第四章 根轨迹分析法(4.3)

p3
z1
p2
p1 0
系统的根轨迹图:
2）选择极点p =-2
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
jω
系统的根轨迹图:
开环传递函数中 增加极点,系统的根 轨迹向右弯曲,系统 的稳定性变差。
z1
p3 p2
p1 0
3）选择极点p =-0.5
K r ( s 3) G ( s) H ( s) s( s 1)( s 0.5)
p1 p2 0
加了合适的零点后根轨迹的渐近线位于s左 半平面,系统由不稳定变成稳定。
2. 增加开环极点
设二阶系统的开环传递函数为
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)
jω
系统的根轨迹图: 1）选择极点p =-6
K r ( s 3) G( s) H ( s) s( s 1)( s 6)
第三节 用根轨迹分析系统性能
根轨迹反映了闭环特征根随 K r 变化的 规律,通过根轨迹分析系统的性能具有直观 方便的特点。
一、闭环极点位置与系统性能的关系
二、已知根轨迹增益 K r 确定闭环极点 三、已知性能指标确定闭环极点和 K r 四、增加开环零、极点对系统性能的影响
一、闭环极点位置与系统性能的关系
n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为：
b0 s b1s bm1s bm C ( s) n R( s ) n 1 s a1s an 1s an A0 An A1 A0 n Aj s s s1 s sn s j 1 s s j
jω
系统的根轨迹图: 所增加极点的 模值越小，根轨迹 向右弯曲趋势越明 显，对系统稳定性 的影响也就越大。
z1
p2 p3
p1 0
解： 系统的根轨迹如图: d 0.423 在根轨迹图上作射线: 60 与根轨迹相交点为s1和s2 即 s1,2 0.33 j 0.58
3 j 1
s1
s3 p3 -2 p2 -1 s2 p1 0
s3 p j s1 s2 3 0.33 2 2.34
ts 3

n
% e
1 2
100% e
tg
100%
n
ωn β
1.闭环复数极点的实部 n 反映了系统的调整时间；
0
ωn
s2
2.闭环极点的虚部 d 表征了系统输出响应的振荡频率； 3.闭环极点与负实轴的夹角 反映了系统的超调量；
-ωd
结论：复数极点离虚轴越远，快速性越好； 离实轴越近，振荡频率越低，平稳性越好； β角越小，超调越小。
Kr s3 s3 1 s3 2 2.34 1.34 0.34 1.066
系统的闭环传递函数为： 1.066 Φ(s)= (s+2.34)[(s+0.33)2+0.582]
四、增加开环零、极点对系统性能的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于s 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
m m 1
c(t ) A0 Aj e
j 1
n
s jt
由上式可见性能主要由系统闭环传递函 数的极点决定。 st 负实数极点离虚轴越远,对应的分量 e
j
衰减越快，系统的调节时间就越短,响应越快。
复数极点的参数与系统阶跃响应及性能指标的关系 n t e jω c(t ) 1 sin(d t ) 2 s1 1 ωd
2
jω
s1
p3 -2
p2 -1
可源自文库得另两个极点:
s1=-0.338+j0.56 s2=-0.338-j0.56
p1 0
s2
三、已知性能指标确定闭环极点和Kr
采用根轨迹法分析系统性能，有时 也需要根据对系统的性能指标要求，确 定闭环极点的位置和对应的Kr值，使得 系统的性能满足要求。
Kr 例 已知系统的开环传递函数: G ( s) H ( s) s( s 1)( s 2) 要求 0.5 ，试确定闭环极点和对应的Kr。 jω
Kr=|s3||s3+1||s3+2| Kr =1时的闭环传递函数为: 取： s3=-2.32 Kr=2.32x1.32x0.32=0.98 1 Φ (s )= s Kr=1.023 3=(2.33 s+2.325)[( s2+0.675s+0.431) s3=-2.325 Kr=1.001 所以当K r 1时找到一个特征根s3 2.325 根据长除法得：s 0.675s 0.431 0s3
p2 -1 p1 0 z1 -2
-1 p 2
p1 0
如果零点选择不合适，效果就完全不一样。 Kr K r ( s 0.5) G(s) H (s) G ( s) H ( s) s( s 1) s( s 1)
jω
jω p2 -1 p1 0 p1 -1 -0.5 0
p2 z 1
不管怎么选择Kr值，闭环极点总为两个 实数极点。主导极点离虚轴的距离在0-0.5 之间，系统的调节时间不可能缩短。
（2）设三阶系统的开环传递函数为 增加零点: Kr K r ( s 2) GH K r ( s 10) GH 2 GH 2 2 s ( s 5) s ( s 5) s ( s 5)
jω
jω
jω
p3
-5
p1 p2 0
p3 -5
p1 -2 p2 0
z1
z1 -10
p3
-5
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s( s 1)
K r ( s 2) G ( s) H ( s) s( s 1)
该零点使根轨迹向左弯曲，选择适当Kr值， 既可使闭环极点离虚轴有一定的距离，以减 小超调量和调整时间，改善系统的稳定性和 快速性。 jω jω
二、已知根轨迹增益 K r确定闭环极点
根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需 要确定增益 K r 取某值时的闭环极点，进而 确定闭环传递函数。 已知 K 一般采用试探的方法确定闭环极点。 r
例 已知系统的根轨迹图如图， 试确定K r 1时的闭环传递函数。
Kr 解： 系统的开环传递函数为 G( s) H ( s) s( s 1)(s 2)