2020届浙江省嘉兴市第一中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届浙江省嘉兴市第一中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}|24xA x =≥，{}2|log 4B x x =≤，则()R C A B =（ ）.A ．[2,16]B ．(,2)-∞C ．(0,2)D ．(,16]-∞【答案】C【解析】解出集合,A B ，求出集合A 的补集，再利用交集运算即可. 【详解】集合{}|24xA x =≥，{}2|log 4B x x =≤，{|2},{|016}A x x B x x ∴=≥=<≤，{|2}RA x x =<，则(){|2}{|016}{|02}RA B x x x x x x ⋂=<⋂<≤=<<.故选：C . 【点睛】本题主要考查的是集合的补集、交集的运算，理解交集的含义是解题的关键，同时考查的是指数函数、对数函数的不等式的求法，是基础题.2．已知椭圆2221(1)x y a a +=> ）.A B ．C D ．【答案】B【解析】根据离心率可以求出2a ，由c c ，即可得焦距. 【详解】根据题意得e ====， 解得24a =，因此所以焦距为故选：B . 【点睛】本题主要考查的是椭圆的几何性质，熟知离心率公式，以及222a b c =+是解决本题的关键，考查计算能力，是基础题.3．设z 为复数，z 为其共轭复数，则“2z z ⋅≤”是“||2z ≤”的（ ）. A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】结合共轭复数的概念，将两个条件互相推导，根据结果判定充分、必要条件即可. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，222()()22z z a bi a bi a b ⋅≤⇒+-≤⇒+≤， 而22||24z a b ≤⇒+≤，则222224a b a b +≤⇒+≤，为充分条件；224a b +≤得不到222a b +≤，为不必要条件.“2z z ⋅≤”是“||2z ≤”的充分不必要条件. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是共轭复数的概念，考查充分性、必要性的判断，是基础题. 4．已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m β D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥【答案】D【解析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.5．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(,7]-∞- B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值.【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤. 故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.6．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）. A ．5040 B ．24 C ．315 D ．840【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：先在七个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，再假设剩下的4个盒子的编号为4、5、6、7，依次分析4、5、6、7号小球的放法数目即可，进而由分步计数原理计算可得答案. 【详解】第一步，任选球与盒编号相同的三个数字，有3735C =种情况；第二步，余下放入盒子的四个球的编号与盒子编号均不相同，也即四个元素的错排问题. 不妨设，剩下的4个盒子的编号为4、5、6、7，剩下的小球为4、5、6、7根据题意有4,55,66,77,4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩4,55,76,47,6⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,55,46,77,6⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,65,76,57,4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,65,76,47,5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,65,46,77,5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,75,46,57,6⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,75,66,57,4⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，4,75,66,47,5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩共9种情况，故选：C . 【点睛】本题主要考查的是分步计数原理，以及组合数公式的应用，理解分步计数原理是解题的关键，是基础题.7．已知,a b ∈R ，随机变量ξ满足()P x ax b ξ==+，其中1,0,1x =-，若1()3E ξ=，则2[()]()E D ξξ+=（ ）. A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】根据分布列的性质计算,a b ，再根据方差公式计算()D ξ，即可得出答案. 【详解】111()01()3a b b a b a b b a b -++++=⎧⎪⎨-⋅-++⋅+++=⎪⎩， 解得1613a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而2221111115()1013633329D ζ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则22[()]()3E D ζζ+=. 故选：B . 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，由题意得熟记离散型随机变量的期望和方差的计算公式是解题的关键，是中档题. 8．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为A．35+ B．45+ C．25+ D．35+ 【答案】B【解析】令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值. 【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13113(455n m m n ⎛⎫=⨯+++≥⨯+ ⎪⎝⎭45+= 当且仅当3n mm n=，即m =，即22)x y x y -=+即931515x y +-==时取等号. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.9．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x >'+，且()2019f x -为奇函数，则不等式()20172x f x e -<的解集为（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】设()()2xf xg x e-=，由()()2f x f x >'+得()()()20xf x f xg x e-+='<'故函数()g x 在R 上递减，由()2019f x -为奇函数，得()02019f =，()()0022017g f ，∴=-=即()02017g =不等式()20172xf x e -<()f 22017xx e-∴<，即()()0g x g <综合函数的单调性得0x >故不等式()20172xf x e -<的解集是()0∞+，故答案选B点睛：这类问题需要构造新函数，遇到减法时（如()()2f x f x >'+）构造除法（()()2xf xg x e -=），或由问题出发()20172xf x e -<，分离出2017，然后求导，利用函数单调性求不等式。

10．已知数列{}n a 满足112a =，2*1()2018nn n a a a n N +=+∈，则使1n a >的正整数n 的最小值是（ ） A ．2018 B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【解析】令2018n n a b =，利用累加法求解11n b +的表达式，再设当1n m ≤≤时，112n a ≤≤，当1n m ≥+时，1n a >，所以当1n m ≤≤时，1140362018n b ≤≤，然后求出11n b +的范围，从而根据范围求解正整数n 的最小值即可. 【详解】11111n n n b b b -∴-=+， 1211111b b b ∴-=+， 2321111b b b -=+， …11111n n nb b b +-=+， 以上式子相加可得1111111nk n k b b b =+-=+∑，又114036b =，111140361nk n kb b =+∴=-+∑， 因为212018nn n n a a a a +=+>，所以数列{}n a 单调递增，设当1n m ≤≤时，112n a ≤≤，当1n m ≥+时，1n a >， 所以当1n m ≤≤时，1140362018n b ≤≤， 则40372019140362018n b ≤+≤，201814036201914037n b ≤≤+， 从而1201814036201914037n k n n n b =<<+∑，则11403620184036403640372019n n n b +⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，， 因此()2019120182019b ∈，，2019201920118b a =<，又()2020120172018b ∈，，2020202020118b a =>，使a n >1的正整数n 的最小值是2020. 故选C. 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，考查构造数列的方法，训练学生的逻辑推理能能力和计算求解能力，本题关键在于构造数列1{}并求出其范围，综合性较强，属难题.二、填空题11．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺.绳长，井深各几何？”其大意为：“用绳子测量井的深度，若将绳三等分，则绳比井的深度长四尺：若将绳四等分，则绳比井的深度长一尺.”则绳长________尺，井深________尺. 【答案】36 8【解析】利用等量关系，列方程解之即可. 【详解】设绳长为x 尺，井深为h 尺，依题意有：3(4)4(1)x h x h =+⎧⎨=+⎩，解得368x h =⎧⎨=⎩， 所以绳长为36尺，井深为8尺. 故答案为：36；8. 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键，是基础题.12．一个几何体的三视图如图所示，其中，正视图中ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为________，表面积为________.【答案】32 3(315)2【解析】几何体是正六棱锥，根据正视图中ABC 是边长为2的正三角形求得正六棱锥的底面边长、侧棱长及斜高，把数据代入体积、表面积公式计算. 【详解】由三视图可知几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2， 3115442-=，该几何体的体积为11361322⎛⨯⨯⨯= ⎝⎭.该几何体的表面积为11616122⨯⨯+⨯⨯=故答案为：32. 【点睛】本题考查空间图形的三视图，考查由三视图还原直观图，考查棱锥的的表面积公式、体积公式，是基础题.13．已知6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则2x 项的二项式系数是________；0126||||||||a a a a ++++=________.【答案】15 64 【解析】2x 项的二项式系数是2615C = ,01260126 a a a a a a a a ++++=-+-+=6(1(1))64--=点睛：赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.14．在ABC 中，4BC =，AB AC =，P 为BC 上一点且满足3BP PC =，则当PAC ∠最大时，sin PAC ∠=________，ABC 的面积为________.【答案】13【解析】根据题意找出直角三角形，找出点P 的位置，利用正切求出PAC ∠最大时sin PAC ∠和ABC 的面积即可.【详解】取BC 的中点为D ，设,,,PAC PAD CAD AD h αβγ∠=∠=∠==， 则12tan ,tan h hβγ==， 221tan tan tan tan()221ta 1n tan 2221h hh h h hγβαγβγβ-=-====≤++++，当且仅当2h =时tan PAC ∠最大，即PAC ∠最大，此时1sin 3PAC ∠=， 142222ABCS=⨯⨯=. 故答案为：13；22.【点睛】本题主要考查的是两角差的正切公式的应用，基本不等式的应用，以及三角形面积公式的应用，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.15．已知点(,2)P m 是双曲线22:122x y C -=右支上的一点，1F ，2F 分别为其左右焦点，线段1PF 交C 的左支于点Q ，则2||PQ QF +=________. 【答案】2332+【解析】将P 代入双曲线求出m ，再利用双曲线定义可得212QF QF a =+，转化为1PF 后即可求出结果.【详解】点(,2)P m 是双曲线22:122x y C -=右支上的一点，可知0m >，()12,0F -，24122m ∴-=，解得6m =.(6,2)P ∴，根据双曲线可得212QF QF a =+，且2a =，2211||||22(62)422PQ QF PQ QF a PF a +=++=+=+++2144622(232)222332=++=++=+.故答案为：2332+. 【点睛】本题主要考查的是双曲线的定义的应用，考查双曲线的几何性质，考查学生的分析和解决问题的能力，属于中档题.16．已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足()42PB PC AD +⋅=.若AD ＝2，则PB PC ⋅的值为________．【答案】2【解析】由AD 为高，运用向量的数量积可得PD AD 22⋅=，结合AD ＝2，可求得|PD |2=，再由PB PC (PD DB)(PD DC)⋅=++，即可求值. 【详解】如图，由AD 为高，得PD DC PD BD 0⋅=⋅=因为(PB PC)AD 42+⋅=所以(PD DB PD DC)AD 42+++⋅=,即PD AD 22⋅=即|PD ||AD |cos 022⋅=,所以，|PD |2=，PB PC (PD DB)(PD DC)⋅=++22PD DB DC PD |DB||DC |cos π=+⋅=+⋅222PD |DB||DC |PD AD 422=-⋅=-=-=.故答案为：2 【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，考查向量的转化，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和分析推理能力. 17．如图，在ABC 中，7AB =，10AC =，3BC =.过AC 的中点M 的动直线l 与线段AB 交于点N .将AMN 沿直线l 向上翻折至A MN '△，使得点A '在平面BCMN 内的投影H 落在线段BC 上.则点A '的轨迹长度为________.【答案】23π 【解析】建立空间坐标系，求出A '的轨迹，根据折叠过程中量之间的关系的0MN AA '⋅=，可得x 的取值范围，进而得到圆心角，从而弧长即点A '的轨迹长度.【详解】因为翻折前后10A M AM '==长度不变，所以点A '可以在空间中看做以M 为球心，AC 为直径的球面上，又因为A '的投影始终在BC 上，所以点A '所在的面A BC '垂直于底面ABC ，故点A '轨迹为垂直于底面ABC 的竖直面A BC '去截球M 所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为AA BC '⊥时，A C '的长度（由余弦定理可得cosACB ∠==，所以此时2A C '==）， 如图，以底面点B 为空间原点建系，根据底面几何关系，得点A ，点(3,0,0)C ，设点(,,)A x y z '，翻折后点A '的投影(,0,0)H x 在x 轴上，所以点A '纵坐标为0，即(,0,)A x z 由MC AM A M '===，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 根据空间两点之间距离公式可得A '轨迹：22(2)1x z -+=， 又因为动点A '要符合空间面翻折结论：AA MN '⊥，即0MN AA ⋅=，其中(1,)AA x z =-，又动点N 在线段AB 上动，设(,0)N a ，故MN a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，且(0,1)a ∈，由0MN AA '⋅=，可计算得A '横坐标范围为51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且点A '在上方，由22(2)1x z -+=，51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭计算可得圆弧所在扇形圆心角为23π， 所以弧长为22133ππ⨯=. 故答案为：23π.【点睛】本题主要考查的是图形翻折问题，注意翻折前和翻折后变的量和不变的量，以及线的关系，建立空间直角坐标系，找出A '的轨迹，以及求出x 的范围是解决本题的关键，考查学生的空间想象能力，是难题.三、解答题18．已知角α，β的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，点12A ⎛ ⎝⎭，21,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭分别在α，β的终边上. （1）求cos(2)βα-的值； （2）设函数())f x x πα=+，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.【答案】（1（2）()f x 的最小正周期为2，单调递减区间172,2,66k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据三角函数定义，以及二倍角公式和两角差的余弦公式即可得cos(2)βα-的值；（2）根据题意化简函数()f x 后利用周期公式，正弦函数的单调区间即可求得()f x 的最小正周期和单调递减区间. 【详解】（1）由已知得11sin 2αα====，12sin cos ββ-==== 所以234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55βββββ=-===-，cos(2)cos 2cos sin 2sin βαβαβα-=+=. （2）由1sin 2αα==，得2,3k k Z παπ=+∈，所以())233f x x x k x πππαπππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期为222T ππωπ===. 由322232k x k ππππππ+≤+≤+， 解得1722,66k x k k Z +≤≤+∈.()f x 的单调递减区间为172,2,66k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查的是三角函数的定义，余弦的二倍角公式的应用，两角和差的余弦公式的应用，考查的是正弦函数图像和性质，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.19．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 为矩形，AC BF ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：BF ⊥平面ABCD ；（2）二面角C BG D --的大小可以为60︒吗？若可以求出此时BFBC的值，若不可以，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）可以，12BF BC = 【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）假设可以，建立空间直角坐标系，根据法向量求出二面角C BG D --的大小，同时可以求出BFBC的值. 【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 为矩形，BF BD ∴⊥，又,,AC BF AC BD ⊥为平面ABCD 内两条相交直线，BF ∴⊥平面ABCD .（2）假设二面角C-BG-D 的大小可以为60°， 由（1）知BF ⊥平面ABCD ，以A 为原点，分别以AB ，AD 为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设AB =AD =2，(0)BF h h =>，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)D ，(2,2,0)C ，EF 的中点(1,1,)G h ，(1,1,)BG h =-，(0,2,0)BC =，设平面BCG 的法向量为(,,)n x y z =，则00BG n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y hz y -++=⎧⎨=⎩，取(,0,1)n h =.由于,,AC BF AC BD BDBF B ⊥⊥=，,BD BF ⊂平面BDG ,AC ∴⊥平面BDG ,平面BDG 的法向量为(2,2,0)AC =.由题意得cos 60||||n AC n AC h ⋅︒==⋅，解得1h =，此时12BF BC =. ∴当12BF BC =时，二面角C BG D --的大小为60°. 【点睛】本题主要考查的是线面垂直的证明，利用线面垂直的判定定理证明是解本题的关键，以及向量法面与面所成角的求法，考查学生的逻辑推理能力，是中档题.20．已知数列{}n a 是等比数列，且满足()46138a a a a +=+，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且1(1)n n n b +⋅+⋅()*11,1n n S S n N a+=⋅∈=，112b =. （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1(1)n n nc n a b =+，n T 是数列{}n c 的前n 项和.若对任意的正整数n ，4n n T c λ+<恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）12n na ；21n b n n=+；（2）1λ≤ 【解析】（1）根据题意求出等比数列{}n a 是数列的公比，即可求出{}n a 的通项公式，再根据()*11(1)n n n n n b S S n N++⋅+⋅=⋅∈，先求出nS的通项，再求{}n b 的通项公式即可；（2）用待定系数法将n c 列项，求出其前前n 项和，再根据4n n T c λ+<，即可得实数λ的取值范围. 【详解】 （1）()()()()33246131318810a a qa a a a q q a +=+=+⇒-+=，2110,02q a q ∴+>>⇒=，又111,2n n a a -=∴=，()*1(1)n n n n n b S S n N ++⋅=⋅∈， ()11111111(1)(1)1n n n n n n n n S S S S S S n n n n ++++⋅-=⋅⇒-==-++， 11111111111111n n n S n S n S n S +-∴-=-=-==-=+-， 1n n S n ∴=+， 121(2)n n n b S S n n n-∴=-=≥+， 又1211211b ==+满足， 21n b n n∴=+，（2）11(1)2n n n n n c n a b -==+，11(1)22222n n n nn A n B An B An A B ---++-+=-=， 由系数相等得：112(1)4242,4,222n n nn n n A B ---++===-， 12n n T c c c ∴=+++2121421422442222(1)42422n nn n -⨯+⨯+⨯+=-+-+-++-+ 2442n nn T +∴=-，1(1)2442n n n n T c λλ---∴+=+<恒成立，21n λ∴-<恒成立，又2,y n N n *=∈为减函数，n →∞时，20n→，∴10λ-≤， 即1λ≤. 【点睛】本题主要考查的是数列通项公式的求法以及数列求和的常用方法，考查利用n S 求通项是要注意验证1n =时，列项求和的方法的应用，考查学生的分析和计算能力，以及化归与转化，是中档题.21．如图，已知抛物线2:4C y x =和点(5,2)P -，过点P 作直线1l 分别交C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，()00,Q x y 为抛物线C 上的一个动点.（1）当02y =时，过点Q 作直线21l l ⊥交C 于另一点D ，N 为线段QD 的中点，设M ，N 的纵坐标分别为M y ，N y .求M N y y -的最小值；（2）证明：存在0y 的值，使得||2||AB QM =恒成立. 【答案】（1）M N y y -的最小值为4；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意设出直线1l 与抛物线联立，根据韦达定理及中点坐标公式表示出M ，N 的纵坐标，根据基本不等式即可M N y y -的最小值；（2）分1l 不经过点Q 和经过点Q ，不经过时根据题意可得1QA QB k k ⋅=-，由（1）联立方程及韦达定理可得关于m 的方程，根据方程恒成立即可得到0y 的值，再验证经过点Q 即可. 【详解】（1）因为1l 分别交C 于A 、B 两点，所以1l 不平行于x 轴. 设1:25l x my m =++，()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ， 联立1l 与C 方程，得248200y my m ---=， 且()22164(820)16250m m m m ∆=---=++> 由韦达定理可得1222M y y y m +==.因为1l 分别交C 于A 、B 两点，所以1l 不平行于x 轴，即0m ≠，又因为21l l ⊥，设()23312:1,,l x y D x y m m =-++， 联立2l 与C 方程，得24840y y m m+--=，且>0∆，因为N 为线段QD 的中点，由韦达定理，0322N y y y m+==-， 所以124M N y y m m-=+≥，当1m =±时取到等号. 故M N y y -的最小值为4.（2）当1l 不经过点Q 时，||2||AB QM =等价于QA QB ⊥，即1QA QB k k ⋅=-， 设1:25l x my m =++，()()1122,,,A x y B x y ，由（1）联立方程可得韦达定理，12124820y y my y m +=⎧⎨=--⎩()*又101022011010444QA y y y y k y y x x y y --===-+-，同理204QB k y y =+， 所以()()1020161QA QB k k y y y y ⋅==-++于是，()2120120160y y y y y y ++++=，将()式代入整理得()2004240m y y -+-=， 要使该式恒成立，则022040y y -=⎧⎨-=⎩，解得002,1y x ==. 又经检验，当1l 经过点Q 时，||2||AB QM =仍然成立、 所以，存在02y =，使得||2||AB QM =恒成立. 【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线相交问题，斜率公式，韦达定理的应用，以及方程恒成立问题，考查学生的推理和计算能力，是难题. 22．已知函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =--∈.（1）当1a =-时，设1x ，2x 为()f x 的两个不同极值点，证明：()()123ln2f x f x +<--；（2）设1x ，2x 为()f x 的两个不同零点，证明：()12123f x x x x +<+-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数()f x 的导函数()f x '，1x ，2x 为()f x 的两个不同极值点，转化为12,x x 为方程2210x bx -+=的两不等正根，再利用韦达定理和基本不等式即可证明；（2）要证明()12123f x x x x +<+-，只要证明()1212ln 1x x x x +≤+-和()()212122a x x b x x -+-+<-，分别利用导数进行证明即可.【详解】(1)当1a =-时，2()ln f x x x bx =+-， 2121()2(0)x bx f x x b x x x '-+∴=+-=>， 12,x x 为()f x 的两个不同极值点，12,x x ∴为方程2210x bx -+=的两不等正根，22112221,21bx x bx x ∴=+=+， 且由韦达定理1212x x =， ()()()()2212111222ln ln f x f x x x bx x x bx +=+-++-221212ln 2x x x x =--- 1212ln 22ln 23x x x x <--=--，()()123ln 2f x f x ∴+<--.（2）要证明()12123f x x x x +<+-，即()()()212121212ln 3x x a x x b x x x x +-+-+<+-， 下面分别证明()1212ln 1x x x x +≤+-和()()212122a x x b x x -+-+<-， 两式相加即得结论.（i ）()1212ln 1x x x x +≤+-，令120t x x =+>，即证ln 10t t -+≤.令函数()ln 1g t t t =-+，则11()1t g t t t-'=-=，()g t ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，()(1)0g t g ∴≤=.（ii ）再证明()()212122a x x b x x -+-+<-， 即()()212122a x x b x x +++>. 12,x x 为()f x 的两个不同零点，不妨设120x x <<，2111ln x ax bx ∴=+①2222ln x ax bx =+②∴①-②可得()()()11212122ln x a x x x x b x x x =+-+-， 两边同时乘以1212x x x x +-， 可得()()()()11222121212ln x x x x a x x b x x x x ⋅+=+++-， 即()()112221212121ln 1x x x x a x x b x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭+++=-. 令12(0,1)x m x =∈，则()()21212(1)ln 1m m a x x b x x m +⋅+++=-. 即证(1)ln 21m m m +⋅>-， 即2(1)4ln 211m m m m -<=-++， 即证4ln 201m m +-<+. 令函数4()ln 21h m m m =+-+， 则22214(1)()0(1)(1)m m m m m h m '-=-=>++， ()h m ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h m h ∴<=.由（i ）（ii ）可得()()()212121212ln 3x x a x x b x x x x +-+-+<+-， ()12123f x x x x ∴+<+-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，构造函数是解决本题的关键，考查考生的等价转化能力、数学计算能力，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度大，是难题题.。