能控性及能观测性

第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)

内容介绍：

能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。

能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，

是回答：“输入能否控制状态的变化”及

“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。

换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。

能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。”

一、能控性定义及判据 给出一个多变量系统（多输入、多输出）

若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系

统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。

这说明：

输入对状态的控制能力强，反之若

G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就

无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。

可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。

1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（

ξt t ,0）（0t t 〉ξ）和定义在[]ξt ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。

则称系统在时刻是状态能控的。

如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。

()x u x 01011012=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=考查能控性？

状态变量图（信号流图）：

y

2

由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。

某一状态不能控，则称系统不能控。

2．判据：

u 1 ： y

1

：

对线性定常系统=Ax+Bu ，

若对某一时刻能控，则称系统完全能控。

设： p

输出 n n A *、p n B *、n m C *

给出一定理：

由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为

下列n ×np 阵的秩等于n 。

=B

AB ……B A n 1-称为能控性阵。

换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。

定理证明可参考书。 状态完全能控称“（A ，B ）能控”

例：

u x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42314310 224310⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 则系统为二阶 ，n=2

B AB ……B A n 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-AB )B (4231=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---7114342

3

1 rankB AB]=2=n

423

1≠-有二阶子式

秩的确定：最高阶不为0子式的阶次

可知：系统的状态能控，称（A ，B ）能控

信号流图：

顺便：

计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系较方便：

rank()=rank(T c c Q Q )T c c Q Q 为方阵其秩计算较简单。

利用判定能控性方法被广泛采用。

新出现的PBH 秩检验法也可用于能控性判别。

=Ax+Bu

y=cx

PBH 秩检验法：

系统∑),(B A 能控的充分必要条件是：

rank[ B A I i -λ] =n 。 式中为A 的各特征值。

Ex:

u x x ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111112310020231 |λI-A|=（λ-1）（λ-2）（λ-3）

λ1=1，λ2=2，λ3=3

而 rank[B λI-A]=rank ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡-λ---λ----λ302 123 011011112 λ3=3时，rank[B ,λI-A]=2<3

系统不能控。

3. 能控性的不变性及第二判据

能控性不变性：系统的状态经线性变换其能控性不变。

⎩⎨⎧=+==cpz y pz x Bu p Apz p z -1-1 具有能控性

前述：第一种判据使用方便，但如果系统状态不能控，难以找出究竟哪个状态失控。 第二判据可以给出回答。

结论（第二判据）：

① 具有互异特征值的系统∑),(B A

其状态完全能控的充分必要条件是经非奇异变换化为对角型时，对应输入阵无全零行。 亦：u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡λλ= 1 式中阵不含元素全为零的行

换言之，中全零行对应的状态就是不能控状态。

②当系统具重特征值，且每个重特征值只对应单一约当块时，

系统状态能控的充要条件是经非奇异变换化为约当型时，输入阵中与约当块末行对应行无全零行。

亦： u B x J J x K +⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡= 1

上式中每个约当块的最后一行对应的阵中的各行元素不全为零。

若重特征值不对应单一约当块时，则该特征值所对应的状态能控的充要条件是相重特征值

的每个约当小块最后一行对应的阵中的各行线性无关。

Ex:

u x x ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3402 0 00 4 00 1 4 可见，此为约当型，状态能控。（注：每个特征值对应单一约当块。）

u x x ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=002 3042 0 00 4 00 1 4

特征值=－4（二重）对应的约当块最后一行对应中第二行为全零行。

可见：不能控。

又：

u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01101001 （注：特征值对应非单一约当块） 中相关行线性无关时能控否则不能控。

4． 输出能控性

类似可定义输出能控性，并给出判据。

输出能控的条件为：

[]

D ,B CA ,,B CA ,CAB ,CB n 12- 的秩为m 。 举例：

u x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=150154 由第二判据，判定能控性。

解：1）、求P

)

S )(S (S )S (S s A SI 515415

4+-=-+=--+=-

特征值=-5、=1

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-λ51511)A I (

求(I －A)之第一行代数余子式组成

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=151P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-λ11552)A I (之代数余子式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112P