高三数学概率训练题(附答案)

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高三数学独立重复试验某事件发生的概率试题

高三数学独立重复试验某事件发生的概率试题1.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.【答案】（1）0.31 （2）3【解析】（1）至少3人需使用设备分为恰好有3人使用的设备和4个人使用设备.这两个是事件是互斥事件，首先利用独立事件的概率公式分别求出恰好有3人使用的设备和4个人使用设备的概率，最后相加即可.利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式计算出同一工作日4人需使用设备的概率.然后结合（1）的结论即可得出结论.试题解析：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.（1）D=A1·B·C+A2·B+A2··CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=.所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)= P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)= P(A1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=0.31.(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)= P(B)·P(C)·P(A2)=0.06；若k=4，则P(F)=0.06<0.1.所以k的最小值为3.【考点】1.独立事件的概率；2.互斥事件的概率.2.设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】∵E(X)＝n×＝2，∴n＝6.∴P(X＝2)＝24＝3.某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加。

高三数学试卷概率题答案

一、选择题（每题5分，共20分）1. 从0、1、2、3、4、5中随机抽取两个不同的数字，组成的两位数是偶数的概率是多少？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 1/4答案：B解析：组成两位数的情况有6×5=30种（第一位不能为0），其中偶数有（0，2）、（0，4）、（2，0）、（2，2）、（2，4）、（4，0）、（4，2）、（4，4）、（5，0）、（5，2）、（5，4）共11种。

所以概率为11/30，化简后得到1/3。

2. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个黄球。

随机取出一个球，取出红球的概率是多少？A. 1/2B. 1/3C. 1/5D. 2/5答案：B解析：袋子中共有5+3+2=10个球，取出红球的情况有5种。

所以概率为5/10，化简后得到1/2。

3. 一枚硬币连续抛掷3次，至少出现一次正面的概率是多少？A. 1/8B. 1/4C. 3/4D. 7/8答案：D解析：一枚硬币连续抛掷3次，每次都有两种情况：正面或反面。

所以总情况有2×2×2=8种。

其中只有一种情况是三次都是反面，即反面、反面、反面。

所以至少出现一次正面的情况有8-1=7种。

所以概率为7/8。

4. 一个班级有30名学生，其中有18名男生，12名女生。

随机抽取一名学生，这名学生是女生的概率是多少？A. 1/3B. 1/2C. 3/5D. 2/5答案：A解析：班级中共有30名学生，其中女生有12名。

所以随机抽取一名学生，这名学生是女生的概率为12/30，化简后得到1/3。

5. 一个装有5个白球和3个黑球的袋子，随机取出两个球，取出两个白球的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 1/3答案：A解析：取出两个白球的情况有5×4=20种（第一个球有5种选择，第二个球有4种选择，因为不能取到同一个球）。

总情况有8×7=56种（第一个球有8种选择，第二个球有7种选择）。

所以概率为20/56，化简后得到1/4。

高三概率训练(1-3)含答案

概率训练(一)基础巩固练一、选择题1．在下列六个事件中，随机事件的个数为()①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A．2 B．3 C．4 D．5[解析]①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．故选A．[答案] A2．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“出现两次正面”，事件N：“只出现一次反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是() A．①②④B．②④C．③④D．①②[解析]对于①，“出现两次正面”的对立事件应为“只出现一次反面”或“出现两次反面”，故①错误．对于②，对立事件必是互斥事件，故②正确．对于③，互斥事件不一定是对立事件，故③错误．对于④，事件A，B互为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故④正确．故选B．[答案] B3．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是() A．恰有2名男生与恰有4名男生B．至少有3名男生与全是男生C．至少有1名男生与全是女生D．至少有1名男生与至少有1名女生[解析]在所选的4名同学中，“恰有2名男生”的实质是选出“2名男生和2名女生”，它与“恰有4名男生”不可能同时发生．所以A选项是互斥事件，但不是对立事件；“至少有3名男生”包括“3名男生，1名女生”和“4名男生”两种结果，这与“全是男生”可同时发生．所以B选项不是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，这与“全是女生”不可能同时发生，且其中必有一个发生．所以C选项是互斥事件，且是对立事件；“至少有1名男生”包括“1名男生，3名女生”、“2名男生，2名女生”、“3名男生，1名女生”和“4名男生”四种结果，“至少有1名女生”包括“3名男生，1名女生”、“2名男生，2名女生”、“1名男生，3名女生”和“4名女生”四种结果，它们可能同时发生．所以D选项不是对立事件．故选C．[答案] C4．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡[解析]至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A．[答案] A5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5；43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是( )A ．16B ．13C ．12D ．23[解析] 根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为2266＝13，由频率估计概率得P ＝13.故选B ．[答案] B二、填空题6．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为__________．[解析] 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.[答案] 0.37．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．[解析] 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.[答案] 17358．一只不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．[解析]由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因而取得两个同色球的概率为P＝715＋115＝815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件．故至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝14 15.[答案]8151415三、解答题9．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．[解](1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54，0.52，0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.10．某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C ．求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解] (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)P (A ∪B )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.能力提升练11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件[解析] 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的V enn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D ．[答案] D12．(2019·湖北黄石联考)天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为( )A ．12，38B ．12，18C ．13，15D ．13，29[解析] 由题意可得，每天下雨的概率P (A )＝26＝13；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P (B )＝210＝15.故选C ．[答案] C13．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．[解析] 记“生产中出现甲级产品、乙级产品、丙级产品”分别为事件A ，B ，C ．又事件A ，B ，C 彼此互斥．由题意可得，P (B )＝0.03，P (C )＝0.01.故所求事件“抽得正品”即事件A ，其对立事件为B ∪C ．因为事件B ，C 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可得P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.03＋0.01＝0.04.所以所求事件的概率P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－0.04＝0.96.[答案] 0.9614．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解]记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N*，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.拓展延伸练15．若p：“事件A与事件B是对立事件”，q：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ．[答案] A16．(2019·河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为________．[解析] 白球没有减少的情况有：①抓出黑球，放入任意球，概率为58.②抓出白球放入白球，概率为38×511＝1588，所求事件概率为：58＋1588＝3544.[答案] 3544概率训练(二)基础巩固练一、选择题1．(2019·福建厦门月考)甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9(种)不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13.故选B ．[答案] B2．利用计算机在区间(0,4)内产生随机数a ，则不等式log 2(2a －1)<0成立的概率是( )A ．78B ．34C ．14D ．18[解析] 由log 2(2a －1)<0，可得0<2a －1<1，即12<a <1.由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P ＝1－124－0＝18，故选D ． [答案] D3．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为( )A ．π8B ．π4C ．12D ．14[解析]如图所示，以AB 为直径作圆，则圆在正方形ABCD 内的区域为半圆(阴影部分)，其面积S ＝12×π×12＝12π，且满足条件∠AMB >90°的点M 在半圆内，故满足∠AMB >90°的概率P ＝S S 四边形ABCD ＝12π22＝π8，故选A ．[答案] A4．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A ．12B ．13C ．23D ．56[解析] 设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为B ．则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.故选C ．[答案] C5．(2019·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A ．79B ．13C ．59D ．23[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2>0，即a 2>b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2>b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.故选D ．[答案] D二、填空题6．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．[解析] 所有没有重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10,12,20,30,32，共5个，所以所求概率为59.[答案] 597．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12，∴P ＝1－π12. [答案] 1－π128．某单位从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有一人被录用的概率是________．[解析] 从4名应聘者A ，B ，C ，D 中招聘2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种情况．而A 、B 2人中至少有1人被录用的情况有5种，所以A ，B 两人中至少有一人被录用的概率为56.[答案] 56三、解答题9．(2019·郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？[解] 用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C ．事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．10．(2019·陕西西安期末)为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取人，所得成绩如下：57,63,65,68,72,77,78,78,79,80,83,85,88,90,95.(1)作出抽取的人的测试成绩茎叶图，以频率为概率，估计所有志愿者中成绩不低于90分的人数；(2)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率．[解] (1)以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的人的测试成绩的茎叶图如图所示，由样本得成绩不低于90分的频率为215，故志愿者测试成绩不低于90分的人数约为215×1500＝200(人)．(2)设抽取的15人中，成绩不低于80分的志愿者为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中E ，F 的成绩不低于90分，则从成绩不低于80分的志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，D }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{A ，E ，F }，{B ，C ，D }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{B ，E ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，{C ，E ，F }，{D ，E ，F }，共20种．其中选取的3人恰有一人成绩不低于90分的不同取法有{A ，B ，E }，{A ，B ，F }，{A ，C ，E }，{A ，C ，F }，{A ，D ，E }，{A ，D ，F }，{B ，C ，E }，{B ，C ，F }，{B ，D ，E }，{B ，D ，F }，{C ，D ，E }，{C ，D ，F }，共12种．所以选取的人中恰有一人的成绩不低于90分的概率为1220＝35.能力提升练11．(2019·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A ．34B ．12C ．13D ．35[解析] 作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC 上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝l MmC 圆的周长＝12.故选B ． [答案] B12．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A ．14B ．38C ．12D ．58[解析] 直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b a >1，(a ，b )的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，总基本事件数有16个，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故概率为38.故选B ．[答案] B13．(2019·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是__________．[解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12. [答案] 1214．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解] (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，因试验发生包含的事件有：当a ＝1时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝2时，b ＝－1,1,2,3,4；当a ＝3时，b ＝－1,1,2,3,4，共15种．函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2b a ≤1，即2b ≤a ，若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1；故事件包含基本事件的个数是5个，故所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：⎩⎪⎨⎪⎧ (a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0构成所求事件的区域为三角形部分，由⎩⎨⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83， ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.拓展延伸练15．(2019·成都市高三二诊)两位同学约定下午5∶30～6∶00在图书馆见面，且他们在5∶30～6∶00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )A ．1136B ．14C ．12D ．34[解析]如图所示，以5∶30作为原点O ，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x ，y ，设事件A 表示两位同学能够见面，所构成的区域为A ＝{(x ，y )||x －y |≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P (A )＝30×30－2×12×15×1530×30＝34. [答案] D16．(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为__________．[解析] 根据题意，点(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点即圆心(2,0)到直线的距离小于或等于半径r ，可得|2a |a 2＋b2≤2，化简得a ≤b ，满足条件的(a ，b )情况如下： ①a ＝1时，b ＝1,2，…，6，共6种；②a ＝2时，b ＝2,3，…，6，共5种；③a ＝3时，b ＝3,4,5,6，共4种；④a ＝4时，b ＝4,5,6，共3种；⑤a ＝5时，b ＝5,6，共2种；⑥a ＝6时，b ＝6,1种．总共有：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，故所求概率P ＝2136＝712.[答案] 712概率训练(三)1．(2019·河南豫南九校联考)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份－2013.(1)已知y 并预测2018年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋D ．[解] (1)由题意得x ＝2.5，y ＝200，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14x i y i ＝2355，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x－2＝2355－4×2.5×20030－4×2.52＝71，所以a ^＝y －－b ^x －＝200－71×2.5＝22.5，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝71x ＋22.5.由于2018－2013＝5，所以当x ＝5时，y ^＝71×5＋22.5＝377.5，所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元．(2)由题可得2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝55×50×30×75≈6.109. 由于6.109>5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．2．(2018·合肥第二次质量检测)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．[解] (1)茎叶图如图，由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲组同学的成绩差异较大．(也可通过计算方差说明，s2甲＝101.6，s2乙＝37.4，s2甲>s2乙)(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3；乙组成绩在90分以上的三位同学为B1，B2，B3.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；(B1，B2)，(B1，B3)；(B2，B3)．其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，所以所求概率P＝915＝3 5.3．(2018·江西新余二模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．[解] (1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，∴x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5，∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.(ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．4．(2018·湖南五校联考)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y ∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y ^－b ^x ，参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，112＋132＋122＋82＝498 [解] (1)设“抽到相邻两个月的数据”为事件A ．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率为P (A )＝515＝13.(2)由数据得x ＝11，y ＝24，由公式得b ^＝187.则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2. 所以，该小组所得线性回归方程是理想的．。

概率与数理统计习题及详解答案

概率与统计题目精选及答案1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话；（2）拨号不超过3次而接通电话.解：设A 1={第i 次拨号接通电话}，i =1，2，3. （1）第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1+32121A A A A A +于是所求概率为 P （A 1+32121A A A A A +）=P(A 1)+P(21A A )+P(321A A A )=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+2. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=.27431)311)(311(=⨯--（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD3. （理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12所以，157)6(31038===C C P ξ 157)9(3101228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ……9分 E ξ=6×539151121579157=⨯+⨯+（元）答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元 ……………………12分 4. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ，则P （A ）=0.9 P （B ）=0.8，P （C ）=0.85 …………………………2分（Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅=[1－P （A ）]·[1－P （B ）]·[1－P （C ）] =（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分（Ⅱ）P （C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅） = P （)()()C B A p C B A P C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1－P （A ）]·P （B ）·P （C ）+P （A ）·[1－P （B ）]·P （C ）+P （A ）·P （B ）·[1－P （C ）]=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）=0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分5. 如图，A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当x ≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P Θ)6(431012034141)6()4(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421分分=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P ΘΘΘ（II ）)8(203)5(,5221311,101)4(,4211分===++=++===++x P x P ΘΘ ∴线路通过信息量的数学期望 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （11分）答：（I ）线路信息畅通的概率是43. （II ）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）6. 三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.解：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分）∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴图2不发生故障事件为（A 1+A 3）·A 2，同理不发生故障概率为P 3=P 2>P 1（12分）说明：漏掉图1或图2中之一扣1分7. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P （A ）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率)7(145.090.095.01)()(1)2)((1)(分分=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率)12(995.09.095.01.095.09.005.0)(分=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P8. （理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2.（2分）则P （A ）=P 1=0.6,P(B)=P 2:48.08.06.0)()()2(44.08.04.02.06.0)()()()()1(08.02.04.0)()()0()2()7(8.032.04.092.06.06.092.0)1)(1(1)(1)(2222212121的概率分布为分即则ξξξξ=⨯=⋅===⨯+⨯=+===⨯=⋅=====-+∴=-+=---=⋅-=+B P A P P B P A P B P A P P B P A P P P P P P P P P P P P B A P B A P)12(4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222分或利用=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξE E D D E9. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ 表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：6分因此，公司每年收益的期望值为E ξ ＝x (1－p )＋(x －a )·p ＝x －ap ．8分为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E ξ ＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ，故可得x ＝(0.1＋p )a ．10分即顾客交的保险金为 (0.1＋p )a 时，可使公司期望获益10%a ．12分10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2．（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P ＝1－0.85－15C ×0.84×0.2≈0.263． 4分(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P 1＝14C ×0.2×0.83×0.88分五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P 2＝14C ×0.2×0.83×0.210分由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P ＝P 1＋P 2＝14C ×0.2×0.83＝0.4096．12分11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛.比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.21（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？解：（I ）参加单打的队员有23A 种方法.参加双打的队员有12C 种方法.……………………………………………………2分所以，高三（1）班出场阵容共有121223=⋅C A （种）………………………5分（II ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，………………………………………………………………………7分所以，连胜两盘的概率为.832121212121=⨯⨯+⨯………………………………10分 12. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.解：（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，则73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则P （C ）=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件其概率为14131411=-………………12分 13. 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是31.（I ）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；（II ）求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.解：（I ）27431)311)(311(=--=P …………………………………………4分（II ）依题意ξ~),31,6(B ……………………………………………………7分2316=⋅=∴ξE ……………………………………………………………9分34)311(316=-⋅⋅=ξD ……………………………………………………12分14. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=.27431)311)(311(=⨯--（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD1、写出下列随机试验的样本空间。

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【经典例题】【例 1】（ 2012 湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21 121 A ．1- πB ． 2 - πC ． πD ． π【答案】 A【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA2 π 1 2 111 π -2 S2(2)-2×2×2=1为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， S =8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角S 2 S 1 1 21 S 2π -2 π -2π形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．【例 2】（ 2013 湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )1266 1687 A. 125B. 5C.125D. 5【答案】 B27 54 36 8 27【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125＋1× 54 36 8 6＋2× ＋3× ＝，选B.125 125 125 5【例 3】（ 2012 四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ()1 1 3 7 A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】 C【解析】设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，满足条件的关系式0≤y ≤4，根据几何概型可知，事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，123故概率为 16＝ 4.【例 4】（ 2009 江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】 0.2 【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2【例 5】（ 2013 江苏）现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________．20【答案】【解析】基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（ 2013 山东）在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．【答案】13【解析】当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .3－（－ 3）＝3【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染．某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天．（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（ 2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明 )【答案】 132； 1213； 3 月 5 日【解析】设 Ai 表示事件“此人于3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2，， 13) ．1(i ≠j) ．根据题意， P(Ai) ＝，且 Ai ∩Aj ＝13（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.2所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .13（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且P(X＝ 1) ＝P(A3∪A6∪A7 ∪A11)4＝P(A3) ＋ P(A6) ＋ P(A7) ＋ P(A11) ＝13，P(X＝ 2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13)4＝P(A1) ＋ P(A2) ＋ P(A12) ＋ P(A13) ＝13，5P(X＝ 0) ＝ 1－ P(X＝ 1) － P(X＝ 2) ＝13.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 5 4 4 13 13 135 4 4 12故 X 的期望 E(X) ＝0×＋1×＋2×＝ .13 13 13 13（ 3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例 8】（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以3 获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（ 1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．2 2【解析】方法一：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响．记“这2 人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件 A 的对立事件为“ X＝5”，2 2 411因为 P(X＝5) ＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，3 5 151511即这两人的累计得分X≤3的概率为15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2) ．2 2由已知可得，X1～ B 2，3， X2～ B 2，5，2 42 4所以 E(X1) ＝2×3＝3， E(X2) ＝2×5＝5，812从而 E(2X1) ＝ 2E(X1) ＝， E(3X2) ＝ 3E(X2) ＝.3 5因为 E(2X1)>E(3X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分 X ≤3”的事件为 A ，则事件 A 包含有“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，2 2 1 2 2 22 22，因为 P(X ＝ 0) ＝ 1－× 1－＝，P(X ＝ 2) ＝ × 1－＝，P(X ＝3) ＝ 1－ × ＝ 15 355355 3 511所以 P(A) ＝ P(X ＝ 0) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝15，11即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1， X2 的分布列如下：X1 0 2 4 X2 0 3 6 P14 4 P912 4 9 9 9 2525251448所以 E(X1) ＝0× 9＋2× 9＋4× 9＝ 3，E(X2) ＝0× 9 ＋3× 12＋6× 4 ＝ 12.25 25 25 5因为 E(X1)>E(X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例 9】（ 2013 浙江）设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得2 分，取出一个蓝球得3 分．（ 1）当 a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ为取出此 2球所得分数之和，求 ξ的分布列；（ 2）从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 η为取出此球所得分数．若 E η＝ 5，D η＝5，求 a ∶ b ∶ c.3 9【答案】 3∶ 2∶ 1【解析】（ 1）由题意得，ξ＝ 2， 3， 4， 5， 6.P(ξ＝ 2) ＝ 3×3 1＝，6×6 4 P(ξ＝ 3) ＝2×3×2＝ 1，6×6 32×3×1＋2×2 5 P(ξ＝ 4) ＝ 6×6 ＝ 18. P(ξ＝ 5) ＝ 2×2×1 16×6＝ 9，P(ξ＝ 6) ＝ 1×1 1，＝ 366×6 所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P1 1 5 1 1 4318936（ 2）由题意知 η 的分布列为η 1 2 3Pa b ca ＋b ＋c a ＋ b ＋ ca ＋b ＋ca 2b3c5所以 E η＝ a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＝ 3，5 a 5 b 5c5D η＝ 1－ 32· a ＋ b ＋ c ＋2－ 32· a ＋ b ＋ c ＋3－ 32· a ＋ b ＋ c ＝ 9， 2a － b － 4c ＝ 0，解得 a ＝ 3c ， b ＝ 2c ，化简得a ＋ 4b －11c ＝ 0，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例 10】（ 2009 北京理）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是2min.3（ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 .【答案】4；327 8【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为PA11111 4 .333 27（ 2）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6，8（单位： min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（ k 0， 1， 2，3， 4），k 4 k∴ P2kC k412k 0,1,2,3,4，33∴即的分布列是0 246 8P16 32 8818181278181∴ 的期望是 E16 32 88 1 82468.818127 81813【课堂练习】1.（ 2013 广东）已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P3 3 151010则 X 的数学期望 E(X) ＝ () 35A. 2B ． 2 C. 2 D ． 32.（ 2013 陕西）如图，在矩形区域 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 )．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ( )．A ．1－ π π π D ． π4 B ．－1 B ．2－ 42 23．在棱长分别为 1， 2， 3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于 3的概率为 ()4 3 2 3A ．7B ． 7C ． 7D ． 144．（ 2009 安徽理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于12 34?BA ．B ．C ．D ．75757575?F?C?D? E? A5.（ 2009 江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5 袋，能获奖的概率为（）3133 C ．4850A ．B ．81D ．.8181816.（ 2009 辽宁文） ABCD 为长方形， AB ＝ 2， BC ＝1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为A ．B ． 1C ．8D ． 18447.（ 2009 上海理）若事件 E 与 F 相互独立，且 P EP F1 的值等于，则P EI F4A ． 01 C ．11B ．4D ．1628．（ 2013 广州）在区间 [1，5] 和[2， 4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程 x 2 y 22＋b 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小a于 3的椭圆的概率为 ()2C ．1711531A ．2B ． 3232D ． 321， 2，3，9．已知数列 {a } 满足 a ＝ a＋ n － 1(n ≥2，n ∈ N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为nnn －14， 5， 6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a ， b ， c ，则满足集合 {a ，b ， c} ＝ {a 1， a 2， a 3}(1 ≤a i ≤6，i ＝ 1， 2， 3)的概率是 ()1B ． 1C ． 1D ． 1A ．72 36 24 1210.（ 2009 湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、 0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。

高三数学条件概率试题答案及解析

高三数学条件概率试题答案及解析1.一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．【答案】【解析】记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝＝＝，即事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是．2.先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m，n，则mn是奇数的概率是()A．B．C．D．【答案】C【解析】先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn是奇数，则m，n都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P ＝＝．3.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________．【答案】【解析】本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为(0.6)2·(1－0.6)＝.4.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.【答案】【解析】P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.5.将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由题意得事件的个数为，事件的个数为，在发生的条件下发生的个数为，在发生的条件下发生的个数为，所以，.故正确答案为A.【考点】1.计数原理；2.条件概率.6.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，则.【考点】条件概率7.已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球 (有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】由题意，则.【考点】条件概率.8.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，.（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）利用性质“奇函数+奇函数=奇函数”这一性质得到所抽取的两个函数都是奇函数，然后再用排列组合结合古典概型的概率公式计算相应事件的概率；（2）先列举出随机变量的全部可能取值，利用条件概率的计算公式计算随机变量子在相应的取值下对应的概率，从而列举出随机变量的分布列，最终计算出随机变量的数学期望.试题解析：（1）六个函数中是奇函数的有，，，由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知；（2）可取1,2,3,4 ，,, ，故的分布列为答：的数学期望为.【考点】1.排列组合；2.条件概率；3.随机变量的概率分布列与数学期望9.投掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P（A|B）=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】A、B相互独立，P(AB)=P(A)P(B).P(A|B)===P(A)=【考点】条件概率与独立事件．10.把一枚硬币任意抛掷三次，事件“至少一次出现反面”，事件“恰有一次出现正面”求.【答案】【解析】由题意，，，所以，故答案为.【考点】条件概率.11.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；（2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率【答案】（1）．（2）．【解析】古典概型概率的计算问题，需要计算基本事件空间总数及事件发生所包含的基本事件数，常用方法有“树图法”、“坐标法”，本题可以利用两种方法予以解答.试题解析：解法一：利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：可以看出，试验的所有可能结果数为16种． 4分（1）所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2，2－1，2－3，3－2，3－4，4－3，共6种． 6分故所求概率．答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为． 8分（2）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2，2－1，2－4，3－3，4－2，共5种． 10分故所求概率为．答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为． 12分解法二：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为，用表示抽取结果，则所有可能有，，，，，，，，，，，，，，，，共16种． 4分（1）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有，，，，，，共6种． 6分故所求概率．答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为． 8分（2）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有，，，，，共5种． 10分故所求概率为．答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为． 12分【考点】古典概型概率的计算12.盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】记其中一个为红色球为事件A，另一个为黄色球为事件B，则所求概率为【考点】条件概率点评：在条件A发生的前提下事件B发生的概率13.如图，用三类不同的元件连接成一个系统，正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为、、，则系统正常工作的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】14.在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为【答案】【解析】点到点的距离等于1的轨迹是球，所以正方体内除球以外的体积就是事件发生的区域，试验发生的区域为正方体.所以概率为15.某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间有关，每台这种家用电器若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元，若无故障使用时间超过一年不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元。

高三数学概率练习题

高三数学概率练习题
1. 某次数学考试中，共有100道选择题，每题有四个选项，只有一个正确答案。

若某学生随机猜测答案，求该学生至少答对60题的概率。

2. 一袋中有10个红球和20个蓝球，随机抽取5个球，求抽到至少3个红球的概率。

3. 甲、乙、丙三人独立射击同一个目标，甲击中目标的概率为0.5，乙击中目标的概率为0.6，丙击中目标的概率为0.7。

求至少有两人击中目标的概率。

4. 一个工厂生产的零件，合格率为95%。

现从这批零件中随机抽取100个，求其中至少有90个合格的概率。

5. 一个班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生。

随机抽取5名学生，求抽到至少2名女生的概率。

6. 一个骰子连续投掷两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

7. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球和2个绿球，随机抽取3个球，求抽到至少1个蓝球和1个绿球的概率。

8. 某城市的公交车每10分钟发车一次，乘客到达车站的时间是随机的。

求乘客到达车站后，等待时间不超过5分钟的概率。

9. 一个信号灯有红、黄、绿三种颜色，红灯亮的概率为0.5，黄灯亮的概率为0.3，绿灯亮的概率为0.2。

求连续两次信号灯亮起都是红灯的概率。

10. 一个班级有40名学生，其中15名擅长数学，10名擅长物理，5名既擅长数学又擅长物理。

随机抽取一名学生，求该学生擅长数学或物理的概率。

《概率》数学测试题及答案

《概率》数学测试题及答案《概率》数学测试题及答案1．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个大事是（）A．至少有一个白球和全是白球B．至少有一个白球和至少有一个红球C．恰有一个白球和恰有2个白球D．至少有一个白球和全是红球2．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的的概率是（）A．B．C．D．13．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（）A．B．C．D．4．在两个袋内，分别写着装有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．5．袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球，抽到的不是白球的概率为（）A．B．C．D．非以上答案6．以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（）A．B．C．D．7．甲、乙两人进行围棋竞赛，竞赛实行五局三胜制，无论哪一方先胜三局则竞赛结束，假定甲每局竞赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．8．袋中有5个球，3个新球，2个旧球，每次取一个，无放回抽取2次，则第2次抽到新球的概率是（）A．B．C．D．9．某校高三年级进行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采纳抽签的方式确定他们的演讲挨次，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）A．B．C．D．10．袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只.现从中随机地取出两只手套，假如两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜. 试问：甲、乙获胜的机会是（）A．一样多B．甲多C．乙多D．不确定的11．在5件不同的产品中有2件不合格的产品，现再另外取n件不同的合格品，并在这n＋5件产品中随机地抽取4件，要求2件不合格产品都不被抽到的概率大于0.6，则n的最小值是．12．甲用一枚硬币掷2次，登记国徽面（记为正面）朝上的次数为n. ，请填写下表：正面对上次数n21概率P（n）13．在集合内任取1个元素，能使代数式的概率是．14．20名运动员中有两名种子选手，现将运动员平均分为两组，种子选手分在同一组的概率是．15．在大小相同的6个球中，4个红球，若从中任意选取2个，则所选的2个球至少有一个红球的概率是．16．从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字：（1）2个数字都是奇数的概率为；（2）2个数字之和为偶数的概率为．17．有红，黄，白三种颜色，并各标有字母A，B，C，D，E的卡片15张，今随机一次取出4张，求4张卡片标号不同，颜色齐全的概率．18．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列大事的概率：（1）所取的`4只鞋中恰好有2只是成双的；（2）所取的4只鞋中至少有2只是成双的．19．在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中不放回地任取2枝，至少取到1枝次品的概率是多少？20．10根签中有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，求下列大事的概率：（1）甲中彩；（2）甲、乙都中彩；（3）乙中彩21．设一元二次方程,依据下列条件分别求解(1)若A=1,B,C是一枚骰子先后掷两次消失的点数,求方程有实数根的概率;(2)若B=-A,C=A-3,且方程有实数根,求方程至少有一个非负实数根的概率.参考答案：1.A;2.C;3.A;4.B;5.C;6.D;7.A;8.D;9.B; 10.A; 11. 14; 12. ;13. ; 14. ; 15. ; 16. ；;17. 解：基本领件总数为，而符合题意的取法数，;18. 解：基本领件总数是=210（1）恰有两只成双的取法是=120∶所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为(2)大事“4只鞋中至少有2只是成双”包含的大事是“恰有2只成双”和“4只恰成两双”，恰有两只成双的取法是=120，四只恰成两双的取法是=10∶所取的4只鞋中至少有2只是成双的概率为19. (直接法):至少取到1枝次品包括:A=“第一次取到次品，其次次取到正品”；B=“第一次取到正品，其次次取到次品”；C=“第一、二次均取到次品”三种互斥大事，所以所求大事的概率为P(A)+P(B)+P(C)==.20. 解：设A={甲中彩} B={乙中彩} C={甲、乙都中彩} 则C=AB（1）P（A）=；（2）P（C）=P（AB）=（2）21. 解.(1)当A=1时变为方程有实数解得明显若时; 1种若时; 2种若时; 4种若时; 6种若时; 6种故有19种,方程有实数根的概率是.B=-A,C=A-3,且方程有实数根,得,得而方程有两个正数根的条件是:即,故方程有两个正数根的概率是而方程至少有一个非负实数根的对立大事是方程有两个正数根故所求的概率为.。

高三数学概率综合试题

高三数学概率综合试题1.随机变量η的分布列如下:x=;P(η>3)=;③P(1<η≤4)=.【答案】①0②0.45③0.45【解析】由概率分布的性质可得:0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=1,解得:x=0.显然P(η>3)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.P(1<η≤4)=P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)=0+0.35+0.1=0.45.2.某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．(1)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一个及格的概率；(2)从甲班10人中取两人，乙班10人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）【解析】(1)由茎叶图可知甲班有4人及格，乙班5人及格．事件“从两班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”记作A，则P(A)＝1－＝1－＝.(2)X取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＋＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X0123因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3.一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为，设，则.【答案】【解析】，连续取3次球，它的取法共有，，其中有３种，有１２种，有１２种，因此它们的概率分别为，故．【考点】概率与统计．4.袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】不妨设甲取2号球．若乙取1号，则丙4丁3；若乙3，则丙4丁1；若乙4，则丙丁3．共3种情况．类似的，甲取3或4号球，各有3种情况，故共9种，而基本事件的总数为，故所求的概率为故选B．本题是一个错位排列模型．【考点】求错位排列的概率．5.（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【答案】（Ⅰ）输出y 的值为1的概率为；输出y 的值为2的概率为；输出y 的值为3的概率为（II ）乙同学所编程序符合算法要求的可能性大【解析】（I ）当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1=；当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2=；当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3=；∴输出y 的值为1的概率为；输出y 的值为2的概率为；输出y 的值为3的概率为；（II ）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i （i=1，2，3）的频率如下：6. 袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （I ）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II ）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列及数学期望E . 【答案】（1）（2）随机变量的分布列为：【解析】解: （Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为 2分从8个球中摸出2个小球的种数为 4分故所求概率为 5 分（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种 6分一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有种， 7分一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种. 9分由题意知，随机变量的取值为1，2，3.其分布列为：13分【考点】排列组合与分布列点评：主要是考查了分布列和排列组合的运用，属于基础题。

高三数学冲刺专题练习—排列组合概率(含答案详解) (2)

高三数学冲刺专题练习——排列组合概率1. 概率1．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则该队员每次罚球的命中率p 为 .【分析】根据题意，分析可得两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=，由相互独立事件的概率公式可得关于p 的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，该队员在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=，则有2425p =，解可得25P =．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，注意分析事件之间的关系，属于基础题．2．某市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为 . 【分析】根据古典概率模型的概率公式即可求解．【解答】解：4袋不同垃圾投4个不同的垃圾桶有4424A =种不同投法，而恰好有两袋垃圾投对的投法数为246C =， ∴恰好有两袋垃圾投对的概率61244P ==．【点评】本题考查古典概率模型的概率公式，属基础题．3．某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为 .【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为44个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为23A ，然后进行计算即可．【解答】解：每人只能等可能的选择参加其中一项活动，且可以参加相同的项目，∴四名同学总共的选择为44个选择，恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，剩下两名同学的选择有23A 种，∴恰有两人参加同一项活动的概率为21244349416C C A ⋅⋅=．【点评】本题考查了古典概型及其概率的计算公式，解题的关键是能用排列组合的知识将满足条件的选择方案数计算出来．4．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，则甲、乙分在同一组的概率是 . 【分析】本题是一道平均分组问题，将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，有两个组都是两个人，而这两个组又没有区别，所以分组数容易重复，甲、乙分到同一组的概率要分类计算【解答】解：不同的分组数为3227421052!C C C a ==甲、乙分在同一组的方法种数有（1）若甲、乙分在3人组，有122542152!C C C =种（2）若甲、乙分在2人组，有3510C =种，故共有25种，所以25510521P ==．【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的5．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是 .【分析】所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法用力矩发求得共计20种，由此求得一个数是另两个数之和的概率．【解答】解：所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法有(1，2，3)、(1，3，4)、(1，4，5)、(1，5，6)、(1，6，7)、(1，7，8)、(1，9，10)、(2，3，5)、(2，4，6)、(2，5，7)、(2，6，8)、(2，7，9)、(2，8，10)、(3，4，7)、(3，5，8)、(3，6，9)、(3，7，10)、(4，5，9)、(4，6，10)，共计20种，故其中一个数是另两个数之和的概率是2011206=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．6．把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为.【分析】利用插空法和古典概型可解决此题．【解答】解：根据插空法得把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚的情况共2 1155C=种，其中甲、乙、丙三位同学拿到硬币有相同情况有(1，1，10)，(1，10，1)，(10，1，1)，(2，2，8)，(2，8，2)，(8，2，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(4，4，4)，(5，5，2)，(5，2，5)，(2，5，5)共计13种，故他们拿到的硬币数量互不相同的情况共有551342-=（种)，甲同学恰好拿到两枚硬币的情况共有1936C-=（种)，∴甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为61 427=．【点评】本题考查插空法和古典概型，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．7．2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为.【分析】分郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，四类分别求出每地至少安排一名专家和甲，乙被安排在不同地点工作的排法种数，从而得出答案．【解答】解：当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有155C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有2510C=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有3510C=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有455C=种排法；所以每地至少安排一名专家共有51010530+++=种不同的排法，若甲，乙被安排在不同地点工作，当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有122C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有11236C C⋅=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有12236C C⋅=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有13232C C ⋅=种排法；所以甲，乙被安排在不同地点工作，共有266216+++=种不同的排法，所以甲，乙被安排在不同地点工作的概率为1683015=．【点评】本题考查古典概型及其计算公式，考查学生的分析解决问题的能力，属于中档题．8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶．经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择A ，B ，C 三个项目的意向如表：扶贫项目 ABC选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为 .【分析】由题意可知，甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．【解答】解：由题意：甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选A ，则丁只能选C ，丙则可以选B ，C 任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选B ，则丁可以选A 或C ，丙也可选A 或C ，故共有11224C C =种方法．（3）甲乙分别选AB 之一，然后丁选A 时，丙只能选B 或C ；丁选C 时，丙则A ，B ，C 都可以选．故有211223()10A C C +=种方法．故基本事件共有241016++=种．甲乙选同一种项目的共有246+=种．故甲乙选同一项目的概率63168P ==．【点评】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题， 9．在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为 .【分析】分类计算游客甲去梵净山包含的基本事件的个数，代入古典概型的概率计算公式即可．【解答】解：设{A=游客甲去梵净山}，则基本事件的总数为112321431236C CC AA⨯=个．事件A发生时①若甲单独去梵净山，有22326C A⨯个基本事件，②去梵净山的游客除甲外还有1人，则有12326C A⨯=个基本事件．P∴（A）661363+==．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，在求事件A包含的基本事件个数时，牵扯到了平均分组问题，容易出错，本题为中档题．10．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数2101-60岁至79岁的人数120133341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，1-代表“生活不能自理”．按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是35（用分数作答）．【分析】由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．列举出从这五人中抽取3人的选法，列举出恰有1位老龄人的健康指数不大于0的选法，代入古典概型概率公式求出．【解答】解；该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，)B，(1，3，4)，(1，3，)B，(1，4，)B，(2，3，4)，(2，3，)B，(2，4，)B，(3，4，B，)，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：(1，2，)B ，(1，3，)B ，(1，4，)B ，(2，3，)B ，(2，4，)B ，(3，4，B ，)，∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为63105= 故答案为：35【点评】本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是 .【分析】根据等差数列前n 项和公式得出首项与公差m 的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论．【解答】解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m 的等差数列，设“男”分的橘子个数为1a ，其前n 项和为n S ，则51545802S a m ⨯=+⨯=，即1216a m +=，且1a ，m 均为正整数，若12a =，则7m =，此时530a =，若14a =，6m =，此时528a =，若16a =，5m =，此时526a =，若18a =，4m =，此时524a =，若110a =，3m =，此时522a =，若112a =，2m =，此时520a =，若114a =，1m =，此时518a =， ∴ “公”恰好分得30个橘子的概率为17．【点评】本题考查了等差数列的性质，古典概型的概率计算，属于中档题．12．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为 .【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有42214-=种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有224⨯=种，42147P ∴==．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，是基础题．13．2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为 . 【分析】利用古典概型、排列组合直接求解．【解答】解：冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，基本事件总数2721n C ==，买到隐藏款包含的基本事件个数11166m C C ==， ∴买到隐藏款的概率62217m P n ===．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．抛挪一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，则恰好得到10分的概率是 6831024．【分析】分类讨论，依据独立重复试验公式即可求得恰好得10分的概率．【解答】解：抛掷一枚硬币，得1分的概率为12，得2分的概率为12，恰好得到10分可分为6种情况：5个2分，共抛掷5次，概率为55511()232C ⨯=； 4个2分，2个1分，共抛掷6次，概率为466115()264C ⨯=； 3个2分，4个1分，共抛掷7次，概率为377135()2128C ⨯=； 2个2分，6个1分，共抛掷8次，概率为28817()264C ⨯=；1个2分，8个1分，共抛掷9次，概率为19919()2512C ⨯=； 10个1分，共抛掷10次，概率为1011()21024=；故恰好得到10分的概率是1153579168332641286451210241024+++++=，故答案为：6831024．【点评】本题考查了独立重复试验的应用及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．15．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是120．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66A 种结果，满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66720A =种结果，满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有3333A A 种结果， ∴后排每人均比前排同学高的概率是36172020=，故答案为：120【点评】本题考查等可能事件的概率，站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素．2. 排列组合1．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成 32 种不同的音序．【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若角排在一或五，有12A 种方法，再排商、徵，有22A 种方法，排宫、羽用插空法，有23A 种方法，利用乘法原理可得：12222324A A A =种，若角排在二或四，同理可得：有222228A A =，根据分类计数原理可得，共有24832+=种，故答案为：32．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势．2．从0，1，2，3，4，5中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5224，则这样的四位数共有600个．【分析】根据题意，分当0被选用，且用两次；当0被选用，但用一次；当0没被选用三种情况讨论求解即可．【解答】解：当0被选用，且用两次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选2个位置放0，再从剩下的5个数中选2个数字排在其他两个位置上，故有223560C A=个；当0被选用，但用一次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选1个位置放0，再从剩下的5个数字中选2个数字，进而从选出的两个数字中选一个为出现两次的数字，最后在剩下的三个位置上选一个位置放置选出的2个数字中出现1次的数字，进而完成任务，故有12113523180C C C C=个；当0没被选用，则从1，2，3，4，5选3个数字，再从中选一个出现两次的数字，最后将其他两个数字选2个位置排序，故有312534360C C A=个所以，一共有60180360600++=个．故答案为：600．【点评】本题考查排列组合，考查学生推理能力，属于中档题．3．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分3步进行分析：①，先在4个社团中任选2个，有学生报名，②、将3名学生分为2组，③，进而将2组全排列，对应2个社团，分别求出每一步的情况数列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，根据题意，4个社团中恰有2个社团，即只有2个社团有人报名，则先在4个社团中任选2个，有学生报名，有246C=种选法，②、将3名学生分为2组，有233C=种分法，③，进而将2组全排列，对应2个社团，有222A=种情况，则恰有2个社团没有同学选报的报法数有63236⨯⨯=种；故恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种；故答案为：36【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，关键是正确进行分步分析．4．设集合1{(A x =，2x ，3x ，4x ，5)|{1i x x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，则集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”元素个数为 130 ．【分析】从条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”入手，讨论i x 所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由{1i x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”，由于||i x 只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况： ①i x 中有2个取值为0，另外3个从1-，1中取，共有方法数：2352⨯； ②i x 中有3个取值为0，另外2个从1-，1中取，共有方法数：3252⨯； ③i x 中有4个取值为0，另外1个从1-，1中取，共有方法数：452⨯．∴总共方法数是：23324555222130⨯+⨯+⨯=．故答案为：130．【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5．从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +为奇数的不同排列方法有 180 种．【分析】按照分类讨论，先选后排的步骤，求出结果．【解答】解：（分类讨论：先选后排）若a b c 为奇数，d e 为偶数时，有323336A A ⨯= 种；若a b c 为偶数，d e 为奇数时，有2334144A A ⨯= 种；故a b c d e +为奇数的不同排列方法有共36144180+=种，故答案为：180．【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题．6．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 40 种．【分析】根据题意，先排好7个空车位，注意空车位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3车插入6个空位中，注意甲必须在乙、丙两车之间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空车位，由于空车位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三车的顺序，将3辆车插入6个空位中，则共有361120A ⨯=种情况，由于甲车在乙、丙两车之间，则有符合要求的坐法有1120403⨯=种；故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．7．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有 29 种不同选取方法【分析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案．【解答】解：根据题意，分5种情况讨论： ①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C =种， ②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C ⨯⨯=种， ③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种．故答案为：29．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．8．有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是34．（用数字作答）【分析】根据题意，按取出3张的卡片中写有1的卡片的张数分4种情况讨论，求出每种情况下排出不同的三位数的个数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①、取出3张的卡片全部是写有数字1的，有1种情况，②，取出3张的卡片有2张写有数字1的，有11339C C=种情况，③，取出3张的卡片有1张写有数字1的，有223318C A=种情况，④，取出3张的卡片没有写有数字1的，有336A=种情况，则一共有1918634+++=种情况，即可以排出34个不同的三位数；故答案为：34．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意6张卡片中相同的情况．9．分配4名水暖工去3个不同的民居家里检查暖气管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，有246C=种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有336A=种分配方法，则有6636⨯=种不同的分配方案；故答案为：36．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．10．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有40种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，六名学生按男女男女男女排列，②，六名学生按女男女男女男排列，分析每种情况的安排方法数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3名男生和3名女站成一排，男生、女生各不相邻，则有2种情况；①，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有1224⨯⨯=种安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有222216⨯⨯⨯=种安排方法；则此时有41620+=种安排方法；②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，则符合条件的安排方法有202040+=种；故答案为：40【点评】本题考查排列组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为.【分析】不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法，故所求的取法共有332116441245601672472C C C C --=--= 故选：C ．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有 .种【分析】依题意，重点要先排好3号位和6号位，余下的分类讨论分析即可．【解答】解：上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比12456要高，1，6两处是排列里最低的，3，8两处是最高点，设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，则 3号位最少是6，最大是8，下面分类讨论：①第3个位置选6号：先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，余下的3个号中放入4，5，6号顺序是确定的只有一种情况，然后7，8号放入最后两个位置也是确定的，此时共2510C =种情况；②第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，余下的号和8号放入最后两个位置，此时共226345C C =种情况；。

(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数；（2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）；（3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-．故选：C ．【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率．【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率．【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==．故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯，等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-，所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率．【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为23，则有2263m =，解得2m =，故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==，故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论；（2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】（1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率．【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程组得4m =，8n =，故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。

高中数学-概率专题强化训练(解析版)

高中数学-概率专题强化训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（） A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.82．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（） A ．A BB ．A BC ．A B ⊆D ．A B =3．2020年起，山东省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科日，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为（） A ．相互独立事件 B ．对立事件C ．不是互斥事件D ．互斥事件但不是对立事件4．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的样本点个数是（） A ．3 B ．4 C ．5D ．65．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，不用现金支付的概率为0.45，则既用现金支付也用非现金支付的概率为（） A ．0.35B ．0.65C ．0.25D ．06．下列说法正确的是（）A ．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D ．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是57．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p ，使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数，这两个素数组成孪生素数对的概率为（） A ．115B ．215 C ．15D ．4158．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率为710的事件是（） A ．恰有一个红球 B ．两个小球都是白球 C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球9．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（） A ．0.25B ．0.2C ．0.35D ．0.410．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F =“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，①F AB =，①F A B =+，①G A B =+，①G AB AB =+，①()()1P F P E =-，①()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题11．某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为1p ，2p ，则下列判断不正确的是（） A ．1212p p == B ．1213p p ==C ．112p =，213p =D ．113p =，212p =12．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为p 和q ，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（） A ．目标未被命中的概率为1pq -B ．目标恰好被命中一次的概率为p q +C ．目标恰好被命中两次的概率为pqD ．目标被命中的概率为1(1)(1)p q ---13．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（） A ．3件都是正品 B ．至少有1件次品 C ．3件都是次品D ．至少有1件正品14．下列说法错误的有（）A ．随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B ．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生C ．任意事件A 发生的概率()P A 满足()01P A <<D ．若事件A 发生的概率趋近于0，则事件A 是不可能事件15．（多选）某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（） A ．两件都是次品的概率为0.28 B ．至多有一件正品的概率为0.72 C ．恰有一件正品的概率为0.26 D ．至少有一件正品的概率为0.98 三、填空题16．2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.17．若分别以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标，则点M 落在圆229x y +=内的概率为______________.18．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为____.19．在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为25，那么此袋中原有绿球________个.20．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．21．从3名男生和2名女生中随机选出2名志愿者，其中至少有1名男生的概率为______.22．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位，且每个岗位至少1人，则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________.23．某班学生考试成绩统计如下：数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是_______．24．2021年7月9日，第18届中国（长春）国际汽车博览会正式启幕，某汽车企业以“与进取者同享”为主题，携旗下21款重磅车型震撼亮相，展示出该汽车企业的实力和对未来移动出行时代的前瞻性思考.某模特公司从甲､乙､丙､丁､戊5人中随机抽取3人作为该汽车企业A型车的车模，则甲､乙同时被抽到的概率为___________.25．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；①基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为na mbm n；①如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交．其中真命题的序号是__________．四、解答题26．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：（1）A=“第一次摸到红球”；（2）B=“第二次摸到红球”；（3）AB=“两次都摸到红球”.27．下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）求此人停留期间空气重度污染恰有1天的概率.28．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类.为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张.每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中.规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分.从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：[]0,20，(]20,40，(]40,60，(]60,80，(]80,100，绘成如下频率分布直方图：(1)求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；(2)学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”.为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A ，B 两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A ，B 两人至少1人被选中的概率.29．某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲､乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图.（1）写出所有选购方案；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)30．某数学兴趣小组有男生3名，记为1a ，2a ，3a ；有女生2名，记为1b ，2b ．现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛． (1)写出样本空间所包含的样本点； (2)求参赛学生中恰好有1名男生的概率； (3)求参赛学生中至少有1名男生的概率．31．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件A 为“任选一灯谜，甲猜对”，事件B 为“任选一灯谜，乙猜对”．（1）任选一道灯谜，记事件C 为“恰有一个人猜对”，求事件C 发生的概率；（2）任选一道灯谜，记事件D 为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件D 发生的概率． 32．抛掷两颗骰子，求：（1）向上点数之和是4的倍数的概率；（2）向上点数之和大于5小于10的概率.33．为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级．(2)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．34．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.35．某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.参考答案：1．B 【解析】【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可. 【详解】甲不输棋的设为事件A ，甲胜乙设为事件B ，甲乙下成平局设为事件C ，则事件A 是事件B 与事件C 的和，显然B 、C 互斥，所以()()()P A P B P C =+，而()0.8P A =，()0.5P C =，所以()()()0.3P B P A P C =-=，所以甲胜的概率是0.3故选:B 2．B 【解析】根据事件A 和事件B ，计算A B ，A B ，根据结果即可得到符合要求的答案. 【详解】由题意可得：{}1,2A =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B ∴=，{}2A B ⋂=.故选B. 【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题. 3．D 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出考生选择的两个考试科目的所有可能情况，然后令这些选择构成的集合为Q ，A =“思想政治、化学”，B =“地理、生物”，最后根据A B Q 且A 和B不能同时发生即可得出结果. 【详解】由题意得，考生选择的两个考试科目可能为“思想政治、化学”、“思想政治、历史”、“思想政治、地理”、“思想政治、生物”、“历史、地理”、“历史、化学”、“历史、生物”、“地理、化学”、“地理、生物”、“化学、生物”，设这些选择构成的集合为Q，令A=“思想政治、化学”，B=“地理、生物”，则A B Q，且A和B不能同时发生，故该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是互斥事件但不是对立事件，故选：D.【点睛】本题考查互斥事件以及对立事件的相关性质，主要考查互斥事件以及对立事件的判定，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.4．D【解析】【分析】根据题意列出所有情况即可得出.【详解】解析：由题可得“所得点数之和小于5”包含{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}共6个样本点．故选：D.5．A【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式，计算结果.【详解】支付方式中包含3种方法：只用现金支付，不用现金支付，既用现金，也用非现金支付，这三种支付方法，并且是互斥事件，p=--=.所以既用现金，也用非现金支付的概率10.20.450.35故选：A6．B【解析】【分析】根据统计量，对各项分析判断即可得解.【详解】对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误；对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C 错误；对于D ，数据1､2､5､5､5､3､3按从小到大排列后为1､2､3､3､5､5､5，则其中位数为3，故D 错误，故选：B. 7．C 【解析】【分析】由题意得不超过15的素数有6个，满足题意的孪生素数对有3对，利用古典概型公式可得结果. 【详解】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13，共6个，则从不超过15的素数中任取两个素数共有2615C =种根据素数对(),2p p +称为孪生素数，则由不超过15的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13), 共有3组，能够组成孪生素数的概率为31155P == 故选：C 【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题. 8．C 【解析】根据题意可得概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件即可得出. 【详解】因为7311010=-，所以概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．9．A 【解析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25204==. 故选：A 【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题． 10．B 【解析】【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；①事件F =“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以①错误；①F A B =+，正确，①A B +表示靶被击中，所以①错误；①G AB AB =+，正确；①,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；①()()()()P F P A P B P AB =+-，所以①不正确．正确的是①①①①．故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析. 11．ABD【分析】用列表法列举基本事件，分别求概率，即可判断. 【详解】记“车况好、中、差”分别为A ，B ，C ，方案一包含的基本事件数为1n ，方案二包含的基本事件数为2n ，列表如下由表中所列事件数可知，13162p ==，22163p ==，所以选项C 正确．故选：ABD. 12．CD 【解析】【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解. 【详解】对A ，目标未被命中，则两次都不中，概率为(1)(1)1p q p q pq --=--+，故A 错误；对B ，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，概率为(1)(1)2p q p q p q pq -+-=+-，故B 错误；对C ，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为pq ，故C 正确；对D ，目标被命中，从反面考虑可得概率为1(1)(1)p q ---，故D 正确；13．CD 【解析】【分析】根据题意25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，且至少有1件正品，即可得解. 【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件，而A ，B 是随机事件，故选：CD 14．CD 【解析】【分析】根据概率与频率的关系判断①正确，根据基本事件的特点判断①正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断①错误，根据小概率事件的概念判断①错误．【详解】①随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，①A 中说法正确；基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，①在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，①B 中说法正确；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0且小于1.①任意事件A 发生的概率P （A ）满足()01P A ≤≤.①C 中说法错误；若事件A 发生的概率趋近于0，则事件A 是小概率事件，但不是不可能事件，①D 中说法错误. 故选CD 【点睛】本题主要考查了概率的概念和有关性质，属于概念辨析题，对一些易混概念必须区分清． 15．CD【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算概率后判断．【详解】记事件A 为“从甲机床制造的产品中抽到一件正品”，事件B 为“从乙机床制造的产品中抽到一件正品”，事件C 为“抽取的两件产品中至多有一件正品”，事件D 为“抽取的两件产品中恰有一件正品”，事件E 为“抽取的两件产品中至少有一件正品”．由题意知A ，B 是相互独立事件，则()()()0.10.20.02P AB P A P B ==⨯=，故A 错误； ()()()()P C P AB P AB P AB =++()()()()()()0.90.20.10.80.10.20.28P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯=，故B 错误；()()()()()()()0.90.20.10.80.26P D P AB P AB P A P B P A P B =+=+=⨯+⨯=，故C 正确； ()()110.020.98P E P AB =-=-=，故D 正确．故选：CD ． 16．12【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可. 【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个. 甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个, ①甲被选中的概率为p 3162==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 17．19【解析】求出以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标样本点的个数，列出在圆229x y +=内的样本点，即可求解. 【详解】分别以连续掷两枚骰子得到的点数m ，n 作为点M 的横坐标、纵坐标，样本点总数6636n =⨯=.点M 落在圆229x y +=内包含的样本点有()1,1，()1,2，()2,1，()2,2，共4个，故点M 落在圆229x y +=内的概率41369P ==. 故答案为:19.【点睛】本题考查古典概型的概率，常见类型事件样本点个数要多加归纳总结，属于基础题. 18．316【解析】【分析】【详解】试题分析：总的数对有4416⨯=，满足条件的数对（1，4），（4，1），（2，2）共有3个，故概率为316P =考点：等可能事件的概率．点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式 19．4 【解析】【分析】设袋中原有x 个绿球，利用最终摸到红球的概率构建关系式，解得x 即可. 【详解】设此袋中原有绿球x 个，共有6+x 个，再往此袋中放入5个白球后，共11+x 个，其中红球6个，所以摇匀后摸出一球，摸到红球的概率为62 115x=+解得4x=，所以原有绿球4个，故答案为：4.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.20．0.3【解析】甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率．【详解】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：0.3．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21．9 10【解析】【分析】首先设3名男生为A，B，C，2名女生为a，b，再用列举法列出全部基本事件，找到至少有1名男生的基本事件个数，即可得到答案.【详解】设3名男生为A，B，C，2名女生为a，b，从5名学生中选2名志愿者，共有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个基本事件.至少有1名男生共有9个基本事件，概率为9 10.故答案为：9 10【点睛】本题主要考查古典概型，列举法列出全部基本事件为解题的关键，属于简单题.22．1 3【解析】【分析】这是一个古典概型，利用列举法得到分配的基本事件总数，再找出甲、乙两人被分到同一岗位的基本事件数，代入公式求解.【详解】所有可能的分配方式如表:则样本空间共有6个样本点，令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”，则事件M包含2个样本点，所以()2163p M==，故答案为：1 323．0.2【解析】【分析】设这个班有100人，根据题意可分析数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，因此可知一学生数学不及格，则他语文也不及格的为15人中有3人，计算概率即可.【详解】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，①已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为：30.215p==．故答案为：0.2．24．310##0.3【解析】【分析】列出从5人中随机抽取3人的所有的情况，由古典概型概率计算公式可得答案.【详解】从5人中随机抽取3人，所有的情况为（甲､乙､丙），（甲､乙､丁），（甲､乙､戊），（甲､丙､丁），（甲､丙､戊），（甲､丁､戊），（乙､丙､丁），（乙､丙､戊），（乙､丁､戊），（丙､丁､戊），共10种，其中满足甲､乙同时被抽到的情况有（甲､乙､丙），（甲､乙､丁），（甲､乙､戊），共3种，故答案为：3 10.25．①①.【解析】【分析】根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假.【详解】因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度，所以①对因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B 不为互斥事件，所以①错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是,m n，若一模考试数学平均分分别是,a b，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以①错；因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以①对. 因此真命题的序号是①①. 故答案为：①①.26．（1）25（2）25（3）110【解析】首先写出整个样本空间中的所有可能的结果，然后再分别列举出事件,,A B AB 所含的结果，再由概率公式计算概率．【详解】解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表表示.（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A =，所以()82205P A == （2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =，所以()82205P B == （3）事件AB 包含2个可能结果，即()(){}1,2,2,1AB =，所以()212010P AB == 【点睛】本题考古典概型，属于基础题．解题关键是列举出样本空间中所有基本事件．27．（1）512 （2）512【解析】【分析】（1）由图查出11月1日至11月12日中空气重度污染的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案．【详解】解：（1）某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，其到达日期的所有可能结果有1日，2日，3日，…，12日，共12种，其中此人到达当日空气重度污染的有1日，2日，3日，7日，12日，共5种，①此人到达当日空气重度污染的概率为512. （2）此人停留3天的所有可能结果有123（，，），234（，，），345（，，），456（，，），567（，，），678（，，），789（，，），8910（，，），91011（，，），101112（，，），111213（，，），121314（，，），共12种，其中恰有1天重度污染的有345（，，），567（，，），678（，，），789（，，），101112（，，）共5种， ①此人停留期间空气重度污染恰有1天的概率为512. 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了学生的读图能力，是基础题． 28．(1)56 (2)1328【解析】【分析】（1）利用平均数公式即可求得结果；（2）列出所有基本事件，利用古典概型概率公式计算即可求得结果. (1)由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0.1，0.15，0.3，0.25，0.2，所以得分的平均数100.1300.15500.3700.25900.256x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)所抽取的40人中，得分在80分以上的有400.28⨯=人，。

高三数学概率综合试题答案及解析

高三数学概率综合试题答案及解析1.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为()A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由()k()5-k=()k+1·()5-k-1,即=,故k+(k+1)=5,即k=2.2.甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A＋B＋C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生．∴P()＝P()·P()·P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]，故目标被击中的概率为1－P()＝1－＝.3.为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】（I）．（II）的分布列为：.【解析】（I）由古典概型概率公式即得；（II）首先确定的所有可能取值.因为总共只取2人，甲校共有4人，故的所有可能取值为.将队员分为甲校学生和非甲校学生，显然这是一个超几何分布，由超几何分布概率公式即可得其分布列，从而得其期望.试题解析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件，则． 6分（II）的所有可能取值为 7分则，，∴的分布列为：10分∴ 13分【考点】古典概型、离散型随机变量的分布列及数学期望..4.袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】不妨设甲取2号球．若乙取1号，则丙4丁3；若乙3，则丙4丁1；若乙4，则丙丁3．共3种情况．类似的，甲取3或4号球，各有3种情况，故共9种，而基本事件的总数为，故所求的概率为故选B．本题是一个错位排列模型．【考点】求错位排列的概率．5.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(3)求比赛局数的分布列．【答案】(1)；(2)；(3)见解析.【解析】(1)先记“甲以4比1获胜”为事件A，由题意甲乙一共比赛5局，则甲前4局比赛中有且只有3局获胜，第5局比赛一定获胜，易得甲以4比1获胜的概率为P(A)＝()3·()4－3·＝；(2)同（1）中道理，“乙获胜且比赛局数多于5局”分两种情况：一是比赛6局，二是比赛7局，分别计算出概率再相加即得结论；(3)比赛的局数的可能值为4、5、6、7，分别计算取不同值时的概率，列表得分布列.试题解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是. 1分记“甲以4比1获胜”为事件A，则P(A)＝()3·()4－3·＝. 3分(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.因为乙以4比2获胜的概率为P1＝··＝，乙以4比3获胜的概率为P2＝··＝，所以P(B)＝P1＋P2＝. 7分（3）设比赛的局数位X，则X的可能取值为4,5,6,7． 8分，，，， 11分比赛局数的分布列为【考点】1、概率；2、概率分布列．6.为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对1OO名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表1:男生上网时间与频数分布表表2:女生上网时间与频数分布表(I)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；(II)完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？表3：【答案】(I)225；(II)没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.【解析】(I)设估计上网时间不少于60分钟的人数, 依据题意有，解得之；(II)根据男生、女生的上网时间频数分布表易得2×2列联表，并由公式得出值，即得结论.试题解析：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数, 依据题意有， 4分解得：，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. 6分（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计8分其中 10分因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”. 12分【考点】1、频率；2、独立性检验.7.某集团公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元。

高考数学概率真题训练100题含参考答案

高考数学概率真题训练100题含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．在区间(0,1)随机取一个数，则取到的数小于13的概率为（）A ．34B ．23C ．13D ．162．向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（）A ．1B ．34C D ．143．某公交车站的末班车在19：0019-：30间随机驶离该站，小明在19：1519-：30间随机到达该站，则小明赶上末班车的概率是（）A ．18B ．14C ．12D ．344．从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．565．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则3m n =的概率为（） A ．118B ．112 C ．19D ．166．如图，先画一个正方形ABCD ，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH ，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是A ．14B ．16C ．18D ．1167．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（） A ．12B ．14C ．13D ．168．在区间[0，2]上随机取一个实数x ，则事件“3x -1＜0”发生的概率为A．12B．13C．14D．169．在等腰直角三角形ABC中，角C为直角．在ACB∠内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM AC<的概率（）．A2B．12C．34D．1410．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A．18B．17C．16D．1511．某公司安排甲、乙、丙3人到,A B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为（）A．15B．16C．13D．1412．从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是A．至少有一个红球，至少有一个白球B．恰有一个红球，都是白球C．至少有一个红球，都是白球D．至多有一个红球，都是红球13．写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算8965⨯，将被乘数89计入上行，乘数65计入右行．然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得5785．类比此法画出648345⨯的表格，若从表内（表周边数据不算在内）任取一数，则恰取到奇数的概率是（）A．518B．13C．1318D．2314．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．4π81B．81-4π81C．127D．82715．五行学说最早出现在黄老､道家学说中，据《尚书·洪范》记载：“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土.水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土曰稼穑.润下作咸，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘.”后人根据对五行的认识，又创造了木､火､土､金､水五行相生相克理论，如金与木､金与火､水与火､水与土､土与木相克，若从5大类元素中任选2类，则2类元素相克的概率是（）A．34B．25C．35D．1216．“垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为（）A．16B．23C．13D．1217．中国古代的贵族教育体系，开始于公元前1046年的周王朝，周王官学要求学生掌握的六种基本才能礼、乐、射、御、书、数.某中学为了传承古典文化，开设了六种选修课程，要求每位学生从中选择3门课程，扎西同学从中随机选择3门课程，则他选中“御”的概率为（）A．16B．13C．12D．2318．不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（）A．314B．37C．67D．132819．同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为（）A．736B．1136C．1112D．3420．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为A．910B．310C．15D．11021．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（）A．112B．110C．325D．1212522．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是A．12B．13C．14D．1523．若x A∈，则1Ax∈，就称集合A是“和谐集合”.任选集合111,,,1,3,423M⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的一个非空子集是“和谐集合”的概率为（）A．110B．19C．731D．73224．张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是A．、B．、C．、D．、25．在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是A．B．C．D．26．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则b a=A ．13B ．12C D 27．不定项选择题是高中物理选择题中必考题型之一，正确答案为A 、B 、C 、D 四个选项中的一个或多个，假设某考生对A 、B 、C 、D 选项正确与否完全不知道，则该考生猜对答案概率是（） A ．16B ．114C ．115D ．11628．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X ，则“4X >”表示试验的结果为 A ．第一枚为5点，第二枚为1点 B ．第一枚为5或6点，第二枚为1点 C ．第一枚为6点，第二枚为1点D ．第一枚为1点，第二枚为6点29．2021年湖北省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式，现有甲、乙、丙、丁4名学生都准备选物理与化学，并且他们都对政治、地理、生物三科没有偏好，则甲、乙、丙、丁4人中恰有2人选课相同的概率为（） A ．16B ．512 C ．58D ．4930．《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载，已知两周率π小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（）A ．35B ．3395C ．21100D ．72031．费马小定理：若p 是质数，且a ，p 互质，那么a 的()1p -次方除以p 所得的余数恒等于1．依此定理，若在数集{}2,3,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（）A ．712 B ．34C ．23D ．1232．一个矩形，如果从中截去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似）0.618≈，称为黄金比，称该矩形为黄金矩形.黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去.已知ABCD 是黄金矩形，按上述方法分割若干次以后，得如图所示图形.若在ABCD 内任取一点，则该点取自阴影内部的概率为（）A ．4⎝⎭B ．6⎝⎭C ．7⎝⎭D ．8⎝⎭33．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是（） A ．13B ．16C ．19D ．11234．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是A ．14B ．13C ．532D ．31635．在正方体1111ABCD A B C D -中，从1,,,A B C B 四个点中任取两个点，这两点连线平行于平面11AC D 的概率为（） A ．23B ．12C ．13D ．5636．同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M ，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N ，则有（） A ．M N ⊆B ．M N ⊇C ．M ND ．M N <37．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD 外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”.现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（）A ．37B ．47C ．314D ．111438．抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是12,反复投掷，数列{}n a 定义如下:1({-1(n n a n =第次投掷出现正面）第次投掷出现反面），若*12()n n S a a a n N =+++∈,则事件40S >的概率为A ．516B ．14C ．116D ．1239．在区间[]0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（）A ．1225B ．1625C ．1725D ．182540．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定41．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X ，已知16(1)45P X ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品数为（） A ．2件 B ．4件 C ．6件 D ．8件42．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是 A ．310B ．23C ．35D ．4543．设k 是一个正整数，在(1+)k x k的展开式中，第四项的系数为116，记函数2yx 与y kx =的图象所围成的阴影部分面积为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是（） A ．23B ．13C ．25D ．1644．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为 A ．310 B ．35C ．710 D ．2545．《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A ．2πB ．4πC ．4πD ．2π46．将长为1的小捧随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为 A ．12 B ．13C ．14D ．1547．已知函数，若在[1，8]上任取一个实数，则不等式成立的概率是A ．B ．C ．D ．48．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（） A ．120B ．112C ．110 D ．16二、填空题49．（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为__________. 50．已知某市的1路公交车每5分钟发车一次，小明到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是______.51．已知某运动员在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，则该运动员在一次射击中，至少射中8环的概率是_______. 52．如图，靶子由一个中心圆面I 和两个同心圆环Ⅱ、Ⅱ构成，射手命中I 、Ⅱ、Ⅱ的概率分别为0.33、0.29、0.26，则脱靶的概率是______．53．下列命题中，正确的是______．（填序号）Ⅱ事件A 发生的概率()P A 等于事件A 发生的频率()n f A ；Ⅱ一颗质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点；Ⅱ掷两枚质地均匀的硬币，事件A 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B 为“两枚都是正面朝上”，则()()2P A P B =；54．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34据此估计，直到第二次就停止的概率为______.55．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．56．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则正确命题的序号是______．Ⅱ事件A 发生的概率为12；Ⅱ事件A B 发生的概率为1120； Ⅱ事件A B 发生的概率为25；Ⅱ从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15．57．随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__（精确到0.001）． 58．.从分别写上数字1,2,3,9,的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为________________59．如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一根木棒.若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为__________．60．抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为“向上的为奇数点”，事件B 为“向上的为4点”，则()P A B =______．61．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4、5的五个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和不小于5”的概率是______.62．已知向量(2,1),(,)a b x y ==，若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量//a b 的概率为_______.63．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.64．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________.65．如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为_______66．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.67．设a ，b 随机取自集合{}1,2,3，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是________．三、解答题68．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n .求（1）用列举法，列出所有结果；（2）求事件2n m <+的概率.69．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；70．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率.71．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”.图1共享单车用户年龄等级分布图2共享单车使用频率分布（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表：（2）现从不常使用共享单车的人中分层抽样抽出4人跟踪调查，若从这4人中随机抽取2人，求2人都是年轻人的概率. 参考数据：独立性检验界值表：其中，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.72．为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.Ⅱ从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；Ⅱ从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.73．若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y （十万元）关于月养殖量x （千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：1221ˆni ii nii x ynx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：88211460,379.5ii i i i x x y ====∑∑.74．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5Ⅱ3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 75．设袋中有5个黄球，3个红球，2个绿球，试按：(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率； (2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到绿球的概率．76．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y ，用(),x y 表示一个基本事件. （1）求满足条件“xy为整数”的事件的概率；（2）求满足条件“2x y -<”的事件的概率.77．投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4．将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．（1）求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；（2）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．78．如今我们的互联网生活日益丰富，网购开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某校学生管理机构为了了解学生网购消费情况，从全校学生中抽取了100人进行分析，得到如下表格（单位：人）参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据如下：（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学生网购的情况与性别有关？（2）现从所调查的女生中利用分层抽样的方法抽取了5人，其中经常网购的女生分别是：,,A B C，偶尔或从不网购的女生分别是,a b，从这5人中随机选出2人，求选出的2人中至少有1人经常网购的概率79．已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球.(1)求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率；(2)求乙袋中任取出1球为白球的概率.80．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数()AQI，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,n m的值，并完成频率分布直方图：(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；-的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5 (3)在空气质量指数分别为51100-和151200天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.81．甲､乙两人参加一次考试.已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从各选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)分别求甲､乙两人考试合格的概率；(2)求甲､乙两人至少有一人考试合格的概率.82．某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组80,100，得到频率分布直方图，如图所示.[60,80)，第五组[]（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率. 83．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．84．浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20 分成7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60 百分位数；(3)若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率．85．某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如茎叶图所示（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（Ⅱ）根据数据分别写出男、女两组身高的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则各抽几人？（Ⅱ）在（Ⅱ）的基础上，从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？86．2020年江西省旅游产业发展大会于6月12日至6月13日在赣州顺利召开.为让广学生子解赣州旅游文化，赣州市旅游局在赣州市各中小学校开展“赣州市旅游知识网络竞赛”活动.为了更好地分析中学生和小学生对赣州市旅游知识掌握情况，将中学组和小学组的所有参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.（1）若将一般和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？（2）若某县参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计该县参赛选手中优秀等级的人数；（3）如果在优秀等级的选手中取3名，在良好等级的选手中取2名，再从这5人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中恰有2名选手的等级为优秀的概率.注：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.。

高三数学概率练习题及答案2023

高三数学概率练习题及答案2023概率是数学中一个重要的分支，它研究的是不确定事件的可能性。

在高三数学学习中，概率也是一个重要的内容。

为了帮助各位高三学生巩固概率知识，我整理了一些概率练习题及其答案。

练习题一：1.一个有12个红球和8个蓝球的袋子，从中随机抽取4个球，求抽到2个红球2个蓝球的概率。

2.在一批电脑中，有60%的电脑工作正常，40%的电脑存在故障。

如果从中随机抽取3台电脑，求至少有2台工作正常的概率。

3.一副扑克牌共有52张牌，其中黑桃、红桃、梅花和方片各有13张。

从中随机抽取5张牌，求其中至少有3张黑桃的概率。

练习题二：1.一个班级有40个学生，其中20个学生喜欢篮球，15个学生喜欢足球，10个学生既喜欢篮球又喜欢足球。

从中随机抽取一个学生，求该学生既喜欢篮球又喜欢足球的概率。

2.一家手机厂商共有1000部手机，其中100部属于次品。

从中抽取5部手机，求至少有1部次品的概率。

3.在一次模拟考试中，某班级参加考试的学生共有50人。

已知这些学生中80%能取得优异成绩，60%能取得及格成绩。

从中随机抽取3个学生，求至少有2个学生能取得优异成绩的概率。

练习题三：1.甲、乙、丙三个人相继投掷一颗骰子，求他们得到的点数之和为9的概率。

2.某商品的包装中有10个零件，其中4个是次品。

从中无放回地抽取3个零件，求其中至少2个是次品的概率。

3.在一场抽奖活动中，共有1000人参与，其中10人可以获奖。

从中随机抽取5人，求至少有1人获奖的概率。

答案解析：练习题一：1.计算红球的概率：P(红球) = 红球个数/总球数 = 12/20。

计算蓝球的概率：P(蓝球) = 蓝球个数/总球数 = 8/20。

计算抽到2个红球2个蓝球的概率：P(2个红球2个蓝球) = C(12,2) * C(8,2) / C(20,4)。

2.计算正常电脑的概率：P(正常) = 60% = 0.6。

计算故障电脑的概率：P(故障) = 40% = 0.4。

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)

2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)1.一个口袋中有2个白球和$n$个红球($n\geq2$，且$n\in\mathbb{N}^*$)，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

1)试用含$n$的代数式表示一次摸球中奖的概率$p$；2)若$n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为$f(p)$，当$n$为何值时，$f(p)$取最大值。

2.一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生 | S1.| S2.| S3.| S4.| S5.|语文 | 87.| 90.| 91.| 92.| 95.|英语 | 86.| 89.| 89.| 92.| 94.|1)根据表中数据，求英语分$y$对语文分$x$的线性回归方程；2)要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以$\xi$表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。

3.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动。

为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为$n$）进行统计。

按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[90,100]$的数据）。

1)求样本容量$n$和频率分布直方图中$x$，$y$的值；2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设$\xi$表示所抽取的3名同学中得分在$[80,90)$的学生个数，求$\xi$的分布列及其数学期望。

4.某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B。

高三数学随机事件的概念及概率试题

高三数学随机事件的概念及概率试题1.在15个村庄中有7个村庄交通不便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不便的村庄数，下列概率中等于的是()A．P(ξ＝2)B．P(ξ≤2)C．P(ξ＝4)D．P(ξ≤4)【答案】C【解析】由超几何分布的概率计算公式得P(ξ＝4)＝，故选C．2.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上，事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是()A．P(M)＝，P(N)＝B．P(M)＝，P(N)＝C．P(M)＝，P(N)＝D．P(M)＝，P(N)＝【答案】D【解析】基本事件空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P(M)＝，P(N)＝，选D.3.在不等式组所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的3个顶点的概率为________．【答案】【解析】不等式组表示的平面区域内的格点有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5个，从中任取3个点，有10种取法，其中共线的3点不能构成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)1种，即能够作为三角形3个顶点的情况有9种，故所求概率是.4.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为×5=．故选：B5.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．【答案】【解析】∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是＝.6.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样；故①是假命题；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；是真命题；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，则分布密度曲线关于直线对称，所以，，所以，，③是真命题；④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小．所以④是假命题.综上,应选C.【考点】1、简单随机抽样；2、正态分布；3、相性回归；4、独立性检验.7.（12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)写出任取三张的所有可能的结果，然后找出数字之和大于或等于2的结果，最后根据随机事件的概率公式求解即可.(Ⅱ)写出每次抽1张，连续抽取两张所有可能的结果，然后找出含有数字2的所有结果，最后根据随机事件的概率公式求解即可.试题解析：（1）设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种 2分其中数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种 4分所以P(A)=. 6分（2）设表示事件“至少一次抽到2”，每次抽1张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个. 8分事件B包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个. 10分所以所求事件的概率为P(B)=. 12分【考点】1.随机事件的概率;2.古典概型.8.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率．【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) .【解析】本题两问中，一个是无放回取球，一个是有放回取球，试题通过这两个问题，考查列举基本事件个数、找出所求的随机事件所含有的基本事件个数的数据处理能力以及运算求解能力．(Ⅰ)四个球中不放回取出两个球，取出的球的编号之和不大于4的概率，列举基本事件的个数，从中找出随机事件“球的编号之和不大于4”所包含的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行计算；(Ⅱ)有放回地从四个球中取出两个球，求解一个古典概型，仍然是列举基本事件的个数，再从中找出随机事件“＋2”所含有的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行计算．试题解析：(Ⅰ)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有，，，，，共6个． 3分从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有，，有两个．因此所求事件的概率为. 6分(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为，其一切可能的结果有：(1，1)，，，，，，，，，，，，，，，，共16个． 9分满足条件的事件为，，共3个，所以满足条件的事件的概率，故满足条件的事件的概率为. 12分【考点】随机事件的概率.9.（本小题满分14分）某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满８00元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则是:在盒子内预先放有5个相同的球,其中一个球标号是０，两个球标号都是４０，还有两个球没有标号。

高中数学概率试题及答案

高中数学概率试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.5，那么P(X=5)等于（）。

A. 0.24609B. 0.24609375C. 0.2460937D. 0.2462. 已知三个事件A、B、C，它们之间两两相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，那么P(A∩B∩C)等于（）。

A. 0.06B. 0.05C. 0.03D. 0.023. 甲、乙两人独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.7，那么目标被击中的概率为（）。

A. 0.58B. 0.82C. 0.38D. 0.684. 一个袋子里有5个红球和3个白球，随机取出3个球，那么至少有1个红球的概率为（）。

A. 0.7B. 0.8C. 0.9D. 0.65. 一个工厂生产一批零件，其中次品率为0.05，那么随机抽取100个零件中，至少有5个次品的概率为（）。

A. 0.95B. 0.90C. 0.85D. 0.80二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个袋子里有10个球，其中3个红球，7个白球，随机抽取2个球，那么至少有1个红球的概率为______。

7. 一个工厂生产一批零件，其中次品率为0.03，那么随机抽取100个零件中，至多有2个次品的概率为______。

8. 甲、乙两人独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.4，乙击中目标的概率为0.5，那么目标被击中的概率为______。

9. 一个袋子里有5个红球和3个白球，随机取出3个球，那么至少有2个红球的概率为______。

三、解答题（每题15分，共40分）10. 一个袋子里有10个球，其中3个红球，7个白球，随机抽取3个球，求至少有1个红球的概率。

11. 甲、乙两人独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.5，乙击中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率。

12. 一个工厂生产一批零件，其中次品率为0.02，那么随机抽取100个零件中，至多有2个次品的概率为多少？高中数学概率试题答案一、选择题答案1. B2. B3. B4. C5. C二、填空题答案6. 0.917. 0.988. 0.869. 0.52三、解答题答案10. 解：至少有1个红球的对立事件是3个球都是白球，所以至少有1个红球的概率为：P = 1 - P(3个球都是白球) = 1 - (7/10) × (6/9) × (5/8) = 1 - 7/24 = 17/24 = 0.7083。

高三数学复习概率(附答案)

概率一、随机事件的概率1．下列事件中随机事件的个数是（ B ）①在常温下，焊锡熔化；②明天天晴；③自由下落的物体做匀加速直线运动；④函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且在定义域上为增函数A ．0B ．1C ．2D ．32．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（ C ）A ．51B ．52C ．53D ．54 3．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开的概率是多少？（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解：（1）P(A)=515544=A A ；（2）P(B)= 5335544=A A ；（3）P(C)=1091552233=-A A A 。

4．今有强弱不同的十支球队，若把他们均分为两组进行比赛，分别计算：（1）两个最强的队被分在不同组内的概率；（2）两个最强的队恰在同一组内的概率。

解：（1）P(A)=952151048=C C ；（2）P(B)=94215103822=C C C . 二、互斥事件中有一个发生的概率5．袋中有9个编号分别为1，2，3，…，9的小球，从中随机地取出2个，求至少有一个编号为奇数的概率。

解：P=6529251415=+C C C C =1=6．有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有两位同学彩票号码的末位数字相同的概率。

解：P=125621014410=-A 7．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个判断题4个。

甲、乙二人依次各抽一题。

（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：（1）P(A)=154 (2) P(B)= 1513 三、相互独立事件同时发生的概率8．一道竞赛题，A 、B 、C 三人可解出的概率依次为21、31、41，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为（ B ）A ．241B ．2411C ．2417 D ．1 9．要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：（1）其中至少有件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率。

高中数学必修三第三章概率综合训练(含答案)

高中数学必修三概率综合训练一、单选题1.下列事件中，是随机事件的是（）①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品；②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；④异性电荷，相互吸引；⑤某人购买体育彩票中一等奖．A. ②③④B. ①③⑤C. ①②③⑤D. ②③⑤2.下列说法正确的是（）A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间B. 频率是客观存在的，与试验次数无关C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D. 概率是随机的，在试验前不能确定3.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（）A. 本市明天将有70%的地区降雨B. 本市明天将有70%的时间降雨C. 明天出行带雨具的可能性很大D. 明天出行不带雨具肯定要淋雨4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个红球”与“都是黑球”B. “至少有一个黑球”与“都是黑球”C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D. “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”5.已知事件A与事件B发生的概率分别为、，有下列命题：①若A为必然事件，则；②若A与B互斥，则；③若A与B互斥，则.其中真命题有（）个A. 0B. 1C. 2D. 36.设函数，若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.27.如图，在矩形中，AB=4cm，BC=2cm，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是（）A. B. C. D.8.掷一个骰子，出现“点数是质数”的概率是（）A. B. C. D.9.抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A. 至多有2件次品B. 至多有1件次品C. 至多有2件正品D. 至多有1件正品10.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为50秒，若一行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待20秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.11.在边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1的概率是（）A. B. C. D.12.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）A. P（M）=，P（N）=B. P（M）=，P（N）=C. P（M）=，P（N）=D. P（M）=，P（N）=13.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A. 3个都是正品B. 至少有1个是次品C. 3个都是次品D. 至少有1个是正品14.设实数p在[0，5]上随机地取值，使方程x2+px+1=0有实根的概率为（）A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.315.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A. B. C. D.16.在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A. B. C. D.17.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（）A. 0.9B. 0.2C. 0.7D. 0.518.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A. B. C. D.19.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为（）A. B. C. D.20.袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A. B. C. D.21.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。

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高三数学概率训练题（附答案）2013届高三数学章末综合测试题（10）概率一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的有( ) A．①② B．②③C．③④ D．③ D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件. 2．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.23 C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝24＝12. 3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是( ) A．甲获胜 B．乙获胜 C．甲、乙下成和棋 D．无法得出 C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是下成和棋. 4．如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( ) A．1－π4 B.π4 C．1－π8 D．与a的取值有关 A 解析：几何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故选A. 5．从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是( ) A.16 B.25 C.13 D.23 D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P＝46＝23. 6．从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( ) A.310 B.112 C.4564 D.38 D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概率为P＝616＝38. 7 ．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( ) A．一定不会淋雨 B．淋雨的可能性为34 C．淋雨的可能性为12 D．淋雨的可能性为14 D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14. 8．将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115 D.118 D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P＝12216＝118. 9．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n 上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为( ) A．3 B．4 C．2和5 D．3和4 D解析：点P(a，b)的个数共有2×3＝6个，落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直线x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故选D. 10．连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.56 C 解析：基本事件总数为36，由cosθ＝a•b|a|•|b|≥0得a•b≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P＝2136＝712. 11．在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% ( ) A．a＞910 B．a＞109 C．1＜a＜109 D．0＜a＜910 C解析：硬币与方格线不相交，则a＞1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a－1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109. 12．集合A＝{(x，y)|x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于 ( ) A.14 B.29 C.736 D.536 B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a，b)∈A∩B的概率为836＝29，二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．若实数x，y满足|x|≤2，|y|≤1，则任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率为__________．解析：点(x，y)在由直线x＝±2和y＝±1围成的矩形上或其内部，使x2＋y2≤1的点(x， y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P＝π4×2＝π8. 答案：π8 14．从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是 ________．解析：三位二进制数共有4个，分别111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十进制数后比5大，故所求概率为P＝24＝12. 答案：12 15．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一组解的概率是__________． 1718 解析：由题意，当m2≠n3，即3m≠2n时，方程组只有一解．基本事件总数为36，满足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m≠2n的基本事件数为34个，故所求概率为P＝3436＝1718. 16．在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，点P是圆内的任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最大，则m＝__________.0 解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，则点P落在平面区域E内的概率最大．三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率[] (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率； (3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管．解析：分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 (2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.(3)由(2)只，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6. 15×0.6＝9，故经过1 500小时约需换9支灯管． 18．(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球． (1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； (2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下： (红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、 (黑、红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑、黑、黑)． (2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，事件A包含的基本事件为： (红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)．事件A包含的基本事件数为3. 由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝38. 19．(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z＝a＋bi. (1)求事件“z－3i为实数”的概率； (2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a－2)2＋b2≤9”的概率．解析：(1)z－3i为实数，即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，∴b＝3. 又b可取1,2,3,4,5,6，故出现b＝3的概率为16. 即事件“z－3i为实数”的概率为16. (2)由已知，b的值只能取1,2,3. 当b＝1时，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；当b＝2时，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；当b＝3时，(a－2)2≤0，即a可取2. 综上可知，共有9种情况可使事件成立．又a，b的取值情况共有36种，所以事件“点(a，b)满足(a－2 )2＋b2≤9”的概率为14. 20．(12分)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗求助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是心理治疗专家． (1)求A1恰被选中的概率； (2)求B1和C1不全被选中的概率．解析：(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18个基本事件．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则 M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6个基本事件．所以P(M)＝618＝13. (2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1和C1全被选中”这一事件，由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本事件，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56. 21．(12分)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[－4，－1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a＜0，b＞0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a＋b≤0. (1)基本事件共12个：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)， (－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为 P(A)＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a，b)|－4≤a≤－1,1≤b≤3}，构成事件A 的区域为{(a，b)|－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，所求概率为这两区域面积的比．所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23. 22．(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ． (1)共有多少种安排方法？ (2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？解析：(1)安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12种安排方法． (2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为 P(A)＝212＝16. (3)方法一：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件，∵甲、乙两人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”两种，则“甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16”．∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1－16＝56. 方法二：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10种，∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)＝1012＝56.。