第四章 根轨迹分析法(4.3)
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自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
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第四章 根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
闭s环s22 +特K2rs=征0+↑KKr 方1r=程s110 式 特征-2 方程-1的根0 σ
(1R)左(从s) 半根- 平轨s面(迹sK+r为2可) 稳C知(s定): 极点；右半平面为 不稳Kr定极s1点；虚s2轴 上为0临界0极点。-2
(2)有01<2呈Kr过<-11-阻1+时j 尼，状-系1-1-态j统。
根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。
根轨迹基本特征为以下八条：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系
p2
p1
-2
0σ
环传递函数的极点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2. 终点
根轨迹方程：
m
i
n=1((ss--pzji))=
-
1 Kr
m
j =1
Kr
i n=1((ss--pzji))=0
j =1
m
则 i =1(s-zi) =0 即 s=zi
8 8
m条根轨迹终止于开环传递函数的零点
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
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第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第4章 根轨迹法
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。z = -1-j z1= -1+j 2 p3 p
2
jω
1 p
1 0
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
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实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为： 共轭开环零、极点构 υ 1 p3 设实轴上任意点s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量： θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为： υ 2 p4 4 2 为奇数。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)
一、根轨迹
二、根轨迹方程
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根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。
（2）适用于研究当系统中某一参数 变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
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例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。 K K * 2K 解. G( s) s(0.5 s 1) s( s 2) K : 开环增益 K*: 根轨迹增益 ∞ ↑ K＊ s2 K＊=0 1 -1 -2 K＊ ∞ ↑
ω j
1 s1 0 σ -1
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自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
根轨迹分析法
在极点0和极点-1之间的根轨迹上一定有分离点存在， 令d[G(s)H(s)]/ds＝0，整理后求得s1= -0.42（在根轨迹上， 是分离点），s2 = -1.58 （不在根轨迹上，舍），所对应K* 由幅值条件确定：
K1* s1 s1 1 s1 2 0.42 0.581.58 0.38 用劳斯判据法与虚轴交点：
s 3 3s 2 2s K * 0
s3 s2 s
1
1 3 6 K* 0 3 K*
2 K*
3s 2 6 0
K* 6 s j 2
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12
s0
(8)根轨迹的出射角和入射角
（8）根轨迹的入射角和出射角 出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实 轴之间的夹角 结论：开环复数极、零点的出射角与入射角由下面公式 计算 出射角： p 180 ( s zi ) ( s p j )
j 1
n
j
K
*
sz
i 1
m
i
0
当K* →0时， s→pj (j=1，2，…，n)为系统的开环极点； 当K*→∞时，s→zi (i=1，2，…，m)为系统的开环零点。 结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环 零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无 穷远处。
令K从0到∞变化，则闭环特征根在复 平面上描绘出若干曲线（根轨迹）。
自动控制原理
4
4.2
根轨迹的概念（续）
（2）从根轨迹图分析闭环系统各种性能 分析稳定性：在0<K<∞范围内，系统是稳定的。 分析动态性能：当0<K<0.5时，系统是过阻尼的； 当K=0.5时，系统为临界阻尼状态； 当K>0.5时，系统是欠阻尼的。 若已知K=1，则闭环极点为-1±j，参数ζ=0.707， ω=0.414，系统的瞬态响应指标超调量σ%= 4.3%，调节 时间ts＝3秒。 当K继续增大时，其超调量σ%将增大，而调节时 间基本不变。 分析稳态性能：系统是Ⅰ型的，阶跃函数作用下的稳态误 差为零。
第四章 根轨迹法课件
因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时方 程的根就是它的n个开环极点，当K→∞时方程的 根就是它的m个开环零点。
根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。当 n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，正好 终止于n个开环零点。
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。
j 1
j 1
ji
根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为：
n
m
zl 1800 (2k 1) (zl p j ) (zl z j )
j 1
j 1
jl
根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤 其是手工绘图，根据规则就能很快地画出大致形状 ，再求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了 ，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根 轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。
ω4-j10ω3-32ω2+j(32+K)ω+K=0
写出实部和虚部方程:
ω4-32ω2+K=0，10ω3-(32+K)ω=0
由此求得根轨迹与虚轴的交点坐标为
12 4.5204,34 1.2514
因为ω34对应的K小于零,所以舍去。因此,系统根轨迹与虚轴 交点坐标为(0,±j4.5204)。
j [s]
G(s) k(s 1/ )
s(s 1/T )
式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T 和一个开环零点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支 。
当k=0时, 两条根轨迹从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另(21)=1条趋于无穷远处。
根据开环零极点的位置, 可知实轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区 间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图如图4-3所示, 其中
根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。当 n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，正好 终止于n个开环零点。
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。
j 1
j 1
ji
根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为：
n
m
zl 1800 (2k 1) (zl p j ) (zl z j )
j 1
j 1
jl
根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤 其是手工绘图，根据规则就能很快地画出大致形状 ，再求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了 ，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根 轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。
ω4-j10ω3-32ω2+j(32+K)ω+K=0
写出实部和虚部方程:
ω4-32ω2+K=0，10ω3-(32+K)ω=0
由此求得根轨迹与虚轴的交点坐标为
12 4.5204,34 1.2514
因为ω34对应的K小于零,所以舍去。因此,系统根轨迹与虚轴 交点坐标为(0,±j4.5204)。
j [s]
G(s) k(s 1/ )
s(s 1/T )
式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T 和一个开环零点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支 。
当k=0时, 两条根轨迹从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另(21)=1条趋于无穷远处。
根据开环零极点的位置, 可知实轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区 间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图如图4-3所示, 其中
第4章 根轨迹
m
(s p
j 1
n
1
j
)
因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相 角方程。 幅值方程为
K r (s zi )
i 1 m
(s p
j 1
n
1 或
(s z )
i
m
j
)
(s p
j 1
i 1 n
j
)
1 Kr
相角方程为
(s z ) (s p ) (2k 1)
设p3的出射角为θ3，如图所示。
假设s1为根轨迹上的一点，则s1应 满足相角方程
(s
i 1
1
1
z i ) ( s1 p j ) (2k 1)
j 1
4
由此可推得出射角的一般表达式
l ( pl zi ) ( pl p j ) i j
例4-6 已知系统的开环传递函数为
K r (s 1.5)(s 2 4s 5) G( s) H ( s) s(s 2.5)(s 2 s 1.5)
试绘制系统的根轨迹图。
18
7. 根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常 常需要求得这一交点和相应的Kr值。 设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
根为两个复数根，系统呈欠阻尼 状态，即输出呈衰减振荡形式。 特征根的实部σ为衰减系数，虚 部ω为振荡频率。
4
4.1.2 根轨迹方程
设系统的结构如图所示。 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
开环传递函数的一般表达式为
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
第四章根轨迹分析法
若G(s)为闭环传函，则-z和-p为闭环零、极点; 若G(s)为开环传函，则-z和-p为开环零、极点。 必须指出：a 闭环极点就是特征根。
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
解：1）τ>T
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
Kr(s+ 1) s(s+ T1)
ב
jω
(1) 开环零、极点分布
p1=0 z1= τ- 1 p2=-T1
p2 z1
p
-
1 T
τ- 1
01
(2) 实轴上根轨迹段
p1~z1段: 右侧一个开环极点 p2 ~-∞段：右侧三个开环零极点
(3)系统的 根轨迹
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2）τ<T
z1
1
趋于z1无= 穷-1远+j。z2 = -1-j
p3 p2
p
系统的三条根轨迹起始
-2
-1 10
于三个开环传递函数的极
点。
z2
-1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
三、实轴上的根轨迹段
系共统轭开开环环零零、、极极点点构分布为： 设实成轴的上相角任正意负点抵s1消
z1
φ1
jω
p3
θ3
s1与开环零、极 点之实间轴的上矢根量轨：迹段右侧 的奇s2开数1的环。相零角、方极程点4 个为数：之和为
点重称根为必根须轨同迹时的满分足离以点下或两会式合点。 离离KK开开rdrBBd复实(s(ss平轴))++A面进d(一Ads进入(s)般s=入复)0=将0实平根轴面即轨的的迹点点KKr称称Br='为为(-sB)A会分+''(A(s合离s)')(s点点)=0 解设上系式统得的开A环(s传)B递'(s函)=数A'为(s)B(s) 注意：只分有离G位点(s)于或H(根会s)轨=合K迹点ArB(上。s()s的) 重根才是
8
jω
z1 p2 p -3 -2 1-1 0
根轨迹ppt课件.ppt
3.分析方法及思路 1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点： 物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型
（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极 点，-------很容易获得；
（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数， 这一点对分析系统和改造系统非常有利； （3）可以直接求取稳态误差； (4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有 简单的关系。 2)一个美好的愿望： 开环零极点图+开环增益→闭环零极点全部可能的分布图→ 分析系统的三大类性能。
j 1 n i 1
)
(s z
j 1 n i 1
j
)
s ( s pi )
(s p )
i
则幅值条件和相角条件可以进一步写成如下实用形式：
幅值条件：
G1 ( s ) H1 ( s )
sz
j 1 n i 1
m
j
s p
1 K*
基本公式
i
幅值条件：
第四章 根轨迹法
4.1 4.2 4.3 4.4 根轨迹法的基本概念 根轨迹绘制的基本规则 广义根轨迹 线性系统性能的根轨迹分析法
一、本章内容提要: 1．介绍已知系统开环传递函数的极点、零 点的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分 析系统参量变化时对闭环极点位置的影响； 2．根据闭环特征方程得到相角条件和幅值 条件由此推出绘制根轨迹的基本法则； 3．根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹 、根轨迹曲线族、零度根轨迹; 4．根轨迹法分析系统性能
三、本章重点、关键、难点 1．重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹 图分析控制系统 2．关键点：根轨迹方程，幅值条件， 相角条件 3．难点：广义根轨迹的绘制
第四章：根轨迹分析法
n
m
j
n−m
2k+1 ϕa = π n− m
(k = 0,1,2,⋯, n− m−1)
18
在例4-1中，开环传递函数为
G(s)H(s) =
Kg s(s+ 2)
开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线 在实轴上的交点位置为
−2 σa = = −1 2
π 它们与实轴正方向的交角分别为 (k = 0) 2 3 π 和 (k =1) ，两条渐近线正好与 Kg ≥1 时的根轨迹 2 重合。
在绘 制根轨 迹时 ，可 变参数 不 限定 是 根轨 迹 增 益 Kg ，可为系统的其它参数（如时间常数、反馈系数 等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣 的系统参数取代根轨迹增益 Kg 的位置都可以绘制根 轨迹。
8
根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式 表示
| G(s) H(s) | ej∠G(s)H(s) =1⋅ ej(±180°+k⋅360°) (k = 0,1,2,⋯ )
15
规则三 实轴上的根轨迹
若实轴上某线段右侧的开环零、 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 例4-3 设系统的开环传递函数为
G(s) H(s) = Kr (s− z1)(s − z2 )(s − z3 )(s − z4 ) (s− p1)(s− p2 )(s− p3 )(s − p4 )(s − p5 )
24
jω
P 1
θ p1
[s]
P 3
0
σ
P 2
θ p2
图4-8(a) 根轨迹的出射角
25
jω
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
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第三节 用根轨迹分析系统性能
根轨迹反映了闭环特征根随 K r 变化的 规律,通过根轨迹分析系统的性能具有直观 方便的特点。
一、闭环极点位置与系统性能的关系
二、已知根轨迹增益 K r 确定闭环极点 三、已知性能指标确定闭环极点和 K r 四、增加开环零、极点对系统性能的影响
一、闭环极点位置与系统性能的关系
jω
系统的根轨迹图: 所增加极点的 模值越小，根轨迹 向右弯曲趋势越明 显，对系统稳定性 的影响也就越大。
z1
p2 p3
p1 0
解： 系统的根轨迹如图: d 0.423 在根轨迹图上作射线: 60 与根轨迹相交点为s1和s2 即 s1,2 0.33 j 0.58
3 j 1
s1
s3 p3 -2 p2 -1 s2 p1 0
s3 p j s1 s2 3 0.33 2 2.34
p1 p2 0
加了合适的零点后根轨迹的渐近线位于s左 半平面,系统由不稳定变成稳定。
2. 增加开环极点
设二阶系统的开环传递函数为
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)
jω
系统的根轨迹图: 1）选择极点p =-6
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)( s 6)
（2）设三阶系统的开环传递函数为 增加零点: Kr K r ( s 2) GH K r ( s 10) GH 2 GH 2 2 s ( s 5) s ( s 5) s ( s 5)
jω
jω
jω
p3
-5
p1 p2 0
p3 -5
p1 -2 p2 0
z1
z1 -10
p3
-5
二、已知根轨迹增益 K r确定闭环极点
根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需 要确定增益 K r 取某值时的闭环极点，进而 确定闭环传递函数。 已知 K 一般采用试探的方法确定闭环极点。 r
例 已知系统的根轨迹图如图， 试确定K r 1时的闭环传递函数。
Kr 解： 系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) s( s 1)(s 2)
2
jω
s1
p3 -2
p2 -1
可求得另两个极点:
s1=-0.338+j0.56 s2=-0.338-j0.56
p1 0
s2
三、已知性能指标确定闭环极点和Kr
采用根轨迹法分析系统性能，有时 也需要根据对系统的性能指标要求，确 定闭环极点的位置和对应的Kr值，使得 系统的性能满足要求。
Kr 例 已知系统的开环传递函数: G ( s) H ( s) s( s 1)( s 2) 要求 0.5 ，试确定闭环极点和对应的Kr。 jω
Kr s3 s3 1 s3 2 2.34 1.34 0.34 1.066
系统的闭环传递函数为： 1.066 Φ(s)= (s+2.34)[(s+0.33)2+0.582]
四、增加开环零、极点对系统性能的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于s 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为：
b0 s b1s bm1s bm C ( s) n R( s ) n 1 s a1s an 1s an A0 An A1 A0 n Aj s s s1 s sn s j 1 s s j
p2 -1 p1 0 z1 -2
-1 p 2
p1 0
如果零点选择不合适，效果就完全不一样。 Kr K r ( s 0.5) G(s) H (s) G ( s) H ( s) s( s 1) s( s 1)
jω
jω p2 -1 p1 0 p1 -1 -0.5 0
p2 z 1
不管怎么选择Kr值，闭环极点总为两个 实数极点。主导极点离虚轴的距离在0-0.5 之间，系统的调节时间不可能缩短。
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s( s 1)
K r ( s 2) G ( s) H ( s) s( s 1)
该零点使根轨迹向左弯曲，选择适当Kr值， 既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，以减 小超调量和调整时间，改善系统的稳定性和 快速性。 jω jω
m m 1
c(t ) A0 Aj e
j 1
n
s jt
由上式可见性能主要由系统闭环传递函 数的极点决定。 st 负实数极点离虚轴越远,对应的分量 e
j
衰减越快，系统的调节时间就越短,响应越快。
复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系 n t e jω c(t ) 1 sin(d t ) 2 s1 1 ωd
Kr=|s3||s3+1||s3+2| Kr =1时的闭环传递函数为: 取： s3=-2.32 Kr=2.32x1.32x0.32=0.98 1 Φ (s )= s Kr=1.023 3=(2.33 s+2.325)[( s2+0.675s+0.431) s3=-2.325 Kr=1.001 所以当K r 1时找到一个特征根s3 2.325 根据长除法得：s 0.675s 0.431 0s3
ts 3
n
% e
1 2
100% e
tg
100%
n
ωn β
1.闭环复数极点的实部 n 反映了系统的调整时间；
0
ωn
s2
2.闭环极点的虚部 d 表征了系统输出响应的振荡频率； 3.闭环极点与负实轴的夹角 反映了系统的超调量；
-ωd
结论：复数极点离虚轴越远，快速性越好； 离实轴越近，振荡频率越低，平稳性越好； β角越小，超调越小。
p3
z1
p2
p1 0
系统的根轨迹图:
2）选择极点p =-2
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
jω
系统的根轨迹图:
开环传递函数中 增加极点,系统的根 轨迹向右弯曲,系统 的稳定性变差。
z1
p3 p2
p1 0
3）选择极点p =-0.5
K r ( s 3) G ( s) H ( s) s( s 1)( s 0.5)
根轨迹反映了闭环特征根随 K r 变化的 规律,通过根轨迹分析系统的性能具有直观 方便的特点。
一、闭环极点位置与系统性能的关系
二、已知根轨迹增益 K r 确定闭环极点 三、已知性能指标确定闭环极点和 K r 四、增加开环零、极点对系统性能的影响
一、闭环极点位置与系统性能的关系
jω
系统的根轨迹图: 所增加极点的 模值越小，根轨迹 向右弯曲趋势越明 显，对系统稳定性 的影响也就越大。
z1
p2 p3
p1 0
解： 系统的根轨迹如图: d 0.423 在根轨迹图上作射线: 60 与根轨迹相交点为s1和s2 即 s1,2 0.33 j 0.58
3 j 1
s1
s3 p3 -2 p2 -1 s2 p1 0
s3 p j s1 s2 3 0.33 2 2.34
p1 p2 0
加了合适的零点后根轨迹的渐近线位于s左 半平面,系统由不稳定变成稳定。
2. 增加开环极点
设二阶系统的开环传递函数为
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)
jω
系统的根轨迹图: 1）选择极点p =-6
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)( s 6)
（2）设三阶系统的开环传递函数为 增加零点: Kr K r ( s 2) GH K r ( s 10) GH 2 GH 2 2 s ( s 5) s ( s 5) s ( s 5)
jω
jω
jω
p3
-5
p1 p2 0
p3 -5
p1 -2 p2 0
z1
z1 -10
p3
-5
二、已知根轨迹增益 K r确定闭环极点
根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需 要确定增益 K r 取某值时的闭环极点，进而 确定闭环传递函数。 已知 K 一般采用试探的方法确定闭环极点。 r
例 已知系统的根轨迹图如图， 试确定K r 1时的闭环传递函数。
Kr 解： 系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) s( s 1)(s 2)
2
jω
s1
p3 -2
p2 -1
可求得另两个极点:
s1=-0.338+j0.56 s2=-0.338-j0.56
p1 0
s2
三、已知性能指标确定闭环极点和Kr
采用根轨迹法分析系统性能，有时 也需要根据对系统的性能指标要求，确 定闭环极点的位置和对应的Kr值，使得 系统的性能满足要求。
Kr 例 已知系统的开环传递函数: G ( s) H ( s) s( s 1)( s 2) 要求 0.5 ，试确定闭环极点和对应的Kr。 jω
Kr s3 s3 1 s3 2 2.34 1.34 0.34 1.066
系统的闭环传递函数为： 1.066 Φ(s)= (s+2.34)[(s+0.33)2+0.582]
四、增加开环零、极点对系统性能的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于s 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为：
b0 s b1s bm1s bm C ( s) n R( s ) n 1 s a1s an 1s an A0 An A1 A0 n Aj s s s1 s sn s j 1 s s j
p2 -1 p1 0 z1 -2
-1 p 2
p1 0
如果零点选择不合适，效果就完全不一样。 Kr K r ( s 0.5) G(s) H (s) G ( s) H ( s) s( s 1) s( s 1)
jω
jω p2 -1 p1 0 p1 -1 -0.5 0
p2 z 1
不管怎么选择Kr值，闭环极点总为两个 实数极点。主导极点离虚轴的距离在0-0.5 之间，系统的调节时间不可能缩短。
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s( s 1)
K r ( s 2) G ( s) H ( s) s( s 1)
该零点使根轨迹向左弯曲，选择适当Kr值， 既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，以减 小超调量和调整时间，改善系统的稳定性和 快速性。 jω jω
m m 1
c(t ) A0 Aj e
j 1
n
s jt
由上式可见性能主要由系统闭环传递函 数的极点决定。 st 负实数极点离虚轴越远,对应的分量 e
j
衰减越快，系统的调节时间就越短,响应越快。
复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系 n t e jω c(t ) 1 sin(d t ) 2 s1 1 ωd
Kr=|s3||s3+1||s3+2| Kr =1时的闭环传递函数为: 取： s3=-2.32 Kr=2.32x1.32x0.32=0.98 1 Φ (s )= s Kr=1.023 3=(2.33 s+2.325)[( s2+0.675s+0.431) s3=-2.325 Kr=1.001 所以当K r 1时找到一个特征根s3 2.325 根据长除法得：s 0.675s 0.431 0s3
ts 3
n
% e
1 2
100% e
tg
100%
n
ωn β
1.闭环复数极点的实部 n 反映了系统的调整时间；
0
ωn
s2
2.闭环极点的虚部 d 表征了系统输出响应的振荡频率； 3.闭环极点与负实轴的夹角 反映了系统的超调量；
-ωd
结论：复数极点离虚轴越远，快速性越好； 离实轴越近，振荡频率越低，平稳性越好； β角越小，超调越小。
p3
z1
p2
p1 0
系统的根轨迹图:
2）选择极点p =-2
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
jω
系统的根轨迹图:
开环传递函数中 增加极点,系统的根 轨迹向右弯曲,系统 的稳定性变差。
z1
p3 p2
p1 0
3）选择极点p =-0.5
K r ( s 3) G ( s) H ( s) s( s 1)( s 0.5)