材料力学第4章 弯曲应力
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学弯曲应力知识点总结
材料力学弯曲应力知识点总结弯曲应力是材料力学中重要的概念之一，它描述了材料在受到弯曲力作用时所承受的内部力状态。
了解和掌握弯曲应力的知识对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
本文将对材料力学中弯曲应力的相关知识点进行总结。
一、弯曲应力的基本概念弯曲应力是指在材料受到弯曲作用时，在横截面上单位面积所承受的力的大小，通常用σ表示。
弯曲应力的大小与施加在材料上的弯曲力以及截面形状和尺寸有关。
二、弯矩和截面性质1. 弯矩：在弯曲过程中，作用在材料上的弯曲力会产生一个力矩。
弯矩的大小等于力矩除以截面法线距离。
弯矩的单位通常是N·m。
2. 惯性矩和截面模量：惯性矩描述了截面抵抗变形的能力，通常用I表示。
截面模量描述了材料在弯曲过程中的刚度，通常用W表示。
惯性矩和截面模量与截面的形状和尺寸有关。
三、材料的截面形状对弯曲应力的影响材料的截面形状对弯曲应力有着重要的影响，以下是几种常见截面形状的弯曲应力分析：1. 矩形截面：矩形截面的弯曲应力呈线性分布，最大弯曲应力出现在截面内边缘。
2. 圆形截面：圆形截面的弯曲应力均匀分布，在截面上的任意一点的弯曲应力都相同。
3. T型截面：T型截面的弯曲应力最大出现在截面顶部和底部的交接处。
4. I型截面：I型截面的弯曲应力主要集中在截面中轴线部分。
四、弯曲应力与应变的关系弯曲应力和应变之间的关系可以通过杨氏模量进行描述。
弯曲应力和应变的关系可以用以下公式表示：σ=M*y/I，其中M为弯矩，y为截面的纵向距离，I为截面的惯性矩。
五、弯曲应力的计算方法根据弯曲应力的定义和性质，可以采用以下方法来计算弯曲应力：1. 等效应力法：将弯矩和弯曲力矩转化为等效应力，然后根据截面形状计算弯曲应力。
2. 梁理论：基于材料的截面形状和尺寸，使用梁理论来计算弯曲应力。
通过计算截面的惯性矩和截面模量来获得弯曲应力。
六、弯曲应力的影响因素弯曲应力受到以下因素的影响：1. 弯曲力的大小和方向2. 材料的弹性模量3. 材料的截面形状和尺寸4. 材料的力学性质和力学行为5. 材料的应变率和应变历史七、弯曲应力的应用弯曲应力在工程设计和分析中具有广泛的应用，例如：1. 结构设计：通过对材料的弯曲应力进行分析，可以确定结构的合理尺寸和截面形状，以满足设计要求。
材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
材料力学——弯曲应力
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
2、物理关系
当σ<σP时 虎克定律
E
E
y
y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比； 沿截面高度 线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下， 上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
M max ymax IZ
x
67.5 103 90 103 5.832 105
104.17MPa
6、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ q=60KN/m A FAY B 1m C 3m FBY
M C 60kN m
I z 5.832 105 m 4
M EI
4 103 88 103 46.1MPa 6 7.64 10
9KN
4KN
C截面应力计算
A FA
M 1m
C 1m
B
1m FB
C截面应力分布 应用公式
t ,max
My Iz
2.5KNm
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
Fb Fa
C截面： max M C Fb3 62.5 160 32 46.4MPa d W 3
zC
2
0.13
32
（5）结论 轮轴满足强度条件
一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa ，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ q=0.5KN/m A B
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
材料力学土木类第四章 弯曲应力.ppt
2、这些切应力沿 y方向的分量
ty沿宽度相等。
最大切应力tmax 在中性轴z处
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 2 4
2d
3π
πd 4 d
64
4FS 4FS 3 π d 2 3A 4
2d /3p
d
tmax
O
k
k'
O' y
薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征：
(1) <<r0→沿壁厚切应 tmax
r0
tmax
力的大小不变；
O
(2) 内、外壁上无切应力 t
→切应力的方向与圆周
y
相切；
(3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y
最大切应力tmax 仍发生
在中性轴z上。
轴相交的各点处切应力
为零。
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
45
45
Wz
Iz ymax
75103 9.5 274.6
28.8MPa [t ]
满足强度条件
例4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许 用正应力[σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试 选择工字钢的型号。
50kN
80kN
A 150 500
B 500 47.5kN
50kN 7.5kN.m
料均为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校
核该梁的强度。
50kN 50kN 50kN
F1 F2
100 9.5
10 320 10
ty沿宽度相等。
最大切应力tmax 在中性轴z处
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 2 4
2d
3π
πd 4 d
64
4FS 4FS 3 π d 2 3A 4
2d /3p
d
tmax
O
k
k'
O' y
薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征：
(1) <<r0→沿壁厚切应 tmax
r0
tmax
力的大小不变；
O
(2) 内、外壁上无切应力 t
→切应力的方向与圆周
y
相切；
(3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y
最大切应力tmax 仍发生
在中性轴z上。
轴相交的各点处切应力
为零。
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
45
45
Wz
Iz ymax
75103 9.5 274.6
28.8MPa [t ]
满足强度条件
例4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许 用正应力[σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试 选择工字钢的型号。
50kN
80kN
A 150 500
B 500 47.5kN
50kN 7.5kN.m
料均为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校
核该梁的强度。
50kN 50kN 50kN
F1 F2
100 9.5
10 320 10
弯曲应力-材料力学
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
另外，根据不同的弯曲形式和受力情 况，还可以采用其他计算公式来求解 弯曲应力，如均布载荷下的简支梁、 集中载荷下的悬臂梁等。
弯曲应力的计算方法
根据材料力学的基本原理，弯曲应力 的计算公式为：σ=M/Wz，其中σ为 弯曲应力，M为弯曲力矩，Wz为截面 对中性轴的抗弯截面系数。
弯曲应力可能导致材料发生弯曲变形，影响结构的稳定性和精度。
弯曲应力对材料刚度的影响
弯曲应力对材料的刚度有影响，材料的刚度随着弯曲应力的增大而 减小。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
弯曲应力
材料的韧性和强度都会影响其弯曲应力的大小和分布。韧性好的材料能够更好地分散和 吸收弯曲应力，而高强度的材料则能够承受更大的弯曲应力而不发生断裂。
材料韧性、强度与弯曲应力的关系
韧性
是指材料在受到外力作用时吸收能量的能力。韧性好的材料能够吸收更多的能量，从而 减少因弯曲应力而产生的脆性断裂。
强度
剪切应力的分布
剪切应力在材料截面的边缘最大，向中性轴方向 逐渐减小。
3
剪切应力和弯曲应力的关系
剪切应力和弯曲应力共同作用，影响梁的承载能 力和稳定性，在设计时需要考虑两者的相互作用。
弯曲应力与剪切应力的关系
1 2
剪切应力在弯曲应力中的作用
在弯曲过程中，剪切应力会在材料截面的边缘产 生，它与弯曲应力相互作用，影响梁的承载能力 和稳定性。
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学课件 第4章弯曲应力作业
la
1.5 1
4-24 解：
z
h
A
b
第
4 章
max
M max Wz
3.5 10 3 3b3 2
[ ]
弯 曲
得：
应
M
力 作
b3
2 3.5 103 310106
61.56mm
业
题
F
F
C
D
B
a
a
㈩
3.5kN.m
4-31 解：Fs,max F , M max 0.9F
3934N
作
业 （2）梁的最大正应力：
题
max
M max ymax Iz
0.9F Iz
ymax
0.9 3934 0.075 2.8110 5
9.45MPa
4-34 解：
F
z
（1）当移动到梁中点处，h
A
B
弯矩最大：
b
1m
第
4 章
M max
Fl 4
401 4
10kN.m
4-1求指定截面上的剪力和弯矩
2
1
解： （a）求支座约束力
A
FA
FB
1 2
q0
2a
q0a
1
FA a
2
第
2a
4 章
Fs1
FA
1 2
q0 2
a
3 4
q0a
4a
q0
B
FB
弯
曲 应
M1
材料力学习题及答案4-6
第四章弯曲应力判断图弯矩的值等于梁截面一侧所有外力的代数和。
（）负弯矩说明该截面弯矩值很小，在设计时可以忽略不计。
（）简支梁上向下的集中力对任意横截面均产生负弯矩。
（）横截面两侧所有外力对该截面形心力矩的代数和就是该截面的弯矩值。
（）梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩代数和。
（）在计算指定截面的剪力时，左段梁向下的荷载产生负剪力。
（）在计算指定截面的剪力时，右段梁向下的荷载产生正剪力。
（）梁纯弯曲时中性轴一定通过截面的形心。
（）简支梁上受一集中力偶作用，当集中力偶在不改变转向的条件下，在梁上任意移动时，弯矩图发生变化，剪力图不发生变化。
（）图示梁弯矩图的B点是二次抛物线的顶点。
（）图示梁段上集中力偶作用点两侧的弯矩直线一定平行。
（）(M图)下列三种斜梁A截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁B截面的剪力均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2下列三种斜梁C截面的弯矩均相同。
（）l/2l/2l/2l/2l/2l/2梁弯曲时的内力有剪力和弯矩，剪力的方向总是和横截面相切，而弯矩的作用面总是垂直于横截面。
（）一端（或两端）向支座外伸出的简支梁叫做外伸梁。
（）##√悬臂梁的一端固定，另一端为自由端。
（）##√弯矩的作用面与梁的横截面垂直，它们的大小及正负由截面一侧的外力确定。
（）##√弯曲时剪力对细长梁的强度影响很小，所以在一般工程计算中可忽略。
（）##√图示，外伸梁BC段受力F作用而发生弯曲变形，AB段无外力而不产生弯曲变形（）##×由于弯矩是垂直于横截面的内力的合力偶矩，所以弯矩必然在横截面上形成正应力。
（）##√抗弯截面系数是反映梁横截面抵抗弯曲变形的一个几何量，它的大小与梁的材料有关。
（）##×无论梁的截面形状如何，只要截面面积相等，则抗弯截面系数就相等。
（）##×梁弯曲变形时，弯矩最大的截面一定是危险截面。
材料力学(给排水)第四章-弯曲应力
弯曲应力的计算方法
1 梁弯曲公式
常用于计算直梁受弯时的应力分布和最大应 力值。
2 等强度法
常用于计算不同形状截面的梁受弯时的应力 分布。
弯曲应力的分布特点
1 最大应力出现在最远离中性轴的位置
2 中性轴附近应力应变
2 下表面拉应变
3 中性面应变为0
弯曲应力的应力-应变关系
1 胡克定律
当弯曲应力小于材料的弹性极限时，应力与 应变成正比关系。
2 弹性模量
描述了材料在受力时的变形程度。
材料力学中常见的弯曲应力计算问题
1 悬臂梁的最大弯曲应力计算
2 叠木梁的弯曲应力分布计算
3 榀形梁的弯曲应力计算
弯曲应力的工程应用及实例
1 建筑结构设计
弯曲应力的分析和计算对 于设计坚固和稳定的建筑 结构至关重要。
2 桥梁工程
弯曲应力的研究可以帮助 工程师设计和评估桥梁的 结构和安全性。
3 车辆设计
在汽车和飞机等交通工具 的设计过程中，弯曲应力 是一个重要的考虑因素。
材料力学(给排水)第四章 -弯曲应力
在材料力学中，弯曲应力是一个重要的概念，它涉及到物体在受力时的弯曲 情况。本章将介绍弯曲应力的定义、计算方法、分布特点、应变状态、应力应变关系以及其工程应用及实例。
弯曲应力的定义
1 弯曲应力
当一个物体受到外力作用而发生弯曲时，物体内部会出现垂直于弯曲面的应力，这种应 力即为弯曲应力。
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
孙训方材料力学 第四章 弯曲应力 4
(0 ≤ θ ≤ π )
绘出弯矩图（图b）。最大弯矩 在固定端处的横截面 A上。 其值为
M max = 2 PR
2PR
(b)
, Q(x)=P1
,
M(x)= - P1x
(0≤ x ≤ a)
BA段： NP1a- P2 x1 (0≤ x ≤l)
P1a
P1
P1a+ P2l
例题4-14
一端固定的半圆环在其轴线平面内受集中荷载 作用，如图 a 所示。试作此曲杆的弯矩图。
曲杆横截面上弯矩的正，
m
负号的规定 ：使曲杆的曲率增加
R
P
（即外侧受拉）的弯矩为正。 解：写出曲杆任一横截面m—m 的弯矩方程。 取环的中心 O为极点，以 OB 为极轴用 θ 表示横截面的位置（图a）。
A O
m
θ x
B
m
R
A
m
求曲杆任一横截面m-m上的弯矩
P
θ O x
B
M (θ ) = Px = PR (1 − cos θ )
例题4-13 图 a 所示为下端固定的刚架。在其轴线平面内 受集中力 P1 和 P2 作用，作此刚架的内力图。
P1
Q(x)
P1
P2
C x B
a
C x
x1
M(x)
解：将刚架分为 CB，AB两段 CB段： N (x) = 0 Q(x) = P1 M(x) = - P1x
l
A
(0≤ x ≤ a)
P2
a B
P1
C a P2
B x
P1
x1
Q( x1)
M ( x1 )
C
x1
N ( x1)
A
材料科学基础第四章4-2应力场的表示方法简介
j－哑标 i－自由标
33
x1
规定：若在同一项中某一下标出现两次或两次以上，则不言而喻要对 该下标求和，下标取值范围为1, 2, 3
6
• 矩阵式：
p1 11 12 13 n1
p2 21 22 23 n2
p3
31
32
33
n3
• 并矢式：
p
n
p n
向量
13
用圆柱坐标r, , z 来表示：
ur
0,
u
0,
uz
b 2
i
ui xi
r z 0
r z 0
r 0, zr 0
z
G z
G uz
r
Gb
2r
o
b r
讨论：
o
G
2
• 螺位错附近无正应力
• 剪应力对称分布，在包含位错线的任何径向平面上剪应 力都是 G b
2 r
• 作用在滑移面上的剪应力反比于滑移面上离开位错线的距离14
引言：
• 研究位错应力场的意义：了解位错的力学行为包括位 错的分布以及与其他缺陷的交互作用，位错的弹性能 及晶体的强化
• 研究方法：弹性力学的方法 • 考察区域：指位错的中心区以外的区域，属弹性区
（小位移），而不是指位错的核心区（大位移）。
10
一、螺位错的应力场
螺位错的力学模型 位移：
ux uy 0 ( x、y方向无位移 )
uz x
ux z
b
2
1
y x2
y x
2
- b
2
x2
y
y2
tg-1x
'
1 1 x2
12
材料力学弯曲应力
六. 弯曲应力
从变形特点分析，到材料本构关系，到静力平衡
1、研究对象：等直、细长、对称截面梁
细长梁：长度比其高度大许多倍的梁， 一般来讲长高比 L/h > 20
有关细长梁的理论：经典梁理论， 或叫 Euler-Bernoulli 梁理论
2、基本假设:
(a) 小变形——在弹性变形范围内，
(b) 满足平面弯曲条件， (c) 纯弯曲。
dA
x
s
y
I yz 0
(d)
即：y -轴，z -轴为截面的形心主惯性轴
材料力学
六. 弯曲应力
§6.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，
亦必须满足 I yz 。0即 y、z 轴为截面的形心主惯性轴。
所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。
中性轴的特点：
q=0.5KN/m
D
A
B
d
z
L= 4m
1 qL2 8
(+)
M 图
M
max
1 8
qL2
材料力学
§6.3 弯曲正应力强度条件
解：
M max
1 8
qL2
1.0
103
N.m
由强度条件
Wz
D3(1 4 )
32
M max
[s ]
D 0.113m
六. 弯曲应力
1 qL2 8
(+)
M 图
若外径 D增加一倍，则 D 0.226m, 仍由强度条件，得
(x) EI
正应力计算公式为
s (x) M (x) y
I
材料力学
六. 弯曲应力
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
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图 4-2-3（a）（b）
（2）建立如图 4-2-3（b）所示坐标系
根据平衡方程求得固定端支反力：FA＝45kN，MA＝127.5kN·m。
剪力方程为： 弯矩方程为：
45
(0 x 2)
FS(x) 45 15x (2 x 3)
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0.6 0.2x (0 x 8) FS(x) 0.6 0.2x (8 x 10)
弯矩方程为：
M
(x)
0.6x 0.1x2
0.6x
0.1x2
4
(0 x 8) (8 x 10)
绘制内力图如图 4-2-3（d）所示。
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图 4-2-2 解：（1）建立如图 4-2-3（a）所示坐标系 剪力方程为： FS（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x＝－q0 x2/（2l）（0≤x≤l） 弯矩方程为： M（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x·（x/3）＝－q0x3/（6l）（0≤x＜l） 做内力图如图 4-2-3（a）所示。
一、弯曲的概念和梁的计算简图 1．弯曲的概念（见表 4-1-1）
表 4-1-1 弯曲的概念
2．梁的计算简图 根据支座对梁在荷载作用平面的约束情况，支座通常简化为三种基本形式：固定端、固 定铰支座、可动铰支座，主要内容见表 4-1-2。
表 4-1-2 梁的计算简图
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图 4-2-3（a）（b）
（2）建立如图 4-2-3（b）所示坐标系
根据平衡方程求得固定端支反力：FA＝45kN，MA＝127.5kN·m。
剪力方程为： 弯矩方程为：
45
(0 x 2)
FS(x) 45 15x (2 x 3)
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0.6 0.2x (0 x 8) FS(x) 0.6 0.2x (8 x 10)
弯矩方程为：
M
(x)
0.6x 0.1x2
0.6x
0.1x2
4
(0 x 8) (8 x 10)
绘制内力图如图 4-2-3（d）所示。
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图 4-2-2 解：（1）建立如图 4-2-3（a）所示坐标系 剪力方程为： FS（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x＝－q0 x2/（2l）（0≤x≤l） 弯矩方程为： M（x）＝－（1/2）·（q0/l）x·x·（x/3）＝－q0x3/（6l）（0≤x＜l） 做内力图如图 4-2-3（a）所示。
一、弯曲的概念和梁的计算简图 1．弯曲的概念（见表 4-1-1）
表 4-1-1 弯曲的概念
2．梁的计算简图 根据支座对梁在荷载作用平面的约束情况，支座通常简化为三种基本形式：固定端、固 定铰支座、可动铰支座，主要内容见表 4-1-2。
表 4-1-2 梁的计算简图
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12 103 250 96.4 18.07MPa 1.02
例题 4.7
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台 200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的 附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的 许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
m
n o
dA
z
y
y:到中性轴的距离
o
m
dx
n
z
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M M
y
Mz Mzy max Wz Iz
max
M x Wz
中性轴
例题 4.1
A
l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h 6 a F B h b C l 2 h2
y
max
§3 横力弯曲时的正应力和梁的正应力强度条件
max
对梁的某一截面：
M x Wz
max
Mymax M Iz WZ
M max ymax M max Iz Wz
对全梁（等截面）：
max
max
M max Wz
例题 4.4
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
F
A B
150 50
96.4 C 50
l 2
l 2
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
F
* N2
* 2 dA *
A
A
M dM y1 dA
Iz
Fs S I zb
* z
* Fs S z IZb
Fs – 横截面上的剪力；
b – 截面的宽度；
IZ – 截面对中性轴的惯性矩； SZ＊ – 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.
b
Fs h 2 y ( y2 ) 2I Z 4
2F
1400 600
z
200 50
12kNm
16kNm
A
பைடு நூலகம்
M Ayl 16 103 250 96.4 24.09MPa 8 IZ 1.02 10
A
M Ay y IZ
16 103 96.4 15.12MPa 8 1.02 10
B
M By y IZ
M max B
1.875 1.86 100 ％ 0.8％ 1.875
1.875 103 cm3
例题 4.8
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直 径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝ 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
4m
L 1 L2
7 63 F 31.5kN 4
2m
2 5 10 m
31.5 31.5 31.5
31.5
WZ
M max
189 103 879cm3 215
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.11
q
A
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
B
h
x
dx
l
q 30 kN m
A
0 .5 m
WZ
B
M max
61.2cm3
2m
FB 28.1kN
FA 46.9kN
31.9
查表
N0 12.6工字钢
15 3.75
kN
WZ=77.5cm3
28.1
kNm
13.16
例题 4.5
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度 ［σ－］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。
c
b
1 h FL M y a B a 2 3 3 bh IZ 12
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
1.65MPa
1 h FL M y c B c 2 3 2 2.47MPa （压） bh IZ 12
b 0
例题 4.2
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
200kN吊车 150kN吊车
B
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C
辅助梁
M max A 200 l 2.667 266.6kNm
FA
x
F
l
FB M max B 150 2 300kNm
max
WZ
M max B Wz
q 2 kN m
200
4m
200
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
100
例题 4.3
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
b
解：
1、计算梁底层微段的伸长量
2、梁的最底层纤维的总伸长
例题 4.12
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面 为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有 两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正 确的。
z
d d
d 2 d 2
z
d 2 d 2
z z
d
d
(a)
(b)
(c)
B
§4 梁弯曲时的切应力和梁的切应力强度条件
q
FR
FR
kN
kNm
一、矩形截面梁的切应力
假设：
1、横截面上的τ方向与FS平行
y
Fs
z
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
h 2
1 2
F
z
y
a a x
1 2
dx
a
1
a
2
h 2
y
y
y1
dA
A
h
h0
z
max
t
min
FS b h 2 h02 d h02 2 y I d 横截面上的切应力(95--97)％ Z 2 4 4 2 4 由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5) ％,且翼缘上的切应力情况又 FS bh 2 bh02 dh02 max 比较复杂.为了满足实际工程中 IZ d 8 8 8 计算和设计的需要仅分析腹板 上的切应力. IZ FS bh 2 bh02 min * IZ d 8 8 S
h2
z
y
max
h2
y0
A
y
max
3F s F sh 2 F sh 2 3 2A bh 8I Z 8 12
例题 4.13
F
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
h
M max
FL 4
bh 2 WZ 6
l 2
l 2
Fs max
max
F 3 2 3 Fs 3 F 2 bh 2 A 4 bh
150kN吊车
B
200kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
C
辅助梁
M M
A
0 0
FA
F
l
x
FB
B
FP l x F F B B l F l x 0 l F Fx FAl 0 FAx l
令: FA Fx 200kN l
FB
F l x l
D
d
q
A B
FB
C
3q FA kN 4
梁的强度
FB
9q kN 4
FA
2m
1m
M max 0.5q WZ WZ
1 q 2
9q 32
WZ 15.68kN / m 0.5 杆的强度 9q 4 FNBD 1 2 d A 4 q
y
y
b
M
M dM
FN 1
dM FN 2
a
* * FN F 2 N 1 y bdx 0
a
2
Iz
A*
y1dA y bdx
1
S z
My1 M dA F * 1dA * A A Iz Iz
* N1