武汉大学数学与统计学院2014年夏令营笔试题

(1) 证明: σ 的属于特征值 λ0 的特征子空间 Vλ0 是 τ 的不变子空间; (2) 证明: σ, τ 至少有一个公共的特征向量.
四、 设 A, B 均为数域 F 上的 n 阶矩阵, 证明:
rank (A − ABA) = rank (A) + rank (En − BA) − n,
其中 En 为 n 阶单位矩阵.
1
(1) 求 f 在 M2(R) 的基
(
)
(
)
(
)
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
C1 =
1 −1 −1 −1
, C2 =
01 −1 −1
, C3 =
00 1 −1
, C4 =
00 01
下的度量矩阵; (2) 求 M2(R) 的一个基, 使 f 在该基下的度量矩阵为 diag(1, 1, −1, −1). 三、 设 V 是复数域上的 n 维线性空间, σ, τ 是 V 的线性变换, 且 στ = τσ. 证明:
支撑点)? 3. 求旋转轴与平面的夹角; 4. 什么情况下, 支撑点是唯一的? 并说明这种情况的几何意义.
专业试题 (高等代数部分)
(注: 每题 10 分, 共 50 分)
一、 解方程:
x+y+z=2
(x − yz)2 + (y − xz)2 + (z − xy)2 x2y2z + xy2z2 + +x2yz2 = 2
=
14
.
二、 设 M2(R) 表示实数域 R 上全体 2 阶方阵按矩阵加法和数乘构成的 R 上的线性空间, 定
义 M2(R) 上的一个双线性函数为: f (A, B) = a1b2 + a2b1 − a3b4 − a4b3, 其中:
(
)
(
)
A=
a1 a2 a3 a4
,B =
b1 b2 b3 b4
∈ M2(R).
武汉大学数学与统计学院 全国优秀大学 2014 夏令营
专业试题 (数学分析部分)
一、 (20 分) 求下列极限
(
)
1. 2.
nxlli→→imm0∞∫0xnx(2x1+∫/0−xn1sti+)nstni22nd+1t/t2nd12 t+. · · · +
2n/n
n
+
1 n
;
二、
(25
分)
设
f
(y)
=
∫∞
0
xe−x2
cos
xydx,
−∞
<
y
<
+∞.
1. 求证 f (y) 有任意阶连续的导数;
2. 求 f (y) 的麦克劳林级数.
{
}
三、 (25 分) 设 B =
(x, y, z)
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤1
, f (x, y, z) ∈ C1(B), 且在 ∂B 上 f (x, y, z) = 0.
五、 设 A ∈ M2(C) 不是数量矩阵, 令 S = {B ∈ M2(C)|AB = BA}. 证明: 如果 X, Y ∈ S, 那 么 XY = YX.
2
求证:
∫∫∫
f (x, y, z) dxdydz
≤
πabc 3
max
B
√( a
∂f ∂x
)2
+
( b
∂f ∂y
)2
+
( c
∂f ∂z
)2
.
B
四、 (30 分) 设立体 V : a(x2 + y2) ≤ z ≤ h.
1. 求立体的重心坐标; 2. 当立体凸面向下稳定平衡在平面 z = 0 上时, 凸面上接触平面的可能是哪些点 (称为