离散数学图的练习
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证明：
每一个连通分支都是一个单独的图，而图的奇度顶点是偶数个，所以图G中的两个奇度顶点必在同一连通分支内，所以这两个奇度顶点必然连通。
5．判断：
存在7个结点的自补图。（选自离散数学典型题解析与实战模拟）答：
假设存在7个结点的自补图G，则G与它的补图G同构，并且，GG＝k
7。
但是k
7中有21条边，为一个奇数，所以这两个图的边数一定一奇一偶，不可能相等，于是假设不成立。
第十四章图的基本概念
1.设9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
证明：
由握手定理，顶点的度数之和为偶数，则5度的顶点度数之和必为偶数，所以5度顶点的个数只能是0，2，4，6，8。而与之对应的6度顶点的个数为9，7，5，3，1。可以看出G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
因此，G与G中奇度顶点个数相等。
3.设G是n阶自补图，证明n=4k或n=4k+1,其中k为正整数。
证明：
由握手定理知2m=n(n-1)/2,即4m=n(n-1)。m是正整数，所以n和n-1两者必有一个是4的倍数，所以n=4k或n=4k+1。
4．若无向图G中恰有两个奇度顶点，证明这两个奇度顶点必然连通。
这时，不会增加连通分支的数目，于是W(G-e)＝W(G)。
（2）e的两个端点分别处于G-e的两个连通分支当中，这时G-e的两个连通分支将与e一起合并成G的一个连通分支，于是W(G-e)=W(G)+1。
综上所述，一定有W(G)W(G-e)W(G)+1。
8．证明任何阶大于1的简单无向图必有两个结点的度相等。（选自离散数学典型题解析与实战模拟）
6.设简单图G连通，其每个结点的度均为偶数。证明对于任一结点v，图G-v的连通分支数不大于v的度数的一半（选自离散数学典型题解析与实战模拟）证明：
由于简单图G中每个结点的度均为偶数，所以G-v中奇结点的数目等于v的度数，并且原来与v相邻。由于G是连通的，所以G-v的每个连通分支中都有原来在G中与v相邻的结点。然而，G-v的每个连通分支都可以看作是一个完整的图，所以每个分支中原来与v相邻的结点至少有两个，并且不同的连通分支中没有公共的奇结点，所以G-v的连通分支数不大于奇结点数目的一半，也就是v的度数的一半。
证明：
设简单无向图G有n个结点，则每个结点的度最多为n-1。如果存在某个结点的度为n-1，则任何结点都不可能为孤立点，于是，任何结点的度均大于等于1，小于等于n-1，由抽屉原理知，这样的n个数中至少有两个是相同的。所以必有两个结点的度相等。
2．设G是n阶无向简单图，n3且为奇数，证明G与G中奇度顶点的个数相等。
来自百度文库证明：
因为n为奇数，所以n阶无向完全图的每个顶点的度数都是偶数。设G中有m个奇度顶点，则在G中和这m个顶点对应的m个顶点也必定是奇度顶点，因为偶数－奇数＝奇数。而G中与G中余下的n-m个偶度顶点相对应的顶点也必定是偶数顶点，因为偶数－偶数＝偶数。
7．设V(G),E(G)分别为无向图G的结点集合和边的集合，记W(G)为图G的连通分支数，证明对于E(G)中任意的e，有W(G)W(G-e)W(G)+1。（选自离散数学典型题解析与实战模拟）
证明：
由于图G-e中分支数目为W(G-e)个，而G可以通过G-e增加一条边得到，所以G不外乎以下两种情况：
（1）e的两个端点处在G-e的同一连通分支当中：
每一个连通分支都是一个单独的图，而图的奇度顶点是偶数个，所以图G中的两个奇度顶点必在同一连通分支内，所以这两个奇度顶点必然连通。
5．判断：
存在7个结点的自补图。（选自离散数学典型题解析与实战模拟）答：
假设存在7个结点的自补图G，则G与它的补图G同构，并且，GG＝k
7。
但是k
7中有21条边，为一个奇数，所以这两个图的边数一定一奇一偶，不可能相等，于是假设不成立。
第十四章图的基本概念
1.设9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
证明：
由握手定理，顶点的度数之和为偶数，则5度的顶点度数之和必为偶数，所以5度顶点的个数只能是0，2，4，6，8。而与之对应的6度顶点的个数为9，7，5，3，1。可以看出G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
因此，G与G中奇度顶点个数相等。
3.设G是n阶自补图，证明n=4k或n=4k+1,其中k为正整数。
证明：
由握手定理知2m=n(n-1)/2,即4m=n(n-1)。m是正整数，所以n和n-1两者必有一个是4的倍数，所以n=4k或n=4k+1。
4．若无向图G中恰有两个奇度顶点，证明这两个奇度顶点必然连通。
这时，不会增加连通分支的数目，于是W(G-e)＝W(G)。
（2）e的两个端点分别处于G-e的两个连通分支当中，这时G-e的两个连通分支将与e一起合并成G的一个连通分支，于是W(G-e)=W(G)+1。
综上所述，一定有W(G)W(G-e)W(G)+1。
8．证明任何阶大于1的简单无向图必有两个结点的度相等。（选自离散数学典型题解析与实战模拟）
6.设简单图G连通，其每个结点的度均为偶数。证明对于任一结点v，图G-v的连通分支数不大于v的度数的一半（选自离散数学典型题解析与实战模拟）证明：
由于简单图G中每个结点的度均为偶数，所以G-v中奇结点的数目等于v的度数，并且原来与v相邻。由于G是连通的，所以G-v的每个连通分支中都有原来在G中与v相邻的结点。然而，G-v的每个连通分支都可以看作是一个完整的图，所以每个分支中原来与v相邻的结点至少有两个，并且不同的连通分支中没有公共的奇结点，所以G-v的连通分支数不大于奇结点数目的一半，也就是v的度数的一半。
证明：
设简单无向图G有n个结点，则每个结点的度最多为n-1。如果存在某个结点的度为n-1，则任何结点都不可能为孤立点，于是，任何结点的度均大于等于1，小于等于n-1，由抽屉原理知，这样的n个数中至少有两个是相同的。所以必有两个结点的度相等。
2．设G是n阶无向简单图，n3且为奇数，证明G与G中奇度顶点的个数相等。
来自百度文库证明：
因为n为奇数，所以n阶无向完全图的每个顶点的度数都是偶数。设G中有m个奇度顶点，则在G中和这m个顶点对应的m个顶点也必定是奇度顶点，因为偶数－奇数＝奇数。而G中与G中余下的n-m个偶度顶点相对应的顶点也必定是偶数顶点，因为偶数－偶数＝偶数。
7．设V(G),E(G)分别为无向图G的结点集合和边的集合，记W(G)为图G的连通分支数，证明对于E(G)中任意的e，有W(G)W(G-e)W(G)+1。（选自离散数学典型题解析与实战模拟）
证明：
由于图G-e中分支数目为W(G-e)个，而G可以通过G-e增加一条边得到，所以G不外乎以下两种情况：
（1）e的两个端点处在G-e的同一连通分支当中：