匀速圆周运动中的周期性问题

匀速圆周运动中的周期性问题

信阳高中陈庆威 2013.09.02 匀速圆周运动是每年高考的必考内容，它的基本特征之一是周期性。即在运动的过程中,物体的空间位置具有时间上的重复性。它的这一特点性决定了某些圆周运动问题的多解性。在分析圆周运动与其他运动相联系的问题中,利用运动的等时性来求解待求量成了解决此类问题的关键。现把高中阶段常遇到的几种情况列举如下：

一、匀速圆周运动和匀速直线运动相结合

例1.如图所示，直径为d的圆形纸筒以角速度ω绕轴心O匀速转动．一子弹沿直径射入圆筒．若圆筒旋转不到半周时，子弹在圆筒上先后留下a，b两个弹孔，且∠aOb=θ，则子弹的速度为多少？

拓展1：若上题中去掉“圆筒旋转不到半周”这个条件，结果如何？

拓展2：若上题中去掉“圆筒旋转不到半周”这个条件，且子弹在圆筒上只留下一个弹孔，结果如何？

二、匀速圆周运动与匀变速直线运动相结合问题

例2.质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，周期为T，当P经过图中D

点时，有一质量为m的另一质点Q在水平向右的力F的作用下从静止开始做匀加速直线运动，

为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？

解：速度相同包括大小相等和方向相同，由质点P做匀速圆周运动可知，只有当P运动到圆周上的C点时，P、Q速度的方向才相同，即质点P转过（n+3/4）周（n=1、2、3……），

经历的时间t=（n+3/4）T（n=1、2、3……）,质点P的速率：。在相同时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得：，由以

上三式得：（n=1、2、3……）

三、匀速圆周运动和平抛运动相结合

例3.如图所示，在半径为R的水平圆盘的正上方高h处水平抛出一个小球，圆盘做匀速转动，当圆盘半径OB转到与小球水平初速度方向平行时，小球开始抛出，要使小球只与圆盘碰撞一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度．

四、匀速圆周运动和匀速圆周运动

例4.（2006年江苏物理）如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．

（1）求卫星B 的运行周期；

（2）如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

解：（1）由万有引力定律和向心力公式得 2224()()B

Mm G m R h R h T π=++……………………………① 2Mm G mg R =………………………………………………② 联立①②得

3

2()2B R h T gR

π+= ………………………………………………③ （2）由题意得

0()2B t ωωπ-= ………………………………………………④

由③得

2

3

()B gR R h ω=+ ………………………………………………⑤ 代入④得0232()t gR

R H π

ω=-+

拓展1：若将第二问变为“如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则经过多长时间，它们再一次相距最近？” 提示：④式将变为0()2(1,2,3)B t n n ωωπ-==

拓展2：若将第二问变为“如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则经过多长时间，它们再一次相距最远？”

五、匀速圆周运动和运动的分解与合成结合

例5.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，顶部有入口A ，在A 的正下方h 处有出A

B

O h

口B，一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使球从B处飞出，小球进入入口A处的速度v应满足什么条件？在运动过程中，球对筒的压力多大？