关于斜抛运动的最大射程

关于斜抛运动的最大射程

关于抛出点和落地点在同一水平面上的斜抛运动的最大射程问

题，已经被众多的读者所熟知，也就是：当抛出角为45°时，水平

射程最大，为 g

v X m 20

。但对抛出点和落地点不在同一水平面上的斜

抛运动来说，抛出角满足什么条件时，水平射程最远？最远为多少？下面就以上两个问题与读者一起进行探讨。

如下图所示，设斜抛物体的初速度为0v ，抛出点与落地点的水平高度差为H ，令当斜抛运动的初速度与水平方向间的夹角为α时，水平射程X 最大。

对初速度0v 进行分解，然后由运动学规律不难可以得到以下两个式子：

α

消去①②中的α，得到

③

t V H gHt t g X 220224

22

2

1+-+-=

整理③式得到

④g

gH ）　（V

t g H g

gH ）（V

X 22

20212

2220

2

]2[21][+---+=

从④式不难可以看出，当t=

2

2022g gt

V + 时 X 最大，有

22

220

2

H g gH ）（V

X

m

-+=

即gH V g

V X m 2200

+=

⑤ 又因为物体在空中下落的过程中，遵守机械能守恒定律，故有

gH V V t 22

0+= 所以有g

V V X t

m 0=

⑥ 从①②式中可以得出 X

H

gt tg -=2

21α

将2

2022g gH

V t +=

及g

V V gH V g V X t 02

002=+= 带入上式得 t

V V gH

V V tg 0

2002=

+=

α ⑦ 由以上推导，可以得出从距水平地面高为H 的小球以初速度V 0斜抛时：

当初速度方向与水平方向间的夹角满足 α=arctg t

V V 0

时，小球的

水平射程为最大，且最大射程为X m =

g

V V t

0 （其中V t 为物体落地时

的速度，大小为gH V V t 220+= ）

另外，以上结论也可以由动量定理加以证明：

当V 0和H 一定时，由机械能守恒定律得，物体落地时的速度必

为定值gH

V V t 220+=

因为小球在空中运动时只受重力的作用，由动量守恒定律得：小

球从抛出到落地这段时间内，速度由初速度0V 变化到t V ，速度的变化量△V 的方向一定在竖直向下的方向上，且满足上图的矢量关系（图中的为物体落地时的速度方向与水平方向间的夹角）

设物体在空中的运动时间为t ，水平射程为X ，则由运动学知识及动量定理可得出下述两式：

将②式中的t 带入①中得到

又因为 而

所以有 由③④⑤三式得

因为0V 、t V 及g 均为定值，所以，当（α+β）=90°时，X 有最大值，且为g

V V X t

m 0=

，而这一结论与上面的推导结论是完全一致的。 在此，可以得到从高出水平地面H 处以初速度V0斜抛出的物体，时，水平射程最大当满足V 0的方向与水平面间的夹角α=arctg 为 g

V V X t

m 0=

，并且正好初速度的方向与落地时的末初速度的方向垂直（gH V V t 220+=）。

此外，读者自己不难可以证明以下3个结论： ①当抛出点和落地点在同一水平面上时，只是上面结论的一个特殊情况,上结论同样适用;

②当物体从水平地面向高处地面H 处的地方以V 0斜上抛时，同样可以应用上述结论，不过此时V t =

③当抛出点高于水平地面时，要想使物体的水平射程最大，初速度方向与水平方向间的夹角 应小于45°；当抛出点低于落地点的时候，要想使物体的水平射程最大，应满足 ＞45°；当抛出点与落地点在同一水平面时，为使物体的水平射程最大，必须要满足初速度的方向与水平方向间的夹角 =45°。 [注：以上讨论均不考虑空气阻力]

{说明：此论文已刊登于《中学物理》2003年第四期}