广州大学2015应用时间序列分析考点官方

◆已知某中心化MA(1)模型1阶自相关系数ρ1=0.5，求该模型的表达式。解：ρ1=(-θ1)/(1+θ1^2),θ1 =(-1+Г1-4ρ1^2)/2ρ1=-1,MA(1)模型的表达式为xt=εt+εt-1

◆确定常数C的值以保证如下表达式为MA(2)模型：xt=10+0.5x(t-1)+εt-0.8ε(t-2)+Cε(t-3)。解：E (xt)=φ0/(1-φ1)=10/(1-0.5)=20,原模型可变为：(1-0.5B)(xt-20)=(1-0.8B^2+CB^3)εt,xt-20=(1-0. 8B^2+CB^3)εt/(1-0.5B),显然，当1-0.8B^2+CB^3能够整除1-0.5B时，模型为MA(2)模型，由此得B= 2是1-0.8B^2+CB^3=0的根，故C=0.275

◆已知MA(2)模型为：xt=εt-0.7ε(t-1)+0.4ε(t-

2)，εt~WN(0,σ(ε)^2)，求E(xt)，Var(xt)，ρk，(k≥1)。解：E(xt)=0, Var(xt)=(1+θ1^2+θ2^2)σ(ε)^2=1.65σ(ε)^2,ρ1=(-θ1+θ1θ2)/(1+θ1^2+θ2^2)=-0.98/1.65=-0.5939,ρ2=(-θ2)/(1+θ1^2+θ2^2)=0.4/1.65=0.2424,ρk=0,k≥3

◆证明：(1)对任意常数C，如下定义的无穷阶MA序列一定是非平稳序列：xt=εt+C(εt-1+εt-2+…),εt~WN(0,σ(ε)^2)。证明：xt=εt+C(εt-1+εt-2+…),xt-1=εt-1+C(εt-2+εt-3+…),xt=εt+C [(xt-1-εt-1)/C+εt-1]=xt-1+εt+(C-1) εt-1，即(1-B)xt=[1-(C-1)B] εt，显然模型的AR部分的特征根是1，模型非平稳。(2)｛xt｝的1阶差分序列一定是平稳序列，并求｛yt｝的自相关系数表达式：yt=xt-xt-1。证明：yt=xt-xt-1=εt+(C-1)εt-1为MA(1)模型，平稳。ρ1=(-θ1)/(1+θ1^2)=(C-1)/(C ^2-2C+2)

◆已知ARMA(1,1)模型为：xt=0.6xt-1+εt-0.3xt-2 +εt，确定该模型的Green函数，使该模型可以等价表示为无穷MA阶模型形式。解：(1-0.6B)xt=(1-0. 3B)εt,xt=(1-0.3B)(1+0.6B+0.6^2B^2+…)εt=(1+ 0.3B+0.3*0.6B^2+0.3*0.6^2B^3+…)εt=εt+(j=1Σ∞)0.3*0.6^(j-1)εt-j,G0=1,Gj=0.3*0.6^(j-1)

◆某ARMA(2,2)模型为：Φ(B)xt=3+Θ(B)εt，求E (xt)，其中εt~WN(0,σ(ε)^2)，Φ(B)=(1-0.5B)^ 2。解：E[Φ(B)xt]=E[3+Θ(B)εt],(1-0.5)^2E(xt) =3,E(xt)=12

◆证明ARMA(1,1)序列xt=0.5xt-1+εt-0.25εt-1,εt~WN(0,σ(ε)^2)的自相关系数为：ρk=｛1,k=0;

0.27,k=1;0.5ρk-1,k≥2｝证明：ρ0=r(0)/r(0)=1;ρ1=r(1)/r(0)=(φ1-θ1)(1-φ1θ1)/(1+θ1^2-2φ1θ1)=0.25(1-0.5*0.25)/(1+0.25^2-2*0.5*0.25) =0.27;ρk=φ1ρk-1=0.5ρk-1,k≥2

◆对于AR(1)模型：xt-μ=φ1(Xt-1-μ)+εt，根据t个历史观察值数据…10.1，9.6已求出^μ=10,^φ1 =0.3,^σε^2=9，求(1)xt+3的95%的置信区间(2)假定新获得观察值数据xt+1=10.5，用更新数据求x t+3的95%的置信区间。解：(1)xt-10=0.3*(xt-1-1 0)+εt,xT=9.6;^xT(1)=E(xt+1)=E[10+0.3*(xT-10) +εT+1]=9.88;^xT(2)=E(xt+2)=E[10+0.3*(xT+1-10) +εT+2]=9.964;^xT(3)=E(xt+3)=E[10+0.3*(xT+2-1 0)+εT+3]=9.9892;已知AR(1)模型的Green函数为：Gj=φ1^j,j=1,2,…;eT(3)=G0εt+3+G1εt+2+G2εt +1=εt+3+φ1εt+2+φ1^2εt+1;Var[eT(3)]=(1+0. 3*0.3+0.09*0.09)*9=9.8829;xt+3的95%的置信区间：[9.9892-1.96*г9.8829,9.9892+1.96*г9.81]，即[3.8275,16.1509]。(2)εT+1=xT+1-^xT(1)=10.5 -9.88=0.62;^xT+1(1)=E(xt+2)=0.3*0.62+9.964=10. 15;^xT+1(2)=E(xt+3)=0.09*0.62+9.9892=10.045;V ar[eT+2(2)]=(1+0.3*0.3)*9=9.81;xt+3的95%的置信区间：[10.045-1.96*г9.81,10.045+1.96*г9.8 1]即[3.9061,16.1839]

◆在统计研究中，常用按时间顺序排列的一组随机变量X1,X2,…Xt,…来表示一个随机事件的时间序列，简记为｛Xt，t∈T｝或｛Xt｝。用x1,x2,…,xn或｛x t,t=1,2,…n｝表示该随机序列的n个有序观察值，称之为序列长度为为n的观察值序列。

◆时域分析方法的分析步骤：1，考察观察值序列的特征2，根据序列的特征选择适当的拟合模型3，根据序列的观察数据确定模型的口径4，检验模型，优化模型5，利用拟合好的模型来推断序列其他的统计性质或预测序列将来的发展