大学物理作业--静电场中的导体解答
大学物理学 大作业参考解答
静电场中的导体和电介质
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选择题1：当一个带电导体达到静电平衡时， （A）导体表面上电荷密度较大处电势较高； （B）导体表面曲率较大处电势较高； （C）导体内部的电势比导体表面的电势高； （D）导体内任一点与表面上任一点的电势差等于零。
NIZQ 第1页
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静电场中的导体和电介质
d a
a
E dx
x
d a d ln ln 0 a 0 a
0 q 1 C U U A U B ln d a
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静电场中的导体和电介质
计算题3：如图所示，在一不带电的金属球旁，有一点电荷 +q，金属球半径为R，点电荷+q与金属球球心的间距为d， 试求： （1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度。 （2）若取无穷远处为电势零点，金属球的电势为多少？
-σ1 σ1 σ2 -σ2
d1 (A) d2 (C) 1
d2 (B) d1 d2 (D) 2 d1
2
d1
d2
1 2 d1 d2 0 0
NIZQ 第8页
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静电场中的导体和电介质
填空题1：如图所示，两同心导体球壳，内球壳带 电量+q，外球壳带电量 -2q . 静电平衡时，外球壳 的内表面带电量为 ；外表面带电量 -q 为 。 -q
q CU r C 0U r q 0
U E E0 d
1 1 1q 2 W qU CU r E0 2 2 2C
NIZQ 第16页
2
计算题1：两块相互平行的导体板a和b ，板面积均为S，
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静电场中的导体和电介质
大学物理习题答案 19 静电场中的导体(1)
与球外点电荷 + q 的作用力： F1
=
1 4πε 0
− q′ ⋅ q (r − b)2
，
由于 1 (r − b)2
>
1 r2
⇒
F1
=
1 4πε 0
− q′⋅ q (r − b)2
<
1 4πε 0
− q′⋅q r2
；
左侧电荷 Q
+
q′ 与点电荷 +
q 的作用力： F2
=
1 4πε 0
(Q + q′)⋅ q (r + a)2
50
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σ′ =
Q+q 4π R22
= 1.274 ×10−5 C
m2
，金属球外表面场强大小： E
σ′ =
ε0
= 1.44 ×106 V
m.
6. 题目有误！
7. 点电荷 − Q 位于空腔导体内，静电平衡后，空腔导体内表面感应电荷的电量为 + Q ，空腔导体原来电中性，
不带电，则空腔导体外表面感应电荷的电量为 − Q ；所以空腔导体外表面的净余电荷总量是 − Q ，空腔导体内表
− VC
=
E2
⋅d
=
σ2 ε0
d2 ；
B
A
C
σ1 σ2
−σ1 −σ2
由于 B 和 C 板用导线相连，电势相等，即VB = VC ⇒ VA −VB = VA −VC
即
σ1 ε0
d1
=
σ2 ε0
d2
⇒ σ1 = d2 . σ 2 d1
（第 10 题图）
11. （1）金属平板静电平衡后，金属平板 A 和 B 相邻两表面电荷电量等量异号，设电荷面密度分别为 σ 和 − σ ；
大学物理标准答案第10章
第十章 静电场中的导体与电介质10－1将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ）升高 （B ）降低（C ）不会发生变化 （D ）无法确定分析与解不带电的导体B 相对无穷远处为零电势.由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）.10－2将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷.若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A ）N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地 （C ）N 上的所有电荷入地（D ）N 上所有的感应电荷入地题 10-2 图分析与解导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关.因而正确答案为（A ）.10－3如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图.设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A ）d εq V E 0π4,0==（B ）dεqV d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）RεqV d εq E 020π4,π4==题 10-3 图分析与解达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零.点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势.因而正确答案为（A ）.10－4根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和.下列推论正确的是( )（A ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷 （D ）介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关.因而正确答案为（E ）. 10－5对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ）（A ）电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（B ）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍（C ）在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍（D ）电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍分析与解电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有()∑⎰⎰=⋅=⋅+ii S S εχq 01d d 1S E S E 即E ＝E ０/εｒ，因而正确答案为（A ）.10－6不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷q b 、q c ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷q d （如图所示）.试求点电荷q b 、q c 、q d 各受多大的电场力.题 10-6 图分析与解根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷q d 的作用力.()20π4rεq q q F dc bd +=点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电荷q b 、q c 处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷q b 、q c 受到的作用力为零.10－7一真空二极管，其主要构件是一个半径R １＝5.0×10－4m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外、半径R ２＝4.5×10－3m 的同轴圆筒形阳极．阳极电势比阴极电势高300 V ，阴极与阳极的长度均为L ＝2.5×10－２ m ．假设电子从阴极射出时的速度为零．求：（１）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．题 10-7 图分析 （1）由于半径R １＜＜L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性．从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电子所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少．由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率． （2）计算阳极表面附近的电场强度，由F ＝q E 求出电子在阴极表面所受的电场力． 解 （1）电子到达阳极时，势能的减少量为J 108.4Δ17ep -⨯-=-=eV E由于电子的初始速度为零，故J 108.4ΔΔ17ep ek ek -⨯-=-==E E E因此电子到达阳极的速率为1-7ek s m 1003.122⋅⨯===meVm E v （2）两极间的电场强度为r rελe E 0π2-= 两极间的电势差1200ln π2d π2d 2121R R r r V R R R R ελελ-=-=⋅=⎰⎰r E负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度r r R R R V R ελe e E 12110ln π2=-=电子在阴极表面受力r e e E F N)1037.414-⨯=-=（这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１×10－3１kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加速度的5×10１5倍．10－8一导体球半径为R １，外罩一半径为R 2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q ，而内球的电势为V ０．求此系统的电势和电场的分布． 分析若200π4R εQV =，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．若200π4R εQV ≠，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由⎰∞⋅=pp V l E d 或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电势用已知量V 0、Q 、R １、R 2表示．题 10-8 图解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理()()∑⎰⋅=⋅=⋅02/π4d εq r E rr E S E ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为r ＜R １时，()01=r E R １＜r ＜R 2时，()202π4rεqr E =r ＞R 2时，()202π4r εqQ r E +=由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R １时，20103211π4π4d d d d 2211R Q R q V R R R R r r εε+=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞lE l E l E l ER １＜r ＜R 2时，200322π4π4d d d 22R Q r q V R R r r εε+=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞lE l E l Er ＞R 2时，rqQ V r 03π4d ε+=⋅=⎰∞l E 3也可以从球面电势的叠加求电势的分布：在导体球内（r ＜R １）20101π4π4R εQR εq V +=在导体球和球壳之间（R １＜r ＜R 2）2002π4π4R εQr εq V +=在球壳外（r ＞R 2）为rqQ V 03π4ε+=由题意102001π4π4R εQR εq V V +==得Q R R V R q 21010π4==ε 于是可求得各处的电场强度和电势的分布： r ＜R １时，01=E ；01V V =R １＜r ＜R 2时，22012012π4r R εQR r V R E -=；rR Q R r r V R V 201012π4)(ε-+= r ＞R 2时，220122013π4)(r R Q R R r V R E ε-+=；rR QR R r V R V 2012013π4)(ε-+= 10－9地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km ，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解由于地球半径R 1＝6.37×106m ；电离层半径R 2＝1.00×105m ＋R 1＝6.47×106m ，根据球形电容器的电容公式，可得F 1058.4π4212210-⨯=-=R R R R εC10－10两线输电线，其导线半径为3.26mm ，两线中心相距0.50m ，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容．分析 假设两根导线带等量异号电荷，电荷在导线上均匀分布，则由长直带电线的电场叠加，可以求出两根带电导线间的电场分布,-++=E E E再由电势差的定义求出两根导线之间的电势差，就可根据电容器电容的定义，求出两线输电线单位长度的电容解建立如图坐标，带等量异号电荷的两根导线在P 点激发的电场强度方向如图，由上述分析可得P 点电场强度的大小为)11(π20xd x E --=ελ 电场强度的方向沿x 轴，电线自身为等势体，依照定义两导线之间的电势差为x xd x l E U lRd Rd )11(π2d 0--=⋅=⎰⎰-ελ 上式积分得RR d ελU -=ln π0 因此，输电线单位长度的电容Rd εR R d εU λC ln /πln /π00≈-==代入数据F 1052.512-⨯=C题 10-10 图10－11电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0mm 2，两金属片之间的距离是0.600mm .如果电路能检测出的电容变化量是0.250pF ，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？题 10-11 图分析按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：解按下按键时电容的变化量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011Δd d S εC按键按下的最小距离为mm 152.0ΔΔΔ00200min =+=-=SC d Cd d d d ε10－12一片二氧化钛晶片，其面积为1.0cm 2，厚度为0.10mm ．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1）求电容器的电容；（2）当在电容器的两极间加上12V 电压时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度． 解 （1）查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容F 1053.190-⨯==dSεεC r （2）电容器加上U ＝12V 的电压时，极板上的电荷C 1084.18-⨯==CU Q极板上自由电荷面密度为2-80m C 1084.1⋅⨯==-SQσ晶片表面极化电荷密度2-400m C 1083.111⋅⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-σεσr （3）晶片内的电场强度为1-5m V 102.1⋅⨯==dUE 10－13如图所示，半径R ＝0.10m 的导体球带有电荷Q ＝1.0×10－８C ，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr ＝5.0，厚度d ＝0.10m ，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1）离球心为r ＝5cm 、15cm 、25cm 处的D 和E ；（2）离球心为r ＝5cm 、15cm 、25cm 处的V ；（3）极化电荷面密度σ′．题 10-13 图分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理⎰∑=⋅0d qS D 可得D （r ）．再由r εε0/D E =可得E （r ）．介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系⎰∞⋅=rV l E d 求得，或者由电势叠加原理求得．极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度n P ='σ．解 （1）取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得r ＜R 0π421=⋅r D01=D ；01=ER ＜r ＜R ＋d Q r D =⋅22π422π4r QD =；202π4r εεQ E r= r ＞R ＋d Q r D =⋅23π423π4r QD =；203π4r Q E ε= 将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5cm 、15cm 和25cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外．r 1＝5cm ，该点在导体球内，则01=r D ；01=r Er 2＝15cm ，该点在介质层内，εｒ＝5.0，则2822m C 105.3π42--⋅⨯==r QD r 12220m V 100.8π42-⋅⨯==r εεQ E r r r 3＝25cm ，该点在空气层内，空气中ε≈ε0，则2823m C 103.1π43--⋅⨯==r QD r ； 13220m V 104.1π43-⋅⨯==r Q E r ε （2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r 3＝25cm ，V 360π4d 0r 331==⋅=⎰∞rεQV r E r 2＝15cm ，()()V480π4π4π4d d 0020r3222=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R Qd R Q r Q V r r dR d R εεεεεrE r E r 1＝5cm ，()()V540π4π4π4d d 000321=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R εQd R εεQ R εεQ V r r dR RdR rE r E（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε＝ε0，极化电荷可忽略．故在介质外表面；()()()20π411d R εQ εE εεP r r n r n +-=-=()()282m C 106.1π41--⋅⨯=+-==d R εQεP σr r n在介质内表面：()()20π411R εQ εE εεP r r n r n -=-=()282m C 104.6π41--⋅⨯-=-=-='R εQ εP σr r n介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号． 10－14人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2×10－9m ，两表面所带面电荷密度为±5.2×10－3C ／m 2，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1）细胞壁内的电场强度；（2）细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度V /m 108.960⨯==rεεσE ；方向指向细胞外． （2）细胞壁两表面间的电势差V 101.52-⨯==Ed U ．10－15如图（a ）所示，有两块相距为0.50的薄金属板A 、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ内，金属盒上、下两壁与A 、B 分别相距0.25mm ，金属板面积为30mm ×40mm .求（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？题 10-15 图分析薄金属板A 、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A 、B 间的电容. 解 （1）由等效电路图可知13232123C C C C C C C C ++⋅=+=由于电容器可以视作平板电容器，且32122d d d ==，故1322C C C ==，因此A 、B 间的总电容12C C =（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于2C （或者3C ）极板短接，其电容为零，则总电容13C C =10－16在A 点和B 点之间有5个电容器，其连接如图所示．（1）求A 、B 两点之间的等效电容；（2）若A 、B 之间的电势差为12V ，求U A C 、U CD 和U D B ．题 10-16 图解 （1）由电容器的串、并联，有μF 1221=+=C C C ACμF 843=+=C C C CD51111C C C C CD AC AB ++= 求得等效电容C AB ＝4μF ．（2）由于AB DB CD AC Q Q Q Q ===，得V 4==AB ACABAC U C C U V 6==AB CDABCD U C C U V 2==AB DBABDB U C C U 10－17如图，有一个空气平板电容器，极板面积为S ，间距为d ．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ＜d ）、相对电容率为εｒ的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C ，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E ．题 10-17 图分析电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U ．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有()δSεεQ δd S εQU r 00+-=相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有()δd SεQU -=0 综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷 均会增加，而电势差保持不变． 解 （1）空气平板电容器的电容dSεC 00=充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为U dS εQ 00=d U E /0=（2）插入电介质后，电容器的电容C 1为()()δd εδS εεδS εεQ δd SεQ Q C r r r -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0001/ 故有()δd εδSUεεU C C r r -+==011介质内电场强度()δd εδUS εεQ E r r -+=='011 空气中电场强度()δd εδU εS εQ E r r -+==011 （3）插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为δd SεC -=02 U δd S εQ -=02导体中电场强度02='E 空气中电场强度δd UE -=2无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E 0/εｒ．10－18为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εｒ的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A ，B 为平板电容器的导体极板，d 0为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？题 10-18 图分析导体极板A 、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C 与材料的厚度的关系，可参见题10－17的分析． 解由分析可知，该装置的电容为()d d d SC r r -+=00εεε则介质的厚度为()()C εSεεd εεC εS εεC d εd r r r r r r r 1110000---=--=如果待测材料是金属导体，其等效电容为dd SεC -=00导体材料的厚度CSεd d 00=-= 实时地测量A 、B 间的电容量C ，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．10－19有一电容为0.50μF 的平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01mm 的聚四氟乙烯薄膜所隔开，（1）求该电容器的额定电压；（2）求电容器存贮的最大能量．分析通过查表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度E b ＝1.9×107V ／m ，电容器中的电场强度E ≤E b ，由此可以求得电容器的最大电势差和电容器存贮的最大能量． 解 （1）电容器两极板间的电势差V 190b max ==d E U（2）电容器存贮的最大能量J 1003.92132max e -⨯=CU W10－20半径为0.10cm 的长直导线，外面套有内半径为1.0cm 的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气．略去边缘效应，求：（1）导线表面最大电荷面密度；（2）沿轴线单位长度的最大电场能量．分析如果设长直导线上单位长度所带电荷为λ，导线表面附近的电场强度0π2εσR ελE ==查表可以得知空气的击穿电场强度E b ＝3.0×106（V ／m ），只有当空气中的电场强度E ≤E b 空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出σ的极限值．再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大电场强度．解 （1）导线表面最大电荷面密度250max m C 1066.2--⋅⨯==b E εσ显然导线表面最大电荷面密度与导线半径无关．（2）由上述分析得b E R ελ10max π2=，此时导线与圆筒之间各点的电场强度为()1210m π2R r R rR r E <<==ελ0=E (其他)222102m 0m 2121rE R E w b εε==沿轴线单位长度的最大电场能量r rER r r w W R Rb d 1πd π2212210m ⎰⎰⎰⎰Ω=⋅=ε14122210m m J 1076.5lnπ--⋅⨯==R R E R W b ε 10－21一空气平板电容器，空气层厚1.5cm ，两极间电压为40k V ，该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10ＭV· m －1．则此时电容器会被击穿吗？分析在未插入玻璃板时，不难求出空气中的电场强度小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题10－17可知，若电容器与电源相连，则极板间的电势差维持不变，电容器将会从电源获取电荷．此时空气间隙中的电场强度将会增大．若它大于空气的击穿电场强度，则电容器的空气层将首先被击穿．此时40k V 电压全部加在玻璃板两侧，玻璃内的电场强度如也大于玻璃击穿电场强度的值，则玻璃也将被击穿．整个电容器被击穿． 解未插入玻璃时，电容器内的电场强度为16m V 107.2/-⋅⨯==d U E因空气的击穿电场强度16m V 100.3-⋅⨯=b E ，b E E <，故电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题6－26可知，空气间隙中的电场强度()16m V 102.3-⋅⨯=+-=δδd εVεE r r此时，因b E E >，空气层被击穿，击穿后40k V 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度17m V 103.1/-⋅⨯==δV E由于玻璃的击穿电场强度1bm MV 10-⋅='E ，b E E '>，故玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿．10－22某介质的相对电容率 2.8r ε=，击穿电场强度为611810V m -⨯⋅，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF ，而耐压为4.0 k V 的电容器，它的极板面积至少要多大．解介质内电场强度16m V 1018-⋅⨯=≤b E E电容耐压U m ＝4.0k V ，因而电容器极板间最小距离m 1022.2/4-⨯==b m E U d要制作电容为0.047μF 的平板电容器，其极板面积210m 42.0==εεCdS 显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装． 10－23一平行板空气电容器，极板面积为S ，极板间距为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d ．求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系．分析在将电容器两极板拉开的过程中，由于导体极板上的电荷保持不变，极板间的电场强度亦不变，但电场所占有的空间增大，系统总的电场能量增加了．根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服两极板间的静电引力所作的功． 解 （1）极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220221S εQ E εw e == 在外力作用下极板间距从d 被拉开到2d ，电场占有空间的体积，也由V 增加到2V ，此时电场能量增加SεdQ V w W e e 022ΔΔ== （2）两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时，应有F ＝－F e ，则外力所作的功为SεdQ QEd 02e 2ΔA ==⋅-=r F 外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加．。
习题解答---大学物理第7章习题--2
专业班级_____ ________学号________第七章静电场中的导体和电介质一、选择题：1，在带电体A旁有一不带电的导体壳B,C为导体壳空腔的一点，如下图所示。
则由静电屏蔽可知：[ B ]（A）带电体A在C点产生的电场强度为零；（B）带电体A与导体壳B的外表面的感应电荷在C点所产生的合电场强度为零；（C）带电体A与导体壳B的表面的感应电荷在C点所产生的合电场强度为零；（D）导体壳B的、外表面的感应电荷在C点产生的合电场强度为零。
解答单一就带电体A来说，它在C点产生的电场强度是不为零的。
对于不带电的导体壳B,由于它在带电体A这次，所以有感应电荷且只分布在外表面上（因其部没有带电体）此感应电荷也是要在C点产生电场强度的。
由导体的静电屏蔽现象，导体壳空腔C点的合电场强度为零，故选（B）。
2，在一孤立导体球壳，如果在偏离球心处放一点电荷+q，则在球壳、外表面上将出现感应电荷，其分布情况为 [ B ]（A）球壳表面分布均匀，外表面也均匀；（B）球壳表面分布不均匀，外表面均匀；（C）球壳表面分布均匀，外表面不均匀；（D）球壳的、外表面分布都不均匀。
解答 由于静电感应，球壳表面感应-q ，而外表面感应+q ，由于静电屏蔽，球壳部的点电荷+q 和表面的感应电荷不影响球壳外的电场，外表面的是球面，因此外表面的感应电荷均匀分布，如图11-7所示。
故选（B ）。
3. 当一个带电导体达到静电平衡时：[ D ](A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高。
(C)导体部的电势比导体表面的电势高。
(D)导体任一点与其表面上任一点的电势差等于零。
4. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一、外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ D ]（A ）E=r Q U r Q 0204,4πεπε=（B ）E=0，104r Q U πε= （C ）E=0，rQ U 04πε=（D ）E=0，204r Q U πε=5. 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ [ C ]（A ）高斯面不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零。
静电场中的导体解答
由静电平衡条件可知：
d1 d2
在三块导体板之间的电场为均匀电场
由中高间斯导定体理板可与得两场边强导为体：板E电1 势差01相, E同2 ， 即 02 图2-3
1 0
d1
2 0
d2
1 d2 2 d1
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
线上电荷的影响，两球上电荷分布是球对称的．又因用细
导线连接．两者电势相等．即
4R 2 1 4 0 R
4r 2 2 4 0r
得到
1 r 2 R
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
5．半径分别为R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳， 分别 带有电荷Q1和Q2，今将内球壳用细导线与远处 半径 为r的导体球相联，如图所示，导体球原来不带电，试求
相联后导体球所带电荷q．
解：设导体球带电q，取无穷远处为电势零点
q
导体球电势：U 0 4 0r
内球壳电势：U1
Q1 q
4 0 R1
Q2
4 0 R2
R2 O R1
r
二者等电势，即
q
4 0r
Q1 q
4 0 R1
Q2
4 0 R2
图3-5
解得 q r(R2Q1 R1Q2 )
R2 (R1 r)
静电场中的导体
按电势差定义：U ' E 2 d 2 U 33
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
5．如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q，外球
壳带电荷-2q．静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表 面_____-q______ ；外表面_____-_q_____．
大物AI作业参考解答_No.08 静电场中的导体和电介质
《大学物理AI 》作业No.08静电场中的导体和电介质班级________学号________姓名_________成绩______--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------****************************本章教学要求****************************1、理解静电平衡的条件，理解静电感应、静电屏蔽的原理；2、掌握静电平衡时导体表面感应电荷的分布和电场、电势的计算；3、了解电介质的极化现象和微观解释，理解电位移矢量D的定义，确切理解电介质中的高斯定理，并能利用它求解有电介质存在时具有一定对称性的电场问题；4、理解电容的定义，掌握电容器电容的计算方法；5、掌握电容器的储能公式，理解电场能量密度的概念，并能计算电荷系的静电能；6、理解电流强度和电流密度的概念，理解恒定电场的特点及电源电动势的概念。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、选择题:1．把A ，B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如图所示。
设无限远处为电势零点，A 的电势为U A ，B 的电势为U B ，则[D ](A)U B >U A ≠0(B)U B >U A =0(C)U B ＝U A (D)U B <U A解：电力线如图所示，电力线指向电势降低的方向，所以U B <U A 。
2．半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远。
用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。
在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比为[D ](A)R/r (B)R 2/r 2(C)r 2/R 2(D)r/R解：两个金属球用导线相接意味着它们的电势相等，设它们各自带电为21q q 、，选无穷远处为电势0点，那么有：rq Rq 020144，我们对这个等式变下形r R rr r q R R R q 21020144 ，即面电荷密度与半径成反比。
《大学物理学》习题解答静电场中的导体和电介质
根据球形电容器的电容公式，得：
C
4 0
R1R2 R2 R1
4.58102 F
【12.7】半径分别为 a 和 b 的两个金属球，球心间距为 r（r>>a，r>>b），今用一根电容可忽略的细导线将 两球相连，试求：（1）该系统的电容；（2）当两球所带的总电荷是 Q 时，每一球上的电荷是多少？
【12.7 解】由于 r a ， r b ，可也认为两金属球互相无影响。
以相对电容率 r ≈1 的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离，若两极间有电势差时，极间有电流，
从而可测出电离粒子的数量。若以 E1 表示半径为 R1 的长直导体附近的电场强度。（1）求两极间电势差的
关系式；（2）若 E1 2.0 106 V m1 , R1 0.30 mm , R2 20.00 mm , 两极间的电势差为多少？
， (R2
r) ；
外球面的电势 内外球面电势差
VR2
R2
E3 dr
Q1 Q2 4 0 R2
U
VR2
VR1
R2 R1
E2
dr
Q1 4 0
(1 R1
1) R2
可得：
Q1 6 109 C ， Q2 4 109 C
【12.4】如图所示，三块平行导体平板 A，B，C 的面积均为 S，其中 A 板带电 Q，B，C 板不带电，A 和 B 间相距为 d1,A 和 C 之间相距为 d2,求（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；（2）将 B，C 导体 板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。
第 12 章 静电场中的导体和电介质
【12.1】半径为 R1 的金属球 A 位于同心的金属球壳内，球壳的内、外半径分别为 R2、R3 （ R2 R3 ）。
大学物理下册第10章课后题答案
习题10-3图第10章 静电场中的导体和电介质习 题一 选择题10-1当一个带电导体达到静电平衡时，[ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 答案：D解析：处于静电平衡的导体是一个等势体，表面是一个等势面，并且导体内部与表面的电势相等。
10-2将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将[ ](A) 升高 (B)降低 (C)不会发生变化 (D)无法确定 答案：A解析：不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
10-3将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图10-3所示），则[ ](A) N 上的负电荷入地 (B) N 上的正电荷入地 (C) N 上的所有电荷入地 (D) N 上所有的感应电荷入地 答案：A解析：带负电的带电体M移到不带电的导体N附近的近端感应正电荷；在远端感应负电荷，不带电导体的电势将低于无穷远处，因此导体N的电势小于0，即小于大地的电势，因而大地的正电荷将流入导体N，或导体N的负电荷入地。
故正确答案为（A）。
10-4 如图10-4所示，将一个电荷量为q电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O点有[ ](A)0E，4πε=qVd(B)24πε=qEd，4πε=qVd(C) 0E，0V(D)24πε=qEd，4πε=qVR答案：A解析：导体球处于静电平衡状态，导体球内部电场强度为零，因此0E。
导体球球心O点的电势为点电荷q及感应电荷所产生的电势叠加。
感应电荷分布于导体球表面，至球心O的距离皆为半径R，并且感应电荷量代数和q∑为0，因此4qVRπε==∑感应电荷。
《大学物理学》第二版下册习题解答
第九章 静电场中的导体9.1 选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为(A) 302rU R ． (B) R U 0． (C) 20rRU ． (D) r U 0． ［ C ］ 9.2如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ ，则板的两侧离板面距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为：(A) 0． (B)2εσ． (C) 0εσh ． (D) 02εσh． ［ A ］9.3 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处( d < R )，固定一点电荷+q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 (A) 0 ． (B)dq04επ．(C)R q 04επ-． (D) )11(4Rd q -πε． ［ D ］9.4 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： (A) 球壳内、外场强分布均无变化． (B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变．(D) 球壳内、外场强分布均改变． ［ B ］9.5在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是：(A) 内表面均匀，外表面也均匀． (B) 内表面不均匀，外表面均匀． (C) 内表面均匀，外表面不均匀．(D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［ B ］9.6当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高． (B) 表面曲率较大处电势较高． (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高．(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． ［ D ］9.7如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势．解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ．(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为adqU q 04επ=⎰-aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和q Q q q O U U U U +-++=r q 04επ=a q 04επ-b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εbQ04επ+9.8有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷．如图所示，试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布．(2) 面上感生电荷的总电荷．解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为σ．在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，()024cos 0220=++=⊥εσεθb r q E P π 2分 ∴ ()2/3222/b r qb +-=πσ 1分(2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ()2/322/d d b r qbrdr S Q +-==σ总电荷为 ()q brrdrqb dS Q S-=+-==⎰⎰∞2/322σ 2分O9.9 如图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为q A 和q B 的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？(2) 金属球A 中的P 点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)B解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为σ． ()()0004///4/d εεσπ++π⋅==⎰⎰a q a q R S U U B A S P A∵0d =⋅⎰⎰AS S σ∴ ()()04///επ+=a q a q U B A P9.10三个电容器如图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：(1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？解：(1) =+++=321321)(C C C C C C C 3.16×10-6 F(2) C 1上电压升到U = 100 V ，电荷增加到==U C Q 111×10-3 C第十章 静电场中的电介质10.1 关于D的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ (A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零．(B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷．(C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关．(D) 以上说法都不正确． ［ C ］10.2一导体球外充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为(A) ε 0 E ． (B) ε 0 ε r E ．(C) ε r E ． (D) (ε 0 ε r - ε 0)E ． ［ B ］10.3 一平行板电容器中充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化电荷面密度为±σ′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：(A) 0εσ'． (B) r εεσ0'． (C) 02εσ'． (D)rεσ'． ［ A ］10.4一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为0E ，电位移为0D，而当两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质时，电场强度为E ，电位移为D，则(A) r E E ε/0 =，0D D =． (B) 0E E =，0D D rε=．(C) r E E ε/0 =，r D D ε/0 =． (D) 0E E =，0D D=． ［ B ］10.5如图所示, 一球形导体，带有电荷q ，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将 (A) 增大． (B) 减小．(C) 不变． (D) 如何变化无法确定． ［ B ］q10.6将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示. 则由于介质板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关．(D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关． ［ A ］介质板10.7静电场中，关系式 P E D+=0ε(A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质．(D) 适用于任何电介质． ［ D ］10.8一半径为R 的带电介质球体，相对介电常量为εr ，电荷体密度分布ρ = k / r 。
静电场中的导体习题与解答
静电场中的导体1、在一半径为R 1=6.0cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B 。
已知Ｂ的内外半径分别为Ｒ２＝８.０cm ，R 3=10.0cm 。
设球Ａ带有总电荷ＱＡ＝３.０810-⨯Ｃ，球壳Ｂ带有总电荷ＱＢ＝２.０810-⨯Ｃ。
（１）求球壳Ｂ内外表面上所带的电荷以及Ａ和Ｂ的电势；（２）将Ｂ接地后断开，再把Ａ接地，求Ａ和Ｂ内外表面上所带的电荷以及Ａ和Ｂ的电势。
分析：（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷Q A 均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷-Q A ，外表面带电荷Q A +Q B ，电荷在导体表面均匀分布，由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势。
（2）导体接地，表明其电势为零。
B 接地后，外表面电荷为零，内表面带电荷为-Q A 不变。
断开B 后，再将A 接地，此时A 的电势为零，电荷重新分布。
可设此时A 带电q A ，则B 的内表面感应电荷为-q A ，外表面带电为q A -Q A 。
而此时A 的电势可表示为0444302010=-+-+=R Q q R q R q V AA A A A πεπεπε。
解出q A 即可求得结果。
解：（1）V R Q Q R Q R Q V BA A A A 3302010106.5444⨯=++-+=πεπεπεV R Q Q V BA B 330105.44⨯=+=πε（2）由0444302010=-+-+=R Q q R q R q V AA A A A πεπεπε解得 C R R R R R R Q R R q AA 83132********.2-⨯=-+=即A 外表面带电C 81012.2-⨯，B 内表面带电C 81012.2-⨯-， 外表面带电 q A -Q A =C 81088.0-⨯- A 与B 的电势分别为 0=A V=-=304R Q q V AA B πεV 31092.7⨯-2、三个平行导体板Ａ、Ｂ和Ｃ的面积均为Ｓ，其中Ａ板带电Ｑ，Ｂ、Ｃ板不带电，Ａ、Ｂ间相距为d 1，Ａ、Ｃ间相距为d 2。
3-2电磁-静电场中的导体与电介质 大学物理作业习题解答
C'' 1F A
C5和C6串联后,再与C’’并联的电容为
C C'' C''' C'' C5C6 3F C5 C6
C3 C1
C4
C5
C2 C6 B
(2)设V＝200伏，则AB间电荷为 q CV 6 104 C
由于 C'' : C''' 1 : 2 故
q'' : q''，' 因1 此: 2
(3)若球外r处又放一点电荷q，在球外表面上又感应出等量异号
电荷，但他在球心电势为零，故球心处电势为：
v0
q0 40r0
q0 40R1
Q q0 40R2
q 40r
补充2.3 有两个同轴的圆柱面，面内柱面半径为R1,电势为U1，外 柱面半径为R2,电势为U2，求两柱面间两点的电势差。
解：设内筒单位长度的电量为1，外筒为2，故R1与R2之间的电
0r2s2 1 d
2-2 如图平行板电容器面积为S，两板间距为d.(1)在保持电源与 电容器的极板相连接情况下扦入厚度为d’介质,求介质内外场强 之比；(2)电容器与电源断开,再扦入介质,情况如何?(3)扦入不
是介质,而是金属平板.(1),(2)这两种情况如何?
解：(1)在保持电源与电容器的极板相连接情 d
C=C球形+C球
4 0 R 2R1 R2 R1
4 0 R 2
4 0 R 2 2 R2 R1
11
2-11 三个平行金属板A、B、C面积均为200平方厘米，AB间距离
4.0毫米，AC间距离2.0毫米，B和C都接地。如果使A板带正电，
大学物理第7章 静电场中的导体和电介质 课后习题及答案
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。
用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。
忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。
试证明：Rr =21σσ 。
证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为R R V 0211π4επσ=14εσR= 半径为r 的导体球的电势为r r V 0222π4επσ=24εσr= 用细导线连接两球，有21V V =，所以Rr =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E S∆+==⋅⎰)(10320σσε 故 +2σ03=σ上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ=3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。
解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V由电势叠加原理，球心电势为=O V R qdq R 3π4π4100εε+⎰03π4π400=+'=Rq R q εε 故 -='q 3q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。
大学物理静电场中的导体和电介质习题答案
第13章 静电场中的导体和电介质P70．13．1 一带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0， 可得P 点的电场强度为204q E rπε=．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为04cq U r πε=．13．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，可得电位移为 D = λ/2πr ， 其方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ， 方向也垂直中心轴向外．13．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一点电荷q ，求球心o 的电势为多少？[解答]点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为000111444o q q Q qU r a bπεπεπε-+=++13．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，忽略边缘效应．求（1）B 、C 板上的电荷为多少？图14.3图14.4（2）A板电势为多少？[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1 = σ1S和q2 = σ2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q = q1 + q2 = σ1S + σ2S．①A、B间的场强为E1 = σ1/ε0，A、C间的场强为E2 = σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU = E1d1 = E2d2，②即σ1d1 = σ2d2．③解联立方程①和③得σ1 = qd2/S(d1 + d2)，所以q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为q B= -q1 = -2×10-8(C)；q C= -q2 = -1×10-8(C)．(2)两板电势差为ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k = 9×109 = 1/4πε0，所以ε0 = 10-9/36π，因此ΔU = 144π= 452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以U A = ΔU = 452.4(V)．13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1 + q2 = 0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S，它们产生的场强大小分别为E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1 - E2–E = 0，即σ1 - σ2–σ= 0，或者说q1 - q2 + q = 0．②解得电量分别为q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2 = -σ3．两板之间的场强为E = σ3/ε0，而 E = U/d，所以面电荷密度分别为σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式202214RCR Rπε=-表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为P2图14.5图14.61210012211441/1/R R C R R R R πεπε==--外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为2023141/1/C R R πε=-．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为12120022144R R C C C R R R πεπε=+=+-202214R R R πε=-． 方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为0201`044q q R R πεπε+=，因此感应电荷为12`R q q R =-． 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为122002`44R q q E r R rπεπε==-， 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为1122d d R R R R U E r =⋅=⎰⎰E l121202()d 4R R R qr R rπε=-⎰ 1212021202()11()44R q R R q R R R R πεπε-=-= 球面间的电容为202214R q C U R R πε==-．13．8 球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？[解答]球形电容器的电容为120012211441/1/R R C R R R R πεπε==--．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：0121212R R C R R πε=-．当电容器中充满介质时，电容为：0122212r R R C R R πεε=-．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：01212212(1)r R R C C C R R πεε+=+=-．13．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C 1 = ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2． 总电容的倒数为122112*********d d d d C C C S S Sεεεεεε+=+=+=， 总电容为 122112SC d d εεεε=+．13．10 圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的内半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U ；（2）介质中的电场强度E 、电位移D ； （3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，高斯面包围的自由电荷为 q = λl ， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = λ/2πr ， 方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ， 方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为21d d d 2R LLR U E r r r λπε=⋅==⎰⎰⎰E l 21ln 2R R λπε=． 电容为 212ln(/)q lC U R R πε==． 在真空时的电容为00212ln(/)l q C U R R πε==， 所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．13．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：（1）介质层内、外D 、E 、P 的分布； （2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为2d d 4d SSD S r D Φπ=⋅==⎰⎰D S高斯面包围的自由电荷为q = Q 0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = Q 0/4πr 2， 方向沿着径向．用矢量表示为D = Q 0r /4πr 3．电场强度为E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3， 方向沿着径向．由于 D = ε0E + P ， 所以 P = D - ε0E = 031(1)4rQ rεπ-r． 在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以D = Q 0r /4πr 3，E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为E 0 = Q 0r /4πε0r 3；极化电荷q 1`产生的场强为E` = q 1`r /4πε0r 3；总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3． 由于 E = E 0 + E `，解得极化电荷为 `101(1)rq Q ε=-，介质层内表面的极化电荷面密度为``01122111(1)44r Q q R R σπεπ==-． 在介质层外表面，极化电荷为``21q q =-，面密度为``02222221(1)44r Q q R R σπεπ==-．13．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1． 两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2． 13．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为C = ε0S/d ，当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ； 另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．两个电容器并联，总电容为C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，静电能为W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ． 13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + εr )ε0S /2d ． （2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ， 充电后所带电量为 Q = C 0U ． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ． 设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得01112211/C U C QQ C C C C ==++， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为00112122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S dεσε===++． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为0021222(/1)(1)r r C U UC C S dεεσε==++．13．15 平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm ，电容器内有一块1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V 的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为C 0 = ε0εr S/d ，静电能为 W 0 = C 0U 2/2． 玻璃板抽出之后的电容为C = ε0S/d ．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU 2/2， 电能器能量变化为ΔW = W - W 0 = (C - C 0)U 2/2 = (1 - εr )ε0SU 2/2d = -3.18×10-5(J)． （2）充电后所带电量为 Q = C 0U ， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q 2/2C ，电能器能量变化为2000(1)2C C U W W W C ∆=-=- 20(1)2r r SU dεεε=-= 1.59×10-4(J)．13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a 、b ．试证明电容器能量的一半储存在半径R =[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r ， 能量密度为 w = ε0E 2/2， 体积元为 d V = 2πrl d r ， 能量元为 d W = w d V ．在半径a 到R 的圆柱体储存的能量为20d d 2VVW w V E V ε==⎰⎰2200d ln 44Ral l R r r a λλπεπε==⎰．当R = b 时，能量为210ln 4l b W aλπε=；当R =22200ln48l l b W aλλπεπε==，所以W 2 = W 1/2，即电容器能量的一半储存在半径R =13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为a 、b ，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q )时，求：（1）在半径为r (a < r < b )、厚度为d r 、长度为l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l ，根据介质是高斯定理，可知电位移为D = λ/2πr = Q /2πrl ，场强为 E = D/ε = Q /2πεrl ， 能量密度为w = D ·E /2 = DE /2 = Q 2/8π2εr 2l 2．薄壳的体积为d V = 2πrl d r ， 能量为 d W = w d V = Q 2d r /4πεlr ．（2）电介质中总能量为22d d ln 44bV aQ Q bW W r lr l a πεπε===⎰⎰．（3）由公式W = Q 2/2C 得电容为222ln(/)Q lC W b a πε==．13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V 和300PF/900V ．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V 电压，是否会被击穿？[解答]当两个电容串联时，由公式211212111C C C C C C C +=+=， 得 1212120PF C C C C C ==+．加上U = 1000V 的电压后，带电量为Q = CU ，第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．。
6-4静电场中的导体,电容和电容器 - 副本
一、选择题1. 难度系数等级：3一带正电荷的物体M ，靠近一不带电的金属导体N ，N 的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷，若将N 的左端接地，如图所示，则〔 〕()A N 上的负电荷入地； ()B N 上的正电荷入地；()C N 上的电荷不动； ()D N 上所有电荷都入地 答案： ()B2. 难度系数等级：1当一个带电导体达到静电平衡时：〔 〕()A 表面上电荷密度较大处电势较高 ()B 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零()C 导体内部的电势比导体表面的电势高 ()D 表面曲率较大处电势较高 答案： ()B3. 难度系数等级：2选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为0V ，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为〔 〕()A 302r V R ； ()B R V 0； ()C 20rRV ； ()D r V0。
答案： ()C4．难度系数等级：2如图所示，先接通开关K ，使电容器充电，然后断开K ；当电容器板间的距离增大时，假定电容器处于干燥的空气中，则〔 〕 ()A 电容器上的电量减小； ()B 电容器两板间的场强减小；()C 电容器两板间的电压变小； ()D 以上说法均不正确。
答案： ()D5. 难度系数等级：2如图所示，使K 闭合，增大电容器两板间的距离，并假定电容器处于干燥的空气中则〔 〕 ()A 电容器上的电量减小； ()B 电容器两板间的电压减小；()C 电容器两板间的场强变大； ()D 以上说法均不正确。
答案：()A6. 难度系数等级：2将平行板电容器的两极板接上电源，以维持其间电压不变，用相对介电常数为εr 的均匀电介质填满极板间，则下列说法哪种正确？〔 〕 ()A 极板间电场增大为原来的εr 倍； ()B 极板上的电量不变；()C 电容增大为原来的εr 倍；()D 以上说法均不正确。
答案：()C7. 难度系数等级：3用力F 把电容器中的电介质板拉出，在图(a)和图(b)的两种情况下，电容器中储存的静电能量将〔 〕 ()A 都增加； ()B 都减少；C εKC ε K()C (a )增加，(b)减小； ()D (a)减少，(b)增加。
大学物理下 静电场中的导体和电介质习题解答
q
q q
2．如图所示，一带负电荷的金属球，外面同 心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点 P处的场强大小与电势（设无穷远处为电势零 点）分别为：
(A) E = 0，U > 0． (B) E = 0，U < 0． B
(C) E = 0，U = 0． (D) E > 0，U < 0．
P
球壳内表面带正电荷，外表面带负电荷 金属球壳是一个等势体
ε1 ε2
5. 一导体球外充满相对介电常量为εr的均匀电介质，若测得导 体表面附近场强为 E ，则导体球面上的自由电荷面密度ε0 εr E 。
D ds Dds ds D
s
D
0
r
E
6. 一电荷为q的点电荷，处在半径为R、介电常量为ε1的各向同性、
均匀电介质球体的中心处，球外空间充满介电常量为ε2的各向同
性、均匀电介质，则在距离点电荷r (r<R) 处的场强为
，
电势 (选U∞=0)为
。
D ds qi
s
i
4r 2 Dr q
Er Dr
U
E
4Rrq1rR2
Er d r , U
q 4π1
1 r
1 R
q 4 2 R
2 1 qr R
7. 两金属球的半径之比为1:4，带等量的同号电荷。当两者的距 离远大于两球半径时，系统具有电势能W04 r
q 4 r
0
0
球心O点处总电势为分布在球壳内、外表面上的电荷和点电荷
q在O点产生的电势的代数和，
U 0
Uq
Uq
UQq
q 4 r
0
q 40R1
q Q 4 R
02
课后作业20-静电场中导体
作业20 静电场中导体姓名 班级 学号 教学班序号20-1（1）如图所示，一带正电荷的物体M ，靠近一原不带电的金属导体N ，N 的左端感生出负电荷，右端感生出正电荷．若将N 的左端接地，则（A ）N 上有正电荷入地； （B ）N 上有负电荷入地；（C ）N 上的电荷不动； （D ）N 上所有电荷都入地。
［ ］（2）半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远．用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电．在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR / σr 为(A) r / R ； (B) r 2 / R 2； (C) R / r ； (D) R 2 / r 2。
［ ］ （3）两个同心薄金属球壳，半径分别为R 1和R 2 (R 2 > R 1 )。
若分别带上电荷q 1和q 2，选无穷远处为电势零点，则两者的电势分别为U 1和U 2。
现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为(A) U 1； (B) U 2； (C))(2121U U +； (D) U 1 + U 2 ［ ］（4）半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，则在距离球面R 处的电场强度大小为： (A)εσ； (B)02εσ； (C) 04εσ； (D)8εσ［ ］ （5）有三个直径相同的金属小球．小球1和小球2带等量异号电荷，两者的距离远大于小球直径，相互作用力为F ．小球3不带电并装有绝缘手柄．用小球3先和小球1碰一下，接着又和小球2碰一下，然后移去。
则此时小球1和2之间的相互作用力为(A) 0； (B) F / 8； (C) F /4； (D) F / 2 ［ ］20-2（1）如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q ，外球壳带电荷-2q 。
静电平衡时，外球壳的电荷分布为： 内表面___________ ； 外表面___________ 。
（2）如图所示，半径为r 的导体球与半径为R 的薄导体球壳，(R ＞r )，同心放置，球壳上有一小孔，用细导线穿过小孔(绝缘)将导体球接地。
大学物理第十二章习题解答
4π 0 r r R2 4π 0 R2
(3)金属球的电势
Q
1 (
r
1 )
4π 0 r r R2
U
R2 R1
E内
dr
R2 E外 dr
R2
Qdr
Qdr
R 4π 0 r r 2 R2 4π 0 r 2
Q
1 (
r
1 )
∴
D Q
2πrl
(1)电场能量密度
D2
Q2
w
2 8π 2r 2l 2
薄壳中 dW wd Q2 2π rdrl Q2dr
8π 2r 2l 2
4π rl
(2)电介质中总电场能量
9
(3)电容：∵ ∴
Qr
Qr
D 4πr 3 , E外 4π 0r 3
(2)介质外 (r R2 ) 电势
Q
U r E外 dr 4π 0r
介质内 (R1 r R2 ) 电势
U r E内 dr r E外 dr
q 11
Q
( )
12-2 如附图所示，一导体球半径为 R1，外罩一半径为 R2 的同心薄球壳，外球壳所带总电荷 为 Q，而内球的电势为 U0，求此系统的电势和电场分布。
解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．设内球壳带电量为q 取同心球
面为高斯面，由高斯定理 E dS Er 4πr2 Er q / ε0 ，根据不同半径的高斯面内的电
R2 R1
E2
dl
q
Q
R2 E3 dl 4π 0 R1 4π 0 R2
静电场中的导体和电介质(含答案,大学物理作业,考研真题)
1、一片二氧化钛晶片，其面积为 1.0cm2, 厚度为 0.10mm 。把平行板电容器的两极板紧
贴在晶片两侧。此时电容器的电容为_____________. ；当在电容器的两板上加上 12V 电压时，
极板上的电荷为_____________. ；电容器内的电场强度为_____________ .。（二氧化钛的相
[
]
3、（2018 年暨南大学）将一带电量为 Q 的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有：
（A）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q；
（B）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q，远端带+Q；
（C）金属导体两端带等量异号电荷，且电量 q<Q；
（D）当金属小球与金属导体相接触后再分离，金属导体所带电量大于金属小球所带电量。
二、 填空题
1、导体在达到静电平衡时，其导体内部的场强应为______；整个导体（包括导体表面）
的电势应是______；导体表面的场强方向应是______。
2、当空腔导体达到静电平衡时，若腔内无电荷，则给该空腔导体所带的电荷应分布
在
；若腔内有电荷，则空腔导体上的电荷应分布
在
。
3、如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电量+q，外球壳带电量-2q。
（C）、使电容增大，但与介质板的位置无关；（D）、使电容增大，但与介质板的位置有关。
[
]
3、（2011 年太原科技大学）两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自
孤立时的电容值加以比较，则:
（A）空心球电容值大；
（B）实心球电容值大；
（C）两球电容值相等；
（D）大小关系无法确定
[
]
二、 填空题
（1）若两极上分别带有电荷+Q 和—Q，求各区域的电位移 D，电场强度 E，及电势 U；
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解: 有导线相连，导体球与内球 壳为等势体，不考虑导体球 与球壳的相互作用时，
q Ur 4 0 r
R2
O R1
r
Q2 Q1 q Q1 q 1 1 U R1 U R 2 U R1 R 2 4 0 R2 4 0 R1 R2 R1Q2 R2Q1 r q R1 r R2
qq U 4 0 R2
q
R1
R2
-q
q +q
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
5. 如图，一长直导线横截面半径为a，导线外同轴地套 一半径为b的薄圆筒，两者互相绝缘，并且外筒接地。 设导线单位长度的电荷为+l，并设地的电势为零，则 两导体之间的P点( OP = r )的场强大小和电势分别为：
E
E
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
!4．一空心导体球壳，其内、外半径分别为R1和R2，带 电荷q，如图所示．当球壳中心处再放一电荷为q的点电 荷时，则导体球壳的电势(设无穷远处为电势零点)为 q q q q (C) (D) (A) (B) 4 0 R1 4 0 R2 2 0 R1 0 R2
s 1 4R 2 s 2 4r 2 U1 U2 4 0 R 4 0 r
s 1R s 2 r
s1 r s2 R
s2
r d
s1
R
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
5. 如图，半径分别为R1和R2 (R2 >R1)的两个同心导体 薄球壳，分别带有电荷Q1和Q2，今将内球壳用细导线 与远处半径为r的导体球相联，导体球原来不带电，试 求相联后导体球所带电荷q．
C
0S
d
1
2 C C 1
C1
0S
d 3
d
2 U U 3
s
U
s
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
5．如图，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q，外球壳 带电荷-2q．静电平衡时，外球壳的电荷分布为：内表 -q -q 面___________ ；外表面___________ ． 球壳内电场为0 q q 0 q q 球壳电荷守恒
qdq Q2 W dW 4 0 R 8 0 R 0
Q
s1 s2
s1 d2 s 2 d1
d1
d2
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
4．一空气平行板电容器，两极板间距为d，充电后板 间电压为U．然后将电源断开，在两板间平行地插入一 厚度为d/3的金属板，则板间电压变成U' =__________．
CU Q
C U Q
C 3 C 2
l l b , U ln (A) E 2 4 0 r 2 0 a
(C) E
l l a , U ln 2 0 r 2 0 r
l l b (B) E ,U ln 2 4 0 r 2 0 r
a b
l l b E , (D) U ln 2 0 r 2 0 r
in in
qex qin 2q qex q
q
2q
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
三、计算题
1. 如图，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有 电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无 限远处为电势零点，试求：1) 球壳内外表面上的电荷. 2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．3) 球 心O点处的总电势．
O r P
b
ll 2πrlE 0
l U dr 20 r r
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
二、填空题
1．在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a．已知 立方导体中心O处的电势为U0，则立方体顶点A的电势 为 U0 ． A
O
静电场中的导体为等势体.
a
2. 如图，将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导 体附近，则导体内的电场强度______________ 不变（均为0），导体的 减小 电势______________ ．(填增大、不变、减小) +-
U12 E d l E d l E d l E d l
1 1 L R 2 L R 2
1
a
sa sb s b a 0 2 0 2 0 2 0
b d
2
图 3-2
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
3．如图，两块“无限大”平行导体板，相距为2d，都 与地连接. 在板间均匀充满着正离子气体(与导体板绝缘)， 离子数密度为n，每个离子的电荷为q．如果忽略气体中 的极化现象，可以认为电场分布相对中心平面OO'是对 称的．试求两板间的场强分布和电势分布．
静电场中的导体 第六章 静电场中的导体与电介质 3. 三块互相平行的导体板，相互之间的距离d1和d2比 板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上 带电，设左右两面上电荷面密度分别为s1和s2，如图所 示．则比值s1/s2为 d2/d1 . 外面两板相连时为等势体，
Q1 Q2 s 1S s 2S U C1 C2 0 S d1 0 S d 2
s s , E0 （A） E0 2 0 2 0 s s , E0 （C） E0 2 0 2 0
s s , E0 （B） E0 2 0 2 0 s s , E0 （D） E0 2 0 2 0
s
E0
大带电平板将在其两侧产生电场，电场 强度的方向分别向左、向右，场强为 s E 2 0
导体N接地,其电势为零,只有保留负感应电 荷,由负电荷产生的电势与带正电的M产生的电 势叠加才可能出现零值.
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
3．一带电大导体平板二个表面的电荷面密度的代数 和为s，置于电场强度为 E0 的均匀外电场中，且使板面 垂直于 E0 的方向．设外电场分布不因带电平板的引入 而改变，则板的附近左、右两侧的合场强为：
q o in o
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
2．厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位 面积上电荷之和为s．试求图示离左板面距离为a的一 点与离右板面距离为b的一点之间的电势差． 解: 由高斯定理知，两表面内E=0；
s ds s 两表面外侧， E 2ds E 0 2 0
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
6. 假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R的 导体球带电．(1) 当球上已带有电荷q时，再将一个电荷 元dq从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？ (2) 使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力共作 多少功？ 解:
q qdq U dW dq U 4 0 R 4 0 R
q
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
2．如图，一带正电荷的物体M，靠近一不带电的金属 导体N，N的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷 . 若 将N的左端接地，则 N （A）N上的负电荷入地． M （B）N上的正电荷入地． （C）N上的电荷不动． （D）N上的所有电荷都入地．
静电场中的导体ຫໍສະໝຸດ 第六章 静电场中的导体与电介质
一、选择题
1．有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不 带电．若在它的下方放置一电量为q的点电荷，则 （A）只有当q>0时，金属球才下移． （B）只有当q<0时，金属球才下移． （C）无论q是正是负金属球都下移． （D）无论q是正是负金属球都不动．
无论q是正是负,金属球下 方均出现与q异号的感应电荷, 它与q之间相互吸引.
in in 解: 球壳内电场为0 q q 0 q q 球壳电荷守恒
q
r
O
a
b
q q Qq Qq
ex in ex
Q
ex o
U
in o
4 0 a
in q i
q 4 0 a
1 q q Qq Uo U U U 4 0 r a b
s 2r nqr Er 解: 由高斯定理有，Er 2s 0 0 d d nqr U r Er dr dr 0 r r
nq 2 d r2 2 0
2d O
r
O'
静电场中的导体
第六章 静电场中的导体与电介质
4．半径分别为R和r的两个导体球，相距甚远．用细 导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为s1和s2. 忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体 球上电荷分布的影响．试证明:s1/s2=r/R. 证: 因有导线相连，两球为等势体，不考虑相互作用时