第三讲有理数加减法及乘除法
第3讲有理数加减乘除及混合运算(学生版)
第3讲有理数加减乘除及混合运算1.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数。
2.有理数减法法则即减去一个数，等于加这个数的相反数。
有理数的减法可以转化为加法来进行。
如果你记不住上面的加减法规则，请参照以下：傻瓜加减法则1、遇见小数减大数，负号表示“差多少”（其实就是符号不同的两数相加的情况）2、遇见减去负数时，负负得正变加号（其实就是小学的去括号变号问题）3.有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0．4.几个有理数相乘时积的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．注意：第一个因数是负数时，可省略括号．5.有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．）0除以任何一个不为0的数，都得0．【例题1】选择正确答案（1）若a＋b=a b+，则a 、b 的关系是（ ）A 、a 、b 绝对值相等B 、a 、b 异号C 、a 、b 的和是非负数D 、a 、b 同号或其中至少一个为0 （2）若一个有理数减去它的相反数是一个负数，则（ ） A 、这个有理数一定是负数 B 、这个有理数一定是正数C 、这个有理数可以为正数、负数D 、这个有理数为零（3）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示。
则下列结论错误的是（ ） A 、b ＋c<0 B 、-a ＋b ＋c<0 C 、a b+>a c+ D 、a b+<a c+（4）已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) A 、a>b B 、a<b C 、不能确定 D 、a=b（5）一个数在数轴上对应点与其相反数在数轴上对应点的距离为12单位长，则这个数是( ) A 、12或-12 B 、14或-14 C 、12或-14 D 、-12或14【例题2】计算：(1) 7.27.27.2---+ (2) 13616--++-【例题3】计算：.)702.11()6514(537(6155(5213(---++++-+)532()]57()323(6.8[324-+-++-+【例题4】如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？【练习1】|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例题5】完成下列填空1、两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 。
北师大版 七年级上册 数学 有理数的加减、乘除及乘方运算 讲解及练习(无答案)
有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。
有理数的四则运算
第三讲有理数的四则运算⼀有理数的加减法1有理数的加法法则同号相加同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加异号相加异号两数相加取绝对值较⼤数的符号并⽤较⼤的绝对值减去较⼩的绝对值步骤10定符号永远跟着绝对值⼤的符号⾛②计算同加异减2有理数的减法法则减去⼀个数等于加上这个数的相反数步骤5-变⼗变为相反数20减数变为其相反数-a bi at b30计算⼀减变加g-8 5.3⼗-29-8--5.2-8-5.3-2.9-8-15.2-2.7t-2.9-8-5.2-2.7-12.9-2.8-5.63加减法的简便运算运算律加法交换律加法结合律简算⽅法D有相反数先把相反数相加g 3.75-15.253-75-3.75-13-755-255.25②能凑整的先凑整eg5.45-11-285-455-5.45-4.55⼗-285-12-85③同分⺟的优先相加egĪttjtÌttĚ来打⼗⼀⼗_1t C10④先把正数和负数分别相加eg lt-23tC413K21-44-1-6-2去括号eg fi⼀引⼗六2-1-5原式53-i打⽚-25D括号内⼀变千⼆Ét⼀制⼗三⼗⼀⾏2⼗-520括号外⼆变⼲⼆ÉtÉ4秋⽚2-11-5130计算-34特殊的加减乘除egl lt2⼗3⼗2019120竺20192039190g21-2-13-4-15-62019-1x T120191010eg3lt2-3-4-156-7-8t-12017-12018-2019原式⼆It2-3-4-156-7-89⼗2014-2015-2016-12017-12018-2019 1⼗0⼗0⼗⼀02018-2019O总结出现时观察符号分组计算每组的结果为定值或有规律5填符号e gl在123⼀2016中每个数字前添加年或⼆使和为0思路连续4个数能凑0如1-2-3-14-15-6-7-18t12013-2014-2015-120160g2在1232017中每个数字前添加⼗或三和能为0吗若不能和的绝对值最⼩是多少思路4个1组可凑201745041最后剩数字1时绝对值最⼩⼆有理数的乘除法1有理数的乘法法则两个不为0的数相乘同号得正异号得负再把绝对值相乘步骤先定号同号得正异号得负再算值绝对值相乘多数相乘奇负偶正负因数个数191.5个数相乘其中3个正数则结果定为正X可能有0 egz5个数相乘结果为正则有⼏个正数奇负偶正0个或2个或4个负数即1个或3个或5个正数2有理数的除法法则法则1除以⼀个数等于乘以这个数的倒数9-25-2ㄨ⼀3倒数乘积为1的两个数的倒数负数的倒数为负数0没有倒数倒数等于本身的数是⼟1法则2两数相除同号得正异号得负再把绝对值相除eg8-2-82-43乘除法混合运算eg-5Ì-4年x⼀㣌-3的原式_⼀断ㄨ⼀㣌⼀制10带分数变假分数I x⼀咸f x⼀刮②变⽂⼆致书何信830定号。
有理数的加减乘除运算--教案+例题+习题+答案
有理数的加减乘除运算一、目标认知学习目标：掌握有理数的加法法则，会使用运算律简算；并能解决简单的实际问题。
掌握有理数的减法法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，合理运算。
重点：有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则。
有理数的加法结合律、交换律；乘法交换律、结合律、乘法分配律。
混合运算的顺序。
难点：有理数运算法则的理解，尤其是有理数加法和减法法则的理解；有理数运算中的符号问题；运用运算律进行简算问题；运算的准确性问题等。
二、知识要点梳理知识点一：有理数的加法:把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
要点诠释：相加的两个有理数有以下几种情况：（1）两数都是正数；（2）两数都是负数；（3）两数异号，即一个是正数，一个是负数；（4）一个是正数，一个是0；（5）一个是负数，一个是0；（6）两个都是0。
知识点二：有理数加法法则根据有理数的加法法则，两数相加，先弄清这两个加数是同号还是异号，根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值。
要点诠释：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
知识点三：有理数加法的运算定律要点诠释：（1）加法交换律：。
（2）加法结合律：。
知识点四：有理数减法的意义要点诠释：有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
减法是加法的逆运算。
知识点五：有理数减法法则要点诠释：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即知识点六：有理数加减法统一成加法的意义要点诠释：对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。
这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。
统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。
第3课时 有理数的加减乘除运算
嘉升教育学生教案教学内容：知识点1、有理数加法法则：（1）、同号两数相加，取原来的符号，并把绝以值相加。
（2）、异号两数相加，先看哪一个加数的绝对值大，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、有理数的减法：做有理数的减法时，必须根据减法法则，将减法化为加法．即将减号改为加号，将减数改为它的相反数．3.注意：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0。
如：（-37）⨯（-2）⨯（-45）⨯8的符号为________4.有理数除法规则：两个有理数相除，同号得_______（填“正”或“负”），异号得_______（填“正”或“负”），并把绝对值__________.课堂作业：（满分：100分） 姓名 成绩一．选择题（11⨯3=33分） 1、下列说法中，正确的是（ ）A ．两个有理数的和总比其中的一个加数大;B ．两个有理数的绝对值的和与它们和的绝对值相等;C ．任何有理数与它的相反数的和是零；D ．任何有理数与它的绝对值的和是零 2.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m ，则这个数为（ ） A.－mB.mC.±mD.2m3.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ） A.正数B.负数C.正数、零D.负数、零4.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ） A.正数B.负数C.非负数D.非正数5.若│a │=3，│b │=1，则代数式a+b 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．2或-2D ．±2或±4 6.下面说法正确的是（ ）A 、两数之和不可能小于其中的一个加数B 、两数相加就是它们的绝对值相加C 、两个负数相加，和取负号，绝对值相减D 、不是互为相反数的两个数，相加不能得零 7.若mn >0,则m ,n （ ） A.都为正 B.都为负 C.同号D.异号8.下列结论中：①0的倒数是0；②一个不等于0•的数的倒数的相反数与这个数的相反数的倒数相等；③倒数等于自身的数是±1；④若a 、b 互为倒数，则-34ab=-34．•其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 9．（-213）÷（-45）÷（+45）等于（ ）A ．213B ．-213C ．373D ．以上结果都不对10.数轴上的点A 和点B 所表示的数互为相反数，且点A 对应的数是–2，P 是到点A 或点B 距离为3的数轴上的点，则所有满足条件点 P 所表示的数的和为（ ）.A 、0B 、6C 、10D 、16 11．||||a b a b +（ab ≠0）的所有可能的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空(7⨯2=14分)1.（1）温度3°C 比－9°C 高 ；（2）温度－6°C 比－2°C 低 ；2.(1)如果a ＜0，b ＞0，那么，ab____0；(2)如果a ＜0，b ＜0，那么，ab____0；(3)当a ＞0时，a____2a ； (4)当a ＜0时，a____2a ．3.一个数是16，另一个数比16的相反数小–2，这两个数的差为_____________.4.│-2005│的倒数是________。
有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算有理数是指能够表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
在数学中，有理数的加减乘除混合运算是一个基础而重要的概念。
本文将对有理数的加减乘除混合运算进行详细介绍。
1. 加法运算有理数的加法运算是指在两个有理数之间进行相加操作。
当两个有理数的符号相同时，只需要将它们的绝对值相加，并保留相同的符号。
例如，(-3) + (-2) = -5。
当两个有理数的符号不同时，我们需要进行减法操作。
即将绝对值较大的数减去较小的数，并保留绝对值较大数的符号。
例如，(-3) + 2 = -1。
2. 减法运算有理数的减法运算是指在两个有理数之间进行相减操作。
可以将减法转化为加法，即将减数取相反数，然后进行加法运算。
例如，5 - 3可以转化为 5 + (-3)。
3. 乘法运算有理数的乘法运算是指在两个有理数之间进行相乘操作。
正数与正数相乘或负数与负数相乘，结果为正数；正数与负数相乘或负数与正数相乘，结果为负数。
即符号相同为正，符号不同为负。
例如，(-2) ×5 = -10，(-3) × (-4) = 12。
4. 除法运算有理数的除法运算是指将两个有理数进行相除操作。
除法可以通过乘法的倒数得到，即将除数的倒数与被除数相乘。
例如，(-10) ÷ 2可以转化为 (-10) × (1/2) = -5。
5. 混合运算有理数的混合运算是指在一个表达式中同时包含加减乘除这四种运算。
在进行混合运算时，需要按照运算符的优先级进行计算，并使用括号来改变运算顺序。
通常，括号中的运算先于乘除法的运算，乘除法的运算先于加减法的运算。
例如，计算表达式：(-3) + 4 × (-2) - 6 ÷ 3。
首先进行乘法和除法运算：4 × (-2) = -8；6 ÷ 3 = 2。
然后进行加法和减法运算：(-3) + (-8) - 2 = -13。
第03讲 有理数的乘除法 (解析版)
第3讲有理数的乘除法一、知识梳理1.有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘，都得0；乘积是1的两个数互为倒数；乘法交换律：ab=ba;乘法结合律：(ab)c=a(bc);乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.【例1】.（1）计算：4×（﹣3）的结果是（）A．1B．﹣1C．12D．﹣12【分析】原式利用有理数的乘法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣4×3＝﹣12．故选：D．（2）计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（）A．﹣6B．6C．﹣5D．5【分析】根据有理数的乘法法则计算即可解答本题．【解答】解：（﹣3）×（﹣2）＝+（3×2）＝6．故选：B．（3）（﹣8）×（﹣25）×（﹣0.02）．【分析】先确定符号，再用乘法的结合律，8×25＝200，进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣200×0.02＝﹣4．（4）（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣）【分析】根据有理数的乘法法则和乘法的交换律进行计算即可．【解答】解：（﹣8）×9×（﹣1.25）×（﹣）＝（﹣8）×（﹣1.25）×9×（﹣）＝10×（﹣1）＝﹣10．（5）﹣12×（1﹣+）【分析】由于12是3，4，6的公倍数，可利用乘法分配律进行计算，使计算简便．【解答】解：原式＝﹣12×﹣（﹣12）×+（﹣12）×＝﹣16﹣（﹣9）+（﹣10）＝﹣17【变式训练1】.（1）计算（﹣9）×的结果是（）A．3B．27C．﹣27D．﹣3【分析】先确定积的符号，再把绝对值相乘．【解答】解：原式＝﹣（9×）＝﹣3，故选：D．（2）计算（﹣2）×（﹣4）的结果等于（）A．8B．﹣8C．6D．﹣6【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：（﹣2）×（﹣4）＝8．故选：A．（3）计算：﹣2×3×（﹣）．【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：﹣2×3×（﹣）＝2×3×＝6×＝1．（4）计算：4.5×1.25×（﹣8）．【分析】根据乘法结合律简便计算即可求解．【解答】解：4.5×1.25×（﹣8）＝4.5×[1.25×（﹣8）]＝4.5×（﹣10）＝﹣45．（5）计算：﹣60×（+﹣﹣）【分析】根据乘法算式的特点，可以用括号内的每一项与﹣60相乘，计算出结果．【解答】解：原式＝（﹣60）×+（﹣60）×﹣（﹣60）×﹣（﹣60）×＝﹣45﹣50+44+35＝﹣16．2.有理数的除法除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.【例2】.（1）﹣的倒数是（）A．﹣2B．C．﹣D．±【分析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解答】解：﹣的倒数是：﹣2．故选：A．（2）已知a，b互为倒数，|c﹣1|＝2，则abc的值为（）A．﹣1或3B．﹣1C．3D．±2【分析】利用倒数的定义求出ab值，利用绝对值求出c的值，代入代数式即可解答．【解答】解：∵a，b互为倒数，∴ab＝1，∵|c﹣1|＝2，∴c＝3或﹣1，∴abc＝﹣1或3，故选：A．（3）计算：＝．【分析】将有理数的除法转化为乘法，然后再计算．【解答】解：原式＝，故答案为：﹣．【变式训练2】.（1）﹣7的倒数是（）A．﹣B．C．﹣7D．7【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．【解答】解：∵﹣7×（﹣）＝1，∴﹣7的倒数是：﹣．故选：A．（2）若有理数a，b满足a•b＝1，则下列说法正确的是（）A．a＝b B．|a|＝|b|C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数【分析】利用倒数的定义判断即可．【解答】解：由ab＝1，得到a与b互为倒数．故选：D．（3）计算：＝．【分析】根据除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可．【解答】解：原式＝﹣3×（﹣）＝，故答案为：．3.有理数的四则混合运算乘除混合运算：先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果；加减乘除混合运算：按照“先乘除，后加减”的顺序进行，有括号的先算括号. 【例3】.（1）25÷（﹣5）×÷（﹣）．【分析】根据有理数的乘除法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝．（2）计算：11+（﹣22）﹣3×（﹣11）；【分析】首先计算乘法，再利用加法法则计算即可得到结果.【解答】解：（1）11+（﹣22）﹣3×（﹣11）＝11+（﹣22）+33＝﹣11+33＝22.【变式训练3】.（1）计算：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）．【分析】将带分数变为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解．【解答】解：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）＝﹣××＝﹣．（2）计算：3×（﹣4）+18÷（﹣6）；【分析】先算乘除，再算加法；【解答】解：（1）原式＝﹣12+（﹣3）＝﹣15；二、课堂训练1．下列各数中，与﹣5的乘积得0的数是（）A．5B．﹣5C．0D．1【分析】可以根据任何数与0相乘都得0得到答案，也可以根据乘法和除法互为逆运算进行求解．【解答】解：∵0÷（﹣5）＝0，∴0×（﹣5）＝0，故选：C．2．计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可．【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正，（﹣2）×（﹣3）＝6．故选：D．3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞b B．b＞﹣a C．a+b＞0D．ab＜0【分析】本题主要考查有理数的乘法，数轴，有理数的加法，根据数轴上点的特征可得a＜0＜b，且|a|＞|b|，据此逐项判断可求解．【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|，故A选项错误；∴b＜﹣a，故B选项错误；a+b＜0，故C选项错误；ab＜0，故D选项正确．故选：D．4．以下叙述中，正确的是（）A．﹣a一定是负数B．若|a|＝0.5，则a＝0.5C．a与﹣a互为相反数D．﹣a的倒数是【分析】根据绝对值、相反数、倒数、正数与负数的概念与性质逐一判断即可．【解答】解：A、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，故选项A不符合题意，B、|a|＝0.5，则a＝0.5或﹣0.5，故选项B不符合题意，C、a与﹣a互为相反数，选项C符合题意，D、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，零没有倒数，选项D不符合题意．故选：C．5．一种盐水的含盐率是10%，盐与水的比是（）A．1：10B．1：11C．1：9D．1：8【分析】直接利用盐水中含有盐，进而得出盐和水的比．【解答】解：∵盐水的含盐率是10%，∴盐和水的比是：1：（10﹣1）＝1：9．故选：C．6．已知|a|＝4，|b|＝2，那么ab＝8或﹣8．【分析】根据绝对值的定义，可求解a，b，再代入根据相关运算法则计算即可求解．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，∴a＝4，b＝2时，ab＝4×2＝8；当a＝4，b＝﹣2时，ab＝4×（﹣2）＝﹣8．当a＝﹣4，b＝2时，ab＝（﹣4）×2＝﹣8．当a＝﹣4，b＝﹣2时，ab＝（﹣4）×（﹣2）＝8．∴ab的值为8或﹣8．故答案为：8或﹣8．7．有一桶水，倒出后，桶内还剩20L水，桶内原有水50L．【分析】直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：由题意可得：20÷（1﹣）＝50（L）．故答案为：50．8．如果a+3的相反数是﹣5，那么a的倒数是．【分析】先根据只有符号不同的两个数互为相反数求出a，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．【解答】解：∵a+3的相反数是﹣5，∴a+3＝5，∴a＝，∵（）×（）＝1，∴a的倒数是．故答案为：．9．计算：（﹣）÷（﹣2）×．【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝××＝．10．计算：．【分析】先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：＝×﹣×+×＝（+）×＝（）×＝（﹣1）×＝﹣．三、课后巩固1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】利用有理数的乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝|﹣2×4×|＝|﹣2|＝2．故选：C．2．有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子：①a＞0＞b；②|b|＞|a|；③ab＜0；④a﹣b＞a+b；⑤＜﹣1，其中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用数轴，结合绝对值的意义和有理数的乘除法法则进行逐一判定．【解答】解：从数轴上可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|．则：①a＞0＞b，错误；②|b|＞|a|，错误．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0．∴③ab＜0，正确．∵b＞0，∴﹣b＜0．∴﹣b＜b．∴a﹣b＜a+b．∴④a﹣b＞a+b，错误．∵|a|＞|b，a＜0，b＞0，∴a＜﹣b．∴．∴⑤＜﹣1，正确．综上，错误的个数有3个，故选：C．3．如果a与﹣6互为倒数，那么a是（）A．﹣6B．6C．﹣D．【分析】根据倒数的定义回答即可．【解答】解：∵a与﹣6互为倒数，∴a＝﹣．故选：C．4．下面各式化成最简整数比正确的是（）A．1：＝2：3B．：＝3：2C．0.9：＝3：5D．24：36＝2：3【分析】根据比例的基本性质即可得答案．【解答】解：A、×2≠1×3，故A不符合题意，B、×3≠×2，故B不符合题意，C、×3≠0.9×5，故C不符合题意，D、36×2＝24×3，且2：3已经是最简形式，故D符合题意，故选：D．5．一种纺织品的合格率是98%，300件产品中有m件产品不合格，则m值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：∵一种纺织品的合格率是98%，300件产品中有m件产品不合格，∴m值为：300×98%＝6．故选：C．6．计算：﹣0.125÷＝﹣．【分析】将有理数的除法转化为有理数的乘法进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣×＝﹣，故答案为：﹣．7．若a＜c＜0＜b，则a×b×c＞0．（用“＞”“＝”“＜”填空）【分析】先判断a，b，c的正负，再根据同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，即可得出结果．【解答】解：∵a＜c＜0＜b，∴a，c为负数，b为正数，∴a×c＞0，∴a×b×c＞0．故答案为＞．8．﹣2.4的倒数是﹣【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【解答】解：﹣2.4＝﹣的倒数是：﹣．故答案为：﹣．9．计算：÷（×2）．【分析】首先计算乘法，然后计算除法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：÷（×2）＝÷＝10．（﹣48）÷8﹣（﹣25）×（﹣6）【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可转化成法，根据两数相乘同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：原式＝（﹣48）×（﹣6）＝﹣6﹣150＝﹣（6+150）＝﹣156．。
数学 第三讲有理数的四则运算
第三讲有理数的四则运算二有理数的加减法1. 有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2. 有理数加法的运算步骤法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：（1）先确定加法类型（同号还是异号）；（2）确定和的符号；（3）绝对值的加减运算。
3. 有理数加法的运算律（1）两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a(加法交换律)（2）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
（a+b）+c=a+(b+c)(加法结合律)4. 有理数加法的运算技巧（1）分数与小数均有时，应先化为统一形式。
（2）带分数可分为整数与分数两部分参与运算。
（3）多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加，得零。
（4）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加。
（5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起。
（6）符号相同的数可以先结合在一起。
5. 有理数的减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)6. 有理数减法的运算步骤（1）把减号变为加号（改变运算符号）（2）把减数变为它的相反数（改变性质符号）（3）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算。
7. 有理数加减法混合运算的步骤（1）把算式中的减法转化为加法；（2）省略加号与括号；（3）利用运算律及技巧简便计算，求出结果。
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即求几个正数、负数和0的和，这个和称为代数和。
为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式，例如：（+3）+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11,它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。
有理数加减乘除混合运算及其应用课件
=3.7 答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
加减乘除混合运算法则
1.先算乘除； 2.再算加减；
3.有括号时先算括号（先小括号，再中括 号，最后是大括号）
4.同级运算，按照从左到右. 注：对于混合运算中有除法时，可以运 用除法法则先将除法变为乘法；可以适 当运用运算律使计算简便。
一、有理数的加法
1.计算：
• （1） -5+(-8) = -13
• （2） 20+(-25) = -5
同号相加
异号相 加
• （3）14+（-14）= 0
互为相反数
• （4）0+(-99) = -99
同0相加
有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较 大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小 的绝对值，互为相反数的两个数相加得0.
有理数的加减乘除混合运算 顺序与小学所学的混合运算顺序 是一样的：
先乘除后加减，有括号时先算括 号里面的。同级的运算要从左至右。
探索与交流
（1） ( 3 ) ( 4 ) 6 0 ( 1)2
（2）
15(1)(6) 6
例题讲解
P36
例8 计算：
（ 1 ） 8 4 （ 2 ） ；
3.一个数同0相加，仍得这个数。
规律1：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的 位置，和不变。
加法交换律：a+b=b+a
规律2：有理数加法中，三个数相加，先把前两个数 相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法的结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
第03讲 有理数的乘除法(5大考点)(解析版)
第03讲有理数的乘除法（5大考点）一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点：(1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；考点考向(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b a b b ÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．考点一：有理数的乘法运算1．计算：(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算：25×﹣（﹣25）×+25×．【答案与解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，=25×+25×+25×，考点精讲=25×（++），=25×， =．【总结升华】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律并灵活运用是解题的关键．3.用简便方法计算： (1)2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯； (2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-⨯+⨯--⨯．【答案】（1）原式2125(13)(13)0.340.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2125(13)0.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯++⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ (13)10.34(1)130.3413.34=-⨯+⨯-=--=-．(2) 3.1435.2 6.28(23.3) 1.5736.4-⨯+⨯--⨯＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．考点二:有理数的除法运算1．计算： 17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．【答案与解析】 解：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果． 2.计算：111(3)(2)(1)335-÷-÷- 【答案】原式103525()()()37621=-⨯-⨯-=- 考点三：有理数的乘除混合运算1.计算：9481(16)49-÷⨯÷-【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ 【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行． 2.计算：14410(2)893-÷⨯÷- 【答案】 14410(2)893-÷⨯÷-194181941243108432843216⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭考点四：有理数的加减乘除混合运算1. 计算：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】方法1：121123031065⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12035121303010-+-⎛⎫⎛⎫=-÷=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法2：211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112(30)1031065⎛⎫=-+-⨯-=- ⎪⎝⎭所以121121303106510⎛⎫⎛⎫-÷-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a ÷(b+c) ＝a ÷b+a ÷c 进行分配就错了．2.观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：= ．【答案】解：==． 考点五：含绝对值的化简1. 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出||||||a b c a b c++的值吗? 【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值．【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，||||||1113a b c a b c a b c a b c ++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，||||||1111a b c a b c a b c a b c-++=++=-++=； (3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，||||||1111a b c a b c a b c a b c--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b c a b c a b c---++=++=-+-+-=- 综上，||||||a b c a b c++的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.2.计算a b a b+的取值.【答案】(1)当a ＞0、b ＞0时，112a b a b =+=+=原式； (2)当a ＜0、b ＜0时，112a b a b-=+=--=--原式； (3)当a ＞0，b ＜0时，110a b a b=+=-=-原式； (4)当a ＜0，b ＞0时，110a b a b-=+=-+=原式． 综上，a b a b+的值为：2,2,0- 一、单选题1．（2021·全国七年级专题练习）计算8÷（﹣2）的结果是（ ）A ．﹣4B ．﹣16C ．﹣6D ．10【答案】A【分析】根据有理数的除法法则进行计算即可．【详解】解：原式＝﹣8÷2＝﹣4．故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的除法法则．熟记法则是解题的关键．2．（2021·广东七年级期末）计算：﹣17×□＝1，则□内应填的数是（ ） 巩固提升A ．﹣7B ．﹣1C ．17D ．7【答案】A 【分析】根据有理数的乘法法则计算可求解． 【详解】解：∵1(7)17-⨯-=， ∴□内应填的数是﹣7，故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键．3．（2021·陕西西安·交大附中分校七年级期末）23-的倒数是（ ） A ．32- B ．32 C ．23 D ．23- 【答案】A【分析】根据倒数的定义进行答题． 【详解】解：23-的倒数是32-， 故选：A ．【点睛】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．4．（2021·内蒙古七年级期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完，一天之后“一尺之捶”剩12尺，两天之后剩14尺，那么3天之后，这个“一尺之棰”还剩（ ）A ．12尺B ．14尺C ．18尺D ．116尺 【答案】C 【分析】两天之后14尺，那么只要计算第三天截去14的一半还剩多少即可求解． 【详解】解：两天之后剩14尺，那么第三天截去了14×12＝18尺，所以三天后，这个“一尺之棰”还剩14－18＝18尺． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的运算，读懂题意并掌握有理数的运算法则是解题的关键．5．（2021·全国七年级课前预习）下列把除法转换为乘法的过程中正确的是（ ）A ．()114433⎛⎫÷-=-⨯ ⎪⎝⎭B ．()()()13663⎛⎫-÷-=-⨯- ⎪⎝⎭C ．()11414⎛⎫÷-=⨯- ⎪⎝⎭D ．()13434⎛⎫-÷=⨯ ⎪⎝⎭【答案】C6．（2021·湖南七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则2021!2020!的值等于（ ） A ．2021B ．2020C ．2021！D ．2020！【答案】A【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论． 【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…， ∴2021!202120202019...1==20212020!20202019...1⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 故选A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2020·浙江杭州·）若0a b +>，且0ab <，则（ ）A ．0,0a b >>B ．a ，b 异号且其中负数的绝对值较大C ．0,0a b <<D ．a ，b 异号且其中正数的绝对值较大 【答案】D【分析】根据有理数的乘法法则可得a 、b 为异号，再根据有理数的加法法则可得正数的绝对值较大，进而得到答案．【详解】解：∵ab ＜0，∴a 、b 为异号，∵a +b ＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D ．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法和加法法则，关键是掌握计算法则．8．（2021·全国七年级专题练习）下列运算过程中，有错误的是（ ）A ．（3﹣412）×2＝3﹣412×2B ．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）C ．91819×16＝（10﹣119）×16＝160﹣1619D ．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]【答案】A【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式＝3×2﹣92×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；C、原式＝（10﹣119）×16＝160﹣1619，不符合题意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题9．（2021·全国七年级专题练习）计算：3×（12-）＝____．【答案】3 2 -【分析】利用有理数的乘法法则直接计算即可．【详解】解：13322⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭，故答案为：32 -．【点睛】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．10．（2021·全国七年级课前预习）计算：6×（－9）＝ __________（－6）×0＝____________2 3×94-＝________（13-）×14＝_________（－2）×54×910⎛⎫-⎪⎝⎭×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝_____（－6）×5×76⎛⎫-⎪⎝⎭×27＝_______【答案】－54 032-112-32- 1011．（2020·浙江杭州·七年级期末）在数5-，1，3-，5，2-中任两个数相乘除，其中最大的积是_________，最小的商是_______．【答案】15 -5【分析】根据有理数的乘除法法则分别计算，再比较可得结果．【详解】解：最大的积是：-5×（-3）=15，最小的商是：-5÷1=-5，故答案为：15，-5．【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法和比较大小，关键是掌握有理数的运算法则．12．（2021·浙江七年级期中）在2021□□□的“□”内分别填入“+”，“-”，“⨯”三个运算符号（每个符号只能填1次），最大的运算结果=________．【答案】4【分析】由运算的结果最大先确定乘号的位置，再确定加号与减号的位置即可.【详解】解：由运算的结果最大可得：0的前面与后面都不能用“⨯”，从而可确定第一个2的后面是“-”，第二个2的前面是“+”，2021 4.∴-+⨯=故答案为：4.【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的加减运算与乘法运算的运算法则是解题的关键.13．（2021·全国七年级专题练习）计算：−2÷12×2＝______．【答案】8-【分析】根据有理数乘除的性质计算，即可得到答案．【详解】−2÷12×2＝2228-⨯⨯=-故答案为：8-．【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算的性质，从而完成求解．14．（2021·陕西七年级期中）已知a、b都不为0，则||||||a b aba b ab++的值为___________．【答案】1-，3【分析】分4种情况讨论：①a、b都是正数；②a、b都是负数；③a是正数，b是负数；④a是负数，b是正数【详解】①a、b都是正数，||||||1113a b aba b ab++=++=；②a、b都是负数，||||||1111a b aba b ab++=--+=-；③a是正数，b是负数，||||||1111a b aba b ab++=--=-；④a是负数，b是正数，||||||1111a b aba b ab++=-+-=-；综上所述，||||||a b aba b ab++的值为1-，3故答案为：1-，3【点睛】本题考查了有理数的绝对值定义和有理数除法法则，解答关键是根据题意对a、b符号进行分类讨论．15．（2018·山东七年级期中）定义一种新的运算：x*y=2x yx+，如：3*1=3213+⨯=53，则2*3=__________．【答案】4【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：2232*342+⨯==，故答案为：4【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．（2021·全国七年级课前预习）根据“除法是乘法的逆运算”探究：正数除以负数：8÷（－4）＝8×（______）负数除以负数：（－8）÷（－4）＝（－8）×（______）零除以负数：0÷（－4）＝0×（______）可知，除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____【答案】14-14-14-倒数17．（2021·全国七年级课前预习）探究：规定一楼地面的高度为0，从一楼向上的方向为正，从一楼向下的方向为负．小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15 cm．如果小亮从1楼向上走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？15×1 ＝____15×2 ＝____15×3 ＝____小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向下走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？（－15）×1 ＝____（－15）×2 ＝____（－15）×3 ＝_____观察上面的式子，根据你对有理数乘法的思考，填空：正数乘以正数积为_____数负数乘以正数积为______数正数乘以负数积为______数负数乘以负数积为______数乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_______【答案】15 30 45 －15 －30 －45 正负负正积三、解答题18．（2021·全国七年级专题练习）计算：（1）（﹣4120）×1.25×（﹣8）；（2）56⨯（﹣2.4）35⨯；（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×0.01；（4）91819⨯15．【答案】（1）40.5；（2）65-；（3）-84；（4）414919【详解】【分析】（1）原式变形后，约分即可得到结果；（2）原式变形后，约分即可得到结果；（3）原式利用乘法法则计算即可得到结果；（4）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式815204=⨯⨯8＝40.5；（2）原式512366555=-⨯⨯=-；（3）原式＝﹣（14×6）×（100×0.01）＝﹣84；（4）原式＝（10119-）×15＝1501519-=149419．19．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各题：（1）112136⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（2）151124364⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）1152(10)3236⎛⎫-÷-⨯÷- ⎪⎝⎭．【答案】（1）2-；（2）89；（3）1-． 【详解】（1）原式7736⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭ 76372⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-（2）原式41717364⎛⎫=+⨯÷ ⎪⎝⎭ 4174361789=⨯⨯= （3）原式5110621035⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1=-．20．（2021·全国七年级课前预习）计算：（1）()()74491647-÷⨯÷- （2）()41452⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷-÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【答案】（1）1；（2）52-【详解】()441441(1)4949 1.77167716⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭原式 ()()()()4855(2)4244.5582⎡⎤⎛⎫=-÷-⨯-=-÷=-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦原式 21．（2021·江苏南京一中七年级月考）定义运算“*”为：*()a b a b a b =⨯-+，求2*5，(3)*(8)--．【答案】3，35．【分析】原式利用题中的新定义法则计算即可得到结果．【详解】解：*()a b a b a b =⨯-+，2*525(25)1073∴=⨯-+=-=，(3)*(8)(3)(8)(38)241135--=-⨯----=+=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021·福建七年级期末）已知一些两位数相乘的算式：62×11，18×22，34×11，15×55，63×39，54×11．（1）观察上述算式，选出具有共同特征的3个算式，并说出它们的共同特征；（2）分别计算你选出的算式．观察计算的结果，你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗？请用文字描述这个规律；（3）在已知算式中，其他算式可以用上面的规律进行简便运算吗？如何能，写出你的变形过程并直接写出最后结果．【答案】（1）一个两位数与11相乘；（2）两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积；（3）18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825．【分析】（1）确定因数为11的算式；（2）计算并发现规律；（3）根据发现的规律找算式即可．【详解】（1）解：62×11，34×11，54×11，这3个算式共同特征是：一个两位数与11相乘．（2）解：62×11＝682，34×11＝374，54×11＝594，规律：两位数乘法中，如果有一个因数为11，得数的百位上的数是两个因数最高位上的积，十位上的数是第一个因数十位数与其个位数的和，个位上的数是两个因数个位上数的积．或表述成：某个两位数与11相乘，得数的百位上的数是这个两位数的十位数，得数的十位上的数是这个两位数各位数的和，个位上的数是这个两位数个位上的数．（3）解：18×22＝36×11＝396，15×55＝75×11＝825，【点睛】本题是计算类的规律题，观察所给的算式，找出算式之间数与数的关系，还有与结果的关系，得出结论，在根据规律解决问题．23．（2021·西安市铁一中学七年级月考）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x*y＝xy﹣5 例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）请仿照上面的例题计算下列各题：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣16）；（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】（1）①﹣11；②﹣152；（2）＝【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利用题中的新定义计算即可求出值，先计算括号里面的再计算；（2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，利用新定义，分别计算□*〇与〇*□，再比较大小即可．【详解】解：（1）①根据题中的新定义得：原式＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11；②根据题中的新定义得：原式＝（4×5﹣5）*（﹣16） ＝15*（﹣16） ＝15×（﹣16）﹣5 ＝﹣52﹣5 ＝﹣152； （2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，根据题意得：a*b ＝ab ﹣5，b*a ＝ab ﹣5，即a*b ＝b*a ，则□*〇＝〇*□．故答案为：＝．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2021·重庆七年级期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a ，b ，c ，d ，如果a b c d ≤≤≤，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1369<<<，所以1369叫做顺次数．（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是__________，最小的“顺次数”是__________；（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．【答案】（1）9999，1111；（2）1267或2247【分析】（1）根据“顺次数”的定义，直接写出答案即可；（2）分两种情况：当1a =时，当2a =时，分别写出所有的顺次数，再验证能否被7整除，即可得到答案．【详解】（1）根据“顺次数”的定义，四位正整数中，最大的“顺次数”是9999，最小的“顺次数”是1111， 故答案是：9999，1111；(2）当1a=时，可能是1227、1237、1247、1257、1267、1277，其中，只有1267是7的倍数；a=时，可能是2227、2237、2247、2257、2267、2277，其中，只有2247是7的倍数；当2∴这个四位数是1267或2247．【点睛】本题主要考查新定义问题，理解“顺次数”的定义，是解题的关键．。
有理数的除法第3课时有理数的加减乘除混合运算课件人教版七年级数学上册
解：原式=35 - （-6） =35+6 =41
先算乘除法 再将减法统一成加法计算
（3）4-（-6）÷3×10
解：原式= 4 -（-2）×10 = 4 -（-20） =4+20
先算乘除法 再将减法统一成加法计算
=24
（4）3×（-4）+ （-28）÷7
解：原式= - 12+（- 4） 先算乘除法 = -（12+4） 再按照加法法则进项计算 =-16
B.（-3）-（-3）
C.（-3）×（-3） D.（-3）÷（-3）
2.计算3-2×（-1）=（ A ）
A C
540
归纳总结
有理数加减乘除混合运算顺序：
1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律.
作业设计
教材P38 习题1.4 第 8 题。
1.4.2 有理数的除法 第3课时 加减乘除运算
汇报人：郭项敏
学习目标 01 进一步掌握有理数的运算法则和运算律. 02 熟练地按有理数运算顺序进行混合运算. (重点、
难点).
复习旧知
你还记得怎么计算么？ 计算：18-35+17-12 解：原式=18+（-35）+17+（-12）
=[18+17+(-35)]+(-12) =+(-12) =-12
课堂练习
例题精讲
例2、计算：
（1）[12 – 4(3-10)]÷4
解：原式= [12-4×（-7）]÷4
= [12 – (-28)]÷4
=40÷4 =10
归纳：有理数加减乘除混合运算，先
1.3有理数的加减法-1.4有理数的乘除法(教案)
2.教学难点
（1）减法转化为加法的理解与应用。
-难点解析：学生需要理解减去一个数等于加上这个数的相反数，例如5 - 3 = 5 + (-3)。
（2）乘除法中负数的运算规则。
4.培养学生的数学建模意识：将实际问题转化为数学模型，运用所学的有理数运算方法解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
5.培养学生的合作交流能力：通过小组讨论、互动交流，使学生学会倾听他人意见，表达自己的观点，共同解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）有理数的加减法法则：同号相加、异号相减，并将减法转化为加法进行计算。
-举例：3 + 5与3 - 5的计算方法，以及如何将3 - 5转化为3 + (-5)。
（2）有理数的乘除法法则：同号得正、异号得负，并将除法转化为乘法进行计算。
-举例：3 × 5与3 ÷ 5的计算方法，以及如何将3 ÷ 5转化为3 × (1/5)。
（3）加减乘除法的运算性质，如交换律、结合律、分配律等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数的基本概念、加减乘除法的法则及其在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对有理数运算的理解。希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-难点解析：学生容易混淆负数在乘除法中的运算，如(-3) × (-2) = 6，(-3) ÷ (-2) = 1.5。
有理数的加减乘除
有理数的加减乘除一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比值的数，形式为a/b，其中 a 和 b 是整数，b 不为0。
2.有理数的分类：整数、分数、正数、负数、正分数、负分数。
3.有理数的性质：相等、相反、绝对值、奇偶性。
二、有理数的加法1.有理数加法的定义：将两个有理数相加，得到一个新的有理数。
2.有理数加法的规则：同号相加，异号相减。
3.有理数加法的性质：交换律、结合律、单位元。
三、有理数的减法1.有理数减法的定义：将一个有理数减去另一个有理数，得到一个新的有理数。
2.有理数减法的规则：减去一个数等于加上它的相反数。
3.有理数减法的性质：交换律、结合律。
四、有理数的乘法1.有理数乘法的定义：将两个有理数相乘，得到一个新的有理数。
2.有理数乘法的规则：同号得正，异号得负；绝对值相乘。
3.有理数乘法的性质：交换律、结合律、分配律。
五、有理数的除法1.有理数除法的定义：将一个有理数除以另一个有理数，得到一个新的有理数。
2.有理数除法的规则：除以一个数等于乘以它的倒数。
3.有理数除法的性质：交换律、结合律。
六、混合运算1.混合运算的定义：涉及多个有理数及其运算的计算。
2.混合运算的规则：按照先乘除后加减的顺序进行计算。
3.混合运算的性质：运算律、结合律。
七、特殊情况处理1.零的加减乘除：零加零得零，零减零得零，零乘任何数得零，零除以任何非零数得零。
2.一的加减乘除：一加一得二，一减一得零，一乘任何数得任何数，一除以任何数得一。
3.负数的加减乘除：负数加正数得负数，负数减正数得负数，负数乘正数得负数，负数乘负数得正数，负数除以正数得负数，负数除以负数得正数。
八、实际应用1.速度和时间的计算：速度乘以时间等于路程。
2.折扣和原价的计算：折扣乘以原价等于折后价。
3.比例和比例尺的计算：比例的两内项之积等于两外项之积。
以上是对有理数的加减乘除的知识点的总结，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：计算 -3 + 4 的结果。
有理数加减乘除法则
有理数加减乘除法则一、有理数的加法法则：1.同号相加：两个正数相加，结果为正数；两个负数相加，结果为负数。
2.异号相减：两个数的绝对值相减，结果的符号与被减数的符号相同，绝对值取两个数的绝对值之和。
例1：-3+4=1（结果为正数，两个数的绝对值取和）例2：-4+(-6)=-10（结果为负数，两个数的绝对值取和）二、有理数的减法法则：有理数的减法可以看作是加上一个相反数。
即a-b=a+(-b)（其中b为有理数）。
例1：5-3=5+(-3)=2例2：-4-(-6)=-4+6=2三、有理数的乘法法则：1.同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。
2.异号相乘：两个数相乘，结果为负数。
例1：3*4=12（结果为正数，两个数同号）例2：-3*(-4)=12（结果为正数，两个数同号）例3：-3*4=-12（结果为负数，两个数异号）四、有理数的除法法则：有理数的除法可以看作是乘以一个倒数。
即a÷b=a*(1/b)（其中b为有理数）。
例1：8÷4=8*(1/4)=2例2：(-12)÷(-3)=-12*(1/(-3))=4上述就是有理数的加减乘除法则的基本内容，下面将介绍它们的运算性质。
加法:交换律：a+b=b+a（两个有理数交换位置，结果相同）结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（三个有理数运算的顺序可以任意调换）加法的逆元：a+(-a)=0（任何有理数与它的相反数相加等于0）减法:减法的性质：a-b=a+(-b)乘法:交换律：a*b=b*a（两个有理数交换位置，结果相同）结合律：(a*b)*c=a*(b*c)（三个有理数运算的顺序可以任意调换）乘法的逆元：a*(1/a)=1（任何非零有理数与它的倒数相乘等于1）除法:除法的性质：a÷b=a*(1/b)以上是有理数的加减乘除法则及其运算性质的详细介绍。
掌握了这些规则和性质，可以帮助我们更好地理解有理数的运算，并在实际问题中运用它们解决各种计算问题。
有理数的加减乘除法
计算：（1）（－51）＋（－37） （同号两数相加）＝－（ ） （取相同的符号）＝－（51＋37） （并把绝对值相加）＝－88（2）（＋15）＋（－18） （绝对值不相等的异号两数相加）＝－（ ） （取绝对值较大的加数的符号）＝－（18－15） （并用较大的绝对值减去较少的绝对值）＝－3（3）（－431）＋（＋231） （4）（－131）＋（＋221） ＝ ＝＝ ＝（5）（－3）＋（－9）＋（－7.4）＋9.6 （6）（－0.9）＋2.5＋21＋（－32）（7）13＋（－16）＋9＋（－24） （8）（－7）＋3＋1＋（－3）＋7＋（－5）（9）1＋（－21）＋31＋（－61） （10）543＋（－353）＋441＋（－752）计算：（1）0－（－3） （2）（－19）－（－12） （3）18－23 （4）25－（－25）1.3（3）有理数加减运算技巧点拨1、把符号相同的数结合在一起计算：（＋5）＋（－6）＋（+4）＋（＋9）＋（－7）＋（－8）2、 把互为相反数的两数结合在一起计算：8＋5＋（－4）－（－6）＋4 －（－2）＋3＋（－3）＋（－2）－9＋13、 把能凑成整数的数结合在一起计算：－（－5.6）＋10.2－8.6＋（－ 4.2）4、 把分母相同的分数或易通分的分数结合在一起计算：（＋353）＋（＋443）＋（－152）＋（－343）运算步骤：先确定符号，再算绝对值。
注意：1、不要将有理数的乘法法则和有理数的加法法则相混淆，如（－2）×（－3）= 6而不是等于“－6”，这个要特别注意，注意区分。
2、法则中的“两数相乘，同号得正，异号得负”是专指两数相乘而言的。
计算：（技巧：先确定符号，再算绝对值。
）（1）（－1815）×（－109） （2）8.125×（－8） （3）（－132.64）×0例如：（－2）×（－3）×（－8） （－2）×（－3）×（8）计算：（1）（－1）×（－45）×（－32）×0×（－425） （2）（－9）×（－54）×27×（－215） （3）1.6×（－14）×（－2.5）×（－3）计算：（1）（－64）÷（－4） （2）（＋332）÷（－521） （3）（－43）÷0.25技巧：两个有理数相除，先确定符号，再确定商的绝对值。
第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算
第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算进门测易1.﹣2019的相反数是（）A．﹣2019B．﹣C．2019D．【解答】解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：C．2.若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣1【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．3.﹣25的绝对值是（）A．﹣25B．25C．D．【解答】解：|﹣25|＝25，故选：B．4.若a是非零实数，则（）A．a＞﹣a B．C．a≤|a|D．a≤a21【解答】解：当a＝﹣1时，a＜﹣a，a＝，故选项A、B错误；当a＝时，a＞a2，故选项D错误；当a时非0实数时，a≤|a|，故选项C正确．故选：C．5.下面说法：①﹣a一定是负数；②若|a|＝|b|，则a＝b；③一个有理数中不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①﹣a一定是负数，说法错误，如果a＝﹣1，则﹣a＝1；②若|a|＝|b|，则a＝b，说法错误，例如|3|＝|﹣3|，但是3≠﹣3；③一个有理数中不是整数就是分数，说法正确；④一个有理数不是正数就是负数，说法错误，还有0，0既不是正数也不是负数；正确的个数有1个，故选：A．6.下列说法正确的是（）①0是绝对值最小的有理数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④两个数比较，绝对值大的反而小．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【解答】解：0是绝对值最小的有理数，所以①正确；相反数大于本身的数是负数，所以②正确；数轴上在原点两侧且到原点的距离相等的数互为相反数，所以③错误；两个负数比较，绝对值大的反而小，所以④错误．故选：A．2中1.如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：∵a与﹣3互为相反数，∴a＝3．故选：B．2.若m﹣2的相反数是5，那么﹣m的值是（）A．+7B．﹣7C．+3D．﹣3【解答】解：∵m﹣2的相反数是5，∴m﹣2=﹣5，解得：m=﹣3，故﹣m=3．故选：C．3.下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．﹣和0.333B．﹣[+（﹣7）]和﹣（﹣7）C．﹣0.25和0.25D．﹣（﹣6）和6【解答】解：A、﹣和互为相反数，此选项错误；B、﹣[+（﹣7）]＝7，﹣（﹣7）＝7，则﹣[+（﹣7）]＝﹣（﹣7），此选项错误；C、﹣0.25和0.25互为相反数，此选项正确；D、﹣（﹣6）＝6，此选项错误；故选：C．34.若|﹣a|＝a，则a应满足的条件为．【解答】解：∵|﹣a|＝a，∴a≥0，故答案为：a≥0．5.绝对值小于2.5的所有整数是．【解答】解：绝对值小于2.5的所有整数是﹣2、﹣1、0、1、2．故答案为：﹣2、﹣1、0、1、2．难1.若a﹣5和﹣7互为相反数，求a的值．【解答】解：根据性质可知a﹣5+（﹣7）＝0，得a﹣12＝0，解得：a＝12．2.（1）已知：x和2x﹣12互为相反数，求x的值（2）已知：a是1的相反数，b的相反数是﹣3，c是最大的负整数，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x和2x﹣12互为相反数，∴x+2x﹣12=0，解得：x=4；（2）∵a是1的相反数，∴a=﹣1，∵b的相反数是﹣3，∴b=3，4∵c是最大的负整数，∴c=﹣1，∴a+b+c=﹣1+3﹣1=1．3.如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点．（填“A”、“B”“C”或“D”）【解答】解：由图示知，b﹣a＝4，①当a＞0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，舍去；②当a＜0，b＜0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，故数轴的原点在D点；③当a＜0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即﹣a＝3b，解得a＝﹣3，b＝1，故数轴的原点在C点；综上可得，数轴的原点在C点或D点．故填C、D．4.﹣4，5，﹣7三数的和比这三数的绝对值的和小多少？【解答】解：根据题意得：|﹣4|+|5|+|﹣7|﹣（﹣4+5﹣7）=4+5+7+4﹣5+7=22，则﹣4、﹣5、+7三个数的和比这三个数绝对值的和小22．5.化简：|2x﹣3|+|3x﹣5|﹣|5x+1|【解答】解：①当x＜﹣时，原式＝3﹣2x+5﹣3x+5x+1＝9．②当﹣≤x时，原式＝3﹣2x+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣10x+7．③当≤x＜时，原式＝2x﹣3+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣6x+1．④当x≥时，原式＝2x﹣3+3x﹣5﹣5x﹣1＝﹣95有理数的加减法及混合运算知识讲解1. 有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数加减，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加仍得这个数．✓方法指引：在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）2. 加法运算律加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．2. 有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数．即：a-b=a+（-b）✓方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．3. 有理数加减混合运算的方法有理数加减法统一成加法．✓方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的6和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．典型例题1.计算：（1）（+）+（﹣）（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）【解答】解：（1）（+）+（﹣）＝﹣＝＝；（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）＝﹣11.8；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）＝（﹣﹣）+（﹣+）7＝﹣1﹣2＝﹣3；（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）＝（0.56+0.44）+（﹣0.9﹣8.1）＝﹣8．2.计算：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）；（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）．【解答】解：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）＝（﹣2﹣3﹣4）+（3+1+3+2）＝﹣9+9＝0（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）＝（3+5）﹣（2+8）＝9﹣11＝﹣2．3.﹣﹣【解答】解：﹣﹣＝（﹣）+（﹣）＝（﹣）+（﹣）＝﹣．4.计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．【解答】解：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）=﹣（﹣）﹣9﹣12=1﹣21=﹣2085.0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．【解答】解：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1=（0.47+1.53）﹣（4+1）=2﹣6=﹣4．6.计算：（+5）﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（+12）【解答】解：原式＝5+3﹣7﹣12，＝﹣11．7.计算：【解答】解：原式＝1+﹣＝1﹣＝1．8.计算：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）【解答】解：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）＝（﹣5﹣1）+（2+）＝﹣7+3＝﹣4．变式练习1.计算：（﹣）+（0.75）+（+）++1【解答】解：原式＝﹣++++1＝﹣++++1＝﹣++1＝．92.（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）【解答】解：原式＝（﹣3﹣6）+（15.5﹣5）＝﹣10+10＝0．3.计算（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）．【解答】解：（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）＝（﹣3.14+2.14）+（4.96﹣7.96）＝﹣1﹣3＝﹣4．4.计算（1）﹣5++（﹣1）（2）﹣++（﹣）（3）|﹣|++（﹣）【解答】解：（1）﹣5++（﹣1）＝﹣6+＝﹣；（2）﹣++（﹣）＝﹣；（3）|﹣|++（﹣）10＝+﹣＝﹣＝．5.10﹣（﹣7）【解答】解：10﹣（﹣7）＝10+7＝17．6.计算：（﹣5）﹣（+12）﹣（﹣7）．【解答】解：原式=﹣5+（﹣12）+7=﹣17+7=﹣10．7.计算：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6．【解答】解：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6＝12+18﹣5﹣6＝30﹣5﹣6＝19．8.计算：3+（﹣）﹣2．【解答】解：3+（﹣）﹣2＝3﹣2﹣＝1﹣＝．9.（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．11【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4＝﹣﹣﹣+++4＝﹣4++4＝．有理数的乘除法及混合运算知识讲解1.（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．2. 倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．✓方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法与相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求“-”求求12求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求注意：0没有倒数．3.（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•（b≠0）（2）方法指引：①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．②有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．4. 有理数乘除混合运算的方法有理数乘除法统一成乘法．✓方法指引：①在一个式子里，有乘法也有除法，根据有理数除法法则，把除法都转化成乘法，然后确定积的符号，最后把各乘数的绝对值相乘求出结果．②把除法都转化成乘法后，就可以应用乘法的运算律，使计算简化．典型例题1.（﹣8）×（﹣）×（﹣1.25）×【解答】解：原式＝﹣8×1.25××＝﹣．2.计算：（）×24．【解答】解：原式＝×24+×24﹣×24＝3+16﹣1813＝19﹣18＝1．3.用简便方法计算：（﹣9）×18．【解答】解：原式＝（10﹣）×（﹣18）＝﹣180+＝﹣179．4.（﹣）÷（﹣）【解答】解：原式＝×＝．5.计算：6÷（﹣3）×（）．【解答】解：6÷（﹣3）×（）＝﹣2×（）＝3．6.计算：【解答】解：原式＝﹣16÷5＝﹣．7.计算：×（﹣4）÷1【解答】解：原式=．8.（﹣）×（﹣）÷（﹣2）．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．14变式练习1.×（﹣）××．【解答】解：×（﹣）××＝（×）×（﹣×）＝×（﹣）＝﹣．2.（﹣3）××（﹣）×（﹣）【解答】解：（﹣3）××（﹣）×（﹣）=（﹣）×（﹣）×（﹣）=×（﹣）=﹣3.﹣99×36．【解答】解：﹣99×36＝（﹣100+）×36＝﹣100×36+×36＝﹣3600+＝﹣3599．154.计算：（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1；（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．【解答】解：（1）原式＝﹣0.75×（﹣0.4 ）×＝××＝；（2）原式＝0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣×××＝﹣1．5.计算：【解答】解：原式＝××＝．6.计算（1）﹣2.5÷（2）﹣4×÷（﹣）×2【解答】解：（1）原式=﹣××（﹣）=1；（2）原式=﹣4××（﹣2）×2=8．7.计算：﹣×16【解答】解：原式=﹣××=﹣．8.÷（﹣1）×．【解答】解：原式＝﹣××＝﹣．有理数的加减乘除混合运算知识讲解1. 有理数加减乘除混合运算的方法（1）有理数的加减乘除混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的；（2）同级运算中，按照自左向右的顺序计算．典型例题1.（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）（2）（﹣+﹣）×（﹣36）【解答】解：（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）＝﹣1﹣2×+2＝﹣1﹣+2＝；（2）（﹣+﹣）×（﹣36）＝16+（﹣30）+1517＝1．2.计算：①13+（﹣5）﹣（﹣21）﹣19．②（﹣3）×6÷（﹣2）×．【解答】解：①原式＝13﹣5+21﹣19＝34﹣24＝10；②原式＝＝＝．3.计算：（﹣24）÷4+（﹣4）×（﹣）．【解答】解：原式＝﹣6+6＝0．4.计算：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）【解答】解：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）＝﹣6﹣6+3＝﹣9．变式练习1.计算：（1）2+3÷18（2）（3）2（4）1【解答】解：（1）2+3÷＝2+3×5＝2+15＝17；（2）＝＝4；（3）2＝2÷（）×＝2÷×＝2×＝15；（4）1＝＝÷[（）×]19＝÷（4×）＝＝＝．2.计算：﹣1﹣（1+0.5）×|﹣|÷（﹣4）【解答】解：﹣1﹣（1+0.5）×|﹣|÷（﹣4）＝﹣1﹣＝﹣1+＝﹣．3.计算：【解答】解：原式＝×（﹣）+×2＝1﹣+＝1+＝．4.计算：（1）﹣7﹣3+8（2）20【解答】解：（1）原式＝﹣10+8＝﹣2；（2）原式＝﹣×6+4﹣30＝﹣30．出门测易1. 8+（﹣21）【解答】解：8+（﹣21）＝﹣（21﹣8）＝﹣13．2. 9+（﹣17）+21+（﹣23）【解答】解：原式＝9+21+（﹣17）+（﹣23）＝30+（﹣40）＝﹣10 3.计算：12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣20【解答】解：原式＝12+18﹣7﹣20＝30﹣27＝3．4.计算：．【解答】解：原式＝×（﹣60）﹣×（﹣60）﹣×（﹣60）＝﹣40+55+56＝71．5.计算：（﹣1）×（﹣）＝．【解答】解：原式＝×＝．中211.计算：（﹣5）+（﹣17）﹣（+3）．【解答】解：原式＝﹣5﹣17﹣3＝﹣25．2.计算：1.25【解答】解：原式＝＝＝．3.（﹣+）÷（﹣）【解答】解：原式＝（﹣+）×（﹣36）＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝（﹣9）﹣（﹣1）+（﹣4）＝（﹣9）+（+1）+（﹣4）＝﹣12．4.计算：3×（﹣）÷（﹣1）．【解答】解：原式＝＝．5.计算：（1）﹣（﹣）．（2）10+（）×（﹣12）．22【解答】解：（1）﹣（﹣）＝＝1；（2）10+（）×（﹣12）＝10+（﹣3）+6+（﹣8）＝5．难1.计算（1）9+（﹣7）+10+（﹣3）+（﹣9）（2）12+（﹣14）+6+（﹣7）（3）﹣（4）﹣4.2+5.7+（﹣8.7）+4.2．【解答】解：（1）原式＝9﹣7+10﹣3﹣9＝0；（2）原式＝12﹣14+6﹣7＝﹣3；（3）原式＝﹣﹣﹣+＝﹣1﹣＝﹣1；（4）原式＝﹣4.2+4.2+5.7﹣8.7＝﹣3．2.计算：10﹣8﹣（﹣6）﹣（+4）．【解答】解：10﹣8﹣（﹣6）﹣（+4），＝10﹣8+6﹣4，＝10+6﹣8﹣4，23＝4．3.计算题（1）（﹣6）+（+11）（2）﹣28+（﹣4）+29+（﹣24）（3）（﹣0.6）﹣（3）﹣（+7）+2﹣2（4）12.32﹣14.17﹣|﹣2.32|+（﹣5.83）【解答】解：（1）原式＝11﹣6＝5；（2）原式＝﹣（28+4+24）+29＝﹣56+29＝﹣27；（3）原式＝﹣+（﹣7）+2﹣3﹣2＝﹣8﹣﹣2＝﹣10；（4）原式＝12.32﹣2.32﹣（14.17+5.83）＝10﹣20＝﹣10．4.计算：（1）（2）2×（﹣7）﹣6×（﹣9）．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝﹣14+54＝40．5.（1）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3（2）[（+）﹣（﹣）﹣（+）]÷（﹣）【解答】解：（1）原式＝﹣×××＝﹣；24（2）原式＝（+﹣）×（﹣105）＝﹣15﹣35+21＝﹣29．课后巩固易1.计算﹣6+4的结果为（）A．10B．﹣10C．2D．﹣2【解答】解：原式＝﹣2，故选：D．2.计算4+（﹣3）的结果等于（）A．﹣7B．7C．﹣1D．1【解答】解：4+（﹣3）＝4﹣3＝1故选：D．3.计算（﹣5）﹣3的结果等于（）A．﹣8B．﹣2C．2D．8【解答】解：（﹣5）﹣3＝（﹣5）+（﹣3）＝﹣8，故选：A．4.计算﹣3﹣5结果正确的是（）A．﹣8B．﹣2C．2D．8【解答】解：﹣3﹣5＝﹣8，故选：A．5.按照有理数加法则，计算（﹣180）+（+20）的正确过程是（）A．﹣（180﹣20）B．+（180+20）C．+（180﹣20）D．﹣（180+20）25【解答】解：（﹣180）+（+20）＝﹣（180﹣20）＝﹣160，故选：A．6.下列计算正确的是（）A．5+（﹣6）＝﹣11B．﹣1.3+（﹣1.7）＝﹣3 C．（﹣11）﹣7＝﹣4D．（﹣7）﹣（﹣8）＝﹣1【解答】解：A．5+（﹣6）＝﹣1，此选项错误；B．﹣1.3+（﹣1.7）＝﹣3，此选项正确；C．（﹣11）﹣7＝（﹣11）+（﹣7）＝﹣18，此选项错误；D．（﹣7）﹣（﹣8）＝（﹣7）+8＝1，此选项错误；故选：B．7.计算﹣1的结果是（）A．1B．﹣1C ．D ．﹣【解答】解：原式＝（﹣）＝1．故选：A．8.计算﹣×＝．【解答】解：﹣×＝﹣，故答案为：﹣．9.把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（）A．（﹣）×B ．（﹣）×C．（﹣）×（﹣）D．（﹣）×（﹣）26【解答】解：把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（﹣）×（﹣），故选：D．10.计算（﹣6）÷（﹣2）的结果是（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4【解答】解：（﹣6）÷（﹣2）＝3，故选：A．11.计算﹣4÷×（﹣2）＝．【解答】解：原式＝﹣16×（﹣2）＝32，故答案为：32．中1.比﹣2大3的数是（）A．3B．1C．﹣2D．﹣3【解答】解：比﹣2大3的数是﹣2+3＝1，故选：B．2.下列说法中，正确的个数有（）①﹣a一定是负数；②|﹣a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；⑤两个有理数的和一定大于其中每一个加数；27⑥若a＝|b|，则a＝bA．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①﹣a不一定是负数，此结论错误；②|﹣a|一定是非负数，此选项错误；③倒数等于它本身的数是±1，此结论正确；④绝对值等于它本身的数是所有非负数，此结论错误；⑤两个有理数的和不一定大于其中每一个加数，此结论错误；⑥若a＝|b|，则a＝±b，此结论错误；故选：A．3.温度由﹣4℃上升7℃后的温度为（）A．﹣3℃B．3℃C．﹣11℃D．11℃【解答】解：根据题意知，升高后的温度为﹣4+7＝3（℃），故选：B．4.计算：﹣1﹣的值为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【解答】解：﹣1﹣＝﹣1+（﹣）＝﹣，故选：D．5.北京、武汉两个城市在2019年一月份的平均气温分别是﹣4.5℃、3.5℃，则2019年一月份武汉市的平均气温比北京市的高（）A．﹣7℃B．7℃C．8℃D．﹣8℃【解答】解：3.5﹣（﹣4.5）＝8（℃）答：2019年一月份武汉市的平均气温比北京市的高8℃．286.已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（）A．3B．﹣3C．﹣13D．13【解答】解：∵|b|＝8，∴b＝±8，又∵a＝5，a+b＜0，∴b＝﹣8，则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，故选：D．7.在下列变形中，错误的是（）A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3﹣﹣5C．a+（b﹣c）＝a+b﹣cD．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c【解答】解：A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5，本选项正确；B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3++5，本选项错误；C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，本选项正确；D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，本选项正确；故选：B．8.把（﹣8）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）写成省略括号的代数和形式是（）A．﹣8+3﹣5﹣7B．﹣8﹣3+8﹣7C．﹣8+3+5+7D．﹣8+3+5﹣7【解答】解：由题意得：（﹣8）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣8+3+5﹣7，299.下列说法正确的是（）A．绝对值是它本身的数只有0B．如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0C．整数只包括正整数和负整数D．﹣1是最大的负有理数【解答】解：A、绝对值是它本身的数是非负数，故此选项错误；B、如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0，正确；C、整数只包括正整数和负整数、0，故此选项错误；D、﹣1是最大的负整数，故此选项错误．故选：B．10.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（）A ．B．49！C．2450D．2！【解答】解：＝＝50×49＝2450故选：C．11.若a+b＜0且ab＜0，那么（）A．a＜0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a，b异号，且负数绝对值较大30【解答】解：∵a+b＜0且ab＜0，∴a＞0，b＜0且|a|＜|b|或a＜0，b＞0且|a|＞|b|，即a，b异号，且负数绝对值较大，故选：D．12.计算：﹣2.5÷×（﹣）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【解答】解：﹣2.5÷×（﹣）＝﹣××（﹣）＝1．故选：D．13.现有以下五个结论：①正数、负数和0统称为有理数；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①正有理数、负无理数和0统称为有理数，此结论错误；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1，此结论正确；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数，此结论错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，此结论错误；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误．故选：B．难1.亚民驾驶一辆宝马汽车从A地出发，先向东行驶15公里，再向西行驶25公里，然后又向东行驶20公里，再向西行驶40公里，问汽车最后停在何处？已知这种汽车行驶100公里消耗的油量为8升，并且31汽车最后回到A地，问亚民这次消耗了多少升汽油？【解答】解：设向东为正，向西为负，则15+（﹣25）+20+（﹣40）＝﹣30（公里），即汽车在A地西边30公里处；|15|+|﹣25|+|20|+|﹣40|+|﹣30|＝130，130×＝10.4（升），则亚民消耗了10.4升油．2.已知|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求a+b的值．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，∴a＝﹣3，b＝2或﹣2，则a+b＝﹣1或﹣5．3.列式计算：（1）已知甲、乙两数之和为﹣2020，其中甲数是﹣7，求乙数；（2）已知x是5的相反数，y比x小﹣7，求x与﹣y的差．【解答】解：（1）根据题意知乙数为﹣2020﹣（﹣7）＝﹣2020+7＝﹣2013；（2）根据题意知x＝﹣5，y＝x﹣（﹣7）＝﹣5+7＝2，则x﹣（﹣y）＝﹣5﹣（﹣2）＝﹣3．4.已知：|m|＝7，|n|＝5，且m＜n．求：m﹣n+4的值．【解答】解：∵|m|＝7，|n|＝5，且m＜n，∴m＝﹣7，n＝±5，（1）m＝﹣7，n＝5时，m﹣n+4＝﹣7﹣5+4＝﹣8．（2）m＝﹣7，n＝﹣5时，m﹣n+4＝﹣7﹣（﹣5）+4＝2．32∴m﹣n+4的值是﹣8或2．5.列式计算：（1）4 与﹣3的和的相反数．（2）﹣1减去﹣与的和，所得的差是多少？【解答】解：（1）4 与﹣3的和的相反数是：﹣（4﹣3）＝﹣1；（2）根据题意得：﹣1﹣（﹣+）＝﹣，答：所得的差是﹣．6.阅读下面文字：对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）可以如下计算：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1上面这种方法叫折项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，计算：（1）﹣1+（﹣2）+7+（﹣4）＝计算：（2）（﹣2017）+2016+（﹣2015）+16．33【解答】解：（1）原式＝（﹣1﹣2+7﹣4）+（﹣﹣+﹣）＝﹣，故答案为：﹣；（2）原式＝（﹣2017+2016﹣2015+16）+（﹣+﹣+）＝﹣2000﹣＝﹣20007.小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加*键，在输入数b，就可以得到运算：a*b＝（a﹣b）﹣|b﹣a|．（1）求（﹣3）*2的值；（2）求（3*4）*（﹣5）的值．【解答】解：（1）（﹣3）*2＝（﹣3﹣2）﹣|2﹣（﹣3）|＝﹣5﹣5＝﹣10；（2）∵3*4＝（3﹣4）﹣|4﹣3|＝﹣2，（﹣2）*（﹣5）＝[（﹣2）﹣（﹣5）]﹣|﹣5﹣（﹣2）|＝0，∴（3*4）*（﹣5）＝0．8.乘积是6的两个负整数之和为．【解答】解：乘积是6的两个负整数为﹣1和﹣6或﹣2与﹣3，之和为﹣7或﹣5，故答案为：﹣7或﹣59.已知|x|＝5，|y|＝3．（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；（3）求x﹣y的值．【解答】解：∵|x|＝5，34∴x＝5或﹣5，∵|y|＝3，∴y＝3或﹣3，（1）当x﹣y＞0时，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3，此时x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2，即x+y的值为：8或2；（2）当xy＜0，x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3，此时|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8，即|x﹣y|的值为：8；（3）①x＝5时，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；②x＝5时，y＝﹣3时，x﹣y＝5+3＝8；③x＝﹣5时，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8；④x＝﹣5时，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2，综上：x﹣y＝±2或±8．10.现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；②若两个数（除零）互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；故原命题错误；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数；故原命题错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误；⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．35故选：A．11.÷（）【解答】解：原式＝÷＝×3＝．36。
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众诚学校
第三讲有理数加减法及乘除法
初一数学讲义
每天叫醒我的不是闹钟，而是理想。
Just up power 正能量。
第三讲 有理数加减法及乘除法
【学习目标】1.掌握有理数的加法法则，和减法法则,以及乘法、除法法则，会计算有理数加、减、乘、除以及四则混合运算。
2、理解有理数的倒数的意义，会求一个有理数的倒数。
【学习重点】1.有理数的加法、减法法则及灵活运用加法法则进行计算； 2.有理数的乘、除法则及灵活运用加法法则进行计算；
【学习难点】异号两数相加的法则；有理数减法法则的灵活运用；将有理数的除法变成乘法进行计算。
【基础知识】
一、有理数的加法、减法课前检测。
二、有理数的乘法 知识点一：法则：
两数相乘，同号得＿＿，异号得＿＿，绝对值＿＿＿。
任何数与0相乘，＿＿＿＿。
运算步骤：1先确定积得符号 2在确定积的绝对值 知识点二：倒数的概念
乘积是1的两个数互为倒数 倒数和相反数的异同
互为倒数的两数乘积为1；互为相反数的两数和为0 知识点三：有理数乘法法则的推广
几个不是0的数相乘，积得符号由负因数的个数决定，当负因数个数是奇数时，积是负数；当负因数的个数是偶数时，积是正数。
知识点四：有理数的乘法运算律
交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
ab=ba
结合率:三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
（ab ）c=a(bc) 分配率:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
a(b+c)=ab+ac 三、有理数除法 知识点一：法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，用公式表示为：a ÷b=a×b
1
（b ≠0）
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识点二：有理数的乘除混合运算
有理数乘除混合运算往往先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果。
规律总结：（1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某数相乘时进行约分，则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配率，这样运算简便。
（2）乘除混合运算时，将除法转化成乘法，算式化成连乘的形式，先由负因数的个数确定积得符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行计算。
知识点三：有理数的四则混合运算
有理数的四则运算是有理数加减、乘除运算的综合运用，在运算时注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行；如有括号，应先算括号里面的。
课前检测：
（1） (-8)+(-15) （2）(-2.57)+2.57 （3）⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛
-75137413 （4） ()85.30-- （5） (－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 ) （6） －3－4＋19－11＋2 （7） ()[]()5.13.42.56.34.1---+-- 课堂练习
一、有理数乘法
（1）（－7）×（－6）＝ （2）（－2）×0＝ （3）－72
1×4＝ (4)（－125）×（－2）×（－8） （5）30×（
4.03
2
-21+） （6）（+371）×（317-713）×227×2221 （7）37×（-5）×（-87
）×0
（8）2411-（83+61-4
3
）×24
二、有理数除法
1、化简下列分数
（1）
972= （2）3-12= （3）45-30= （4）85
-0= 2.（1）2÷（-21） （2））（）（3-31
-÷
（3）0）（8317-÷ （4））（）（）（100-12
1-12-÷÷
3.乘除法混合运算
（1）36
11-312-43-÷÷⨯）（）（）（ （2）（-10
81）÷）（2-9
7
79÷⨯
（3）15）（31-51÷ （4）（-12）÷（-12
1）÷（-100） 三、四则混合运算
（1））
（）（75.1-6.02
1
-31215-÷⨯⨯ （2））（）（2-21-51-⨯÷+ （3）61
13636-611327-61327-6113813÷+÷+÷+÷）（）（）（ （4） 511×（31-21）×113÷4
5 （5）（97-65+183）×18-1.45×6+3.95×6
提高训练
（1）()）（3
1
123.7-+⨯ （2）
）（）（）（3
5
-4.1213-25.1-43245⨯÷⨯÷÷ （3）⨯）（1-19981⨯）（1-19971⨯）（1-19961…）（1-10021⨯）（1-1001
1⨯
（4）⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+211⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+411⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+611⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+811⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+1011⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1-31⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1-51⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1-71⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1-91⎪⎭
⎫ ⎝⎛1-111 课堂检测 一、选择
（1）将-8-（-3）+7-（+2）写成省略加号的和的形式，正确的是（ ） A.-8+3+7-2 B.8+3+7-2 C.-8-3+7-2 D.8+3+7+2 （2）-2-3+5读法正确的是（ ）
A.负2，负3，正5的和
B.负2减3，正5的和
C. 负2，3，正5的和
D.以上都不对 （3）如果两个数的积为0，那么这两个数（ ） A.互为相反数 B.至少有一个为零 C.两个都为零 D.都不为零 （4）有理数2
1
-
的倒数是（ ） A.-2 B.2 C.21 D.2
1- （5）如果
b
a
=0，则（ ） A.a=0,b=0 B.a=0,b ≠0 C.a ≠0,b=0 D.a ≠0,b ≠0 二、计算
（1） (+8)+(-19) （2）（+3.41）－（－0.59）
（3）
()212115.2212--+---（4）
）（）（312311-÷ （5）15×(-
65)×(-154
)×(-1.2) （6）（12
7-8365-1+）×（-24） （7）)1051()51()31(71-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+）（ （8））（）（75.1-6.021
-31215-÷⨯⨯ 课后练习：
1.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个有理数的积( ) A.一定为正 B.一定为负 C.为零 D. 可能为正,也可能为负
2.若干个不等于0的有理数相乘,积的符号( ) A.由因数的个数决定 B.由正因数的个数决定
C.由负因数的个数决定
D.由负因数和正因数个数的差为决定 3.下列运算结果为负值的是( )
A.(-7)×(-6)
B.(-6)+(-4);
C.0×(-2)(-3)
D.(-7)-(-15)
4.下列运算错误的是( )
A.(-2)×(-3)=6
B.
1
(6)3
2
⎛⎫
-⨯-=- ⎪
⎝⎭
C.(-5)×(-2)×(-4)=-40
D.(-3)×(-2)×(-4)=-24
5.若两个有理数的和与它们的积都是正数,则这两个数( )
A.都是正数
B.是符号相同的非零数
C.都是负数
D.都是非负数
6.下列说法正确的是( )
A.负数没有倒数
B.正数的倒数比自身小
C.任何有理数都有倒数
D.-1的倒数是-1
7.-0.125的相反数的倒数是________.
8.若a>0,则a
a=_____;若a<0,则
a
a=____.
9. 计算.
(1)
3
8(4)2
4
⎛⎫
⨯-⨯--
⎪
⎝⎭; (2)
3
8(4)(2)
4
-⨯-⨯-
; (3)
3
8(4)(2)
4
⎛⎫
⨯-⨯-⨯-
⎪
⎝⎭
10.计算
(1)(+48)÷(+6); (2)
21
35
32
⎛⎫⎛⎫
-÷
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭; (3)4÷(-2); (4)0÷(-1000).
11.
111111 111111
234567⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯---⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;
12.
111111 111111 223344⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。