重要极限的推导及应用教学设计
重要极限公式推导
重要极限公式推导在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了函数在某一点附近的表现。
而重要极限公式则是用于求解各种极限问题的基本工具。
本文将以重要极限公式推导为主题，介绍其中一些常用的公式。
一、极限的定义在推导重要极限公式之前，首先需要了解极限的定义。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，那么我们说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、重要极限公式推导1. 无穷小与无穷大的关系当x趋于无穷大时，我们常常会遇到无穷小与无穷大的关系。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→∞) [1 + 1/x]^x = e这个公式表明当x趋于无穷大时，[1 + 1/x]^x的极限为自然常数e。
2. 自然对数的极限自然对数函数ln(x)与指数函数e^x是互逆函数，它们之间有着紧密的联系。
我们知道，ln(x)的导数为1/x，因此可以得到以下重要的极限公式：lim(x→0) (ln(1 + x))/x = 1这个公式表明当x趋于0时，(ln(1 + x))/x的极限为1，也即是ln(1 + x)与x之间的近似关系。
3. 正弦函数的极限正弦函数sin(x)是数学中的重要函数之一，它在极限计算中也有着重要的应用。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→0) sin(x)/x = 1这个公式表明当x趋于0时，sin(x)/x的极限为1，也即是sin(x)与x之间的近似关系。
4. 指数函数的极限指数函数e^x在数学中起着重要的作用，而其极限也有一些重要的性质。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→0) (e^x - 1)/x = 1这个公式表明当x趋于0时，(e^x - 1)/x的极限为1，也即是e^x 与1 + x之间的近似关系。
5. 对数函数的极限对数函数log(x)也是数学中的重要函数之一，它在极限计算中也有着重要的应用。
其中一个重要的极限公式是：lim(x→0) (log(1 + x))/x = 1这个公式表明当x趋于0时，(log(1 + x))/x的极限为1，也即是log(1 + x)与x之间的近似关系。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
1.4 教学设计——两个重要极限
课题名称
学时数
课程类型
两个重要极限
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课学习两个重要极限，通过对函数变化趋势的观察，确定重要极限的极限值。同时要对重要极限的形式进行分析，注意它们的使用前提。
教学目标
知识目标
1.掌握两个重要极限；
2.掌握第二个重要极限的两种形式。
能力目标
1.会用重要极限计算函数的极限；
2.能够对函数的形式进行适当的变形，了解重要极限的结构特点。
素质目标
1.通过启发、诱导，让学生明确两个重要极限的研究过程和研究方法，培养学生分析、归纳、猜想、概括、论证等逻辑思维能力；
2.训练学生严密的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度；
3.通过对两个重要极限的研究，揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。
教学过程
教学环节
时间
分配
教学内容
教学活动
教学
资源
覆盖目标
课程育人
5’
哲学教学认识极限：无限与有限、变与不变、量变和质变
师生共同讨论，说出自己的观点和看法
视频
多媒体课件
素质目标
2,3
导入新课
10’
等价无穷小中出现的当
时 ，以此来引出第一个重要极限
在等价无穷小的基础上，引出第一个重要极限，便于学生接受和理解
多媒体课件
素质目标1
讲授新课
40’
1.第一个重要极限
形式介绍、结构特点，如何应用；
2.第二个重要极限
两种形式、结构特点，如何应用
3.第二个重要极限是用Mathematica软件做出函数的图形，以此观察在 时函数值的变化趋势；
2.第一个重要极限的讲授同样可以借助软件来作图，同时说明第二个重要极限的两种形式，第二个重要极限是针对幂指函数求极限的
2.3两个重要极限 单元教学设计
黑板演示
学生讨论
30分钟
6
（任务5）
无穷小替换定理
设
则
（1）无穷小替换要注意什么事项？
（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆
用无穷小替换定理处理下题
例1
例2
例3
教师讲解
黑板演示
学生听讲
40分钟
7
案例
案例1 求 （要求：两种方法）
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
2.3两个重要极限 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
两个重要极限
略
上课地点
略
教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解 并应用
➁能够理解 并应用
➂能够运用无穷小替换求极限
掌握
掌握
掌握无穷小替换定理
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1理解并证明
任务2 在若干极限中的应用
任务3 理解
任务4 在若干极限中的应用
任务5 无穷小替换定理
案例1 求
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
案例4 注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
教师提示
分组研讨
15分钟
3
（任务2）
应用
学生先讨论：如何应用这个极限？ 对吗？为什么？
例1
例2
例3
例4
重要极限公式的推导
重要极限公式的推导引言在微积分中，极限是一个重要的概念。
它描述了函数在某一点附近的行为。
而极限公式则是用来计算极限的工具之一。
本文将以重要极限公式的推导为主题，逐步解释这些公式的来源和推导过程。
一、基本极限公式的推导1. 极限的定义在开始推导之前，我们先回顾一下极限的定义。
设函数f(x)在点a 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 基本极限公式的推导基本极限公式是一些常见函数的极限值，它们在数学计算中非常常用。
其中包括：- lim(x→a) x^n = a^n，其中n为任意实数；- lim(x→0) (sinx)/x = 1；- lim(x→0) (1 - cosx)/x = 0；- lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e，其中e为自然对数的底数。
这些基本极限公式的推导可以通过数学分析和极限的定义进行证明。
由于篇幅有限，本文无法一一展开详细推导过程，但可以通过数学课本或相关资料进行学习和理解。
二、常用极限公式的推导1. 复合函数的极限对于两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过将它们进行复合来构造新的函数h(x) = f(g(x))。
那么，当x趋于某个特定值a时，h(x)的极限如何计算呢？设当x趋于a时，函数g(x)的极限为L，即lim(x→a) g(x) = L。
同时，当x趋于L时，函数f(x)的极限为M，即lim(x→L) f(x) = M。
那么，当x趋于a时，函数h(x)的极限为lim(x→a) h(x) = M。
这一推导过程体现了函数极限的传递性，即如果一个函数的极限存在，并且另一个函数将其作为自变量，则复合函数的极限仍然存在。
2. 无穷小量与无穷大量的极限在极限的计算中，经常会遇到无穷小量和无穷大量。
高职大一应用数学两个重要极限教学设计
学科
应用数学
教 学 内 容 1.7 两个重要极限（第一重要极限） （课名）
该内容总课时 共讲 2 讲 一、学习内容分析
翻转课时 第 1 讲
两个重要极限在整个学期的授课共 2 时节，在第一模块函数的极限与连续中学完极限的运算
法则后的内容。
这堂翻转课教学内容特色：两个重要极限在内容上是两特殊的极限，重点是让学生掌握应用，
40%，组间互评 占 30%，组内互 评占 30%。这部
打分
间互评。
分成绩记入过
程考核中的作
业成绩。
学生总结所学
3 总结
内容并谈学习 答疑补充 学生总结
10
感受
下次课要
4 求·
巡回答疑
辅导答疑 提出问题
5
六、教学设计反思 在课前学习中学生必须要认真进行学习，课堂上的翻转才能真正实施，所以课前任务设计是 关键，要想办法调动学生学习积极性。对于课上翻转部分，学生的分组也是很关键的，一个 小组中成员应该是基础好的和基础差的搭配，如果某个组成员基础都很差就有可能课前任务 完成不了。
有点类似于掌握两个公式的应用。
重点：第一重要极限的形式及变形
难点：第一重要极限的形式及变形的应用
二、学习目标分析 学习目标：第一重要极限的形式及变形的应用 通过学生做巩固练习题的正确率来判断学生是否达到了目标
三、学习者特征分析 学生基础薄弱，运算能力不强；对极限的运算性质掌握不牢固；
四、课前任务设计 学生通过课前导学指导观看视频 1.7.1，完成在线测试 1.7.1，并以小组为单位形成一篇学习笔 记（要体现出课前学习过程中不理解的地方） 课前导学内容：第一步观看视频 1.7.1，掌握第一重要极限的形式、第一重要极限的变形及应 用。第二步完成在线测试 1.7.1。第三步以小组为单位形成一篇学习笔记。 在线测试占课前学习成绩的 60%，学习笔记在线测试占课前学习成绩的 40%. 课前导学、视频、在线测试学习笔记通过学校教学平台发给学生
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)教学目标：1. 理解并掌握两个重要极限的概念和应用。
2. 能够运用两个重要极限解决相关数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 引入两个重要极限的概念。
2. 解释两个重要极限的推导过程。
3. 展示两个重要极限的应用实例。
4. 练习题和解答。
教学准备：1. 教案、PPT或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 引导学生回顾极限的概念，即当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值。
2. 提出问题：在数学中，有哪些重要的极限值得我们学习和掌握呢？二、第一个重要极限：极限的定义与性质（15分钟）1. 给出第一个重要极限的定义：当x趋向于0时，sinx/x趋向于1。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的性质和意义。
3. 解释这个极限在数学和物理中的应用。
三、第二个重要极限：极限的推导过程（15分钟）1. 给出第二个重要极限的定义：当x趋向于无穷大时，e^x趋向于无穷大，lnx 趋向于无穷大。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的推导过程。
3. 解释这个极限在数学和自然科学中的应用。
四、应用实例（15分钟）1. 举例说明如何运用这两个重要极限解决实际问题，如计算极限值、解决优化问题等。
2. 引导学生思考如何将这两个极限应用到自己的学习和工作中。
五、练习题和解答（10分钟）1. 提供一些有关两个重要极限的练习题，让学生独立完成。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学评价：1. 课后收集学生的练习题答案，评估学生对两个重要极限的理解和应用能力。
2. 在下一节课开始时，简要回顾本节课的内容，检查学生的掌握情况。
1. 教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学时间。
2. 鼓励学生在课堂上积极提问和参与讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、极限的计算方法（15分钟）1. 介绍几种计算极限的方法，如直接计算、代数方法、有理化方法、泰勒展开等。
基于数学生活化的“第二重要极限”的教学设计
基于数学生活化的“第二重要极限”的教学设计一、教学目标：1. 理解“第二重要极限”的概念及其在实际生活中的应用。
2. 掌握求解“第二重要极限”的方法，并能在相关问题中灵活运用。
3. 培养学生的数学建模能力，提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。
二、知识导入：通过一个生活化的例子引入“第二重要极限”的概念。
例如：一个人在热水壶烧水时，开始时水温较低，随着时间的推移，水温逐渐升高。
我们想知道当水温逐渐接近100摄氏度时，水中溶解氧含量随温度的变化情况。
这就涉及到了“第二重要极限”的概念。
三、教学内容：1. “第二重要极限”的概念介绍：在数学中，“第二重要极限”是指当一个量趋于无穷大或趋于零时，另一个量在一个特定的情况下也趋于无穷大或趋于零的极限问题。
在实际生活中，“第二重要极限”常常用于描述一些物理、化学等现象中的变化规律。
2. 求解“第二重要极限”的方法：（1）利用洛必达法则求解：对于形式不定型的极限问题，可以利用洛必达法则来求解，即将被除尽头的导数分子和分母同时求导，然后再进行求极限。
（2）利用泰勒展开求解：对于复杂的函数极限问题，可以利用泰勒展开将其转化为简单的多项式函数来求解。
3. “第二重要极限”的应用：通过一些实际问题，引导学生运用“第二重要极限”的概念和求解方法，探讨其在生活中的应用，如气体状态方程、物体自由落体运动等。
四、教学方法：1. 案例教学法：通过生活化的实例，引导学生理解“第二重要极限”的概念及其在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 课堂讨论法：引导学生围绕“第二重要极限”的求解方法和相关问题展开讨论，通过交流和合作，开拓思维，拓展视野。
3. 综合实验法：设计一些与“第二重要极限”相关的实验，引导学生通过实际操作和观察，深入理解其应用场景和实际意义。
五、教学过程：六、教学评价：通过平时作业、课堂练习、实验报告等形式，对学生的学习情况和能力进行全面评价，及时发现问题并加以引导和帮助。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。
2. 学习两个重要极限：e和π的极限。
3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。
2. 教学工具：投影仪、计算机。
四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。
3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。
b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。
4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。
b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。
5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。
6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。
2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。
3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。
六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。
2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。
七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。
2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。
八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。
2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。
2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。
3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。
二、教学内容：1. 极限概念的引入。
2. 两个重要极限的定义和推导。
3. 两个重要极限的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。
3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。
2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。
3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。
4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。
5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。
六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。
2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。
七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。
2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。
3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。
九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。
基于数学生活化的“第二重要极限”的教学设计
基于数学生活化的“第二重要极限”的教学设计一、教学目标1. 知识目标：学生能够掌握“第二重要极限”的概念和相关定理2. 能力目标：学生能够运用“第二重要极限”解决实际问题3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习动力，增强数学的实际应用意识二、教学重点1. 掌握“第二重要极限”概念2. 运用“第二重要极限”解决实际问题四、教学内容1. 复习“第一重要极限”的概念和相关定理2. 引入“第二重要极限”的概念3. 讲解“第二重要极限”的定理及应用4. 练习“第二重要极限”的解题方法5. 拓展“第二重要极限”的应用领域五、教学方法1. 案例引入：通过生活中的案例引入“第二重要极限”的概念，增加学生对知识的兴趣2. 讲述配合示范：通过讲解配合示范，让学生理解“第二重要极限”的应用方法3. 课堂练习：设计一些相关的习题，让学生在课堂上进行训练和巩固六、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个生活化的案例引入“第二重要极限”的概念，引起学生的兴趣和好奇心。
2. 讲解（20分钟）教师通过讲解配合示范，向学生介绍“第二重要极限”的概念、定理及应用方法。
3. 练习（15分钟）教师设计一些相关习题，让学生在课堂上进行训练和巩固，以加深对“第二重要极限”的理解。
4. 拓展（10分钟）教师引导学生思考“第二重要极限”的应用领域，拓展学生的认知广度，增强学生对数学应用的意识。
5. 总结（5分钟）教师对“第二重要极限”的重要性进行总结，激励学生对数学的学习兴趣。
七、教学工具1. PPT2. 板书3. 实物或图片引导八、布置作业1. 针对“第二重要极限”的相关题目进行作业巩固2. 提醒学生可以多留意生活中与“第二重要极限”相关的问题九、教学评价1. 上课时的表现：观察学生在课堂上对“第二重要极限”的理解和应用情况2. 课后作业的完成情况：通过作业检查学生对“第二重要极限”的掌握情况3. 学生的课后表现：鼓励学生在生活中发现更多与“第二重要极限”相关的问题，激发学生的学习兴趣。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 让学生理解极限存在的概念，掌握极限的定义和性质。
2. 让学生掌握两个重要极限：e^x 和sin x 的极限存在性。
3. 培养学生运用极限思想解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：理解极限过程，灵活运用极限思想解决问题。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解极限的概念、性质和两个重要极限的推导过程。
2. 运用案例分析法，引导学生运用极限思想解决实际问题。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
四、教学准备1. 教案、PPT、教材等相关教学资源。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
五、教学过程1. 导入新课：回顾极限的基本概念和性质，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念，阐述极限的重要性和应用范围。
3. 推导第一个重要极限：e^x 的极限存在性。
a. 讲解e^x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导e^x 的极限存在性。
4. 推导第二个重要极限：sin x 的极限存在性。
a. 讲解sin x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导sin x 的极限存在性。
5. 课堂练习：布置相关习题，让学生巩固所学内容。
6. 总结与展望：对本节课内容进行总结，强调极限存在的意义和应用。
7. 布置作业：布置课后习题，巩固所学知识。
8. 课后辅导：针对学生存在的问题进行个别辅导，提高学生的学习效果。
六、教学拓展与应用1. 让学生了解极限存在在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
2. 引导学生运用极限思想解决实际问题，如求解函数极限、导数、积分等。
3. 分析极限在实际问题中的作用，培养学生运用极限思维分析问题的能力。
七、极限存在与连续性的关系1. 讲解连续函数的极限存在性定理。
2. 分析连续函数在其极限点处的性质，如连续性、导数存在等。
3. 引导学生理解连续性与极限存在的关系，提高学生对连续性的认识。
高等数学教案 1.4 两个重要极限
§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限【教学内容】：1、夹逼准则2、单调有界准则3、两个重要极限【教学目的】：1、了解函数和数列的极限存在准则2、会用两个重要极限求极限【教学重点】：应用两个重要极限求极限【教学难点】：应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】：首先通过几个具体的数列的求极限例子：从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识。
介绍两条极限存在准则（夹逼准则，单调有界准则）及其利用他们求数列函数的极限（50分钟）。
再介绍两个重要极限及x xxx (1sin lim 0=→为弧度）的证明（20分钟），讲解例题（20分钟），课堂练习（10分钟）。
【教学内容】：引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中12-+=n n x x ，21=x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则夹逼准则：当),(0δx U x o∈时，有)()()(x h x g x f ≤≤，且A x f x x =→)(lim 0=)(lim 0x h x x →，则A x g x x =→)(lim 0。
推论：设}{n x 、}{n y 、}{n z 都是数列，且满足n n n z y x ≤≤，又=∞→n n x lim A z n n =∞→lim ，则有A y n n =∞→lim 。
例1、 求∑=∞→+ni n in 121lim 。
解：因为=+12n n 111111222++++++n n n ≤++++++≤n n n n 22212111nn nn nn ++++++222111 nn n +=2而=++∞→1lim2n nn 1lim 2=++∞→nn nn所以∑=∞→+ni n in 121lim =1注意：夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则单调有界数列必有极限（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)章节一：引言与极限概念的复习教学目标：1. 理解极限的概念及其在数学分析中的重要性。
2. 复习函数在一点附近的性质以及极限的定义。
教学内容：1. 引入极限的概念，解释极限在数学分析中的作用。
2. 复习函数在一点附近的性质，包括连续性、可导性等。
3. 回顾极限的定义，包括左极限、右极限以及极限的存在性。
教学方法：1. 通过举例和问题引导students 理解极限的概念。
2. 通过图形和实际例子解释函数在一点附近的性质。
3. 通过练习题帮助students 复习和巩固极限的定义。
章节二：极限的计算方法教学目标：1. 掌握常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 学会运用极限的性质和运算法则进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 讲解极限的性质和运算法则，如无穷小和无穷大的性质、四则运算法则等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固极限的计算方法。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示常见的极限计算方法。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握极限的性质和运算法则。
3. 通过练习题和问题引导学生运用极限的计算方法解决实际问题。
章节三：无穷小和无穷大的概念教学目标：1. 理解无穷小和无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
2. 学会运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍无穷小和无穷大的概念，包括无穷小和无穷大的定义、性质等。
2. 讲解无穷小和无穷大的性质，如无穷小的比较、无穷大的比较等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固无穷小和无穷大的应用。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示无穷小和无穷大的概念和性质。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握无穷小和无穷大的应用。
3. 通过练习题和问题引导学生运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
章节四：极限的存在性教学目标：1. 理解极限的存在性及其在数学分析中的应用。
重要极限教学设计
《 重要极限（二）》教学设计教师姓名：李宝霞单位：运城师范高等专科学校教学内容所属学科： 理科教学内容所属专业：数学专业教学内容所属课程： 数学分析教学内容适用对象： 专科一年级一、 教学背景【教材分析】内容选自高等学校小学教育专业教材《数学分析（上册）》第二章第六节，在学生学习了重要极限（一）的基础上的重要极限（二），是解决极限计算问题的有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的工具，是后续学习的重要基础。
【学情分析】学生在高中时已经对这个重要极限有了初步的认识，但对它是怎么来的还不清楚。
同时学生已经会用因式分解约去零因子或有理化这两种方法计算“00”型极限，并且已经利用两边夹逼定理推导出了重要极限（一），在此基础之上介绍重要极限（二）应当是顺理成章的。
二、 课程设计思路（一）教学目标 通过引导学生讨论、观察、猜想出0sin lim 1x x x →=，并进一步证明猜想的正确与否。
培养学生探究、解决问题的能力，了解数学的发展其实就是不断的猜想，不断的证明，很多数学成就都来源于猜想。
只有当猜想被证实了，才能作为定理或公式汇入数学理论体系的长河，为数学的进一步发展提供基础。
（二）教学方法：讨论法、观察法、讲授法。
（三）教学重、难点：引导学生猜想出0sin lim 1x x x→=，并给出证明。
（四）教学手段：多媒体课件、几何画板、板书（五）教学过程设计1.猜想⑴设疑引导学生利用以前所学知识因式分解约去零因子或有理化两种方法计算0sin lim x x x →，但用这两种方法直接求不行； ⑵在计算0sin lim x x x→时已注意到当0x →时，分子sin 0x →，分母0x →，引导学生试比较趋向于零的速度快慢，猜测出极限的可能情况0、1、∞，同时也为后面学习无穷小量与无穷大量的埋下伏笔； ⑶利用几何画板的动态演示让学生们更直观的猜测出0sin lim 1x x x →= 2.证明0sin lim 1x x x→= ⑴右极限0sin lim 1x x x+→=的证明，在单位圆中，借助直角三角形和扇形面积，利用两边夹逼定理进行推导； ⑵左极限0sin lim 1x x x-→=证明，利用函数的奇偶性，同理可得； 综合⑴、⑵可得0sin lim 1x x x →=。
重要极限公式推导
重要极限公式推导摘要：1.极限公式概述2.重要极限公式推导3.极限公式的应用4.结论正文：极限是数学中一个重要的概念，它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍一些重要的极限公式及其推导过程，并探讨如何在实际问题中运用这些极限。
一、极限公式概述极限公式是用来描述一个变量在某一点附近变化趋势的数学表达式。
在极限公式中，通常用字母x表示自变量，y表示因变量。
当自变量x趋近于某个值a时，极限公式可以表示为：lim (x->a) y(x)二、重要极限公式推导1.指数函数极限当x趋近于0时，e^x的极限为1。
证明如下：lim (x->0) e^x = 12.对数函数极限当x趋近于1时，log_2(x)的极限为0。
证明如下：lim (x->1) log_2(x) = 03.三角函数极限（1）正弦函数极限当x趋近于0时，sin(x)的极限为0。
证明如下：lim (x->0) sin(x) = 0（2）余弦函数极限当x趋近于0时，cos(x)的极限为1。
证明如下：lim (x->0) cos(x) = 14.反三角函数极限（1）反正弦函数极限当x趋近于1时，arcsin(x)的极限为π/4。
证明如下：lim (x->1) arcsin(x) = π/4（2）反余弦函数极限当x趋近于1时，arccos(x)的极限为0。
证明如下：lim (x->1) arccos(x) = 0三、极限公式的应用极限公式在实际问题中有广泛的应用，如求解极限问题、求解导数和积分等。
以下举一个求解极限的例子：求极限：lim (x->0) (e^x - 1) / x解：根据极限公式，我们有：lim (x->0) (e^x - 1) / x = lim (x->0) e^x / x - lim (x->0) 1 / x由于lim (x->0) e^x / x = 1，lim (x->0) 1 / x = 0，所以：lim (x->0) (e^x - 1) / x = 1 - 0 = 1四、结论极限公式是数学中一个重要的概念，掌握这些极限公式有助于解决实际问题。
重要极限公式推导
重要极限公式推导摘要：1.极限公式的概述2.极限公式的推导过程3.极限公式的应用示例4.极限公式的结论正文：【1】极限公式的概述在数学分析中，极限公式是一种用于描述函数在某一点附近行为的工具，它可以帮助我们更好地理解函数的性质。
极限公式的重要性体现在它能够帮助我们在实际问题中找到函数的临界点，从而解决实际问题。
【2】极限公式的推导过程极限公式的推导过程主要分为以下几个步骤：步骤一：首先，我们需要明确极限公式的定义。
极限公式定义为：当自变量趋近于某一值时，函数的极限等于函数在该点处的极限值。
步骤二：然后，我们需要根据极限的定义，使用数学符号来表示极限公式。
通常，我们用lim(x->a)f(x) 来表示函数f(x) 在x 趋近于a 时的极限。
步骤三：接下来，我们需要根据函数的性质，使用数学方法来推导极限公式。
常用的方法有：泰勒级数展开法、洛必达法则等。
【3】极限公式的应用示例极限公式在实际问题中的应用非常广泛，下面我们通过一个具体的例子来说明极限公式的应用。
例：求函数f(x)=(sinx-x) 在x 趋近于0 时的极限。
解：根据极限公式的定义，我们可以得到：lim(x->0) (sinx-x)通过泰勒级数展开法，我们可以将sinx 展开为x 的一阶无穷小量，从而得到：lim(x->0) (x-x^3/3!)继续展开，我们可以得到：lim(x->0) (x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...)通过洛必达法则，我们可以将上述式子化简为：lim(x->0) (1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...)最后，我们可以得到函数f(x) 在x 趋近于0 时的极限为1。
【4】极限公式的结论通过上述推导和应用示例，我们可以得出结论：极限公式是数学分析中一种非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。
基于数学生活化的“第二重要极限”的教学设计
基于数学生活化的“第二重要极限”的教学设计教学目标：1. 理解极限的概念，并能运用极限的定义推导解决问题；2. 掌握常用的极限性质，能够运用性质推导和计算极限；3. 发展学生的数学思维和解决问题的能力。
教学过程：教学步骤1：导入（10分钟）通过一个生活化的例子，如一个人在跑步过程中，他每分钟的距离都会逐渐减小，最终会趋近于0。
通过这个例子引入极限的概念，引发学生对极限的思考。
教学步骤2：引入数列的极限（20分钟）通过一个实际生活中的例子，比如一个球从高处落下，每次弹起的高度都是前一次弹起高度的一半。
引导学生思考：球弹起的高度会趋近于0吗？如何定义大部分情况下球弹起的高度都趋近于0呢？通过这个引入学生对数列极限的思考。
教学步骤3：讲解数列极限的定义（15分钟）在引入的基础上，给出数列极限的定义，并通过多个例子来解释说明。
教学步骤4：练习数列极限的计算（20分钟）通过一些简单的数列极限计算题目，巩固学生对数列极限的定义和计算方法的掌握。
教学步骤5：引入函数的极限（15分钟）通过一个实际生活中的例子，如温度随时间的变化，引入函数的极限问题，并引发学生对函数极限的思考。
教学步骤8：应用极限解决实际问题（30分钟）引导学生思考，在生活中还有哪些情况会涉及到极限，并通过一些实际生活中的问题来引导学生运用极限解决问题。
教学步骤9：小结和归纳（10分钟）对本节课所学的内容进行小结和归纳，并强调极限的重要性和应用。
教学资源：1. 极限的定义和性质的讲解材料；2. 实际生活中的例子和问题；3. 练习题。
教学评价：1. 通过参与课堂讨论和问题解答，评价学生对极限概念和计算方法的理解和掌握程度；2. 在解决实际问题的过程中，评价学生的综合运用能力；3. 通过课堂练习的成绩和小组讨论的表现，评价学生的合作能力和思维能力。
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重要极限e n n
n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的推导及应用教学设计
课程名称: 数学分析
所属学科: 数 学
专 业: 数学与应用数学
适用对象: 理工类
姓 名: 宋 美
单 位: 鲁东大学数学与统计科学学院
一、教学背景
1、教材分析
本课程所用教材是华东师范大学数学系编写的《数学分析》第四版上册。
本次授课内容选自教材第二章第3节数列极限存在的条件.
本次授课内容的地位和作用：
重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效的方法，两个重要极限是研究初等函数求导公式的一个工具，在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用。
2、学情分析
学生中学学过二项式展开公式，前面学习了单调有界原理，并会用单调有界原理来证明极限的存在性。
二、教学目标
知识目标：掌握极限e n n
n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的推导过程，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形公式解决有关数列极限的问题。
通过对实际问题的观察，猜想，分析讨论和严格推导，培养学生观察，归纳，严格证明的学习方法，且进一步认识转化思想在数学解题中的作用。
情感与能力目标：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣，养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维品质。
三、教学方法
本次授课采用启发引导和讲练结合的方法。
四、教学重点、难点
1、教学重点 正确理解公式e n n
n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→11lim ，并能运用公式及其变形公式解决有关的数列极限的计算问题。
2、教学难点 公式e n n
n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的证明，公式及其变形公式的灵活运用。
五、教学过程
1、引入
利用古巴比伦人提出的问题, 即连续复利问题引入新课
公元前1700年左右,古巴比伦人就提出了这样一个问题,以本金10000元存入银行，设年利率为20%,则一年后资金总额为 10000(120%)12000+=
如果按半年计息，年利率20%,则每期利率为10%,一年后本息和为
10000(110%)(110%)12100++=
如果按季度计息，年利率20%,则每期利率为5%,一年后本息和为
410000(15%)12155.0625.+=
由此看到，计息的周期越短，相同的年利率下，收益越高，如果按天计息呢？按小时？按分钟计息呢？如果每时每刻都在计息，会怎么样呢？
2、复习回顾
单调有界原理：
单调递增（减）有上（下）界的数列必有极限，极限为上（下）确界。
3、讲授新课 重要极限e n n n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的推导. 设1
(1)n n a n
=+, 现证明数列{}n a 是单调有界的. 按牛顿二项式公式, 有
1(1)n n a n
=+ 231(1)1(1)(2)1(1) (1)11 1!2!3!!n n n n n n n n n n n n n n n n ----⋅⋅⋅-+=+
⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 11112112111(1)(1)(1) (1)(1) (1)2!3!!n n n n n n n n
-=++-+--+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-, 11111211(1)(1)(1)2!13!11n a n n
n +=++-+--++++ 1121(1)(1) (1)!111n n n n n -+--⋅⋅⋅-+++112(1)(1) (1)(1)!111n n n n n +--⋅⋅⋅-++++. 比较n a , 1n a +的展开式, 可以看出除前两项外, n a 的每一项都小于1n a +的对应项, 并且1n a +还多了最后一项, 其值大于0, 因此
1n n a a +<,
这就是说数列{}n a 是单调的.
这个数列同时还是有界的. 因为n a 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得 2111111111112!3!!222n n a n -<+++++<+++++ 111121331212n n --=+=-<-. 根据单调有界原理，数列{}n a 必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即
1lim(1)n n e n
→∞+=.
e 是个无理数, 它的值是
e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.
指数函数x y e =以及对数函数ln y x =中的底e 就是这个常数.
4、解决问题
回到上课开始的问题, 每时每刻计算利息, 本息会趋近于某个确定的值.
5、课堂小结及作业
（1）正确应用公式e n n n =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→11lim 计算极限。
（2）证明过程中用到 ①2111111111++++2!3!!222n n -+++< ②111111111222!3!!1223(1)+++<++++<-<⋅⋅-n n n n。
作业：P41 1、（3）（5）；4.
六、教学总结
本次授课利用连续复利问题引出极限11lim n
n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
,有助于提高学生的学习兴趣, 以及对极限的理解, 证明采用了单调有界原理, 是解决极限存在问题的重要工具. 这个极限是重要极限11lim x x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭
的基础, 学好本次授课内容至关重要. 极限的应用对学生来说不难掌握.。