悖论总结

我们惊异无比。
• 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可
推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定
命题成立，又可推出这个命题成立 .如果承认它是真的， 经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它 是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 • 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基
础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多
思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思 考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
• 表现形式
• 悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的 （佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了 （似是而非的理论）。
• 这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D，它必须
首先到达距离D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、 以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了D。这些结
论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。
• NO.4 • 柏拉图与苏格拉底悖论 柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。” 苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。”
• 生活中遇到的常见悖论问题 NO.2
爬了3公里长的皮筋的1/300000，如此继续，蠕虫的进程表示为整条 橡皮绳的分数就是 1/100000*(1+1/2+1/3+1/4+...) 括号里的级数
是调和级数。由于这个级数是发散的，它的部分和我们要它有多大， 就可以有多大。只要这个和超过100,000，上面的表达式就超过1。这 就是说，蠕虫已经到达终点。此时调和级数该部分和的项数n就是蠕 虫爬行的秒数．也是皮筋最后长度的公里数。（n的值近似等于 e100000 ）。 • 思考：如果橡皮绳按几何级数拉长，譬如每秒钟拉长一倍，会出现什
悖论知识
2014-12-24
走一走这个奇怪的楼梯，会发生什么？最低一级和最高一 级台阶分Fra Baidu bibliotek在哪儿？
这个罗马士兵很迷惑：到底 几根柱子？
你从上面还是从下面看到棋盘 呢?
• 概念
• [英文]paradox逻辑学和数学中的“矛盾命题”，也可
叫“逆论”，或“反论”，是指一种导致矛盾的命题。 悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是 “多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与 人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使
• NO.2
• 唐·吉诃德悖论 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一
个旅游者都要回答一个问题。
问: 你来这里做什么？ 如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。
一天，有个旅游者回答——
我来这里是要被绞死。 这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错 了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞 死他。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上
自相矛盾。
• 类 型
• 悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和
时间悖论等
• 逻辑悖论
• 理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不
自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不 给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子 的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给 自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，
• 生活中遇到的常见悖论问题 NO.1
一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软 唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，
30张软唱片收入10元，总共是25元。
第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱 卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”
为需要；四是两人都没洗，因为脏人没有洗澡的习惯，干净人不
需要洗。这四种可能彼此相悖，无论学生作出怎样的回答，老师 都可以予以反驳，因为他不需要有一个客观的标准，这就是诡辩
• 诡辩式悖论：
2、“父在母先亡”
这是一个可以自圆其说的乩语。它也有四种解释：一是“父在，
母先亡”；二是“父在母之先亡”；三是如果父母健在，可以解
甲承认乙承认：甲、乙各三年监禁
甲乙二囚犯都会想到对自己最有利的去做：以甲而言，甲若承认， 最多三年监禁，如果乙也承认；双方都监禁三年；如果乙否认， 甲马上获得自由。这个结果并不坏。这是博弈，乙也会同样这么 想。如果甲改变主意，将冒监禁五年，而乙却获得自由；反之也 一样。如果双方都改变主意，各监禁一年，也可以达到“共利”。
• 诡辩式悖论：
3、但是，这一决策的过程可能是无限的理性推理：假如我选择
“共利”策略，我必定相信对方也将选择“共利”策略；假如我 选择“私利”策略，对方也会选择“私利” 策略予以防范。这 个“推己及人，推人及己”的过程可以无限地推下去，他的极限 状态在博弈论里叫做“共享知识（CommonKnowledge）”，但是 没有人可以达到这个状态，囚犯也摆脱不了这个悖论。
•
• 历史上著名的悖论
NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果 他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果 他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。
7你可以把只有1根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有2根头发的
叫秃头吗？能；你可以把只有3根头发的叫秃头吗？也能。但是 你不会把有一万根头发的人叫秃头。你从哪里区分他们？
• 诡辩式悖论：
1 、有学生问他的希腊老师：“什么是诡辩？”老师反问到：“有
甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡，他们中间谁会 洗？” 这里有四种可能，一是甲洗，因为他有爱干净的习惯；二是乙 洗，因为他需要；三是两人都洗，一个是因为习惯，另一个是因
么情况？
• 结论：这时，蠕虫就再也不能达到终点了。具体证明可以自己试试。
• 生活中遇到的常见悖论问题 NO.3
苏椰 ：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。 学者：我肯定能。 苏椰 ：不，你不能。我现在就可以证明它！ 苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说： “我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你 预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。 要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？” “好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。 3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道 „„ 。
不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。
• 其他：
1岛国的悖论:" 如果你精神失常,那么你可以领取国家福利;但是要
申请国家福利,你必须头脑清醒." 2相对悖论：“‘世上没有绝对的真理‘。这是绝对的吗？” 3苏格拉底悖论：我现在唯一知道的事就是我一无所知。 4鸡蛋的悖论： 先有鸡还是先有蛋？ 5一厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多（与“一尺之捶，日 取其半，万世不竭”类似） 6如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头?
这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只
卖得24元，而不是25元。 这一块钱到哪儿去了呢？
• 生活中遇到的常见悖论问题 NO.2
橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定 速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就均匀拉长1公里。如此下去，
蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？
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• 由前提不自洽导致的悖论
• • • • NO.2 这是严格按照三段论推导出来的结果。请看： （1）亚里斯多德是哲学家， （2）哲学家是类概念， （3）所以，亚里斯多德是类概念。 亚里斯多德（Aristotle，公元前384－前322）是希腊大哲学家 和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成 体系，在西方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑 思维的基础。 上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含 了一个“语义悖论”。因为语句（1）中的哲学家和语句（2）中的“ 哲学家”不在一个层次上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前 提内涵不一致，结论就荒谬了。从根本上来讲这不是一个语言或语法 问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在30年代提出“语言层次论” 来，就一直受到人们的关注。
随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点是不是越来越远了？ 但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。
•
理解这个问题的关键是橡皮绳的伸长是均匀的。这意味着蠕虫随
着拉伸也向前挪了。 1公里有100,000厘米，所以在第一秒末，蠕虫 爬行了橡皮绳长度的1/100000。在第二秒钟内，蠕虫又在长度为2公 里的橡皮绳上爬了它的1/200000，在第三秒内，它又
定义矛盾；但M ＋N 遍历所有集合域，所以N 也不
是空集。
• 由前提不自洽导致的悖论
• NO.1 “罗素是教皇” 从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论， 哪怕推理过程无懈可击。有人曾经让罗素证明从“2+2=5”推出“罗 素是教皇”。罗素证明 如下： 由于2+2=5，等式的两边同时减去2， 得出2=3；两边同时再减去1， 得出1=2；两边移位， 得出2=1。 教皇与罗素是两个人，既然2=1，教皇和罗素就是1个人，所以“ 罗素就是教皇”。
他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。
• 逻辑悖论 罗素悖论： M：所有包含集合自身的集合；
N：所有不包含集合自身的集合；
问：N∈M还是N∈N？ 如果N ∈M ，说明N 具备M 的特征，根据M 的定 义，N 包含集合自身， 但这和N 的定义矛盾；如 果N ∈N ，说明N 具备包含自己的特征，这与N 的
释为将来；四是即使父母都去世了，也可以解释为“父亲在的时 候，母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲以前就去世了。”真
是左右逢源。
• 诡辩式悖论：
3、甲乙两人偷东西，人赃俱获。他们被分开审问，可能的惩罚如
下： 甲否认乙否认：甲、乙各一年监禁 甲否认乙承认：乙释放、甲五年监禁 甲承认乙否认：甲释放、乙五年监禁
• 生活中遇到的常见悖论问题 NO.3
3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点 以前，你将写一个‘不’字在卡片上。” 如果学者在卡片上写的是“是”字，那么他预言错了：“在下午3点 以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡 片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的 事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。
• NO.3
• 芝诺悖论 • 阿基里斯是古希腊神话里跑的最快的人,但如果他前面有一只乌龟(正 从A点向前爬),他永远也追不上这只乌龟.理由如下:他要追上乌龟必须 要经过乌龟出发的地方A,但当他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了 一段距离,到了B点,他要追上乌龟又必须经过B点,但当他追到B点的时 候,乌龟又爬到了C点......所以阿基里斯永远也追不上乌龟! • 二分法悖论