电网络理论-第二章

1
l个独立 KVL方程
1 0 0 -1 -1 0 [ B ][ u ]= 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1
u1 u 2 u5 0 u3 u 2 u 6 u 4 u5 u 6
矩阵形式的KVL：[ B ][ u ]= 0
§2-3 图的基本矩阵形式
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意
每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。
l b
l
矩阵B的每一个元素定义为： 1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；
矩阵形式的KCL：[ Qf ][i ]=0
§2-3 图的基本矩阵形式
②用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程
2-22
设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[ u1 u2 u3 ]T
ut1 u1 1 0 0 ut 2 u2 0 1 0 ut1 0 0 1 ut 3 u3 T Q f ut 1 0 1 ut 2 u u u u t1 t3 4 u 1 1 0 t 3 u u u t1 t 2 5 0 1 1 ut2 ut 3 u6
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
2-18
[Q ] =
割 集 数
注意
每一行对应一个基本割集, 每一列对应一条支路.
(n-1)b
矩阵Q的每一个元素定义为：
1
支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致；
qij
-1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反； 0 支路 j 不在割集 i 中。
§2-3 图的基本矩阵形式 规定 基本割集矩阵[Qf]
n-1个独立 方程
i i i i i i i i i
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
§2-3 图的基本矩阵形式
②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。 设:
2-12
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
T
1 0 1 un1 un3 u u1 1 0 0 n1 u 2 un1 T 1 1 0 un1 un 2 u 3 A un un 2 un2 un 3 u 4 0 1 1 u n 3 u 5 u 0 1 0 n 3 u 6 u 1 0 0 n 2
第二章 网络图论和网络方程
2-1
§1 网络的图和图论基本术语 §2-3 图的基本矩阵形式 §4-8 几种网络方程的系统方法 §补充 改进节点方程的直接形成方法 §9 撕裂法
§1 网络的图和图论基本术语
图 点和边的集合，边连于两点
2-2
图 G 为线形图、拓扑图或称线图 孤点 点集 边集
Va Vb Vc Vd V f e （ Vd ) 1 Va
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 关联矩阵A
支路b
2-9
Aa=
结 点 n
注意
每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。
n b
矩阵Aa的每一个元素定义为：
ajk
ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点； ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点； ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
2-23
[A][ i ]=0
B i it
T t l
it Ql il
T l
A u u
T n
[B][u]=0 ul= - Btut
[Q]T [ ut]=[u]
ul Q ut
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性 质，它们之间自然存在着一定的关系。 A与B 之间的关系
§1 网络的图和图论基本术语
分类 无向图：未赋以方向的图。G=(V,E) 混合图：只有部分支路赋以方向的图。 有向图：所有支路都赋以方向的图。Gd=(V,A)
注：图并不反映支路间的耦合关系。 相关联 若e=[vi,vj]，则称边e与顶点vi和vj相关联。
相邻接 若顶点vi和vj之间至少存在一条边，则为相邻接的点。
§1 网络的图和图论基本术语
基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数 ＝ n-1
1 9 2 6 3 4 7 5
2-7
8
基本回路
只含有一个连枝的回路。回路数 ＝b-(n-1)
§2-3 图的基本矩阵形式
2-8
1. 图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式： 结点 回路 割集 支路 支路 支路 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
bij
-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反； 0 支路 j 不在回路 i 中。
§2-3 图的基本矩阵形式
取网孔为独立回路，顺时针方向 支1 2 回 3 4 5 6 ３ 1 [B] = 2 3
2-14
②
４
2 ６ 1 ① ③ ５ ２ 3 ④ 1 注意 给定B可以画出对应的有向图。 0 1 1 0 0 1 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 0 0 -1 0
基本回路矩阵Bf
独立回路对应一个树的单连枝回路得基本 回路矩阵[Bf]
§2-3 图的基本矩阵形式
回路矩阵[B]的作用
①用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；
2-15
Hale Waihona Puke Baidu
设 [u] [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
T
ul
ut u
u 3 u 4 u 2 u 5 u 6
2-24
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
B A
u A un B u 0
T
BA u 0
T n
T
0 or
A B
T
0
§2-3 图的基本矩阵形式
Bf 与Qf 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
2-2
若边ei和ej之间至少存在一个公共顶点，则为相邻接的边。
§1 网络的图和图论基本术语
径
2-3
（ V3 ) e （ V4 ) e （ V2 ) e 2 V2 3 V3 1 V1
V p 1 V1
若图 自环
，…， p
e（V p V p1 )
回路 子图
G1
的点和边是图 G 的子集
§1 网络的图和图论基本术语
§1 网络的图和图论基本术语
割集Q
2-6
连通图G中支路的集合，具有下述性质：
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
1 9 2
6 3 8
4 7 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
割集是把一个连通图分成两个连通的子图所需的最少支路。
2-20
６
５
③
２
④ 1
Qt
Ql
基本割集矩阵[Qf]的作用 ①用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。 设
[1 Ql ]
[i] [i1 i2 i3 i4 i5 i6 ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式
2-21
i1 ② 1 0 0 1 1 0 i 2 ４ [ Qf ][i ]= 0 1 0 0 -1 -1 ３ i ６ 0 0 1 1 0 -1 3 ① ③ ５ i 4 ２ i i1 i 4 i5 5 ④ 1 i 2 i5 i6 0 i 6 i3 i 4 i6 n-1个独立 KCL方程
度 有向图 顶点关联的边数 di 4 连通图 非连通图
②
2-4
断点
①
2 3 5 6
4
③
④
1
可分图
完备图
§1 网络的图和图论基本术语
树
树余
2-5
连通图的一个子图且满足下列条件：
a. 连通 b. 包含所有结点 c. 不含闭合路径 树 不 是 树 单连支回路
树支：构成树的支路
连支：属于G而不属于T的支路
关联矩阵A的作用
①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程； 设:
2-11
i i1
i2 i3 i4 i5 i6
T
以结点④为参考结点
-1 -1 1 0 0 0 [A][ i ]= 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
i1 i 2 1 2 3 i 4 6 0 3 3 i 4 4 5 1 i 5 i 6
2-16
注意 连支电压可以用树支电压表示。 ul [1 Bt ] 0 [ Bf ][ u ]= 0 ut
ul+Btut=0
ul= - Btut
T
②用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程 设：[i] [i1 i3
i4 i2 i5 i6 ]
il1 il il 2 il 3
T i B il Q i 0
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
独立回路电流
§2-3 图的基本矩阵形式
②
1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 il1 0 1 il 2 1 0 il 3 0 1 1 1
2-17
il1 i1 i i ３ ４ 3 l2 3 ６ i 2 il 3 4 ① ③ ５ il1 il 2 i2 ２ 1 il1 il 3 i5 ④ i i 1 l 2 l 3 i6
2-19
①割集方向为树支方向； ②支路排列顺序先树支后连支； ② ③割集顺序与树支次序一致。 ３ 选 1、2、3支路为树 ６ ①
４ ５ 1 ③
Q1: {1, 4, 5} Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
２
④
§2-3 图的基本矩阵形式
支
割集 1 2 3 4 5 6 ３ ① Q1 1 0 0 1 1 0 [Qf]=Q2 0 1 0 0 -1 -1 Q3 0 0 1 1 0 -1 ② ４
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KCL： [ B ]T[ il ]=[ i ]
注意 树支电流可以用连支电流表出。
1 [Bf ] T Bt
T
1 il BT [il ] i t t
B i it
T t l
§2-3 图的基本矩阵形式 3. 基本割集矩阵[Qf]
支路b