福建省莆田市涵江区2020-2021学年九年级上学期期末质检数学试卷
2020-2021学年莆田八中九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年莆田八中九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知sina=√3，且a是锐角，则a=()2A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°2.关于中心对称的描述不正确的是A. 把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对称B. 关于中心对称的两个图形是全等的C. 关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心D. 如果两个图形关于点O对称，点A与A′是对称点，那么OA=OA′3.下列各选项中，其主视图如图所示的是()A.B.C.D.4.下列事件中，随机事件是()A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B. 实心铁球投入水中会沉入水底C. 一滴花生油滴入水中，油会浮在水面D. 两负数的和为正数5.一元二次方程的根为()A. ，B. ，C. ，D. ，6.抛物线y=2x2−4x+3的对称轴为()A. 直线x=−1B. 直线x=1C. 直线x=−2D. 直线x=27.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 88.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是S甲2=0.56，S乙2=0.45，S丙2=0.50，S丁2=0.60；则成绩最稳定的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9.如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为()A. 1：16B. 1：8C. 1：4D. 1：210.如图，一副眼镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB//x轴，AB=4，最低点C在x轴上，高CH=1，BD=2，则右轮廓线DEF所在抛物线的函数解析式为A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.A为反比例函数y=k图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB=4，则k的值为______．x12.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和−3，则分解因式：x2+bx+c=______ ．13.如图，已知△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．(1)若AD=4，则EF的长为______．(2)若∠ABC=45°，AB=2√2，则EF的最小值为______．14.已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD=3.若CB−CD=2，则四边形ABCD的面积为______．15.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是______．16.请写出一个y随x的增大而增大的反比例函数的表达式：______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有2个分别标有数字1，−1的小球，乙口袋中装有3个分别标有数字−1，0，1的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字为x，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字为y．(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种)，表示出点P可能出现的所有坐标；(2)求点P(x,y)在函数y=−x图象上方的概率．四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）18.计算：√13+√12−√(−3)2+√−83．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．(1)求出点A的坐标和点D的横坐标；(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5，求a的值；4(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．20.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC=BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．(1)求证：△ACE≌△BCD．(2)若CD=2，BD=3√2，求⊙O的半径．(3)若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD=a，BD=b，求CF+FO.(用含有a，b的代数式表示)21.“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元．“五一”期间，决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价1元，平均每天可多售出10件．设每件降价x元．据此规律，求每件降价多少元时，日盈利可达到2240元？22.如图1，△ABC的三个顶点都在正方形网格线的交点上，我们把这样的三角形称为格点三角形．(1)请在图1中画一个与△ABC面积相等且不全等的格点三角形．(2)请在图2和图3的网格图中画出与△ABC相似(且都互不全等)的三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．图2相似比：______ ；图3相似比：______ ．23.如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向，求海轮行驶的路程AB(结保留根号)．24.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F．(1)若AC⊥BE，求AE的长；(2)设△DEF和△DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时，求S1：S2；(3)当AE的长是多少时，△DCF是等腰三角形？25.如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们定义：这样的两条抛物L1，L2互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．(1)如图2，已知抛物线L3：y=2x2−8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的点D的坐标；(2)请求出以点D为顶点的L3的友好抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；(3)若抛物y=a1(x−m)2+n的任意一条友好抛物线的解析式为y=a2(x−ℎ)2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．，得出a的值．根据sin60°=√32解：∵sina=sin60°=√3，a是锐角，2∴a=60°．故选B．2.答案：A解析：A、一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．故本选项错误；B、关于中心对称的两个图形是全等的，故本选项正确；C、关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心，故本选项正确；D、根据中心对称的性质可得此说法正确，故本选项正确．故选A．3.答案：B解析：解：A.正方体的主视图是正方形，因此A不符合题意；B.四棱柱的主视图是长方形的，且看不见的轮廓线用虚线表示，因此选项B符合题意；C.四棱柱的主视图是长方形的，且能看见的轮廓线用实线表示，因此选项C不符合题意；D.圆柱的主视图是长方形，因此D不符合题意；故选：B．根据主视图的意义逐项进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，理解能看到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是做出选择的关键．解析：解：∵经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，∴选项A符合题意；∵实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件，∴选项B不符合题意；∵一滴花生油滴入水中，油会浮在水面是必然事件，∴选项C不符合题意；∵两负数的和为正数是不可能事件，∴选项D不符合题意．故选：A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．此题主要考查了随机事件，要熟练掌握，事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件．5.答案：B解析：本题考查解一元二次方程的知识，解答本题的关键是熟练掌握若两个式子的积为0，至少有一个式子为0．解：∵(x−1)(x+2)=0，∴x−1=0或x+2=0，解得，，故选B．解析：解：∵抛物线y =2x 2−4x +3，∴该抛物线的对称轴是直线x =−−42×2=1，故选：B ．根据抛物线的对称轴是直线x =−b 2a 求得即可．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7.答案：C解析：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理.根据圆周角定理得∠BOC =2∠A =45°，由于⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径定理得CE =DE ，且可判断△OCE 为等腰直角三角形，所以CE =√22OC =2√2，然后利用CD =2CE 进行计算．解：如图，∵∠A =22.5°，∴∠BOC =2∠A =45°，∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE =DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE =√22OC =2√2，∴CD =2CE =4√2．故选C ．8.答案：B解析：解：∵S 甲2=0.56，S 乙2=0.45，S 丙2=0.50，S 丁2=0.60，∴S 乙2<S 丙2<S 甲2<S 丁2，∴成绩最稳定的是乙；根据方差的定义，方差越小数据越稳定．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．9.答案：D解析：解：∵两个相似三角形面积的比为1：4，∴它们的相似比=√14=12．故选D．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=√14，然后化简即可．本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．10.答案：C解析：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为(1,1)，∵AB//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为(−3,0)，∴右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0)，设右边抛物线的解析式为y=a(x−3)2，把D(1,1)代入得1=a×(1−3)2，解得a=14，故右边抛物线的解析式为y=14(x−3)2．11.答案：±8解析：解：由反比例函数的系数k的几何意义可得，|k|2=4，解得：k=±8．故答案为：±8．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变，从而可得出k的值．此题考查了反比例函数的系数k的几何意义，属于基础题，关键是根据题意得出S△AOB=|k|2，难度一般．12.答案：(x−2)(x+3)解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为2和−3，∴x2+bx+c=(x−2)(x+3)，故答案为：(x−2)(x+3)．本题考查了对一元二次方程的解和分解因式的关系的理解和运用，当x1、x2是方程x2+ax+b=0的两个根，则x2+ax+b分解因式为(x−x1)(x−x2)，代入求出即可．本题考查了分解因式和解一元二次方程的解的应用，注意：当x1、x2是方程x2+ax+b=0的两个根，则x2+ax+b分解因式为(x−x1)(x−x2).13.答案：2√3√3解析：解：(1)作直径EP，连接PF，如图1：∵EP为⊙O的直径，∴∠EFP=90°，∵∠P=∠BAC=60°，∴∠PEF=30°，∴PF=12PE，EF=√3PF=√32PE，∵PE=AD=4，∴EF=√32×4=2√3；故答案为：2√3；(2)∵EF=√32PE=√32AD，∴当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，如图2，：∵∠ABC=45°，AB=2√2，∴AD=√22AB=2，∴EF=√32×2=√3．故答案为：√3．(1)作直径EP，连接PF，由圆周角定理可得∠EFP=90°，解直角三角形PEF即可；(2)当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，解直角三角形ABD，求得AD的长，即直径的长，再根据EF与直径AD的数量关系即可求得答案．本题考查了圆周角定理、解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．14.答案：8解析：解：∵∠A=90°，AB=AD=3，∴BD=√AB2+AD2=√32+32=3√2，设CB=x，则CD=x−2，∵∠C=90°，∴CD2+BC2=BD2，∴(x−2)2+x2=(3√2)2，解得，x=1+2√2或x=1−2√2(舍去)，∴x−2=2√2−1，∴四边形ABCD的面积为：AD⋅AB2+BC⋅CD2=3×32+(1+2√2)(2√2−1)2=8，故答案为：8．根据题意，利用勾股定理可以求得BD的长，然后根据CB−CD=2，再由勾股定理可以求得BC和CD 的长，再分别求得△ABD和△BCD的面积，即可得到四边形ABCD的面积．本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．15.答案：4π−4解析：解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积−△ABD的面积=90⋅π⋅42360−12×4×2=4π−4，故答案为：4π−4利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积−△ABD的面积．本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16.答案：y=−1x(x>0)(答案不唯一)解析：解：只要使反比例系数小于0即可．如y=−1x(x>0)，答案不唯一．故答案为：y=−1x(x>0)(答案不唯一)．反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k< 0；反之，只要k<0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．本题主要考查了反比例函数y=kx(k≠0)的性质：①k>0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；②k<0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．17.答案：解：(1)画树状图为：共有6种等可能的结果数，它们为(1,1)，(1,0)，(1,−1)，(−1,1)，(−1,0)，(−1,−1)；(2)在函数y=−x图象上方的点有(1,1)和(1,0)，所以点P(x,y)在函数y=−x图象上方的概率=26=13．解析：(1)画树状图展示所有6种等可能的结果数；(2)根据直线上的点的坐标特征可判断在函数y=−x图象上方的点有(1,1)和(1,0)，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．18.答案：解：原式=√3+2√3−3−23−5．=7√33解析：直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.答案：解：(1)当y=0时，ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)，∵直线l：y=kx+b过A(−1,0)，∴0=−k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2−2ax−3a=kx+k，即ax2−(2a+k)x−3a−k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4；(2)由(1)知，点D的横坐标为4，=−1×4，∴−3−ka∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；过E作EF//y轴交直线l于F，设E(x,ax2−2ax−3a)，则F(x,ax+a)，EF=ax2−2ax−3a−ax−a=ax2−3ax−4a，∴S△ACE=S△AFE−S△CEF=12(ax2−3ax−4a)(x+1)−12(ax2−3ax−4a)x=12(ax2−3ax−4a)=12a(x−32)2−258a，∴△ACE的面积的最大值=−258a，∵△ACE的面积的最大值为54，∴−258a=54，解得a=−25；(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2−2ax−3a=ax+a，即ax2−3ax−4a=0，解得：x1=−1，x2=4，∴D(4,5a)，∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P(1,m)，①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q(−4,21a)，m=21a+5a=26a，则P(1,26a)，∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+(5a)2+32+(26a−5a)2=22+(26a)2，即a2=17，∵a<0，∴a=−√7 7∴P(1,−26√77)；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q(2,−3a)，m=5a−(−3a)=8a，则P(1,8a)，∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴(−1−1)2+(8a)2+(1−4)2+(8a−5a)2=52+(5a)2，即a2=14，∵a<0，∴a=−12，∴P(1,−4)，综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P(1,−26√77)或(1,−4)．解析：本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)解方程即可得到结论；根据直线l：y=kx+b过A(−1,0)，得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；(2)过E作EF//y轴交直线l于F，设E(x,ax2−2ax−3a)，得到F(x,ax+a)，求出EF=ax2−3ax−4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；(3)令ax2−2ax−3a=ax+a，即ax2−3ax−4a=0，得到D(4,5a)，设P(1,m)，①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．20.答案：解：(1)证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∴∠ACE=90°−∠ECB=∠BCD，在△ACE和△BCD中，{∠ACE=∠BCD AC=BC∠CAE=∠CBD，∴△ACE≌△BCD(ASA)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴CE=CD，AE=BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD=2，BD=3√2，∴DE=2√2，AE=3√2，∴AD=5√2，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴AB=√AD2+BD2=2√17，∴⊙O的半径为√17；(3)过O作OH⊥AD于H，如图：∵△ECD是等腰直角三角形，CD=a，∴ED=√2a，CF=√22a，∵F为DE的中点，∴CF=DF=12DE=√22a，∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD=b，∴AD=ED+AE=√2a+b，∵OH⊥AD，∠ADB=90°，∴OH//BD，∵AO=OB，∴OH=12OB=12b，DH=12AD=√22a+12b，OH=12BD=12b，∴HF=DH−DF=(√22a+12b)−√22a=12b，在Rt△OHF中，FO=√OH2+HF2=√22b，∴CF+FO=√22a+√22b.解析：(1)∠ACE=90°−∠ECB=∠BCD，∠CAE=∠CBD，AC=BC，利用“ASA“即可证明；(2)先求出AE和AD，在Rt△ABD中用勾股定理可得AB，从而求出⊙O半径；DE，利用OH是△ABD中位线求出OH和HF，再在Rt△OHF中用勾(3)过O作OH⊥AD于H，CF=12股定理求出OF，从而可得答案．本题考查圆、全等三角形、勾股定理等综合知识，解题的关键是勾股定理的应用．21.答案：解：设每件商品降价x元，则降价后每件商品盈利(20−x)元，商场日销售量增加10x件，根据题意得：(20−x)(100+10x)=2240，整理得，x2−10x+24=0，解得x1=4，x2=6．答：每件商品降价4或6元时，商场日盈利可达到2240元．解析：等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2240，由此列出方程求解即可．考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2240的等量关系是解决本题的关键．22.答案：2：1√2：1解析：解：(1)如图1中，△DEF即为所求．(2)如图2中，△DEF∽△ABC，相似比为2：1．如图3中，△DEF∽△ABC，相似比为√2：1故答案为2：1，√2：1．(1)利用等高模型解决问题即可．(2)利用数形结合的思想解决问题，首先确定相似比，然后画出符合条件的三角形即可．本题考查作图−相似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.答案：解：在Rt△APC中，∠APC=45°，∴CA=CP=√2AP=20√2，2在Rt △APC 中，tanB =CPCB ， 则CB =CPtanB =20√6，∴AB =AC +CB =20√2+20√6，答：海轮行驶的路程AB 为(20√2+20√6)海里．解析：根据等腰直角三角形的性质分别求出CA 、CP ，根据正切的定义求出CB ，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24.答案：解：(1)∵四边形ABCD 是矩形；∴△ABE 是直角三角形； ∵AC ⊥BE ， ∴∠AFB =90°，∴ABE +∠AEB =∠ABE +∠BAC =90°， ∴∠AEB =∠BAC ， ∴△ABC∽△EAB ， ∴ABEA =BCAB ， ∴3EA =43， ∴EA =94．(2)过F 作BC ，AD 的垂线，长度分别为ℎ1和ℎ2 ∵△AEF∽△CBF ， ∴ℎ1ℎ2=m4，∵ℎ1+ℎ2=3， ∴ℎ1=12m+4，ℎ2=3mm+4； ∵△AGF∽△CBA ，∴AG BC =ℎ1AB ，∴AG =16m+4， ∴DG =4−16m+4，∴S1：S2=4−mm+4×12×12：(9−16m+4)×3×12，∴S1：S2=m(4−m)：16．(3)本题分三种情况：①当CD=CF=3时，AF=2，由(1)得AE：BC=AF：FC，∴AE=83．②当DF=CF时，F为AC的中点，此时E、D重合，∴AE=4．③当DF=CD=3时，作DM⊥AC于G，则CM=FM=95，AF=75，由(1)得AE：BC=AF：FC，∴AE=149．综上，AE=83或4或149．解析：(1)利用已知条件，得到，△ABC∽△EAB，得到ABEA =BCAB，代入求值即可得到AE；(2)过F作BC，AD的垂线，长度分别为ℎℎ1和ℎ2，根据△AEF∽△CBF和△AGF∽△CBA，得到AG=16m+4，可以求得DG=4−16m+4，代入可得到比值；(3)分三种情况进行讨论，分别是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分开讨论即可得到结果．本题主要考查了相似三角形的判定及性质定理，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质是解题的关键．25.答案：解：(1)∵抛物线L3：y=2x2−8x+4，∴y=2(x−2)2−4，∴顶点为(2,4)，对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C(0,4)，∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：(4,4)；(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,−4)，∴L4的解析式为y=−2(x−4)2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；(3)a1与a2的关系式为a1+a2=0或a1=−a2.…8分理由如下：∵抛物线y=a1(x−m)2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x−ℎ)2+k，∴y=a2(x−ℎ)2+k过点(m,n)，且y=a1(x−m)2+n过点(ℎ,k)，即k=a1(ℎ−m)2+n…①n=a2(m−ℎ)2+k…②由①+②得(a1+a2)(ℎ−m)2=0.又“友好”抛物线的顶点不重合，∴ℎ≠m，∴a1+a2=0或a1=−a2．解析：(1)设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2−8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；(2)由(1)可知点D的坐标为(4,4)，再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；(3)根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得(a1+a2)(ℎ−m)2=0.可得a1=−a2．本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是(3)问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．。
2021-2022学年福建省莆田市九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年福建省莆田市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.以下各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是()A. x+2=0B. x2−5x=2020−5x−2021=0C. 3x3+6x=1D. 1x2.下列各点中，在二次函数y=−x2的图象上的是()A. (1,−1)B. (2,−2)C. (3,−3)D. (4,−4)3.已知关于x的一元二次方程x2+3x−m=0的一个根是x=2，则m的值为()A. −10B. −2C. 2D. 104.下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等；其中是假命题的是()A. ③B. ②③C. ①③D. ①②③5.如图，若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角α得到的图形与原来的图形重合，则α最小值为()A. 180°B. 120°C. 90°D. 60°6.某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该小区常驻人口1820人，三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是()A. 500(1+x)2=1820B. 500+500(1+x)2=1820C. 500(1+x)+500(1+x)2=1820D. 500+500(1+x)+500(1+x)2=18207.已知点P坐标为(5,2)，将线段OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′，则点P的对应点P′的坐标为()A. (−5,2)B. (−2,5)C. (2,5)D. (2,−5)8.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=66°，则∠BOC=()A. 24°B. 48°C. 132°D. 114°9.某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试.若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为()A. 18B. 14C. 38D. 1210.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(−1,0)和(3,0)，且抛物线还经过点(−4,y1)和(4,y2)，则下列关于y1、y2的大小关系判断正确的是()A. y1<0<y2B. y2<0<y1C. 0<y2<y1D. 0<y1<y2二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若点P(m,−1)与点Q(−2021,n)关于原点成中心对称，则m+n的值是______．12.抛物线y=x2+6x+c与x轴有且只有1个公共点，则c=______．13.有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共100个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4，由此可以估计纸箱内红球的个数约是______个．14.等腰△ABC的底和腰分别是一元二次方程x2−5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为______．15.如图，在正十边形中，连接A1A4，A1A7，则∠A4A1A7=______．16.如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=40°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.下列结论正确的是______.(填序号)①点D是BC的中点；②点D是BE⏜的中点；③阴影部分的面积为10π；④∠CDF=20°．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.解方程：2x2−5x+3=0．OC，若AB= 18.如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，CD=126√5，求⊙O的半径．19.一抛物线以(−1,9)为顶点，且经过x轴上一点(−4,0)，求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标．20.某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y(kg)与每千克降价x(元)(0<x<10)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求y关于x的函数解析式．(2)该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？21.甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的三个数值为−2020，−1，3.乙袋中的三张卡片上所标的数值为−2，1，2021.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．(1)用树状图或列表法写出点A(x,y)的所有情况．(2)求点A落在第三象限的概率．22.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD=AB．(1)请用尺规作图法作△ABC绕点A旋转后得到的△ADE，使旋转后的AB边与AD边重合．(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接CE，若∠B=60°，求证：CE=AE．23.如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．(1)求证：CD是半圆O的切线．(2)若AD=20，CD=50，求BC和AB的长．24.如图，点P(3m−1,−2m+4)在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．(1)求点P的坐标．(2)当∠APB绕点P旋转时，①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA2+OB2的最小值．25.抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A(−2,0)和点B(6,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标．(2)将抛物线y=ax2+2x+c右移5个单位，下移15个单位得到新抛物线y′，当自变2量x在3≤x≤9的范围时，求y′的最小值．(3)在x轴正半轴上有一动点E(m,0)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线y=ax2+2x+c于点P，交抛物线y′于点Q，若△CPQ的面积为20，求m的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.是一元一次方程，故选项不合题意；B.符合一元二次方程的定义，选项符合题意；C.未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不合题意．D.不是整式方程，故选项不合题意；故选：B．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】A【解析】解：当x=1时，y=−x2=−1，当x=2时，y=−x2=−4，当x=3时，y=−x2=−9，当x=4时，y=−x2=−16，所以点(1,−1)在二次函数y=−x2的图象上．故选：A．分别计算自变量为1、2、3、4所对应的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．D【解析】解：把x=2代入可得22+3×2−m=0，解得m=10，故选：D．把x=2代入求值即可．本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程22+3×2−m=0是解此题的关键．4.【答案】A【解析】解：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，是真命题；②垂直于弦的直径平分这条弦，是真命题；③在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，故本小题说法是假命题；故选：A．根据轴对称图形和中心对称图形的概念、垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5.【答案】D【解析】本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，根据旋转对称图形和旋转角的概念作答．【解答】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．则α最小值为60度．故选D．6.【答案】D【解析】解：∵三月已有500人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，∴四月份接种人数为500(1+x)，五月份为500(1+x)2人，∴方程为：500+500(1+x)+500(1+x)2=1820，故选：D．分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出两个月的接种人数．7.【答案】B【解析】解：如图，P′(−2,5)，故选：B．画出图形，利用图象法解决问题即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．8.【答案】C【解析】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=66°，∴∠B=90°−∠DAB=24°，∵CD⊥AB，∴AD⏜=AC⏜，∴∠B=∠ADC=24°，∴∠AOC=2∠ADC=48°，∴∠BOC=180°−∠AOC=132°，故选：C．连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，从而求出∠B，然后利用垂径定理可得AD⏜=AC⏜，从而根据等弧所对的圆周角相等求出∠B=∠ADC=24°，进而求出圆心角∠AOC的度数，即可解答．本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：设“物理、化学、政治、历史”分别用A、B、C、D表示，画树状图如图所示：共有16种可能性结果，其中李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，∴李鑫和张锋恰好一人选物理，另一人选化学的概率为216=18，故选：A．根据题意画出树状图，共有16种可能性结果，其中他们恰好一人选物理，另一人选化学的结果有2种，再由概率公式求解即可．本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．10.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(−1,0)和(3,0)，∴y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3，∴x=−4时，y1=21，x=4时，y2=5，∴y1>y2>0，故选：C．先由点(−1,0)和(3,0)求得二次函数的解析式，然后求得y1和y2的大小，即可得到y1、y2的大小关系．本题考查了二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与x轴的交点坐标求得函数解析式．11.【答案】2022【解析】解：∵点P(m,−1)与点Q(−2021,n)关于原点成中心对称，∴m=2021，n=1，则m+n=2021+1=2022．故答案为：2022．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．12.【答案】9【解析】解：∵抛物线y=x2+6x+c与x轴有且只有1个公共点，∴62−4c=0，解得：c=9，故答案为：9．由二次函数图象与x轴的交点个数与系数间的关系求得c的取值．本题考查了二次函数图象与x轴的交点个数与系数的关系，解题的关键是熟知二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的解之间的关系．13.【答案】40【解析】解：根据题意得：100×0.4=40(个)，答：估计纸箱内红球的个数约是40个．故答案为：40．用总球的个数乘以红球的频率即可得出答案．本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．14.【答案】9【解析】解：x2−5x+4=0，(x−4)(x−1)=0，x−4=0或x−1=0，所以x1=4，x2=1，因为1+1=2<4，不符合三角形三边的关系，所以等腰三角形的底边为1，腰为4，所以三角形的周长为4+4+1=9．故答案为：9．先利用因式分解法解方程得到x1=4，x2=1，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的底边为1，腰为4，然后计算三角形的周长．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．15.【答案】54°【解析】解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4=3×360°=108°，10×108°=54°．∴∠A4A1A7=12故答案为：54°．找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．本题考查了多边形的内角与外角，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．16.【答案】①②④【解析】解：如图，连接AD，∵AB是直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC=6，∠BAC=40°，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=20°，∴BD⏜=DE⏜，∴点D是BC的中点，点D是BE⏜的中点，故①②正确；∵∠ADC=∠DFC=90°，∠C=∠C，∴∠DAC=∠CDF=20°，故④正确；连接OE，∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE=40°，∴∠AOE=180°−40°−40°=100°，，∵S扇形AOE =100π×32360=52π，∴S阴影<52π，故③错误；故答案为：①②④．利用圆周角定理以及等腰三角形三线合一的性质即可判断①②；根据同角的余角相等即可判断④；求得扇形的面积即可判断③．本题考查了扇形面积公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．17.【答案】解：方程2x2−5x+3=0，因式分解得：(2x−3)(x−1)=0，可得：2x−3=0或x−1=0，解得：x1=32，x2=1．【解析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．18.【答案】解：如图，连OA，设⊙O的半径为r，∵半径OD⊥弦AB于点C，∴AC=BC=12AB=12×6√5=3√5，∵CD=12OC，∴OC=23r，在Rt△OAC中，∵OC2+AC2=OA2，∴(23r)2+(3√5)2=r2，解得r1=9，r2=−9(舍)，∴⊙O的半径为9．【解析】如图，连OA，设⊙O的半径为r，则OC=23r，根据垂径定理得到AC=3√5，接着根据勾股定理得到(23r)2+(3√5)2=r2，然后解方程即可．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．19.【答案】解：设抛物线解析式为y=a(x−ℎ)2+k，依题意得ℎ=−1，k=9，将(−4,0)代入y=a(x+1)2+9中，得0=9a+9，解得a=−1，∴抛物线解析式为y=−(x+1)2+9．令x=0，则y=8，∴抛物线与y轴交点为(0,8)．【解析】设抛物线解析式为y=a(x−ℎ)2+k，把(−1,9)和(−4,0)代入可得解析式，再把x=0代入可得与y轴的交点．本题考查待定系数法求二次函数的解析式，利用顶点式求出二次函数解析式是解题关键．20.【答案】解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b(k ≠0)，将(2,60)，(4,70)代入y =kx +b 得：{2k +b =604k +b =70， 解得：{k =5b =50， ∴y 关于x 的函数解析式为y =5x +50(0<x <10)．(2)依题意得：(40−x −20)(5x +50)=1105，整理得：x 2−10x +21=0，解得x 1=3，x 2=7．又∵要让顾客得到更大的实惠，∴x =7．答：这种榴莲每千克应降价7元．【解析】(1)观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出y 关于x 的函数解析式；(2)利用该商场在销售这种榴莲中获得的总利润=每千克的销售利润×销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合要让顾客得到更大的实惠，即可得出这种榴莲每千克应降价7元．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据图象上点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．21.【答案】解：(1)列表如下：−2020−13−2(−2020,−2)(−1,−2)(3,−2)1(−2020,1)(−1,1)(3,1)2021(−2020,2021)(−1,2021)(3,2021)由上表可知，点A(x,y)共有9种情况．(2)由(1)知，点A的坐标所有等可能的结果共有9种，其中点A落在第三象限的结果有2种，则点A落在第三象限的概率是2．9【解析】(1)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可；(2)找出点A落在第三象限的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：(1)如图所示，△ADE即为所求．(2)证明：连接CE，∵AB=AD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°．∵△ABC旋转至△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC=AE，∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AE【解析】(1)以AD为边，在AD上方作∠DAE=∠BAC，再在AE上截取AE=AC，从而得出答案；(2)先证△ABD是等边三角形得∠BAD=60°.结合△ABC≌△ADE知AC=AE，∠DAE=∠BAC，从而得∠CAE=∠BAD=60°，据此知△ACE是等边三角形，继而得证．本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质、作一个角等于已知角与作一条线段等于已知线段的尺规作图、等边三角形的判定与性质．23.【答案】(1)证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE=OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；(2)解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB=90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO=90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD=BF=20，DF=AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE=AD=20，EC=BC，∵CD=50，∴EC=CD−DE=50−20=30，∴BC=30，∴CF=BC−BF=10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=√DC2−CF2=√502−102=20√6，∴AB=DF=20√6，∴BC的长为30，AB的长为20√6．【解析】(1)过点O作OE⊥CD，垂足为点E，利用角平分线的性质证明OE=OB，即可解答；(2)过点D作DF⊥BC，垂足为点F，先证明四边形ADFB是矩形，从而得AD=BF=20，DF=AB，再利用切线长定理求出DE=AD=20，EC=BC，从而求出CF，最后在Rt△CDF中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵点P(3m−1,−2m+4)在第一象限的角平分线OC上，∴3m−1=−2m+4，∴m=1，∴P(2,2)；(2)①不变．过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，PM=PN=2，∴四边形QMPN是正方形，∴∠MPN=90°=∠APB，∴∠MPB=∠NPA．在△PMB和△PNA中，{∠MPB=∠NPA PM=PN∠PMB=∠PNA，∴△PMB≌△PNA(ASA)，∴BM=AN，∴OB+OA=OM−BM+ON+AN=2OM=4，②连接AB，∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，∵∠BPA=90°，∴AB2=PA2+PB2=2PA2，∴OA2+OB2=2PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小．根据垂线段最短原理，PA最小值为2，∴OA2+OB2的最小值为8．【解析】(1)由题意知，3m−1=−2m+4，即可解决问题；(2)①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N.利用ASA证明△PMB≌△PNA，得BM=AN，从而得出OB+OA=OM−BM+ON+AN=2OM；②连接AB，由勾股定理得AB2=PA2+PB2=2PA2，则OA2+OB2=2PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小．根据垂线段最短，从而得出答案．本题是几何变换综合题，主要考查了坐标与图形的变化−旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是构造全等三角形，属于中考常考题型．25.【答案】(1)把点A(−2,0)和点B(6,0)代入y =ax 2+2x +c ，得{4a −4+c =0,36a +12+c =0,解得{a =−12,c =6.抛物线的解析式为y =−12x 2+2x +6．∵点C 是y =−12x 2+2x +6与y 轴的交点，∴点C 的坐标为(0,6)．(2)将y =−12x 2+2x +6化为顶点式y =−12(x −2)2+8，将其右移5个单位，下移152个单位后，得y′=−12(x −7)2+12，∴当x <7时，y′随x 的增大而增大，当x >7时，y′随x 的增大为减小，∴在3≤x ≤9的范围内，x =3时，y′有最小值，令x =3，y′=−12(3−7)2+12=−152，∴y′的最小值为−152．(3)∵E(m,0)，直线l ⊥x 轴，∴P 点坐标为(m,−12m 2+2m +6)，Q 点坐标为(m,−12m 2+7m −24)，∴PQ =|−5m +30|，∵△CPQ 的面积为20，∴12×m ×|−5m +30|=20，∴解得：m =2或m =4或m =3+√17或m =3−√17(舍)，∴m 的值为2或4或3+√17．【解析】(1)把点A(−2,0)和点B(6,0)代入y =ax 2+2x +c ，求得a 与c 的值，得到函数的解析式，然后令x =0求得点C 的坐标；(2)将抛物线y 的解析式化为顶点式，然后求得平移后的抛物线y′的解析式，然后得到y′的增减性，进而求得函数在3≤x ≤9时的y′的最小值；(3)由点E求得点P和点Q的坐标，得到PQ的长，然后求得△CPQ的面积，再列出方程求得m的值．本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、二次函数的几何变换，解题的关键是会用待定系数法求得抛物线y的解析式．。
涵江区2020至2021学年九年级数学上期末质检试卷(含答案)
2020--2021学年九年级上学期期末质检试卷 数 学（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）准考证号 姓名 座位号一、选择题1.已知关于x 的方程062=-+kx x 的一个根为3=x ，则实数k 的值为A .1-B .1C . 2-D .22.抛物线3)2(2--=x y 的顶点坐标是A .（2，3- ）B .（2-，3- ）C . （2，3 ）D .（2-，3 ）3.关于x 的方程062=+-k x x 有两个相等的实数根，则k 的值为A . 1B .3C . 6D .94.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A . 等边三角形B .直角三角形C . 正方形D .正五边形5.直线2+-=x y 与双曲线xky =(0≠k )相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1-，则k 的值是A .3-B . 1-C . 1D .36.如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 是直径， CD 平分ACB ∠交⊙O 于D 点，则BAD ∠等于A . 30B . 45C . 60D . 75第6题 第7题7.如图，在□ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 交对角线BD 于点F ，若12=BD ，则BF 等于A .3B . 4C .6D .88.如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针旋转得到''C AB ∆，点C 的对应点'C 落在BC 边上，若 40'=∠BAB ,则C ∠为A . 50B . 60C . 70D . 80第8题 第9题9. 如图，A 为⊙O 外一点，AB 与⊙O 相切于B 点，点P 是⊙O 上的一个动点，若5=OB ，12=AB ,C 'B 'C B A F E DC B AB则AP 的最小值为A . 5B .8C . 13D .1810. 若抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，对称轴是直线21=x ，点A （2-，1y ）、B (1，2y )、 C (2，3y )都在该抛物线上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是A .321y y y <<B .312y y y <<C . 123y y y <<D .132y y y <<二、填空题11.点P （2-，1）关于原点的对称点'P 的坐标是 ； 12.如图，某小区门口的栏杆短臂m AO 1=，长臂m OB 12=． 当短臂端点高度下降m AC 5.0=，•则长臂端点高度上升BD 等于 m （栏杆的宽度忽略不计）；第12题13.若圆锥的底面直径为6cm ，母线长为10cm ，则圆锥的侧面积为 2cm ；14.元旦期间，九年（1）班数学研究小组的同学互送新年贺卡，如果研究小组有x 名学生，共送出132张贺卡，那么可列出方程为 ；15.如图，在正六边形ABCDEF 中，ACD ∆的面积为6，则正六边形ABCDEF 的面积为 ；第15题 第16题16.如图，A ，B 两点都在反比例函数xy 9=的图象上，它们的横作标分别为m ，n （n m <<0），过B 点作y BC ⊥轴于C 点，若ABC ∆的面积6，则nm的值为 .三、解答题17. （本小题满分8分）解方程0342=+-x xF E D C B A18. （本小题满分8分）如图，在ABC ∆中，o90=∠ACB ，6=AC ，12=BC ，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AC 方向向C 点运动，动点N 从C 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着CB 方向向B 点运动，如果M ，N 两点同时出发，当M 到达C 点处时，两点都停止运动.设运动的时间为t 秒，MCN ∆的面积为S .(1)(4分)用含t 的代数式表示：=CM ,=CN ，=S ；（2）(4分)求S 的最大值.第18题19.（本小题满分8分）如图，直线1l ∥2l ∥3l ，点A ， C 分别在直线1l ，3l 上，连接AC 交直线2l 于E 点，EC AE =. （1）（4分）尺规作图：在直线2l 上从左到右依次确定B ， D 两点，使得四边形ABCD 是矩形(保留作图痕迹，不必写作法及证明)；（2）（4分）在（1）的情况下，若4=AE ，60=∠AEB ，求矩形ABCD 的周长.1l2l3l第19题 20. （本小题满分8分）求证：相似三角形对应高的比等于相似比.（要求：画出图形，写出已知、求证，并加以证明）E C A21. （本小题满分8分）李师傅今年初开了一家商店，九月份开始赢利，十月份的赢利是3000元，十二月份的赢利是3630元，且从十月到十二月，每月赢利的平均增长率都相同. （1）（6分）求每月赢利的平均增长率；（2）（2分）按照这个增长率，预计明年一月份的赢利将达到多少元？22.（本小题满分10分）如图，ABC ∆与DEC ∆都是等腰直角三角形，90=∠=∠DCE ACB ，3==BC AC ，2==EC DC ，DEC ∆绕着点C 旋转.（1）（4分）如图1，求证：BE AD =；（2）（6分）如图2，当点A ，D ，E 在同一直线上，且点D 在ABC ∆内部时，求AD 的长.图1 图2 第22题E D C BA E DC B A23.（本小题满分10分） 阅读理解 在研究函数xy 6=的图象性质时，我们用“描点”的方法画出函数的图象. 列出表示几组x 与y 的对应值：描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数xy 6=的图象，如图1：图1可以看出，这个函数图象的两个分支分别在第一、二象限，且当0>x 时，与函数xy 6=在第一象限的图象相同；当0<x 时，与函数xy 6-=在第二象限的图象相同.类似地，我们把函数x k y =（k 是常数，0≠k ）的图象称为“并进双曲线”.认真观察图表，分别写出“并进双曲线”xy 6=的对称性、函数的增减性性质： ① （2分）图象的对称性性质： ； ② （2分）函数的增减性性质： ； 延伸探究（6分）如图2，点M ，N 分别在“并进双曲线”y =OM 与ON 的数量关系，并说明理由.图224.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AC 平分BAD ∠，过C 点作AD CE ⊥于E 点. （1）（5分）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）（7分）若10=AB ，8=AC ，求AD 的长. 第24题25. (本小题满分14分)如图，抛物线bx ax y +=2与x 轴相交于O ，A 两点，顶点D 在第一象限，点P 在该抛物线上. （1）若点P 坐标为（1，3）.①(3分)求b 与a 的函数关系式；②(4分)已知两点M (2，0)，N (5，0)，当抛物线bx ax y +=2与线段MN 没有交点时，求a 的取值范围；（2）（7分）若P 点在该抛物线的曲线段OD 上（不与点O ，D 重合），直线DP 交y 轴于点C ，过P 点作x PB ⊥轴于点B ，连接DA ，CB .求证：DA //CB .九年级上学期期末数学质检试卷参考答案及评分标准一、选择题1. A2. A3. D4. C5. A6. B7. B8. C9. B 10. D 二、填空题11.（2，1-） 12.6 13.π30 14.132)1(=-x x 15.18 16.73 17. （本小题满分8分）解方程0342=+-x x解法一：∵04314)4(2>=⨯⨯--=∆………………………………………………………………2分∴224±=x ……………………………………………………………………………………6分 ∴31=x ，12=x ………………………………………………………………………………8分 解法二：1442=+-x x …………………………………………………………………………………2分 1)2(2=-x ……………………………………………………………………………………4分 ∴12±=-x ……………………………………………………………………………………6分∴31=x ，12=x ………………………………………………………………………………8分解法三：0)1)(3(=--x x ………………………………………………………………………………4分∴03=-x 或01=-x …………………………………………………………………………6分 ∴31=x ，12=x ………………………………………………………………………………8分18.解：(1)t CM -=6，t CN 2=………………………………………………………………………2分 t t S 62+-=……………………………………………………………………………………4分（2）t t S 62+-=9)3(2+--=t ………………………………………………………………………………6分 （60<<t ）所以，当3=t 时， S 的最大值为9.………………………………………………………………8分19.解：（1）1l2l 3l如图， 所作的四边形ABCD 是矩形. ……………………………………………………………………4分 (2) ∵ BE AE =，60=∠AEB∴ABE ∆是等边三角形 …………………………………………………………………………………5分 ∴4==AE AB …………………………………………………………………………………………6分 又∵90=∠BAD ∴34482222=-=-=AB BD AD ……………………………………………………………7分所以，矩形ABCD 的周长为:=+)(2AD AB 838+. ………………………………………………………………………………8分20. 已知：如图，ABC ∆∽'''C B A ∆，BC AD ⊥于D 点，''''C BD A ⊥于'D 点. ……………2分求证：''''B A AB D A AD =（或''''C A ACD A AD =）………………………………………………………3分 正确画出图形得2分（也可画AB 或AC 的对应边上的高，则已知，求证相应改变）证明：∵ABC ∆∽'''C B A ∆∴'B B ∠=∠…………………………………6分∵BC AD ⊥于D 点，''''C BD A ⊥于'D 点. ∴o90'''=∠=∠B D A ADB …………………7分 ∴ ADB ∆∽'''B D A ∆ ∴''''BA ABD A AD =………………………………8分21.解：（1）设每月赢利的平均增长率为x . …………………………………………………………………1分 根据题意得：3630)1(30002=+x ……………………………………………………………………4分 解得：%101.01==x ，1.22-=x （不合舍去） …………………………………………………6分 所以，每月赢利的平均增长率为%10.(2)39933630%)101(=⨯+(元) ………………………………………………………………………8分 所以，预计明年一月份的赢利将达到3993元. 22.解：（1）∵BCD BCD ACB ACD ∠-=∠-∠=∠90BCD BCD DCE BCE ∠-=∠-∠=∠ 90∴ BCE ACD ∠=∠………………………………………………………………………………2分 又∵BC AC =，EC DC =∴ACD ∆≌BCE ∆…………………………………………………………………………………3分∴BE AD =…………………………………………………………………………………………4分 （2）方法一：当点A ，D ，E 在同一直线上时.∵ACD ∆≌BCE ∆∴CBE CAD ∠=∠…………………………………………………………………………………5分 ∴)()(CBE ABC CAD BAC ABE EAB ∠+∠+∠-∠=∠+∠90=∠+∠=ABC BAC∴90=∠AEB ………………………………………………………………………………………6分D 'C 'B 'A 'CB A∴222BE AE AB += 2)2()2(2222=+=+=CE CD DE1833222=+=AB设x AD =，则x BE =，2+=x AE .∴18)2(22=++x x ………………………………………………………………………………8分 解得：1221-=x ，1222--=x （不合舍去）所以，122-=AD .………………………………………………………………………………10分方法二：过C 作DE CH ⊥于H 点如图. ……………………5分 当点A ，D ，E 在同一直线上时，ACH ∆是直角三角形.∵90=∠DCE ，2==EC DC∴1)2()2(212122=+===DE CH DH ………………6分 ∴22132222=-=-=CH AC AH ……………………8分∴122-=-=DH AH AD …………………………………10分 23.解：阅读理解① “并进双曲线”关于y 轴对称；② 当0>x 时，y 随着x 的增大而减小；当0<x 时，y 随着x 的增大而增大.（以上每个性质写正确得2分） 延伸探究解：ON OM =…………………………………………………………………………………………………5分理由：过M 作x MA ⊥轴于A 点，过N 作x NB ⊥轴于B 点，如图2.设M （m ，m 6），N (n ,n6-)，则0>m ，0<n . ∴m OA =，m MA 6=,n OB -=,n NB 6-=. ……………………………………………………………6分∵90=∠MON∴NOB NOB MON MOA ∠-=∠-∠-=∠90180 ∵NOB ONB ∠-=∠90 ∴ONB MOA ∠=∠ 又∵90=∠=∠NBO OAM∴AOM ∆∽BNO ∆…………………………………………7分 ∴OBMANB OA =图2H EDCB∴n m nm-=-66 ∴36)(2=mn ……………………………8分∴6-=mn 或6=mn （不合舍去）∴nm 6-= …………………………………………………9分 ∴NB OA = （ 即1=NBOA）∴AOM ∆≌BNO ∆ ∴ON OM =………………………………10分24.（1）证明：连接OC 如图1：∵AB 是⊙O 的直径∴o90=∠ADB …………………………………………1分 ∵AD CE ⊥于E 点 ∴o90=∠AEC∴AEC ADB ∠=∠………………………………………2分 ∴BD //CE ………………………………………………3分 ∵AC 平分BAD ∠ ∴CD BC = ∴BD OC ⊥………………………………………………4分 图1∴CE OC ⊥∴CE 是⊙O 的切线………………………………………5分（2）解： ∵AB 是⊙O 的直径 ∴o90=∠ACB∴68102222=-=-=AC AB BC ………………6分∵CD BC =∴6==BC CD …………………………………………7分 方法一： 延长BC 交AE 的延长线于F 点，如图2.∵ ， AC AC =，90=∠=∠ACF ACB ∴ACB ∆≌ACF ∆………………………………………8分 ∴6==BC FC ，10==AB AF ……………………9分∵ADC CDF ∠-=∠180 , ADC ABF ∠-=∠180 图2∴ABF CDF ∠=∠又∵AFB CFD ∠=∠ ∴CFD ∆∽AFB ∆………………………………………10分∴AB CDFB FD = ……………………………………………11分 ∴1061210=-AD ∴514=AD ……………………12分 FAC BAC ∠=∠方法二：如图1.∵CAD BAC ∠=∠，o 90=∠=∠AEC ACB∴ABC ∆∽ACE ∆…………………………………………8分 ∴AB AC AC AE BCCE == ………………………………………9分 ∴10886==AE CE∴524=CE ，532=AE ……………………………………10分 ∵518)524(62222=-=-=CE CD DE ……………11分 图1 ∴514518532=-=-=DE AE AD ………………………12分 25.解：（1）①∵抛物线bx ax y +=2经过（1，3）∴3=+b a ，a b -=3……………………………………………………………3分② 由（1）得x a ax y )3(2-+= 方法一，有两种情况：（Ⅰ）当点A 与点M (2，0)重合时，0)3(24=-+a a ，3-=a ………………………………………………………4分∵a 越大，抛物线开口越小∴当3-<a 时，抛物线与线段MN 没有交点；…………………………………5分（Ⅱ）当点A 与点N (5，0)重合时，0)3(525=-+a a ，43-=a ……………………………………………………6分 ∵a 越小，抛物线开口越大，且0<a .∴当043<<-a 时抛物线与线段MN 没有交点；………………………………7分 综上所述，当3-<a 或043<<-a 时，该抛物线与线段MN 没有交点. 方法二，有两种情况：（Ⅰ）当抛物线与x 轴的另一个交点在M (2，0)点左侧时，抛物线与线段MN 没有交点.∵抛物线x a ax y )3(2-+=开口向下，经过原点且顶点在第一象限. ∴⎪⎩⎪⎨⎧<--<<12300a a a ………………………………………………………………4分 解得：3-<a ………………………………………………………………………5分（Ⅱ）当抛物线与x 轴的另一个交点在N (5，0)点右侧时，抛物线与线段MN 没有交点. ∴⎪⎩⎪⎨⎧>--<25230aa a …………………………………………………………………6分 解得： 043<<-a ………………………………………………………………7分 综上所述，当3-<a 或043<<-a 时，该抛物线与线段MN 没有交点.（2）过D 点作x DH ⊥轴于H 点如图：∵抛物线bx ax y +=2的顶点D （a b 2-，a b 42-） ∴a b DH 42-=，H （a b 2-，0）…………………………………9分 bx ax y +=2，当0=y 时，ab x -= ∴ 点A （ab -，0），a b OH OA HA 2-=-= (10)设直线PD 为：n mx y +=，P （P x ，P P bx ax +2），则B （P x ，0∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=+n m a b a b n mx bx ax p P P 2422，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=P P bx n B ax m 2122 ∴C （0，P bx 21）………………………………………………………12分 ∴P bx CO 21=，P x OB = ∵b ax a b x HA OB P P 22-=-=，b ax ab bx DH CO P P 24212-=-= ∴DHCO HA OB =……………………………………………………………13分 又∵90=∠=∠DHA COB∴COB ∆∽DHA ∆ ∴DAH CBO ∠=∠∴DA //CB .……………………………………………………………14分。
福建省莆田市2021年九年级上学期数学期末考试试卷A卷
福建省莆田市2021年九年级上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共10分)1. （1分） (2020九上·潮南期末) 下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A . 4B . 3C . 2D . 12. （1分）反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则k的值可为（）A . - 1B . 1C . -2D . 03. （1分）一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一个球，取到黄球的概率是（）A .B .C .D .4. （1分）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）A . 55°B . 45°C . 40°D . 35°5. （1分） (2017八上·云南期中) 九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（）A . x(x－1)＝2070B . x(x＋1)＝2070C . x(x＋1)＝2070D . x(x－1)＝20706. （1分）(2017·大冶模拟) 如图所示，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （1分）一个袋子中只装有两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有4个，黑球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后，放回袋中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 68. （1分） (2019九上·鄞州期末) 在Rt△ABC ，∠C=90°,A B=6．△ABC的内切圆半径为1,则△ABC的周长为（）A . 13B . 14C . 15D . 169. （1分）(2017·岱岳模拟) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列四个结论：①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；③关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0没有实数根；④ak4+bk2＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为常数）．其中正确结论的个数是（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个10. （1分）(2017·鹤壁模拟) 如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE= ，则AB的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为________ cm12. （1分）如图, ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD,连结AD、BC,得到四边形ABCD,则AB________CD(填位置关系),与ΔAOD成中心对称的是________，由此可得AD________BC(填位置关系)．13. （1分）(2012·朝阳) 如图，△ABC三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C的位置，且A′、B′仍落在格点上，则线段AC扫过的扇形所围成的圆锥体的底面半径是________单位长度．14. （1分）(2018·嘉定模拟) 抛物线y=x2+4x+3向下平移4个单位后所得的新抛物线的表达式是________．15. （1分） (2020九上·潮南期末) 这样铺地板：第一块铺2块，如图1，第二次把第一次的完全围起来，如图2；第三次把第二次的完全围起来，如图3；…依次方法，铺第5次时需用________木块才能把第四次所铺的完全围起来．16. （1分） (2018八上·宁波月考) 如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点 A 出发沿A—O—B 路径向终点 B 运动，同时点 Q 以1cm/s的速度从点B出发沿 B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是________秒．三、解答题 (共8题；共18分)17. （1分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3=0有一个根等于3，求它的另一个根和m的值．18. （2分）(2012·盘锦) 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的A、B两点，点B（﹣2，3），点A的横坐标为﹣2，且OA= ．（1）直接写出A点的坐标，并连接AB，AO，BO；（2）画出△OAB关于点O成中心对称的图形△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；（点A1、B1的对应点分别为A、B）（3）将△OAB水平向右平移4个单位长度，画出平移后的△O1A2B2．19. （3分）(2018·清江浦模拟) 一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n =1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球与摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）（2）从袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是________；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．20. （2分） (2019九上·淅川期末) 已知关于x的方程（m-1）x2-（m-2）x+ m=0.（1）当m取何值时方程有一个实数根？（2）当m取何值时方程有两个实数根？（3）设方程的两根分别为x1、x2，且x1x2=m+1，求m的值.21. （2分）(2018·姜堰模拟) 在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A(1, )，交x轴于点B．（1）求k的值；（2）求△AOB的面积．22. （2分）(2016·苏州) 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D 匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为________；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．23. （3分）(2017·重庆模拟) 如图，抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交于A，B两点（A点在B 点的左侧），与y轴交于点C，已知点D（0，﹣）．（1）求直线AC的解析式；（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值；（3）在（2）问的条件下，将得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，将△BPQ′沿直线BD平移，记平移中的△PBQ′为△P′B′Q″，在平移过程中，设直线P′B′与x轴交于点E．则是否存在这样的点E，使得△B′EQ″为等腰三角形？若存在，求此时OE的长．24. （3分） (2019九上·椒江期末)（1）尺规作图:已知：如图，线段AB和直线且点B在直线上求作：点C，使点C在直线上并且使△ABC为等腰三角形.作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C.（2）特例思考：如图一，当∠1＝90°时，符合（1）中条件的点C有________个；如图二，当∠1＝60°时，符合（1）中条件的点C有________个.（3）拓展应用：如图，∠AOB=45°，点M，N在射线OA上，OM=x，ON=x+2，点P是射线OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P有且只有三个，求x的值。
福建省2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题.docx
莆田二中2020-2021学年九年级上学期数学期末考试卷一、单选题（每小题4分，共40分） 1. -2的绝对值是（） 1 1 A. —2B. 2C. -------D.—222. 截至北京时间2020年6月26日9时30分，全球新冠肺炎确诊病例超过961万，将 961万用科学记数法表示为（） 8. 如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，E 是DC1.一点，DE = 1,将AADE 绕着点A 顺时针旋转到与A/妍重合，则EF=（）A. 9.61X103B. 9.61X105C. 9.61X106D. 9.61X1073. 下列事件是必然事件的是（ A. 乘坐公共汽车恰好有空座 B. 同位角相等C. 打开手机就有未接电话D. 三角形内角和等于180°4. 下列运算正确的是（）A. (a 2)5 = a 7B ci d = ClC. 5. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（） 6. 我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日 至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？ ”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从北海和南海同时起 飞，经过X 天相遇，可列方程为（ A. (9 - 7) x=lB. (9+7) x=lA 1、1 (* = 17.已知一元二次方程必_女+ 4 = 0有两个相等的实数根，则上的值为（）C. k = ±4（第8题）（第9题）（第15题） 3/b — 3ab 2= 0a 1~2A.B.A. 同B. ^42C. 5A /2D. 2A /139. 如图，半径为R 的。
的弦AC=BD,且AC±BD 于E,连结A3、AD,若AD=很, 则半径R 的长为（）A. 1B.J2 C. —D.—2210. 平面直角坐标系中，已知点P （m —1, n 2）, Q （m, 〃一 1）,其中m<0,则下列函数的 图象可能同时经过F,。
两点的是（） A.y=2x+b B.y= —j^+lx+cC.y=ax+2（a > 0）D.y=ax 2—2ax+c （a>0）二、填空题（每小题4分，共24分） 11-计算：•应=. 12.分解因式：疽_9 =.ax+by = 7y 的二元一次方程组］ / _____ ,的一组解，则a+b=ax-by = i 14. 抛掷一枚均匀的硬币，前3次都正面朝上，第4次正面朝上的概率为.15. 如图，正六边形ABCDEF 内接于。
莆田市2020年(春秋版)九年级上学期数学期末考试试卷(II)卷
莆田市2020年（春秋版）九年级上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九上·三明期末) 下列方程是一元二次方程的是（）A . x+2y=1B . x2+5=0C .D . 3x+8=6x+22. （2分）(2019·抚顺模拟) 下列事件中，属于必然事件的是（）A . 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数B . 测量某天的最低气温，结果为﹣150℃C . 把4个球放到3个抽屉里，其中一个抽屉里至少有2个球D . 我市天气预报中说“明天降雪的概率是80%”，表示明天我市有80%的地区降雪3. （2分） (2016九上·磴口期中) A是双曲线y=﹣上一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，向y轴作垂线，垂足为C，则四边形OBAC的面积为（）A . 6B . 5C . 10D . ﹣54. （2分）(2018·铜仁) 如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A . 55°B . 110°C . 120°5. （2分）如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是（）A .B . 2πC . 4πD . 无法确定6. （2分） (2018八上·浦东期中) 微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A . 300(1+2x)＝675B . 300(1+x2)＝675C . 300(1+x)2＝675D . 300+x2＝6757. （2分）已知一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，则这个圆锥的底面半径是（）A . 5B . 10C . 15D . 208. （2分）(2019·道外模拟) 将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A . y＝（x﹣1）2﹣1B . y＝（x﹣1）2+1C . y＝（x+1）2+1D . y＝（x+1）2﹣19. （2分） (2020八上·浦北期末) 已知点的坐标为，点的坐标为，将线段沿坐标轴翻折后，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（）B .C .D .10. （2分）(2019·开江模拟) 下列说法中正确的是（）A . 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行B . 三张分别画有菱形、等边三角形、圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是C . 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形D . 当时，关于的方程有实数根二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2019·武昌模拟) 在平面直角坐标系中，点A(－3，2)关于原点对称的点的坐标为________.12. （1分）已知点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为________.（用“<”连接）13. （1分） (2019九上·松滋期末) 已知关于的方程有实数根，则满足________.14. （1分） (2019九上·江北期末) 做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表抛掷次数50100500800150030005000杯口朝上的频率0.10.150.20.210.220.220.22根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为________.15. （1分）(2017·市中区模拟) 如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，点M运动的路径长为________．16. （1分）(2020·内江) 已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是________（填写所有符合题意结论的序号）三、解答题 (共8题；共87分)17. （10分） (2019九上·黔南期末) 解方程：（1） x2+4x=-3（2） a2+3a+1=0(用公式法)18. （10分） M为双曲线y＝上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C 两点，若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．（1）求AD•BC的值．（2）若直线y＝﹣x+m平移后与双曲线y＝交于P、Q两点，且PQ＝3 ，求平移后m的值．（3）若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明△MPQ的面积是否存在最大值？如果存在，求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由．19. （10分） (2019九上·秀洲期中) 如图，正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），在平面直角坐标系内，的顶点、分别为，．（1）画出绕点逆时针旋转后的△ ；（2）在（1）的条件下，求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留．20. （6分） (2018九上·合浦期末) 有2个信封A、B，信封A装有四张卡片上分别写有1、2、3、4，信封B 装有三张卡片分别写有5、6、7，每张卡片除了数字没有任何区别．从这两个信封中随机抽取两张卡片．（1）请你用列表法或画树状图的方法描述所有可能的结果；（2）把卡片上的两个数相加，求“得到的和是3的倍数”的概率．21. （10分） (2019八上·无锡期中) 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=1，求AD的长.22. （15分）(2019·港南模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求二次函数的表达式；（2）当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；（3）点Q是x轴上的一个动点，当点P与点C关于对称轴对称且以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.23. （15分） (2019八下·硚口月考) 如图①，在平面直角坐标系中，已知A（6，6）、B（12，0）、M（3，0），∠MAN=45°.（1）判断△AOB的形状为________；（2）求线段AN的长；（3）如图②，若C（-3，O），在y轴的负半轴上是否存在一点P，使∠NPO=2∠CPO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.24. （11分）已知二次函数y=﹣x2+2x+3（1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象（2）根据图象回答，x取何值时，y＞0？（3）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共87分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、。
2024届福建莆田市九年级数学第一学期期末统考试题含解析
2024届福建莆田市九年级数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．抛物线y ＝4x 2﹣3的顶点坐标是（ ）A ．(0，3)B ．(0，﹣3)C ．(﹣3，0)D ．(4，﹣3)2．如图，在ABC 中，DE //BC,AD 3BD,DE 3==，则BC 的长度为A ．1B ．43C ．4D ．63．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，过重心G 作AC 、BC 的垂线，垂足分别为D 、E ，则四边形GDCE 的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A ．19B ．16C ．29D ．134．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，∠ABC ＝70°，则∠AOC 的度数是（ ）A ．35°B ．70°C ．110°D ．140°5．下列事件是必然事件的（ ）A ．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B ．打开电视体育频道，正在播放NBA 球赛C ．射击运动员射击一次，命中十环D ．若a 是实数，则|a|≥06．如果280x x m -+=可以通过配方写成()26x n -=的形式，那么280x x m ++=可以配方成（ ） A ．()251x n -+= B ．()26x n +=C ．()2511x n -+=D ．()21x n += 7．下列图形是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．8．若52x y =，则x y y-的值为（ ） A ．52 B ．25 C ．32 D ．﹣359．在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于点B （0，3），对称轴是直线x= -1．则下列结论正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．a －b ＋c ＜0D ．当-3＜x ＜1时，y ＞010．在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，//,9,3,6DE BC AD DB AE ===，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．911．下列方程中，没有实数根的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．两条线段可以组成一个三角形B ．打开电视机，它正在播放动画片C ．早上的太阳从西方升起D ．400人中有两个人的生日在同一天二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，过反比例函数y=k x （x ＞0）的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB =2，则k 的值为___________14．方程22x x =的根是___________．15．计算：sin30°=_____． 16．已知：23a b =，则22a b a b-+ 的值是_______. 17．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为________．18．已知函数y ＝kx 2﹣2x +1的图象与x 轴只有一个有交点，则k 的值为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，反比例函数k y x=（0k ≠）的图象与一次函数y ax b =+的图象交于(1,3)A ，(3,)B m -两点.（1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式.（2）当反比例函数的值大于一次函数的值时，请根据图象直接写出x 的取值范围.20．（8分）有A 、B 两组卡片共1张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？21．（8分）如图，已知AD•AC ＝AB•AE ．求证：△ADE ∽△ABC ．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标，并求PAB ∆面积的最大值．23．（10分） “江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品．购进甲种礼品共花费1500元，购进乙种礼品共花费1050元，购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元．（1）求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元；（2）元旦前夕，礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个．恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整，一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了30%，件乙种礼品价格比第次购进时降低了10元，如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元，那么这家礼品店最多可购进多少件甲种礼品?24．（10分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）25．（12分）解方程：（1）x 2－8x ＋6＝0（2）(x -1)2 -3(x -1) =026．如果1(2)220m m xx +-++=是关于x 的一元二次方程；（1）求m 的值;（2）判断此一元二次方程的根的情况，如果有实数根则求出根，如果没有说明理由则可．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据抛物线2y ax b =+的顶点坐标为(0，b)，可以直接写出该抛物线的顶点坐标， 【题目详解】解：抛物线243y x =-， ∴该抛物线的顶点坐标为()0,3-，故选：B ．【题目点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2、C 【分析】根据已知条件得到34AD AB =，根据相似三角形的判定和性质可得AD DE AB BC =，即可得到结论． 【题目详解】解：∵AD 3BD =， ∴34AD AB =， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，AD DE AB BC∴=, ∴334BC=, ∴BC=4.故选：C ．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似基本图形掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3、C【分析】连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ，再证明△ADG ∽△GEF ，得出=2DG AG AD EF FG EG ==，设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，用含a,b 的式子将AC ，BC 的长表示出来，再列式化简即可求出结果．【题目详解】解：连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ，易得四边形GDCE 为矩形，∴DG ∥BC ，DG=CD=EG=CE ，∠CDG=∠CEG=90°，∴∠AGD=∠AFC ，∠ADG=∠GEF=90°，∴△ADG ∽△GEF ，∴=2DG AG AD EF FG EG==． 设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，∴AC=AD+CD=2EG+EG=3b ，BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+12DG )=3a ， ∴2=19332GDCE ab ABC a b =⨯⨯四边形△的面积． 故选：C ．【题目点拨】本题主要考查重心的概念及相似的判定与性质以及矩形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的突破口，掌握基本概念和性质是解题的关键．4、D【分析】根据圆周角定理问题可解．【题目详解】解：∵∠ABC 所对的弧是AC ，∠AOC 所对的弧是AC ，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．故选D ．【题目点拨】本题考查圆周角定理，解答关键是掌握圆周角和同弧所对的圆心角的数量关系．5、D ．【解题分析】试题解析：A 、是随机事件，不符合题意；B 、是随机事件，不符合题意；==C 、是随机事件，不符合题意；D 、是必然事件，符合题意．故选D ．考点：随机事件．6、B【分析】根据配方法即可求出答案．【题目详解】∵x 2−8x ＋m ＝0可以通过配方写成（x−n ）2＝6的形式，∴x 2−8x ＋16＝16−m ，x 2−2nx ＋n 2＝6，∴n ＝4，m ＝10，∴x 2＋8x ＋m ＝x 2＋8x ＋10＝0，∴（x ＋4）2＝6，即()26x n +=故选：B ．【题目点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．7、B【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．【题目详解】A 、是轴对称图形，故此选项错误；B 、是中心对称图形，故此选项正确；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B ．【题目点拨】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8、C【分析】将x yy-变形为xy﹣1，再代入计算即可求解．【题目详解】解：∵52xy=，∴x yy-＝xy﹣1＝52﹣1＝32．故选：C．【题目点拨】考查了比例的性质，解题的关键是将x yy-变形为1xy-．9、D【分析】根据二次函数图象和性质逐项判断即可．【题目详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于点B（0，3），∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，故A选项错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故B选项错误；∵对称轴是直线x= -1，∴当x= -1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C选项错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴是直线x= -1，与x轴交于A（1，0），∴另一个交点为（-3，0），∴当-3＜x＜1时，y＞0，故D选项正确．故选：D．【题目点拨】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．10、C【分析】先利用比例性质得到AD ：AB=3：4，再证明△ADE ∽△ABC ，然后利用相似比可计算出AC 的长．【题目详解】解：解：∵AD=9，BD=3，∴AD ：AB=9：12=3：4，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=AD AE AB AC =34， ∵AE=6，∴AC=8，故选C.【题目点拨】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．11、D【解题分析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【题目详解】解：A 、方程化为一般形式为：，△＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A 选项错误；B 、方程化为一般形式为：，△＝（−1）2−4×2×（−3）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B 选项错误；C 、△＝（−2）2−4×3×（−1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C 选项错误；D 、△＝22−4×1×4＝−12＜0，方程没有实数根，所以D 选项正确．故选：D ．【题目点拨】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式△＝b 2−4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12、D【解题分析】一定会发生的事件为必然事件，即发生的概率是1的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【题目详解】解：A 、两条线段可以组成一个三角形是不可能事件；B 、打开电视机，它正在播放动画片是随机事件；C 、早上的太阳从西方升起是不可能事件；D 、400人中有两个人的生日在同一天是不必然事件；故选：D ．【题目点拨】本题考查的是必然事件.不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【题目详解】解：∵AB ⊥x 轴于点B ，且S △AOB =2，∴S △AOB =12|k|=2， ∴k=±1．∵函数在第一象限有图象，∴k=1．故答案为1．【题目点拨】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义．14、10x =，212x =. 【解题分析】试题分析：220x x -=，∴(21)0x x -=，∴10x =，212x =.故答案为10x =，212x =. 考点：解一元二次方程-因式分解法．15、【解题分析】根据sin30°=直接解答即可． 【题目详解】sin30°=. 【题目点拨】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.16、12- 【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.【题目详解】解：由23a b =，可设a=2k ，b=3k ，(k ≠0), 故：222341222382a b k k k b b k k k --⨯-===-++⨯， 故答案：12-. 【题目点拨】此题主要考查比例的性质，a 、b 都用k 表示是解题的关键.17、x （x-1）=1【解题分析】试题分析:每人要赠送（x ﹣1）张相片,有x 个人,所以全班共送:（x ﹣1）x=1．故答案是（x ﹣1）x=1．考点:列一元二次方程．18、0或1．【分析】当k ＝0时，函数为一次函数，满足条件；当k≠0时，利用判别式的意义得到当△＝0时抛物线与x 轴只有一个交点，求出此时k 的值即可．【题目详解】当k ＝0时，函数解析式为y ＝﹣2x+1，此一次函数与x 轴只有一个交点；当k≠0时，△＝（﹣2）2﹣4k ＝0，解得k ＝1，此时抛物线与x 轴只有一个交点，综上所述，k 的值为0或1．故答案为0或1．【题目点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注意要分情况讨论．三、解答题（共78分）19、（1）3y x=，2y x =+；（2）3x <-或01x << 【分析】（1）将点A 的坐标代入k y x=中求出k 的值，即可得出反比例函数的表达式；再将点B 的坐标代入反比例函数中求得m 的值，得出点B 的坐标，用待定系数法便可求出一次函数的解析式.（2）根据函数图象可直接解答.【题目详解】（1）∵(1,3)A 在k y x =（0k ≠）的图象上， ∴31k =， ∴3k =，∴反比例函数的表达式为3y x =. ∵(3,)B m -在3y x =的图象上， ∴33m =-， ∴1m =-，∴(3,1)B --.∵点A 、B 在y ax b =+的图象上，∴3,13,a b a b =+⎧⎨-=-+⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩∴一次函数的表达式为2y x =+.（2）根据图象即可得出x 的取值范围：3x <-或01x <<.【题目点拨】本题考查了一次函数及反比例函数的交点问题，能够正确看图象是解题的关键.20、（1）P （抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析. 【解题分析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P= 13； （2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=4263=， 乙获胜的情况有2种，P=2163=， 所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．21、证明见解析.【分析】由AD•AC ＝AE•AB ，可得AD AE AB AC =,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.【题目详解】试题分析：证明：∵AD•AC ＝AE•AB ， ∴AD AB ＝AE AC 在△ABC 与△ADE 中 ∵AD AB ＝AE AC ，∠A ＝∠A ， ∴ △ABC ∽△ADE22、（1）抛物线的解析式为223y x x =--，直线AB 的解析式为3y x =-，（2）(2,1)-或．（3）当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-． 【解题分析】（1）将(0,3)A -、(3,0)B 两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标和E 点坐标，则2CE =，分两种情况讨论：①若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，②若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，可分别得到方程求出点M 的坐标；（3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，可由12PAB S PG OB ∆=，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．【题目详解】解：（1）∵抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点， ∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩， ∴13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--，∵直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为3y x =-，（2）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-，∵//CE y 轴，∴(1,2)E -，∴2CE =，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴223(23)3MN a a a a a =----=-+，∴232a a -+=，解得：2a =，1a =（舍去），∴(2,1)M -，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE MN =，设(,3)M a a -，则2(,23)N a a a --，∴2223(3)3MN a a a a a =----=-，∴232a a -=， 解得：3172a +=，3172a -=（舍去）， ∴317317(,)22M +-+， 综合可得M 点的坐标为(2,1)-或317317(,)22+-+． （3）如图，作//PG y 轴交直线AB 于点G ，设2(,23)P m m m --，则(,3)G m m -，∴223(23)3PG m m m m m =----=-+，∴22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆=+==⨯-+⨯=-+=--+， ∴当32m =时，PAB ∆面积的最大值是278，此时P 点坐标为33(,)22-． 【题目点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．23、（1）购进一件甲种礼品需要50元，一件乙种礼品需70元；（2）最多可购进20件甲种礼品．【分析】（1）设购进一件甲种礼品需x 元，则一件乙种礼品需（x+20）元．根据题意得：150********x x =⨯+,解方程可得；（2）设购进甲m 件，则购进乙(50)x -件．根据题意得：50(130%)60(50)3100m x ⨯++-≤，解不等式可得.【题目详解】解：（1）设购进一件甲种礼品需x 元，则一件乙种礼品需（x+20）元．根据题意得：150********x x =⨯+ 解得：x=50 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．20x +=70元．答：购进一件甲种礼品需要50元，一件乙种礼品需70元．（2）设购进甲m 件，则购进乙(50)x -件．根据题意得：50(130%)60(50)3100m x ⨯++-≤解得：20m ≤答：最多可购进20件甲种礼品．【题目点拨】考核知识点：分式方程应用.根据销售价格关系列出方程和不等式是关键.24、14． 【分析】利用画树状图法得到总的可能和可能发生的结果数，即可求出概率.【题目详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝41164=. 【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率.25、（1）x 1104，x 2104（2） x 1=1，x 2=1．【分析】（1）根据配方法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解．【题目详解】（1）x 2－8x ＋6＝0x 2－8x ＋16＝10（x-1）2＝10x-1=∴x 14，x 24（2）(x -1)2 - 3(x -1) =0(x -1)(x -1-3)=0(x -1)(x-1)=0∴x-1=0或x-1=0解得x 1=1,x 2=1．【题目点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．26、（1）m=1；（2）有两个不相等的实数根，11x =，21x =【分析】（1）因为原方程是一元二次方程，所以x 的最高次数为2且二次项系数不为0，即m+1=2且m-2≠0，解方程即可；（2）将m=1代入原方程中，得x 2-2x-2=0，根据判别式24b ac =-△即可判断实数根的个数，然后根据求根公式求出实数根．【题目详解】（1）由题意得m+1=2且m-2≠0得：m=1故m 的值为1；（2）由（1）得原方程：x 2-2x-2=0其中，a= 1，b= -2，c= -2∴24b ac =-△=4+8=12>0∴有两个不相等的实数根；∴根据求根公式21221b x a -±±===⨯∴11x =21x =．【题目点拨】本题考察了一元二次方程的概念，利用判别式判断实数根的个数，和公式法解一元二次方程，熟练记忆判别式和求根公式是解题的关键；其中，（1）问中不要忘记二次项系数不能为0，这是易错点．。
莆田市2020-2021学年九年级(上)期末质量检测数学试题(一检)
莆田市2020-2021学年九年级（上）期末质量检测数学试题考生注意：1．本卷共三大题，25小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟； 2．请将各题答案填写在答题卡上．第Ⅰ卷 选择题(共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 1．计算tan45°的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知a b =2，则ba ba +-的值是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知关于x 的一元二次方程ax 2+4x －2=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a >－2且a ≠0B ．a ≥－2且a ≠0C ．a ≥－2D ．a ≠05．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为2：1，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A ．4：1B ．2：1C ．1：2D ．1：46．将抛物线y=x 2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y =(x －1)2+5B ．y =(x +1)2－1C ．y =(x －1)2－1D ．y =(x +1)2+5 7．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠BAO =32°，则∠ACB 的度数是（ ）A ．32°B ．45°C ．58°D ．64°8．下列关于反比例函数y =－x5的说法中，正确的是（ ）A ．当x <0时，y 随x 的增大而减小B ．双曲线在第一、第三象限C ．当x >0时，函数值y >0D ．当x >0时，y 随x 的增大而增大 9．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD =90°，CO=CD ．若B (1，0)，则点C 的坐标为（ ）A ．(1，2)B ．(1，1)C ．(2，2)D ．(2，1) OCBA 第7题 x y D O CB A10．已知二次函数y=ax 2+bx －3（a ＞0）的图象与x 轴的交点A 的坐标为(n ，0)，顶点D 的坐标为(m ，t )，若m+n =0，则t 的值为（ ） A ．－7 B ．－6 C ．－5 D ．－4第Ⅱ卷 非选择题(共110分)二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)11．在平面直角坐标系中，点(－2，4)关于原点对称的点的坐标为______． 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，则sin A =______．13．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则关于x 的不等式ax 2+bx+c >0的解集为______． 14．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0（a ≠0）的一个解是x =1，则代数式2020－a －b 的值为______．15．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠ADC 的度数是______°． 16．如图，矩形OABC 的面积为10，双曲线y =xk（x ＞0）与AB 、BC 分别交于点D 、E ．若AD =2BD ，则k 的值为______．三、解答题(本大题共9个小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分8分)解方程：x 2－9x +20=0．18．(本小题满分8分)已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点E 、F 在边BC 上，∠EAF =∠B ．求证：△ABF ∽△ECA ．19．(本小题满分8分) 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°． （1）求作Rt △ABC 的外接圆⊙O ；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）若∠C =30°，BC =8，求⌒AB 的长．第13题 E D C BA 第15题第16题 FE CB ACB A明明是一个集邮爱好者，正值2021年辛丑牛年来临之际，明明收集了自己感兴趣的4张牛邮票(除正面内容不同外，其余均相同)，现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好．（1）明明从中随机地抽取一张邮票是8分的概率是______ ； （2）明明从中随机抽取一张邮票（不放回．．．），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的概率．（这四张邮票分别用字母A 、B 、C 、D 表示）21．(本小题满分8分)如图，反比例函数y =xk3（k ＞0）的图象与过点M (－2，0)的直线l ：y=kx+b 交于A 、B 两点，△ABO 的面积为316． （1）求k 的值；（2）结合图象直接写出关于x 的不等式次xk3＞kx+b 的解集．22．(本小题满分10分)在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，将Rt △ABC 绕着点C 顺时针旋转一定的角度得到△DEC ，点A 、B 的对应点分别是D 、E ，点E 恰好在AC 上． （1）如图1，连接AD ，若∠ACB =30°，求∠ADE 的度数；（2）如图2，延长DE ，交AB 边于点G ，若AB =4，BC =3，求线段EG 、AG 的长．yx MO B A图1ED C B A G 图2E D C BA2020年5月27日，2020珠峰髙程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，某数学小组开展了一次测量小山高度的活动．如图，该数学小组从地面A 处出发，沿坡角为53°的山坡AB 直线上行350米到达B 处，再沿着坡角为22°的山坡BC 直线上行600米到达C 处，求小山的高度CD 及该数学小组行进的水平距离AD (结果精确到1米)． （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）24．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径作⊙O 分别交BC 、AC 于D 、F 两点．连接AD ，E 为AC 延长线上一点，连接BE ，若∠E =∠DAC（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）若CE =3CF ，BD =1，求⊙O 半径．25．(本小题满分14分)已知顶点为A 的抛物线y=ax 2－4ax+c (a ＜0)，与y 轴相交于点C (0，－2)，其对称轴与x 轴相交于点B ．（1）用含a 的代数式表示顶点A 的坐标为_______；（2）若直线BC 与抛物线的另一个交点D 在第一象限内，且BD =2，求抛物线的解析式；（3）已知点P 在y 轴上，且△POA 为等腰三角形，若符合条件的点P 恰好只有2个，求a 的值．53°22°D CB A E莆田市2020-2021学年九年级（上）期末质量检测参考答案。
福建省莆田市2020版九年级上学期数学期末考试试卷(I)卷
福建省莆田市2020版九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2016·三门峡模拟) 如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4．若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A . 3次B . 4次C . 5次D . 6次2. （2分）两个相似三角形的对应边分别为15㎝和23㎝，它们的周长差为40㎝，则这两个三角形的周长分别为（）A . 75㎝，115㎝B . 60㎝,100C . 85㎝,125㎝D . 45㎝,85㎝3. （2分）下列说法不正确的是（）A . 某种彩票中奖的概率是，买1000张该种彩票一定会中奖B . 了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查C . 若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定D . 在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件4. （2分） (2020七上·槐荫期末) 若a-b=1，则代数式2b-2a-3的值是（）A . 1B . -1C . 5D . -55. （2分）(2017·邗江模拟) 如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（）A . 点BB . 点CC . 点DD . 点E6. （2分）二次函数的顶点坐标是（）A . （2，1）B . （-2，1）C . （2，-1）D . （-2，-1）7. （2分）如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）A . 25°B . 50°C . 12.5°D . 30°8. （2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019九上·江山期中) 如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线。
福建省莆田市一中集团2020-2021学年九年级上学期期末联考数学试题
17．（1）计算：tan30°sin60°＋cos230°－tan45°
（2）解方程：x2﹣2x﹣1=0．
18．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.
8．要将抛物线 平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
9．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
福建省莆田市一中集团2020-2021学年九年级上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的为（）
A． B． C为半圆的是（ ）
25．已知：关于x的方程
（1）求证：m取任何值时，方程总有实根．
（2）若二次函数 的图像关于y轴对称.
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
24．在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
（2）若M为CP的中点，AC＝2，
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
2020-2021学年莆田市涵江区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年莆田市涵江区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列商标图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.已知二次函数y=x2，点A(m,k)在其第一象限的图象上，点B(n,k+1)在其第二象限的图象上，则关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两根x1，x2，判断正确的是()A. x1+x2>1，x1⋅x2>0B. x1+x2<0，x1⋅x2>0C. 0<x1+x2<1，x1⋅x2>0D. x1+x2与x1⋅x2的符号都不确定3.若关于x的方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A. m≤4B. m>4C. m<4且m≠0D. m<44.如图，在正方形ABCD中放入两个相同小正方形纸片，重叠部分记为①，点E，F的位置如图所示，若D，F，E三点共线，则正方形ABCD与①的面积比为()A. 9+4√5B. 2+√5C. 3+√5D. 9+√55.如图，函数y1=|x2−m|的图象如图，坐标系中一次函数y2=x+b的图象记为y2，则以下说法中正确的有()①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m=4，且y1与y2只有两个交点时，b>17或−2<b<2；4③当m=−b时，y1与y2一定有交点：④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为(0,m)．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是()A. 32x+4x2=40B. 32x+8x2=40C. 64x−4x2=40D. 64x−8x2=407.在直角坐标系中，点P在线段AB上，A(6,0)，B(0,8)，过点A、点P作y轴的平行线，过点B、点P作x轴的平行线，它们分别交于点M、N，若过点N的双曲线恰好也经过点M，则k的值为()A. 21B. 24C. 25D. 288.如图，⊙O上有A，B，C，D四点，其中ÐA=80°，那么ÐC的度数是()．A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°9.如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF，若AE=1，则EF的值为()A. 3B. √10C. 2√3D. 410.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=3的图象经过A，B两点，xA，B两点的纵坐标分别为3，1，若AB的中点为M点，则M点向左平移几个单位后落在该反比例函数图象上？()A. 32B. 2C. 1D. 12二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.直线y=x+3上有一点P(3,n)，则点P关于原点的对称点P′为______．12.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点B的坐标为(3,3)，直线CD交直线OA于点D，直线OE交线段AB于E，且CD⊥OE，垂直点为F，若图中阴影部分的面积是正方形OABC的面积的1，则△OFC的周长为______．313.一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为________cm．14.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=3cm，∠ACD=30°.将矩形ABCD绕点O旋转后，点A与点B重合，点D落在点E处，那么此时AE的长为______cm．15.如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN.若AB=3√2，BC=2√3，则图中阴影部分的面积为______ ．16.已知线段MN=4，MN//y轴，若点M坐标为(−1,2)，则N点坐标为．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112x2+2 3x+53，铅球运行路线如图．(1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m？四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）18.解方程(1)x2=3x；(2)x2+3=2(x+7)．19.如图，在平面直角坐标系中，图形①与②关于点P成中心对称．(1)画出对称中心P，并写出点P的坐标；(2)将图形②向下平移4个单位，画出平移后的图形③，并判断图形③与图形①的位置关系.(直接写出结果)20.已知⊙O的半径为2cm，求作⊙O的内接正方形和内接正六边形．21.如图，在平面网格中每个小正方形边长为1．(1)线段CD是线段AB经过怎样的平移后得到的；(2)线段AC是线段BD经过怎样的平移后得到的．22.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)如图①，当t为何值时，AP=3AQ；(2)如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；(3)如图③，作QD//AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？23.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，P是AB的延长线上的一点，弦CE交AB于点D，∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．(1)求证：CE⊥AB；(2)求证：PC是⊙O的切线；(2)若BD=OD，PB=9，求⊙O的半径．24.如图，在四边形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，CD=BC．(1)求∠B+∠D的度数．(2)连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．(3)若BC=2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2=CE2+BE2，求点E运动路径的长度．25.如图，抛物线y=ax2+4x+c经过A(−3,−4)，B(0,−1)两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD(点D是点A的对应点)，求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；(3)过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．参考答案及解析1.答案：B解析：解：CD选项是轴对称但不是中心对称，A既不是中心对称也不是轴对称，B选项是中心对称图形但不是轴对称图形，故选：B．依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答．对轴对称与中心对称概念的考查：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心2.答案：A解析：解：∵点A(m,k)在其第一象限的图象上，则m>0，k>0，k=m2，∵点B(n,k+1)在其第二象限的图象上，则n<0，k+1=n2，即n2=m2+1，则(nm )2=1+1m2>1，∵m、n异号，nm<0，设x=nm<0，即x2>1，即x2−1>0，则x<−1，故−nm>1，∵m>0，k>0，则km>0，由mx2+nx+k=0得，x1+x2=−nm >1，x1x2=km>0，故选：A．点A(m,k)在其第一象限的图象上，则m>0，k>0，k=m2，点B(n,k+1)在其第二象限的图象上，则n<0，k+1=n2，即n2=m2+1，则(nm )2=1+1m2>1，进而求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征和求表达式等，由n2=m2+1得到(nm )2=1+1m2>1是解题的关键．3.答案：D解析：解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−4，c=m，∴△=b2−4ac=(−4)2−4×1×m>0，解得m<4．故选：D．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．4.答案：D解析：解：由题意得，四边形BMHE是正方形，设正方形①的边长为x，正方形BMHE的边长为y，延长EH交CD于G，∵FH//DG，∴△EFH∽△EDG，∴FHDG =EHEG，∴xx+y =yx+2y，解得：x=√5−12y(负值舍去)，∴AB=x+2y=√5+32y，∴正方形ABCD与①的面积比=(√5+32y√5−12y)2=9+√5，故选：D．根据题意得到四边形BMHE是正方形，设正方形①的边长为x，正方形BMHE的边长为y，延长EH交CD于G，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．5.答案：B解析：解：①错误．如图1中，当直线y=x+b与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时b≠1，故①错误．②正确．如图2中，当抛物线经过点(−2,0)时，0=4−m ，m =4．由{y =x +b y =−x 2+4消去y 得到x 2+x +b −4=0，当△=0时，1−4b +16=0， ∴b =174，观察图象可知当b >174或−2<b <2时，y 1与y 2有两个交点．故②正确．③错误．如图3中，当b =−4时，观察图象可知，y 1与y 2没有交点，故③错误．④正确．如图4中，当b=4时，观察图象可知，b>0，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为(0,m)，故④正确．故选：B．根据图象即可判断．本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用、函数与方程的关系等知识，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，学会利用根的判别式解决函数图象的交点问题，属于中考常考题型．6.答案：B解析：解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，依题意，得：x(20+4x+12+4x)=40，即32x+8x2=40．故选：B．设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.答案：B解析：此题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式.理解反比例函数k与点的横纵坐标之间的关系是解题的关键.先求得一次函数解析式，再设出点P的坐标，根据题意求得点M、N的坐标，利用横纵坐标之积等于k，求得x的值，代入得到点M、N的坐标，从而得到k的值．解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：k=−，b=8，∴直线AB的解析式为y=−x+8，设点P的坐标为(x,−x+8)，则点N的坐标为(x,8)，点M的坐标为(6,−x+8)，∵M、N两点都在反比例函数图象上，∴6(−x+8)=8x，∴x=3，∴点M的坐标是(3,8)，点N的坐标(6,4)，∴k=3×8=24．故选B．8.答案：D解析：直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠A=80°，∴∠C=180°−80°=100°．故选D.•9.答案：B解析：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD=AB=BC，∴∠DCF=∠DCB=∠A=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠CDF+∠EDC=90°，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠CDF=∠ADE，在△ADE与△CDF中，{∠A=∠DCFAD=CD∠CDF=∠ADE，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴CF=AE=1，∵E为AB的中点，AE=1，∴BE=AE=1，BC=AB=2AE=2，∴BF=BC+CF=2+1=3，在Rt△BEF中，根据勾股定理得：EF=√BE2+BF2=√12+32=√10，故选：B．根据ASA证明△ADE≌△CDF，得到CF=AE=1，在Rt△BEF中，根据勾股定理求EF即可．本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据ASA证明出△ADE≌△CDF是解题的关键．10.答案：D解析：解：∵反比例函数y=3x的图象经过A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为3，1，∴A(1,3)，B(3,1)，∵AB的中点为M点，∴M(2,2)，把y=2代入y=3x 得，y=32，∵2−32=12，∴M点向左平移12个单位后落在该反比例函数图象上．故选：D．根据题意得到A、B的坐标，进而求得M的坐标，把M的纵坐标代入y=3x，求得横坐标，与M点的横坐标比较即可求得．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变换−平移，求得M点的坐标是解题的关键．11.答案：(−3,−6)解析：解：∵直线y=x+3上有一点P(3,n)，∴n=3+3=6，∴P(3,6)，∴点P关于原点的对称点P′为(−3,−6)，故答案为：(−3,−6)．首先把(3,n)代入y=x+3中，可得n的值，进而得到P点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点可得答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．12.答案：3+√15解析：解：∵正方形OABC顶点B的坐标为(3,3)，∴正方形的面积为9．所以阴影部分面积为9×13=3．在△COD和△OAE中{∠COD=∠OAE=90°∠OCD=∠AOEOC=OA，∴△COD≌△OAE(AAS)．∴△COD面积=△OAE面积．∴△OCF面积=四边形FDAE面积=3÷2=1.5．设OF=x，FC=y，则xy=3，x2+y2=9，所以(x+y)2=x2+y2+2xy=15．所以x+y=√15．所以△OFC的周长为3+√15．故答案为3+√15．证明△COD≌△OAE，推理出△OCF面积=四边形FDAE面积=12÷2=6，设OF=x，FC=y，则xy=12，x2+y2=36，所以(x+y)2=x2+y2+2xy=60，从而可得x+y的值，则△OFC周长可求．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是推理出连个阴影部分面积相等，得到△OFC两直角边的平方和、乘积，运用完全平方公式求解出OF+FC值．13.答案：40解析：解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程，设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，135πr180=2π×5×3，解得，r=40cm．故答案为40．14.答案：32解析：解：∵∠ADC=90°，AC=3cm，∠ACD=30°，∴AD=12AC=32cm，∵将矩形ABCD绕点O旋转后，点A与点B重合，点D落在点E处，∴AE=AD=32cm，故答案为32．由矩形和直角三角形的性质可得AD=12AC=32cm，由旋转的性质可求解．本题考查了旋转的性质，矩形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．15.答案：3√6解析：解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，∴阴影部分的面积=12矩形的面积=12AB⋅BC=12×3√2×2√3=3√6；故答案为：3√6．根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式即可得解．本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半是解题的关键．16.答案：(−1,−2)或(−1,6)解析：本题考查可坐标与图形性质，设其点坐标，由MN=4列关系式从而求得点坐标．设点N坐标，由MN= 4，得到关系式求得两个坐标．解：由题意设点N(−1,y)，∵已知线段MN=4，M坐标为(−1,2)，∴y−2=4，或y−2=−4，解得y=6或y=−2，即点N坐标(−1,−2)，(−1,6)．故答案为(−1,−2)或(−1,6)．17.答案：解：(1)当y=0时，−112x2+23x+53=0，解之得x1=10，x2=−2(不合题意，舍去)，所以推铅球的水平距离是10米．(2)y=−112x2+23x+53=−112(x2−8x+16−16)+53=−112(x2−8x+16)+53+43=−1(x−4)2+3，12当x=4时，y取最大值3，所以铅球行进高度不能达到4m，最高能达到3m．解析：(1)推出的水平距离就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．(2)用配方法求解二次函数的最值即可判断．本题考查了二次函数的应用，难度适中，关键是掌握利用二次函数的性质解决实际问题的能力．18.答案：解：(1)移项，得x2−3x=0，提公因式，得x(x−3)=0，x=0或x−3=0，解得x1=0，x2=3；(2)去括号，移项，得x2−2x=11，配方得，x2−2x+1=12，即(x−1)2=12，x−1=±2√3，解得x1=2√3+1，x2=−2√3+1．解析：(1)先移项，再提公因式，转化为两个一元一次方程再求解；(2)先去括号，再移项，提公因式，用配方法求解即可．本题考查了解一元二次方程，用到的方法有：提公因式法、配方法，是基础题，难度不大．19.答案：解：(1)画点P，(1分)P(1，5)；(2分)(2)画图形③，(3分)图形③与图形①关于点Q(1,3)成中心对称．(4分)解析：(1)连接各对应点，线段的交点即是点P；(2)根据平移的性质，把图形的各点向下平移4个单位后，得到新点，顺次连接画图即可，然后观察两图的关系．做这类题的关键是掌握平移，旋转的有关知识．20.答案：解：如图所示，四边形ABCD和六边形AEFCGH，即为⊙O的内接正方形和内接正六边形．解析：根据⊙O的半径为2cm，即可作出⊙O的内接正方形和内接正六边形．本题考查了作图−复杂作图、正方形的性质、正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆．21.答案：解：(1)将线段AB向右(或下)平移3个小格(或4个小格)，再向下(或右)平移4个小格(或3个小格)，得线段CD．(2)将线段BD向右平移(或向下平移1个小格)3个小格，再向下平移(可左平移3个小格)1个小格，得到线段AC．解析：(1)根据图形，找到AC点的关系，A点如何变化可得C点；将C点相应变化即可．(2)根据图形，找到AC点的关系，C点如何变化可得A点；将D点相应变化即可．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．22.答案：解：(1)由题意知，AQ=2t，BP=t，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴∠A=60°，AB=6，∴AP=AB−BP=6−t，∵AP=3AQ，∴6−t=3×2t，∴t=6，7秒时，AP=3AQ；即：t=67(2)由(1)知，∠A=60°，AQ=2t，AP=6−t，∵△APQ为直角三角形，①当∠APQ=90°时，AQ=2AP，∴2t=2(6−t)，②当∠AQP=90°时，AP=2AQ，∴6−t=2×2t，∴t=65秒，即：t=3秒或65秒时，△APQ是直角三角形；(3)由题意知，AQ=2t，BP=t，∴AP=6−t，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°，∵QD//AB，∴∠PDQ=∠BPD，∠QDB=∠A=60°，∴△CDQ是等边三角形，∴CD=CQ，∴BD=AQ=2t，∵△BDP与△PDQ相似，∴①当△BPD∽△PDQ时，∴∠B=∠DPQ=60°，∴∠APQ=∠BDP，∵∠A=∠B，∴△APQ∽△BDP，∴APBD =AQBP，∴6−t2t =2tt，∴t=65秒，②当△BPQ∽△QDP时，∴∠B=∠DQP=60°，∵DQ//AB，∴∠APQ=∠DQP=60°，∴△APQ是等边三角形，∴AP=AQ，∴6−t=2t，∴t=2秒，秒或2秒时，△BDP与△PDQ相似．即：t=65解析：(1)先表示出AQ=2t，AP=6−t，利用AP=3AQ建立方程求解即可得出结论；(2)分两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质(30度角所对的直角边是斜边的一半)建立方程求解即可得出结论；(3)先表示出BD=2t，再分两种情况：①当△BPD∽△PDQ时，判断出∠APQ=∠BDP，进而判断出△APQ∽△BDP，得出比例式建立方程求解；②当△BPQ∽△QDP时，得出∠B=∠DQP=60°，进而判断出△APQ是等边三角形，得出AP=AQ建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．23.答案：(1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠COB=∠CAB+∠OCA=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，∴∠COD=∠EOD，又∵OC=OE，∴OD⊥CE，即CE⊥AB；(2)证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，又∠OCD=∠E，∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(3)解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=x，r=2x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，∴∠ODC=∠OCP=90°，又∠COD=∠POC，∴Rt△OCD∽Rt△OPC，∴OCOP =ODOC，∴OC2=OD⋅OP，即(2x)2=x⋅(2x+9)，解得，x=92或x=0(舍去)，∴⊙O的半径r=9．解析：(1)连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，则∠COD=∠EOD，根据等腰三角形的性质得OD⊥CE，即CE⊥AB；(2)由CE⊥AB，∠P=∠E，得到∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，得到∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；(3)设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=x，r=2x，易证得Rt△OCD∽Rt△OPC，根据相似三角形的性质得OC2=OD⋅OP，即(2x)2=x⋅(2x+9)，解出x，即可得圆的半径．本题考查切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，构建方程解决问题，属于中考常考题型．24.答案：解：(1)在四边形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，∴∠D+∠B=360°−∠A−∠C=360°−60°−30°=270°．(2)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△QDC，连接AQ，∴∠ACQ=60°，AC=CQ，AB=QD，∴△ACQ是等边三角形，∴AC=CQ=AQ，由(1)知：∠ADC+∠B=270°，∴∠ADC+∠CDQ=270°，可得∠QDA=90°，∴AD2+DQ2=AQ2，∴AD2+AB2=AC2；(3)将△BCE绕C点顺时针旋转60°，得到△CDF，连接EF，∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∠CFE=60°，∵DE2=CE2+BE2，∴DE2=EF2+DF2，∴∠DFE=90°，∴∠CFD=∠CFE+∠DFE=60°+90°=150°，∴∠CEB=150°，则动点E 在四边形ABCD 内部运动，满足∠CEB =150°，以BC 为边向外作等边△OBC ，则点E 是以O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC⏜， ∵OB =BC =2，则BC ⏜=60π×2180=2π3．点E 运动路径的长度是2π3．解析：(1)利用四边形内角和定理计算即可；(2)如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△QDC ，连接AQ ，证明∠QDA =90°，根据勾股定理可得结论；(3)如图中，将△BCE 绕C 点顺时针旋转60°，得到△CDF ，连接EF ，想办法证明∠BEC =150°即可解决问题；本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25.答案：解：(1)把点A(−3,−4)，B(0,−1)代入解析式y =ax 2+4x +c ，得{−4=9a −12+c −1=c， 解得{a =1c =−1， ∴y =x 2+4x −1；(2)如图，作AC ⊥y 轴于点C ，作DH ⊥y 轴于点H ，∵∠CAB +∠ABC =90°，∠HBD +∠ABC =90°，∴∠CAB =∠HBD ，在△ABC 和△DBH 中，{∠DHB =∠BCA ∠CAB =∠HBD DB =BA，∴△ABC≌△DBH(AAS)，∴HB=AC=3，DH=BC=3，∴OH=2，∴D(−3,2)，把D(−3,2)代入y=x2+4x−1中，得(−3)2+4×(−3)−1=−4≠2，∴点D不在抛物线上；(3)存在点P，∵D(−3,2)，B(0,−1)，∴直线BD的解析式为y=−x−1，设P(m,m2+4m−1)，则M(m,−m−1)，由(2)知：∠BMP=45°，当△PBM是等腰三角形，且45°为底角时，有∠MBP=90°或∠MPB=90°，若∠MBP=90°，则P与A重合，即m=−3，若∠MPB=90°，则PB//x轴，即P的纵坐标为−1，∴m2+4m−1=−1，解得m=0(舍)或m=−4，∴m=−4，若45°为顶角，即MP=MB，∵MP=−m−1−m2−4m+1=−m2−5m，MB=−√m2+m2=−√2m，∴−m2−5m=−√2m，解得m=0(舍)或m=−5+√2，∴m的值为−3，−4，−5+√2．解析：(1)根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)作辅助线构造一线三垂直模型，在证明三角形全等即可求出点D的坐标，把点D的坐标代入解析式即可判断点D是否在抛物线上；(3)先写出点P，M，B的坐标，由(2)得出∠BMP=45°，分∠BMP是顶角和底角两种情况讨论即可．本题主要考查二次函数的综合应用，关键是能根据待定系数法求出二次函数的解析式，和作辅助线构造一线三垂直模型，一般出现等腰三角形时，可从角和边两个角度去考虑．。
福建省莆田市2021版九年级上学期数学期末考试试卷B卷
福建省莆田市2021版九年级上学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019九上·岑溪期中) 抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是（）A . 直线x=3B . 直线x=－3C . 直线x=-2D . 直线x=22. （2分）(2019·夏津模拟) 如图，平行于x轴的直线与函数y= （k1>0，x>0），y= （k2>0,x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为（）A . 8B . -8C . 4D . -43. （2分）(2012·苏州) 如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（）A . 20°B . 25°C . 30°D . 40°4. （2分） (2016八上·永登期中) 已知点A（4，﹣3），则它到y轴的距离为（）A . ﹣3B . ﹣4C . 3D . 45. （2分） (2017八下·宁波期中) 关于x的一元二次方程（其中a为常数）的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 可能有实数根，也可能没有实数根C . 有两个相等的实数根D . 没有实数根6. （2分）如图，将两块全等的直角三角板拼接在一起．这个图形可以看作是由一块直角三角板绕着直角顶点经过一次旋转后得到的，那么旋转的角度是（）．A . 30°B . 60°C . 90°D . 180°7. （2分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A . ∠ABD=∠ACBB . ∠ADB=∠ABCC .D .8. （2分）(2019·兰坪模拟) 如图，四边形OABC是矩形，等腰△ODE中，OE＝DE，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝5，OC＝1，则△ODE的面积为（）A . 2.5B . 5C . 7.5D . 10二、填空题 (共8题；共10分)9. （1分）点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为________10. （2分）(2011·常州) 已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=________，另一个根是________．11. （1分） (2016九上·淅川期中) 如图，D是△ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为________12. （1分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E=________.13. （2分）(2019·宝鸡模拟) 点A（3，﹣2）关于y轴的对称点B在反比例函数y＝的图象上，则B点的坐标为________；k＝________.14. （1分）(2018·锦州) 如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，顶点B在第一象限，AB=1.将线段OA绕点O按逆时针方向旋转60°得到线段OP,连接AP,反比例函数（k≠0）的图象经过P,B两点，则k的值为________.15. （1分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为________．16. （1分） (2020八下·内江期末) 如图，分别过反比例函数图象上的点， ...···作轴的垂线，垂足分别为······ ，连接··· 再以为一组邻边画一个平行四边形，以为一组邻边画一个平行四边形，依此类推，则点的纵坐标是________．(结果用含代数式表示)三、解答题 (共10题；共120分)17. （10分） (2018九上·垣曲期末) 请分别计算：（1）（- ）-1×（-1-2）-（π-2018）0+|-2|tan45°（2） x2-6x+5=018. （10分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．19. （10分） (2019九下·枣庄期中) 如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC经过圆心O 并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径。
2020-2021学年福建省莆田八中、九中、二十四中九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省莆田八中、九中、二十四中九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．sin30°＝（）A．B．C．D．2．下列图形中一定属于中心对称图形的是（）A．教室的三叶片电风扇B．等腰三角形C．等边三角形D．平行四边形3．如图几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．确定事件5．方程x2＝4的解是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝1，x2＝4D．x1＝2，x2＝﹣2 6．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°8．去年某果园随机从申、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）甲乙丙丁24242320 S2 1.9 2.12 1.9 A．甲B．乙C．丙D．丁9．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比为9：4，△ABC的最短边为4.5cm，则△DEF的最短边为（）A．6cm B．2cm C．3cm D．4cm10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟二、填空题（共6小题）.11．已知函数y＝在二、四象限，则m的取值范围是．12．已知x＝2是方程x2+ax﹣2＝0的根，则a＝．13．如图，若AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，则BC＝cm．14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝2，则阴影部分的面积是．15．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．如图，含30°的直角三角板ABC（其中∠ABC＝90°）的三个顶点均在反比例函数y ＝的图象上，且斜边AC经过原点O，则直角三角板ABC的面积为．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．计算：（）﹣1+|sin30°﹣1|﹣20200．18．已知函数y＝mx2+（2m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．19．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE 与OF的数量关系，并给予证明．20．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩．经调查发现：1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．21．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6．（1）请用尺规作图的方法在AB上找点D，使得△ACD∽△ABC（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求AD的长．22．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA＝75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长OB与BC的长度之和等于OA的长度．（1）求∠CBO的度数；（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）23．4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动．顾客每购书满100元获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：两球所标数字之和34567奖励的购书券金额（元）00306090（1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；（2）书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券．在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均数的方法说明理由．24．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．25．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（p，q）在直线l上，抛物线m经过点B，C（p+4，q），且它的顶点N在直线l上．（1）若B（﹣2，1），①请在如图的平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的示意图；②设抛物线m上的点Q的横坐标为e（﹣2≤e≤0）过点Q作x轴的垂线，与直线l交于点H．若QH＝d，当d随e的增大而增大时，求e的取值范围；（2）抛物线m与y轴交于点F，当抛物线m与x轴有唯一交点时，判断△NOF的形状并说明理由．参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin30°＝（）A．B．C．D．解：sin30°＝．故选：B．2．下列图形中一定属于中心对称图形的是（）A．教室的三叶片电风扇B．等腰三角形C．等边三角形D．平行四边形解：A、教室的三叶片电风扇，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、等腰三角形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、等边三角形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．如图几何体的左视图是（）A．B．C．D．解：从物体的左面看得，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．故选：C．4．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．确定事件解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于随机事件，故选：A．5．方程x2＝4的解是（）A．x＝2B．x＝﹣2C．x1＝1，x2＝4D．x1＝2，x2＝﹣2解：∵x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2，故选：D．6．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．8．去年某果园随机从申、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）甲乙丙丁24242320 S2 1.9 2.12 1.9 A．甲B．乙C．丙D．丁解：∵甲的平均数最大，方差最小，最稳定．∴应选的品种是甲．故选：A．9．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比为9：4，△ABC的最短边为4.5cm，则△DEF的最短边为（）A．6cm B．2cm C．3cm D．4cm解：设△DEF的最短边边长是xcm，∵△ABC∽△DEF，面积比为9：4，∴△ABC与△DEF的对应边之比3：2．∴4.5：x＝3：2．则x＝3．故选：C．10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟解：由题意知，函数p＝at2+bt+c经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），则，解得：，∴p＝at2+bt+c＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，∴最佳加工时间为3.75分钟，故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知函数y＝在二、四象限，则m的取值范围是m．解：∵反比例函数y＝在二、四象限∴2m﹣3＜0，解得m．故答案为：m．12．已知x＝2是方程x2+ax﹣2＝0的根，则a＝﹣1．解：把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0得：4+2a﹣2＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．13．如图，若AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，则BC＝5cm．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AB＝10cm，∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝5cm．故答案为：5．14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝2，则阴影部分的面积是．解：设AE交BC于点F，如图：在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，∴AC＝2，在直角三角形ACF中，∠CAF＝30°，∴设CF＝x，则AF＝2x，∴22+x2＝（2x）2，∴4+x2＝4x2，∴3x2＝4，∴x1＝，x2＝﹣（舍），∴CF＝x＝，∴阴影部分的面积为：×2×＝．故答案为：．15．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．16．如图，含30°的直角三角板ABC（其中∠ABC＝90°）的三个顶点均在反比例函数y ＝的图象上，且斜边AC经过原点O，则直角三角板ABC的面积为8．解：如图，连接OB，∵含30°的直角三角板ABC（其中∠ABC＝90°），OA＝OC，∴OB＝AC＝OA，AB＝AC＝OA，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，∴点A，B关于直线y＝x对称，设点A（a，），则点B（，a），∵OA2＝AB2，∴a2+＝（a﹣）2+（﹣a）2，化简得a2+＝16，∴S△ABC＝2S△OAB＝2×OA2＝（a2+）＝8．故答案为：8．三、解答题（本题共9小题，共86分）17．计算：（）﹣1+|sin30°﹣1|﹣20200．解：（）﹣1+|sin30°﹣1|﹣20200＝2+|0.5﹣1|﹣1＝2+0.5﹣1＝1.5．18．已知函数y＝mx2+（2m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．解：①当m＝0时，函数y＝x是一次函数，与x轴只有一个交点．②当m≠0时，函数y＝mx2+（2m+1）x+m是二次函数．∵函数图象与x轴只有一个公共点，∴关于x的方程mx2+（2m+1）x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，又△＝（2m+1）2﹣4m2＝4m2+4m﹣4m2＝4m+1，∴4m+1＝0，解得：m＝．综上所述，当m＝0或时，函数图象与x轴只有一个公共点．19．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE 与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF理由如下：过点O作OH⊥AB于点H，∵OH过圆心，OH⊥AB∴AH＝BH，又∵AE＝BF∴AH﹣AE＝BH﹣BE即EH＝FH，∵EH＝FH，OH⊥EF∴OH垂直平分EF，∴OE＝OF．20．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩．经调查发现：1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．解：设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万件/天,依题意，得：(1+a)(1500﹣50a)＝15000,化简得:a2﹣29a+270＝0,∵△＝(﹣29)2﹣4×1×270＝﹣239＜0方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件．21．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6．（1）请用尺规作图的方法在AB上找点D，使得△ACD∽△ABC（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求AD的长．解：（1）如图所示，点D即为所求．（2）∵△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得AD＝．22．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离OA＝75厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且支架长OB与BC的长度之和等于OA的长度．（1）求∠CBO的度数；（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）解：（1）如图延长CB交OA于E，∵OA⊥BC，∴∠BEO＝90°，∵∠AOB＝37°，∴∠OBC＝∠AOB+∠BEO＝37°+90°＝127°．（2）延长OB交AC于F．设BC＝x，则OB＝OA﹣BC＝75﹣x，∵∠AOB＝∠ACB，∠OBE＝∠CBF，∠AOB+∠OBE＝90°，∴∠ACB+∠CBF＝90°，∴∠BFC＝90°在Rt△BFC中，∵sin37°＝，∴BF＝0.6x，OF＝75﹣0.4x，在RT△OAF中，cos37°＝，∴＝0.8，∴x＝37.5厘米．∴小桌板桌面的宽度BC的长度为37.5厘米．23．4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动．顾客每购书满100元获得一次摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4，它们除所标数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：两球所标数字之和34567奖励的购书券金额（元）00306090（1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；（2）书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券．在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均数的方法说明理由．解：（1）列表如下：1234第1球第2球1（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）由上表可知，共有12种等可能的结果．其中“两球数字之和等于7”有2种，∴P（获得90元购书券）＝＝；（2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率如下：数字之和3456700306090获奖金额（元）相应的概率∴摸球一次平均获得购书券金额为0×+0×+30×+60×+90×＝35，∵35＞30，∴在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算．24．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．解：（1）连接AB，∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴AB＝＝＝3，∴⊙O的半径为；（2）AB∥ON，证明：连接OA、OB、OQ，∵∠APQ＝∠BPQ，∴＝，∴∠AOQ＝∠BOQ，∵OA＝OB，∴OQ⊥AB，∵OP＝OQ，∴∠OPN＝∠OQP，∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°，∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ＝180°，∵∠NOP+2∠OPN＝90°，∴∠NOQ＝90°，∴NO⊥OQ，∴AB∥ON．25．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（p，q）在直线l上，抛物线m经过点B，C（p+4，q），且它的顶点N在直线l上．（1）若B（﹣2，1），①请在如图的平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的示意图；②设抛物线m上的点Q的横坐标为e（﹣2≤e≤0）过点Q作x轴的垂线，与直线l交于点H．若QH＝d，当d随e的增大而增大时，求e的取值范围；（2）抛物线m与y轴交于点F，当抛物线m与x轴有唯一交点时，判断△NOF的形状并说明理由．解：（1）①∵点B（﹣2，1），∴点C（2，1），∴该抛物线的顶点坐标为（0，2），直线l与抛物线m的示意图如右图所示；②设直线l的函数解析式为y＝kx+b，∵直线l过点A（0，2），点B（﹣2，1），∴，得，∴直线l的解析式为y＝x+2，∵点B（﹣2，1），点C（2，1）在抛物线上，∴抛物线的顶点坐标为（0，2），设抛物线m的函数解析式为y＝ax2+2，1＝a×（﹣2）2+2，得a＝﹣，∴抛物线m的函数解析式为y＝﹣x2+2，∵点Q的横坐标为e（﹣2≤e≤0）过点Q作x轴的垂线，与直线l交于点H，∴设点Q的坐标为（e，﹣e2+2），点H的坐标为（e，e+2），∵﹣2≤e≤0，∴点Q总在点H上方，∵QH＝d，∴d＝（﹣e2+2）﹣（e+2）＝，∵＜0，∴当d随e的增大而增大时，e的取值范围﹣2≤e≤﹣1；（2）△NOF是等腰直角三角形，理由：∵抛物线m经过点B（p，q），C（p+4，q），∴抛物线m的对称轴是直线x＝＝p+2，又∵抛物线与x轴只有一个交点，∴这个交点为抛物线m的顶点，设抛物线顶点N的坐标为（p+2，0），则抛物线的解析式为y＝a（x﹣p﹣2）2，当x＝0时，y F＝a（p+2）2，即点F的坐标为（0，a（p+2）2），∵点B（p，q）在抛物线m上，∴q＝a（p﹣p﹣2）2＝4a，设直线l的解析式为y＝kx+2，∵点B（p，q），点N（p+2，0）在直线l上，∴，∴，得a＝，∴点F（0，p+2），∴OF＝|p+2|，又∵点N（p+2，0），∴ON＝|p+2|，∴ON＝OF，∵∠NOF＝90°，∴△NOF是等腰直角三角形．。
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2020-2021莆田涵江区九年级上学期期末质检数学试卷
(分两卷共6页，三大题，共25小题;满分150分;考试时间120分钟)
注意:本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置中
一、精心选一选:本大题共10小题，每小题4分，共40分;每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的，答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
2.抛物线y＝(x−1)2−4的顶点坐标为
A.(4，1)
B.(1，4)
C.(−1，4)
D.(1，−4)
3.一元二次方程x2+x−2＝0的根的情况是
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
4.为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点
A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，CE⊥BC设BC与AE
交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这
条河的大致宽度是
A.60m
B.90m
C.100m
D.120m
5.若点(2，5)，(4，5)在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是
A.x=2
B.x=3
C.x=4
D.x=5
6.1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步.设阔(宽)为x步，则所列方程正确的是
A.12x=864
B.x(x−12)=864
C.x(x+12)=864
D.(x−12)(x+12)=864
，下列结论不正确的是
7.已知反比例函数y=−3
x
A.图象必经过点(−1，3)
B.图象在第二、四象限内
C.y随x的增大而增大
D.图象关于原点对称
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD的度数是
A.70°
B.110°
C.120°
D.140°
9.如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠BAD＝45°，AB＝4，连接DC，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转一周，则线段DC长的取值范围是
A.2≤DC≤4
B.2√2≤DC≤4
C.2√2−2≤DC≤2√2
D.2√2−2≤DC≤2√2+2
第8题图第9题图第10题图
10.如图，点A在双曲线y=3
x 上，点B在双曲线y=k
x
(k≠0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴
于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC＝2CD，则k的值为
A.6
B.9
C.10
D.12
第Ⅱ卷非选择题
二、细心填一填:本大题共6小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上
11.点P(1，−2)关于原点的对称点P的坐标是
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1，2)，AB⊥x
轴交x轴于点B，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2
倍得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为
13.已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为
14.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为
第14题图
15.如图，直角三角形纸片ABC，AC边长为10cm，现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是
16.在平面直角坐标系xOy中，A(−m，0)，B(m，0)(其中m>0)，点P在以点C(3，4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，则m的最小值为
第15题图第16题图
三、耐心做一做:本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤
17.(本小题满分8分)
解方程：x2+2x＝1
18.(本小题满分8分)
如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3.
(1)(4分)以BC边上一点为圆心作O，使⊙O分别与AC、AB都相切(要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)(4分)求⊙O的面积.
20.(本小题满分8分)
(x>0)的图象和△ABC都在第一象限内，如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k
x
AB＝AC＝5
，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为(3，5).
2
(x>0)的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
(1)(4分)若反比例函数y=k
x
(2)(4分)若将△ABC向下平移m(m>0)个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD (1)(4分)求证：△ABE~△ACD；
的值.
(2)(4分)若BD＝1，CD＝2，求AE
AD
22.(本小题满分10分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD.
(1)(5分)求证：CD是⊙O的切线；
(2)(5分)若AD＝1，OA＝2，求AC的值.
23.(本小题满分10分)
商场销售某种T恤，平均每天可销售40件，每件盈利20元.为尽量减小库存，提高日盈利，商场决定采取适当的降价措施.经调査发现，若该种T恤每件降价x元，则每天的销售量y(件)与x之间的关系如图1所示，每天销售该种T恤的日盈利额S(元)与x之间的关系如图2所示(1)(2分)当T恤降价x元时，每件T恤盈利元，商场日销售件;(用含x的代数式表示)
(2)(4分)若商场计划销售该种T恤的日盈利达到900元，求每件T恤应降价多少元?
(3)(4分)直接写出图2中顶点A的坐标，并说明点A的实际意义
24.(本小题满分12分)
矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1.将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F接EF(如图①)
(1)(4分)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图②)，求PC的长
(2)探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答:
①(3分)PF
的值是否发生变化?请说明理由；
PE
②(5分)求从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长.
25.(本小题满分14分)
已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，一次函数y＝kx+b的图象经过抛物线上的点C(m，n)
(1)(3分)求抛物线的解析式；
(2)(5分)若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值；
(3)(6分)若k＝−2m+2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上.当PD＝PC时，求点P的坐标.。