材料力学第4章 弯曲应力
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150kN吊车
B
200kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
C
辅助梁
M M
A
0 0
FA
F
l
x
FB
B
FP l x F F B B l F l x 0 l F Fx FAl 0 FAx l
令: FA Fx 200kN l
FB
F l x l
z
d d
d 2 d 2
z
d 2 d 2
z z
d
d
(a)
(b)
(c)
B
§4 梁弯曲时的切应力和梁的切应力强度条件
q
FR
FR
kN
kNm
一、矩形截面梁的切应力
假设：
1、横截面上的τ方向与FS平行
y
Fs
z
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
h 2
1 2
F
z
y
a a x
1 2
dx
a
1
a
2
h 2
y
y
y1
dA
A
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍为平面。
m
中性层
n
中性轴：
o1
m
o2
n
中性轴
中性层与横截面的交线称为中 性轴。
F
F
m n
y d d
d
y
m
n
中性轴
M
M
E y E
h2
z
y
max
h2
y0
A
y
max
3F s F sh 2 F sh 2 3 2A bh 8I Z 8 12
例题 4.13
F
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
h
M max
FL 4
bh 2 WZ 6
l 2
l 2
Fs max
max
F 3 2 3 Fs 3 F 2 bh 2 A 4 bh
kN m
如果T截面倒置会如何???
例题 4.6
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 y
F
B
A
C
B
A
50
150 96.4
q 2 kN m
200
4m
200
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
100
例题 4.3
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
* N2
* 2 dA *
A
A
M dM y1 dA
Iz
Fs S I zb
* z
* Fs S z IZb
Fs – 横截面上的剪力；
b – 截面的宽度；
IZ – 截面对中性轴的惯性矩； SZ＊ – 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
b
Fs h 2 y ( y2 ) 2I Z 4
D
d
q
A B
FB
C
3q FA kN 4
梁的强度
FB
9q kN 4
FA
2m
1m
M max 0.5q WZ WZ
1 q 2
9q 32
WZ 15.68kN / m 0.5 杆的强度 9q 4 FNBD 1 2 d A 4 q
m
n o
dA
z
y
y:到中性轴的距离
o
m
dx
n
z
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M M
y
Mz Mzy max Wz Iz
max
M x Wz
中性轴
例题 4.1
A
l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F B h b C l 2 h2
1 q d 2 22.3kN / m 9
q 15.68kN / m
例题 4.9
验算题图所示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为 0.5kN/m2，工字钢立柱的［σ］＝215MPa。
q 0.5 2 1kN / m
M max 1 2 ql 12.5kN / m 2
h
h0
z
max
t
min
FS b h 2 h02 d h02 2 y I d 横截面上的切应力(95--97)％ Z 2 4 4 2 4 由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5) ％,且翼缘上的切应力情况又 FS bh 2 bh02 dh02 max 比较复杂.为了满足实际工程中 IZ d 8 8 8 计算和设计的需要仅分析腹板 上的切应力. IZ FS bh 2 bh02 min * IZ d 8 8 S
b
Z max
三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力
d
D d
z
y
max
4 FS 3 A
d 2
4
max
FS 2 A
2F
1400 600
z
200 50
12kNm
16kNm
A
M Ayl 16 103 250 96.4 24.09MPa 8 IZ 1.02 10
A
M Ay y IZ
16 103 96.4 15.12MPa 8 1.02 10
B
M By y IZ
b
解：
1、计算梁底层微段的伸长量
2、梁的最底层纤维的总伸长
例题 4.12
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面 为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有 两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正 确的。
F 2
FL b M 3FL max max 4 2 1 2 WZ 2 bh bh 6 3 FL 2 2L max 2 bh 3 F h max 4 bh
细长等直梁
L 5 h
max 10 max
二、工字形截面梁的切应力
d
* Fs S z IZ d
200kN吊车 150kN吊车
B
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C
辅助梁
M max A 200 l 2.667 266.6kNm
FA
x
F
l
FB M max B 150 2 300kNm
max
WZ
M max B Wz
12 103 250 96.4 18.07MPa 1.02
例题 4.7
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的 附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
F
A B
150 50
96.4 C 50
l 2
l 2
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
y
max
§3 横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件
max
对梁的某一截面：
M x Wz
max
Mymax M Iz WZ
M max ymax M max Iz Wz
对全梁（等截面）：
max
max
M max Wz
例题 4.4
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
dA FN A
E
m
n o
dA
z
y
A
ydA 0
o
d
m
dx
n
z
y
M y zdA E zydA 0 A A EI Z E 2 M z A ydA y dA A
MZ EI Z 1
y
dx
Mzy Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
q 30 kN m
A
0 .5 m
WZ
B
M max
百度文库
61.2cm3
2m
FB 28.1kN
FA 46.9kN
31.9
查表
N0 12.6工字钢
15 3.75
kN
WZ=77.5cm3
28.1
kNm
13.16
例题 4.5
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度 ［σ－］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。
M max B
1.875 1.86 100 ％ 0.8％ 1.875
1.875 103 cm3
例题 4.8
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝ 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
150kN
x 2.667m
x 2m
2 x 2.667
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加 悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
q 12kN m
F 25kN
200 30 61
A
C
1m
B
D
3m
24
2m
170
z
139 30
B截面
B max
24 10 6110 3 36.3MPa 403 107
3
12 .75
C截面
C max
3 3 24 10 139 10 82.8MPa B max 7 403 10 12.75 103 139 103 44MPa 7 403 10
c
b
1 h FL M y a B a 2 3 3 bh IZ 12
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
1.65MPa
1 h FL M y c B c 2 3 2 2.47MPa （压） bh IZ 12
b 0
例题 4.2
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
4m
L 1 L2
7 63 F 31.5kN 4
2m
2 5 10 m
31.5 31.5 31.5
31.5
WZ
M max
189 103 879cm3 215
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.11
q
A
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
B
h
x
dx
l
第四章
弯曲应力
§1 纯弯曲
纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
A
F
F
C
F
D
a
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
§2 纯弯曲时的正应力
实验现象： F
m n
m
F
n
1、变形前互相平行的纵向直线、
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
y
y
b
M
M dM
FN 1
dM FN 2
a
* * FN F 2 N 1 y bdx 0
a
2
Iz
A*
y1dA y bdx
1
S z
My1 M dA F * 1dA * A A Iz Iz
* N1
b
A*
y1dA
dx
* Sz dM y I z b dx
5m
I
2m
2m
2m
查表:
I
WZ 237 103 mm3
M 52.7 MPa WZ
4IN0 20
例题 4.10
试对图示结构布置图中的L－2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截 面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上简支板的荷载设计值为3.5kN/m2。
q 3.5 2 7kN / m
B
200kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
C
辅助梁
M M
A
0 0
FA
F
l
x
FB
B
FP l x F F B B l F l x 0 l F Fx FAl 0 FAx l
令: FA Fx 200kN l
FB
F l x l
z
d d
d 2 d 2
z
d 2 d 2
z z
d
d
(a)
(b)
(c)
B
§4 梁弯曲时的切应力和梁的切应力强度条件
q
FR
FR
kN
kNm
一、矩形截面梁的切应力
假设：
1、横截面上的τ方向与FS平行
y
Fs
z
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
h 2
1 2
F
z
y
a a x
1 2
dx
a
1
a
2
h 2
y
y
y1
dA
A
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍为平面。
m
中性层
n
中性轴：
o1
m
o2
n
中性轴
中性层与横截面的交线称为中 性轴。
F
F
m n
y d d
d
y
m
n
中性轴
M
M
E y E
h2
z
y
max
h2
y0
A
y
max
3F s F sh 2 F sh 2 3 2A bh 8I Z 8 12
例题 4.13
F
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
h
M max
FL 4
bh 2 WZ 6
l 2
l 2
Fs max
max
F 3 2 3 Fs 3 F 2 bh 2 A 4 bh
kN m
如果T截面倒置会如何???
例题 4.6
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 y
F
B
A
C
B
A
50
150 96.4
q 2 kN m
200
4m
200
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
100
例题 4.3
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
* N2
* 2 dA *
A
A
M dM y1 dA
Iz
Fs S I zb
* z
* Fs S z IZb
Fs – 横截面上的剪力；
b – 截面的宽度；
IZ – 截面对中性轴的惯性矩； SZ＊ – 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
b
Fs h 2 y ( y2 ) 2I Z 4
D
d
q
A B
FB
C
3q FA kN 4
梁的强度
FB
9q kN 4
FA
2m
1m
M max 0.5q WZ WZ
1 q 2
9q 32
WZ 15.68kN / m 0.5 杆的强度 9q 4 FNBD 1 2 d A 4 q
m
n o
dA
z
y
y:到中性轴的距离
o
m
dx
n
z
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M M
y
Mz Mzy max Wz Iz
max
M x Wz
中性轴
例题 4.1
A
l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F B h b C l 2 h2
1 q d 2 22.3kN / m 9
q 15.68kN / m
例题 4.9
验算题图所示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为 0.5kN/m2，工字钢立柱的［σ］＝215MPa。
q 0.5 2 1kN / m
M max 1 2 ql 12.5kN / m 2
h
h0
z
max
t
min
FS b h 2 h02 d h02 2 y I d 横截面上的切应力(95--97)％ Z 2 4 4 2 4 由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5) ％,且翼缘上的切应力情况又 FS bh 2 bh02 dh02 max 比较复杂.为了满足实际工程中 IZ d 8 8 8 计算和设计的需要仅分析腹板 上的切应力. IZ FS bh 2 bh02 min * IZ d 8 8 S
b
Z max
三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力
d
D d
z
y
max
4 FS 3 A
d 2
4
max
FS 2 A
2F
1400 600
z
200 50
12kNm
16kNm
A
M Ayl 16 103 250 96.4 24.09MPa 8 IZ 1.02 10
A
M Ay y IZ
16 103 96.4 15.12MPa 8 1.02 10
B
M By y IZ
b
解：
1、计算梁底层微段的伸长量
2、梁的最底层纤维的总伸长
例题 4.12
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面 为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有 两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正 确的。
F 2
FL b M 3FL max max 4 2 1 2 WZ 2 bh bh 6 3 FL 2 2L max 2 bh 3 F h max 4 bh
细长等直梁
L 5 h
max 10 max
二、工字形截面梁的切应力
d
* Fs S z IZ d
200kN吊车 150kN吊车
B
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C
辅助梁
M max A 200 l 2.667 266.6kNm
FA
x
F
l
FB M max B 150 2 300kNm
max
WZ
M max B Wz
12 103 250 96.4 18.07MPa 1.02
例题 4.7
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的 附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
F
A B
150 50
96.4 C 50
l 2
l 2
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
y
max
§3 横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件
max
对梁的某一截面：
M x Wz
max
Mymax M Iz WZ
M max ymax M max Iz Wz
对全梁（等截面）：
max
max
M max Wz
例题 4.4
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
dA FN A
E
m
n o
dA
z
y
A
ydA 0
o
d
m
dx
n
z
y
M y zdA E zydA 0 A A EI Z E 2 M z A ydA y dA A
MZ EI Z 1
y
dx
Mzy Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
q 30 kN m
A
0 .5 m
WZ
B
M max
百度文库
61.2cm3
2m
FB 28.1kN
FA 46.9kN
31.9
查表
N0 12.6工字钢
15 3.75
kN
WZ=77.5cm3
28.1
kNm
13.16
例题 4.5
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度 ［σ－］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。
M max B
1.875 1.86 100 ％ 0.8％ 1.875
1.875 103 cm3
例题 4.8
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝ 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
150kN
x 2.667m
x 2m
2 x 2.667
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加 悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
q 12kN m
F 25kN
200 30 61
A
C
1m
B
D
3m
24
2m
170
z
139 30
B截面
B max
24 10 6110 3 36.3MPa 403 107
3
12 .75
C截面
C max
3 3 24 10 139 10 82.8MPa B max 7 403 10 12.75 103 139 103 44MPa 7 403 10
c
b
1 h FL M y a B a 2 3 3 bh IZ 12
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
1.65MPa
1 h FL M y c B c 2 3 2 2.47MPa （压） bh IZ 12
b 0
例题 4.2
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
4m
L 1 L2
7 63 F 31.5kN 4
2m
2 5 10 m
31.5 31.5 31.5
31.5
WZ
M max
189 103 879cm3 215
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.11
q
A
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
B
h
x
dx
l
第四章
弯曲应力
§1 纯弯曲
纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
A
F
F
C
F
D
a
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
§2 纯弯曲时的正应力
实验现象： F
m n
m
F
n
1、变形前互相平行的纵向直线、
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
y
y
b
M
M dM
FN 1
dM FN 2
a
* * FN F 2 N 1 y bdx 0
a
2
Iz
A*
y1dA y bdx
1
S z
My1 M dA F * 1dA * A A Iz Iz
* N1
b
A*
y1dA
dx
* Sz dM y I z b dx
5m
I
2m
2m
2m
查表:
I
WZ 237 103 mm3
M 52.7 MPa WZ
4IN0 20
例题 4.10
试对图示结构布置图中的L－2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截 面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上简支板的荷载设计值为3.5kN/m2。
q 3.5 2 7kN / m