[微积分Ⅰ]a导数的概念和运算法则

者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两 者的联系是：在某点 x 0 处的导数 f ( x0 ) 即是 导函数 f ( x )在 x 0 处的函数值．
4) 单侧导数 左导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim lim ; x x0 0 x 0 x x0 x
lim
x 0
x x0 x x0
, 讨论在点x0的可导性.
x
f ( x0 ) 存在,
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 若 lim x 0 x ( x 0 x ) ( x 0 ) lim f ( x0 ) 存在, x 0 x
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
自由落体运动的路程S是时间t的函数：S=S(t)
如图,
求 t 0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t 0的时刻 t , 运动时间t , s s0 g s ( t 0 t ). 平均速度 v t t t0 2
当 t t 0时,
t0
微积分讲课提纲
微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度， 比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在 数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题。
C
o

M

x0
x
x
y y0 f ( x ) f ( x0 ) tan , x x0 x x0
C N 沿曲线 M , x x0 ,
f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
二、导数的定义
定义
设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
2 . 2
(cos x ) sin x .
例 解
求函数 y x n ( n为正整数) 的导数.
n n ( x h ) x ( x n ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h h n1 ] nx n 1 h 0 2!
dy dx
df ( x ) 或 x x0 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
若极限不存在， 则称函数f ( x ) 在点x 处不可导. 0
y , 也说函数 f ( x )在点x0的导数为无穷大. 若 lim x 0 x
(sin x ) lim sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
同理可证
x 4
cos x
x
4
3) 对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y , f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
2
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. s ds v ( t ) lim . t 0 t dt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
2.曲线的切线问题 如图：如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
N


T
切线MT
切点 M
C



y
极限位置即
MN 0, NMT 0. 设 M ( x 0 , y0 ), N ( x , y ).
割线MN的斜率为
y f ( x)
N T
S S ( t t ) S ( t ) v t t
平均速度 v与Δ t的取值有关，一般不等于质点在时 v 愈接近于 t 时刻的速度 刻 t 的速度 v ，但 Δ t 的值愈小， v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:
S ( t t ) S ( t ) v v ( t ) Lim t t 0
o
x
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
三、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
y
y f ( x)
T
切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
而 f ( x 0 ) f ( x )
x x0 .
注 意 ： 函 数 f ( x ) 在 某 点 x0 处 的 导 数
f ( x0 )与导函数 f ( x )的区别与联系。
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体 的数值， f ( x )是由于 f ( x ) 在某区间 I 上每 一点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x )与之对应，所以两
即
更一般地 例如,
( x n ) nx n 1 .
( x ) x 1 .
1
( R )
1 1 1 2 . ( x ) x 2 x 2
( x ) ( 1) x
1 1 1
1 2. x
例 解
求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数.
例
求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
h 0
解 f ( x ) lim
即
f ( x h) f ( x ) C C 0. lim h 0 h h
(C ) 0.
例 解
设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x )
M

x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
1 1 例: 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 1 2 2 1 x lim 4. k ( ) lim 1 x 1 x x x 1 x 1 2 2 x 2 2 1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0.
t
t百度文库
取极限得
g(t 0 t) gt 0 . 瞬时速度 v lim t t0 2
作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从
时刻t到t+t时间段内，质点走过的路程为：
Δ S=S(t+Δ t)-S(t) 在时间间隔Δ t内，质点运动的平均速度为:
左导数 f ( x 0 ) 和右 5) 函数 f ( x ) 在点x 0 处可导
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
( x ), 例: 设函数 f ( x ) ( x ),
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 若 lim x 0 x ( x0 x ) ( x0 )
右导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
如果 f ( x )在开区间a , b 内可导，且 f (a ) 及
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
f (b) 都存在，就说 f ( x ) 在闭区间a , b 上可导.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 其他的表示：
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x f ( x0 x) f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 2x
f ( x0 kx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 kx
k 0为常数.
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
关于导数的说明
1) 函数f ( x )在点x0的导数是因变量在点 x0 处的 变化率, 它反映了因变量随自变量变化的 快慢 程度.
2) 如果函数 y f ( x )在开区间I 内的每一点 处都可导 , 就称函数 f ( x )在开区间I 内可导.
q dq i ( t ) lim . t 0 t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
四、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
且 f ( x0 ) f ( x0 ) a ,
则 f ( x ) 在点 x 0 可导，
且 f ( x0 ) a .
例
讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
y
y x
解 f ( 0 h) f ( 0 ) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h 1, lim lim h 0 h 0 h h f ( 0 h) f ( 0 ) h lim lim 1. h 0 h 0 h h
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微 小变化时，函数大体上变化多少。
重点
导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导
难点
导数的实质，用定义求导，链式法则
xh x a a (a x ) lim h 0 h h a 1 x a lim h 0 h
a x ln a .
即
(a x ) a x ln a .
( e x ) e x .
例 解
求函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数.
y lim log a ( x h) log a x h 0 h h log a (1 ) 1 x lim h 0 h x x x 1 h h 1 lim log a (1 ) log a e . x h 0 x x