成等比数可得：b ac b =，所以sin sin sin sin60b B a B A c b ︒==== 2．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若2c o s a b C =，则ABC ∆的形状一定( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理，可转化为： sin 2sin cos A B C =,根据内角和180︒，诱导公式：()sin sin()sin sin cos sin cos A B C B C B C C B π=--=+=+,联立上述两式可得：sin cos sin cos tan tan B C C B B C =⇒=,又因为在三角形中，所以B C ∠=∠,即等腰三角形点睛：考察正弦定理的和三角和差公式应用，主要能学会借助于角化边的技巧以及三角形内角和的特征来进行解答即可3．在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且满足s i n 2s i n c o s A B C =，则△ABC 的形状为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A【解析】由三角形内角和定理得()sin 2sin cos B C B C +=，化简得()sin 0B C -=，所以B C =，为等腰三角形.4．在ABC ∆中,已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知,,60a b A ==，则角B = （ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 135 【答案】B【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =，sin B =，即s i n 2B =，所以45B =或135B =，又因为a b >，所以A B >,故45B =，故选B . 5．已知分别是的三个内角所对的边，若，是的等差中项，则角（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】解析：由题设可得，运用正弦定理可得，则或，但，应选答案D 。
解三角形180道题
1. 在ABC ∆中，若5=b ，4π=B ，2tan =A ，则______sin =A ；______=a 。
2. 在ABC ∆中，若6=b ， 60=C ，3=c ，则______=A 。
3. 在ABC ∆中，若2=b ，2cos sin =+B B ，2=a ，则______=A 。
4. 在ABC ∆中，若3=AC ， 45=A ， 75=C ，则______=BC 。
5. 在ABC ∆中，若3=b ，3π=A ，3=a ，则______=C 。
6. 在ABC ∆中，若3=AB ， 45=A ， 75=C ，则______=BC 。
7. 在ABC ∆中，若3=a ，6π=C ，3=b ，则______=A 。
8. 在ABC ∆中，若2=AB ，4π=∠ABC ，3=BC ，则______sin =A 。
9. 在ABC ∆中，若54cos =A ，135cos =C ，1=a ，则______=b 。
10. 在ABC ∆中，若41tan =A ，53tan =B ，则______=C ；若17=AB ，则_____=BC 。
11. 在ABC ∆中，若 120=A ，5A =B ，7=BC ,则_____=AC 。
12. 在ABC ∆中，若3π=A ，3=a ，1=b ,则_____=c 。
13. 在ABC ∆中，若1=a ，7=b ，3=c ,则_____=B 。
14. 在ABC ∆中，若552cos=C ，5A =C ，1=BC ,则_____=AB 。
15. 在ABC ∆中，若26+==c a ， 75A =,则_____=b 。
16. 在ABC ∆中，若2=a ，7=+c b ，41cos -=B ,则_____=b 。
17. 在ABC ∆中，若2=b ，6=+c a ，97cos =B ,则___________;==c a 。
18. 在ABC ∆中，若02cos cos 232=+A A ，7=a ，6=c ,则_____=b 。
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(2010年广东卷文)已知：ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=，则b =( )A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- 答案：A解析：026sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A +==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得261sin 2sin 2264ab B A+=⋅=⨯=+,故选A（2010全国卷Ⅱ文） 已知：△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = ( ) A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213-答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和.3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A = ( )A. 1213B.513C.513-D. 1213-答案 D解析 已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈. 221112cos 1351tan 1()12A A=-=-=-++-故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .答案 2)3,2(解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故4cos b c A = ②由①，②解得4b =.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos2A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 解 （1）因为25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）531)552(212cos2cos 22=-⨯=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=-=A A ，而353cos ...===bc A AC AB AC AB ，所以5=bc ，所以ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a8.（2009北京理） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b == （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 35B A π==， ∴23,sin 35C A A π=-=， ∴231343sin sin cos sin 32210C A A A π+⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin ,sin 5A C +==，又∵,33B b π==，∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6sin 5b A a B ==.∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050S ab C ++==⨯⨯⨯=. 9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解 （1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为132+,最小正周期π. （2）()2c f =13sin 22C -=－41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=, 又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以 2sin 33B =, 所以 2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=. 10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cossin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.（1）求ϕ.的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f , 求角C.解 （1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+ sin()x ϕ=+因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为0ϕπ<<,所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=（2）因为23)(=A f ,所以3cos 2A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得sin sin a bA B=,也就是sin 12sin 222b A B a ==⨯=, 因为b a >,所以4π=B 或43π=B .当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412C ππππ=--=.【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3π。
解：由 cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=32， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32,sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,B A C =故 23sin 4B =， 3sin 2B =或 3sin 2B =-（舍去）， 于是 B=3π 或 B=23π. 又由 2b ac =知a b ≤或c b ≤所以 B =3π。
11.（2009安徽卷理）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13. （I ）求sinA 的值；(II)设AC=6，求∆ABC 的面积.解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42BA π=-，∴2sin sin()(cos sin )42222B B B A π=-=-， ∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴3sin 3A =（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BCB A=∴36sin 3321sin 3AC ABC B•===，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+32261633333=⨯+⨯= ∴116sin 63232223ABC S AC BC C ∆=••=⨯⨯⨯= 12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在ABC 中，C-A=， sinB=。