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[数学建模] 刹车距离模型

一：实验内容

矩阵的基本操作

矩阵的输入、加、减、乘、除、求逆、求特征值、特征向量、对角化、上三角化、Jordan标准型、合同变换等

求解线性方程组

齐次线性方程组

非齐次线性方程组

理解左除和右除操作

绘制点和函数曲线

坐标原点、坐标轴刻度的设定

在坐标平面上绘制点

在坐标平面上绘制函数曲线

表达建模结果(以汽车刹车距离的数学模型为例，教材第2.4节)

假设已经建立了带有未知参数的数学模型，并有一些实际数据。根据实际数据估算模型中的参数。然后将数学模型表达的曲线和实际数据绘制在同一个坐标平面内，并据此对数学模型做出分析。

二：问题分析

1 刹车距离与车速有关；

2 刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶距离。

3 反应距离又反应时间和成酥决定，反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵敏性，对于一般规则可使反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。

4 制动力在一般规则下又可看作是固定的。

三：模型假设

1 刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和；

2 反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1;

3 刹车时间用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比。

四：模型建立

由假设2 d1=t1v

由假设3 在F作用行驶距离d2作的功Fd2时车速从v变成0，动能的变化为mv^2/2,

如图所示，汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成，反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离，刹车距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止的距离。反应距离有反应时间和车速决

定，反应时间取决于司机个人状况（灵敏、机警等）和制动系统的灵敏性，由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，而且在这段时间内车速不不变。刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。有能量守恒制动力所做的功被汽车动能的改变所抵消。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与汽车的质量成正比，汽车的减速度基本上是常数。路面状况可认为是固定的。

二、模型假设

基于以上分析，作出如下假设。

（1）人的反应时间为一个常数。

（2）在反应时间内车速不变。

（3）汽车的减速度基本上是一个常数。

（4）路面状况是固定的。

（5）汽车的总刹车距离等于反应距离和刹车距离之和。

（6）反映距离与车速成正比，比例系数为反应时间。

（7）刹车时使用最大制动力做的功等于汽车动能的改变，且制动力与车的质量成正比。

符号说明：

(1)t表示反应时间

(2)d表示总刹车距离

(3)表示反应距离

(4)表示刹车距离

(5)v 表示速度

(6)F表示制动力

(7)m表示质量

美国的某些司机培训课程中有这样的规则:在正常驾驶条件下车速每增加10英里/小时,后面与前面一辆车的距离应增加一个车身长度。又云，实现这个规则的一种简便方法是所谓“2秒规则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2秒规则”与上述规则是否一致？是否有更好的规则？并建立刹车距离的模型。解：(1)计算车速10英里/小时2秒钟前进距离说明车速10英里/小时时两规则并不一致。1.3.1 问题分析

制订这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前车，即要确定汽车的刹车距离。

刹车距离显然与车速有关，先看看汽车在10英里/小时（约16km/h）的车速下2秒钟行驶多

大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时×5280英尺/英里×1小时/3600秒×2秒=29.33 英尺（=8.94米），远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。为判断规则的合理性，需要对刹车距离作较仔细的分析。

刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作

用汽车行驶的距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。

反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵巧、机警、视野等） 和制动系统的灵敏性（从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间），对于一般规则可以视

反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。 制动距离与制动器作用力（制动力）、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是 一个能量耗散装置，制动力作的功被汽车动能的改变所抵消。设计制动器的一个合理原则是， 最大制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数，这样，司机和乘客少 受剧烈的冲击。至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的。 (2) 刹车距离模型

刹车距离由反应距离和制动距离组成。

反应距离指从司机决定刹车到制动开始起作用 汽车行驶的距离。 制动距离指制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。 解：(1)计算车速10英里/小时2秒钟前进距离:

说明车速10英里/小时时两规则并不一致。 (2) 刹车距离模型

刹车距离由反应距离和制动距离组成。反应距离指从司机决定刹车到制动开始起作用 汽车行驶的距离。

制动距离指制动器开始起作用到汽车完全停止行驶的距离。 模型假设

3)刹车时使用最大制动力F ，F 作的功等于汽车 动能的改变，且F 与车质量m 成正比。

模型建立 由假设2)

v t d 11= (1)

由假设3 2221mv Fd =

而 F=ma ,则 2

221v a

d = 其中a 为刹车减速度，是常数，则：

22kv d = （2）

则刹车距离与速度的模型为

21kv v t d +=

其中1t 根据经验取0.75秒 ，先利用实际数据来确定k

英尺秒秒英尺33.2923600/528010=⨯⨯=d 英尺一个车身平均长度

15=l .)121之和和制动距离等于反应距离刹车距离d d d .,)211t v d 比例关系为反应时间成正比与车速反应距离