高三总复习双变量函数问题

高三数学第一讲------处理双变量函数问题的若干解题思想

例1． 已知m mx x x f ≥-+=1)(2在2≤m 时恒成立，求实数x 的取值范围.

例2． 已知n m <≤0，试比较)1ln(++-m e

m n 与)1ln(1++n 的大小，并给出证明.

例3． 已知函数)1(ln )(2>-+=a a x x a x f x ，对[]1)()(,1,1,2121-≤--∈∀e x f x f x x ，求实数a 的取值范围.

例4． 已知e b a >>，试比较a b b a 与的大小，并说明理由.

例5．已知a

b b a b a =>>,0

(1)求证：1>>>b e a ； (2) 求证：e b a 2>+； (3) 求证：2e b a >⋅.

例6．已知函数)1(1ln )1()(2

-<+++=a ax x a x f ，若对任意),0(,+∞∈n m ， n m n f m f -≥-4)()(，求a 的取值范围.

例7． 已知函数1ln 2)(2

-+=x x x f ，若21,x x 是两个不相等的正数，且0)()(21=+x f x f ，

试比较21x x +与2的大小，并说明理由.

例8． 已知函数)0(2ln )(2>+--=a bx x a x x G 有两个零点21,x x ，且201,,x x x 成等差数

列，试探究)(0'x G 值的正负号.

例9． 已知函数)1ln()(x x f +=，对于任意的)(),,1(,2121x x x x <+∞-∈，当),(21x x x ∈时，比较

11)()(x x x f x f --与2

2)()(x x x f x f --的大小，并说明理由.

例10． 已知函数)0()(,ln )(2>+==a bx ax x g x x f ，且)()(x g x f 与有两个相异的交点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠，线段AB 的中点为M ，过点M 作与x 轴垂直的直线l ，直线l 与函数)(x f 和函数)(x g 的图象分别相交于P ,Q 两点，问是否存在这样的两交点A,B ，使得函数)(x f 在P 点处的切线与函数)(x g 在Q 点处的切线平行？若存在，求出满足条件的A,B 两点的坐标；若不存在，说明理由.

例11．已知函数())0(ln >=x x x x f ，其导函数为()),(),,(,2211y x B y x A x g 为曲线()x g y =上的两点，且210x x <<。设直线AB 的斜率为k ，若()x g x x x ,2

210+=的导函数为()x g '，证明：()0'x g k >。

例12. 若0,021>>x x ，且21x x ≠，求证：1212

212x x x x e e e x x +->-.

例13. 已知函数()bx x x x x f -+

+=221ln ，设)(,2121x x x x >是函数()x f 的两个极值点，若27≥

b ，求()()21x f x f -的最大值.