函数的单调性与导数教学案

平湖市新华爱心高级中学教学案之教案

课 题

函数的单调性与导数

课型： 新授课

主备教： 夏昌盛

总课时： 第 6 课时

学习目标

1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；

2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；

教学重难点

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单

调区间

教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单

调区间

一．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。 二．新课讲授

1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数

2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图

3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数

'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什

么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即

()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．

（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即

()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

备课札记

如图 3.3-3，导数'

0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．

（ 图 3.3-3）

在0x x =处，'

0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0

x 附近单调递增；

在1x x =处，'

0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1

x 附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(,)a b 内，如果'

()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'

()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．

说明：（1）特别的，如果'

()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．

3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'

'

()y f x =；

（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析

例1．已知导函数'

()f x 的下列信息：

当14x <<时，'

()0f x >； 当4x >，或1x <时，'

()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．

解：当14x <<时，'

()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）3

()3f x x x =+； （2）2

()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）3

2

()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3

()3f x x x =+，所以， '

2

2

()333(1)0f x x x =+=+>

因此，3

()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．

（2）因为2

()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-

当'()0f x >，即1x >时，函数2

()23f x x x =--单调递增； 当'

()0f x <，即1x <时，函数2

()23f x x x =--单调递减； 函数2

()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．

（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'

()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为3

2

()23241f x x x x =+-+，所以 ． 当'

()0f x >，即 时，函数2

()23f x x x =-- ； 当'

()0f x <，即 时，函数2

()23f x x x =-- ；

函数3

2

()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．