反函数、复合函数求导法则和基本求导公式
合集下载
第二节 反函数与复合函数的导数(本科)
e x tan(e x )
13
例8 解：
求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
10( x 2 1)9 ( x 2 1) y
10( x 1) 2 x
2 9
20 x( x 1) .
2 9
14
例9 求函数 y ln x 1 ( x 2) 的导数. 3 x2 1 1 2 解： y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 2 y 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
18
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x ), v v( x ) 都可导, 则
( 1 ) ( u v ) u v , , R. ( 2) (u . v ) u v uv .
u u v uv ( 3) (v 0). 2 v v
6
二、复合函数的求导法则
复合函数 y f [ ( x)] 在 x0 处可导，且
链导法则
如果 u (x) 在 x0 处可导，而y f (u ) 在u0 ( x0 )点可导，则
dy dx
x x0
dy dy du f (u 0 ) ( x0 ) ， 简记为 dx du dx 。
函数的求导法则
首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
3复合函数的求导法则,反函数的求导法则
例5
y
1
x
3
,
求 y.
1 x
河海大学理学院《高等数学》
例7 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1 )1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x2x13(x12)
河海大学理学院《高等数学》
且
dy f(u)(x) 或
dx
dy dy du dx du dx
f[(x )] f[(x ) ] (x )
河海大学理学院《高等数学》
推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
f[g(x) ]2ln x
f[g (x )]f[g (x ) ]g (x ) 2 ln x x
g[f(x)]x12
河海大学理学院《高等数学》
例11 设 f (x) 可导,且 yf(s2ixn )f(c2o x),s
求
dy d cos 2 x
解 令 u c2 o x ， sy f则 ( 1 u ) f( u )
dy
dy
d cos 2 x du
f(1u)f(u)
f(s2x i)n f(c2x o ) s
把 cos2 x 整体看作一个自变量
河海大学理学院《高等数学》
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x(y)在某区间 I y 上
单调、可导且 (y)0,则它的反函数 yf(x)
siyn coy s0
因此，在对应区间 Ix 1 , 1 内有
arcxsi nsi1n y
1
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
课件：复合函数的求导法则,反函数的求导法则
dy
即：反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时，必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x，求
dy dx
.
解 令 u tan x ，则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ，求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证 由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1
反函数复合函数求导法则和基本求导公式
反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。
证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。
则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。
二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。
三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。
证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。
2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。
证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。
因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。
3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。
反函数的导数 复合函数的求导法则
x = x0
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
1.2 反函数、复合函数、参数方程的导数
1 ln 2 (sin ) x 1
2
1.2 导数的计算
例 4．计算下列各题： 1 2 dy （1） y [ f (sin )] ，其中 f ( x ) 可导，求 。 x dx
(1 x )e x （2） y ln ，求 y(0) 。 arccos x
结论：若函数 y f ( x ) 在 x 可导，且 f ( x ) 0 ，则
复合而成。
1 2 1 dy dy du 1 2 2 . 2 2 2 x 1 2 ( x 1) x 1 dx du dx 1 u ( x 1) 1 ( ) x 1 9
1.2 导数的计算
（3） y ln x ，
dy 1 ； 解：当 x 0 时， y ln x ， dx x
17
1.2 导数的计算
x 2 ( x 1) （2） y 5 ； 3 4 (2 x ) ( x 3)
1 解： ln y [2ln x ln( x 1) 3ln(2 x) 4ln( x 3)] 5
1 1 2 2 3 ( 1) 4 y [ ] y 5 x x 1 2 x x 3
当 x 0 时， y ln( x ) 可看成由
y ln u ， u x 复合而成，
dy 1 1 1 ( 1) ( 1) ； dx u x x
1 ∴ (ln x ) 。 x
10
1.2 导数的计算
逐步求导法 —“由外往里，逐层求导 ”
例 2．求下列函数的导数
例如： y f (u) ， u g(v ) ， v k ( x ) 复合成函数
dy du dv y f { g[k ( x )]} ，且 , , 都存在，则 du dv dx
函数的求导法则
例如
y
d y d y d u dv d x d u dv d x
u v x
f (u ) (v) ( x)
关键: 搞清复合函数结构，由外向内逐层求导。
dy 例6 y e , 求 dx
x3
u 3 y e , u x y e 看作由 复合而成，因此 解
sin 1 x
1 2e x
sin
1 x
1 cos x
例10 求下列导数:
(1) ( x )
(2) ( x x )
解 (1) ( x ) (e ln x ) e ln x ( ln x)
x
x
x 1
(2) ( x x ) (e x ln x ) e x ln x ( xln x)
u v u v （ 1）
（2） uv uv uv
u （3） uv uv v 0 2 v v
下面加以证明, 并同时给出相应的推论和例题。
（1） (u v) u v
证 设 f ( x) u ( x) v( x) , 则 f ( x x) f ( x) f ( x) lim x 0 x u ( x x) v( x x) u ( x) v( x) lim x 0 x u ( x x) u ( x) v( x x) v( x) lim lim x 0 x 0 x x
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
(arccos x)
1
2.有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (u v) uv u v
反函数和复合函数的求导法例
ln
1 1
x x
)
1
1 x
1 x2
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2[1][1].4.3-5_反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
![2[1][1].4.3-5_反函数、复合函数求导法则及基本求导公式](https://img.taocdn.com/s3/m/8746ab1da300a6c30c229f35.png)
例 解:
设函数 y = 3
cos 2 ( x sin x 2 )
, 求 y′ .
y′ = 3
cos 2 ( x sin x 2 )
ln 3
⋅ 2 cos(x sin x2 ) ⋅ (− sin(x sin x2 ))
⋅ (sin x 2 + x cos x 2 ⋅ 2 x).
课内练习
求下列函数的导数： 求下列函数的导数：
(arctan x )′ = 1 1 + x2
(e x )′ = e x
1 (ln x )′ = x (cos x )′ = − sin x (cot x )′ = − csc 2 x (csc x )′ = − csc x cot x 1 (arccos x )′ = − 1 − x2 1 ′=− (arc cot x ) 1 + x2
tan
2
(2) y =
x
y′ =
2 x tan 2 x − x 2 2 tan x sec 2 x tan 4 x 2 − 2x . = tan x
(3) y = sin2 ( x cosx)
y′ = 2sin(x cos x)(x cos x)′
= 2 sin(x cos x)(cosx + x sin x)
dy 例： y = arctan x , 求 . 设 dx
解： 函数 y = arctan x 的反函数是 x = tan y ( −
dx = (tan y )′y= sec 2 y > 0. dy
π
2
< y<
π
2
).
1 1 dy 1 1 . = = = = 2 2 2 dx dx sec y 1 + tan y 1+ x dy
反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
2.4.5 基本求导数公式 0 1（ . C） 2. ( x ) x 1
1 4. (loga x ) x ln a 5. (sinx ) cos x (tan x ) sec2x (se cx ) se cx tan x 1 6. (arcsinx ) 1 x2 1 (arctanx ) 1 x2
则 f [ g( x )] | x 4 | x 4 在x 0处可导.
故选（ 3 ）。
(2) 错
16. ( x ) x 1
y x e
ln x
e ln x
令 t ln x 则y x 可看成由 y e t 与 t ln x复合而成。
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
例如： y ln(sin( 2 x 1))， 则 1 y cos(2 x 1) ( 2 x 1) sin( 2 x 1) 2 cos(2 x 1) sin( 2 x 1)
双曲双曲与反双曲函数的导数公式
(sh x ) ch x
(ch x ) sh x
(cth x )
1
(arch x )
1 (th x ) 2 ch x
(arshx ) x 1
2
1 sh2 x
1 x2 1
1 (arth x ) 1 x2
(arcth x )
(1)必可导； ( 2)必不可导； ( 3)不一定可导
解： 已知 f (u) | u | 在u 0处不可导，
a . 若u g ( x ) sin x , u在x 0处可导，
09反函数与复合函数的导数,隐函数的导数
y arcsin x 1 ,
cos y
注意到在区间
Iy
2
, 2
内，cos
y
1 x2 , 从而有
arcsin x 1 .
1 x2
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例2 求反正切函数 y arctan x的导数.
解 函数 y arctan x x 是 x tan y在
v(
x)
u(x) u(x)
.
该方法称为对数求导法.
28
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例12 求函数 y ln x x 的导数.
解 两边取对数后得
求导后有
ln y x lnln x,
1 y 1 lnln x x 1 1
y 2x
ln x x
2
1
x
ln
ln
x
dx du dx u
15
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
解 因 y arcsin x2 1 可视为
y arcsin u,u v,v x2 1
复合而成, 由复合函数求导公式（2.6）得:
dy dy du dv 1 1 2x dx du dv dx 1 u2 2 v
-4 -2 o 2 4 x -2 -4
25
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例10 求由方程 sin x y y2 cos x 确定的曲线在
反函数复合函数初等函数求导.ppt
（ 1
2 x 2）
dx
3
4x 33（1 2 x2）2 .
返回
推广
设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数 y f {[ (x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
返回
例10 y lncos(e x )求 dy。
dx 解 所 给 函 数 可 分 解 为 y ln u,u cosv,v e x . 因
1 x2
返回
例2 求函数 y loga x 的导数. 解 x a y在I y (,)内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0, 在Ix (0,)内有 :
(log a
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
返回
例3 求函数 y arctan x 的导数.
y
( y)
返回
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
dx du dx u
sinxcosx
例6 y e x3 ,求 dy 。
dx
解 y e x3可看做由y eu ,u x3复合而成，因此
dy dy du eu 3x2 3x2e x3 . dx du dx
导数四则运算反函数与复合函数的求导规则
其中f ( x) x3 + x + 1, a 1
解
g(a) g( y)
ya1
f
1 ( x)
x0
1 3x2 +1
x0
1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
三、复合函数的求导法则
先讨论y sin 2x的求导问题。
y sin 2x 2sin x cos x
dy (sin 2 x) 2(sin x cos x) dx 2[(sin x)cos x + sin x(cos x)]
4
( x)ln x sin x + x(ln x)sin x + x ln x(sin x)
ln x sin x + sin x + x ln x cos x
+ cos
4
首页
上页
返回
下页
结束
铃
求导法则
(uv)uv (uv)uv+uv
(u) uvuv
v
v2
例4 求 y x 1的导数 . x+1
解
(cscx)( 1 sin
) x
cosx sin2 x
cscxc
ot
x
用类似方法还可求得
(tan x)sec2x (sec x)sec x tan x
首页
上页
返回
下页
结束
铃
练习
1.
求
y
tan x x3
的导数
.
解
y
(
tan x3
x
)
(tan
x) x3 tan x6
x( x 3 )
2-3高等数学B复合函数求导法则
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
2-3 反函数求导法则、复合函数求导法则
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
I
内
x
也
可
导
,
且有
f ( x) 1 .
( x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
2-3 反函数求导法则、复合函数求导法则
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
5、 y (arcsin x )2； 2
6、 y e arctan x ；
7、 y arcsin x ； arccos x
8、y arcsin 1 x . 1 x
三、设 f ( x)，g( x) 可导，且 f 2 ( x) g 2 ( x) 0 ,求函数
y f 2 ( x) g 2 ( x) 的导数 .
故
y u
f (u0 )
( lim 0) u0
则 y f (u0 )u u
lim x 0
y x
lim [
x0
f
(u0
)
u x
u] x
f
(u0
)
lim
x 0
u x
lim
x 0
lim
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、 设 y 10x tan 2x ，则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数：
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例：求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解：y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).
dy dx
1 dx
1 cos y
1
1 sin2 y
1 1 x2
dy
例：设 y arctan x,求 dy . dx
解：函数y arctan x的反函数是x tan y( y ).
2
2
dx dy
(tan
y)y
sec2
y
0.
dy 1
1
1
1
dx dx sec2 y 1 tan 2 y 1 x2 .
2sin(x cos x)(cosx x sin x)
x2 (4) y ( x2 2)3
y 2x( x2 2)3 x2 3( x2 2)2 2x ( x2 2)6
4x(1 x2 ) ( x2 2)4
.
(5) y ln(x x2 1)
y ( x
x
x2 1) 1 x2
f ( x) cos(1 x) cot(1 x) sin(1 x)
f (0) cot1.
例 设 f (x)可导，y f (sin2 x),求 dy ?
dx
解 dy f (sin2 x)2sin x cos x
dx
f (sin2 x)sin2x.
2.4.5 基本求导数公式
1（. C） 0
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例4
求函数 y ln x2 1 ( x 2) 的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x2 1) 1 ln( x 2),
2
3y1 2 Nhomakorabea1 x2
1
2
x
3(
1 x
2)
x
x 2
1
1 3( x
2)
例5
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
sec2 (ln( 2 x 3 1))
2
x
1 3
1
6
x
2
18 x 2 2x3 1
tan 2 (ln( 2x3
1)) sec2 (ln( 2x3
1)).
例 设函数 y 3 , cos2( xsin x2 ) 求 y .
解: y 3cos2 ( xsin x2 ) ln 3
2cos( x sin x2 ) ( sin(x sin x2 )) (sin x2 x cos x2 2x).
3.
(1 x2 )2
推广
1. 设 y f (u), u (v), v ( x)均可导， 则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
例 y tan 3(ln( 2x3 1)), 求 y.
解 y 3 tan 2 (ln( 2 x 3 1))
例：( x ) (e ln x ) e ln x ( ln x) e ln x x 1 .
x (a x ) (e xlna ) e xlna ( x ln a) e xlna ln a a x ln a.
( x tan(sinx)) xtan(sinx) xtan(sinx)
' (arth x) （th1y) ch2 y 1 sh2 y
1 th 2 ych2 y
(1
1 th 2 y)
1 1 x2
' (arcth x) （ct1hy) sh2 y 1 - ch2 y
1 cth2 y sh2 y
1 (1 cth 2 y)
1 1 x2
例2 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解
dy 10( x2 1)9 ( x2 1)
dx
10( x2 1)9 2x
20x( x2 1)9 .
例3
求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
a
(a 0)
解 y ( x a2 x2 ) (a2 arcsin x)
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
(ln x) 1 , x 0.
(ln
x
x )
1
.
(ln( x)) 1 , x 0. x
(2)
y
x2 tan 2
x
x
y 2x tan 2 x x2 2 tan x sec2 x
2x2
.
tan x
tan 4 x
(3) y sin2( x cos x) y 2sin(x cos x)(x cos x)
14. (arccos x) 1 . 1 x2
16.
(arc
cot
x)
1 1 x2
.
17.(shx) chx.
18. (chx) shx.
19. (arshx ) (ln( x 1 x2 )) 1 . 1 x2
2.4.4 复合函数求导法则
定理 1 （链式法则）
若u ( x) 在点 x 处可导，y f (u) 在对应点u ( x) 处
tan(sin x) x sec2(sin x)(sin x) tan(sin x) x sec2(sin x)cos x.
( x2 ) ( x2 ) 1 x2 x2 ( 1 x2 )
1 x2
( 1 x2 )2
2 x 1 x2 x2 (1 x2 )
2 1 x2 1 x2
2x x3
x
x
根据u ( x)在点 x 处可导且函数可导必连续的性质 知道，当x 0时有u 0，从而有
lim (u) lim (u) 0,
x0
u0
于是 lim y f (u)( x) f (u) lim (x) lim (u) lim u .
x0 x
x0
u0
x0 x
因此
dy f (u)( x).
因此
f ( x)
lim
x0
y x
1
lim ( y y) ( y)
1.
( y)
y0
y
证毕.
例：设 x (1,1),求函数 y arcsin x 的导数.
解：y arcsin x的反函数是x sin y ( y ).
2
2
dx cos y 0, ( y ).
dy
2
2
(cos x) sin x
(cot x) csc2x
(cscx) csc x cot x (arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
双曲双曲与反双曲函数的导数公式
(sh x)' ch x
(th
x)'
1 ch2
x
(arsh x)' 1
x2 1
(arth
x)'
1
1 x2
y
sin 1
ex
(sin
1
)
x
sin 1
ex
cos
1
(
1
)
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
小结
1. 反函数的求导法则 （注意成立条件）
2. 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 式法则）
练习题
一、 填空题：
1、 设 y (2x 5)4,则 y= 8(2x 5)3
也可导,则 y f ( x) 在点 x 处也可导，且
且 d y d y du dx du dx
即 dy f (u)( x)
dx
证明：由u ( x)在点 x 处可导，且 y f (u)在对应于( x)
的点 u 处也可导，故
y f (u)u (u)u,
(1)
u ( x)x (x)x,
1 ch2 x
' ' chx (shx)2 (chx)2
1
(cth x) ( ) shx
(shx)2