2020年中考数学二轮核心考点讲解第11讲斜化直策略问题原卷板

第11讲斜化直策略问题

一次函数的“倾斜度”

1. 在平面直角坐标系中，当某条直线的解析式确定时，其与坐标轴围成的三角形也是确定的，不妨称为该直线对应的“坐标三角形”，即如图1，△AOB即为直线:l y kx b

=+的“坐标三角形”.

2. 当直线:l y kx b

=+的解析式一旦确定，则其与x轴所夹的锐角也是确定，如图1，因为

,0

b

A

k

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，

()

0,

B

b

，故tan=

b

OB

BAO k

b

OA

k

==

-

∠.

3. 事实上，在该直线上任取两点，过这两点任意作“横平竖直辅助线”，构成的直角三角形都与其“坐标三角形”相似，如图2，△P1GP2∽△BOA，∠P1P2G=∠BAO=|k|，一般地，我们可以用tan∠OAB=|k|来刻画一条直线的倾斜程度，这与“坡角”与“坡度”的关系本质相同.

图1 图2

一次函数的k值的魅力

故当一次函数直线:l y kx b

=+的k值确定时，我们即可明白该直线与x轴的夹角度数大小.

如图3，当直线:l y kx b

=+的

3

3

k=时，30

BAO

∠=︒；

如图4，当直线:l y kx b

=+的1

k=时，45

BAO

∠=︒；

如图5，当直线:l y kx b

=+的3

k=时，60

BAO

∠=︒；

图3 图4 图5

如何求一条定线段的垂直平分线的解析式？

如图6，已知点A(2, 5)， B(4, 1)，求线段AB 的垂直平分线的解析式.

图6 图7 解析：如图7，取线段AB 的中点M ，易知M(3, 3)，

过点M 作AB 的垂线l 即为所需垂直平分线，设其与y 轴的交点为N ， 依托A 、B 、M 、N 作“横平竖直辅助线”， 构造出 Rt △ABG ∽Rt △NMH ， 则有

12MH BG NH AG ==，又3NH =，故33

22

MH ON ==，， 即N 的坐标为302⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，， 因此所求垂直平分线l 的解析式为1322

y x =+

事实上，根据一次函数的性质可知：

当两直线平行时，它们所在直线解析式的k 值相等，即12k k =；

当两直线垂直时，它们所在直线解析式的k 值互为“负倒数”，即121k k =-； 因此，我们也可以通过这层关系可以轻易求出线段垂直平分线的解析式.

斜化直的核心思想即利用所给的线段为斜边构造直角三角形模型进行解题，且化斜为直的思想在锐角三角函数这一章用得较为平常。

【例题1】如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝1

3

，求∠A 的三角函数值．

【例题2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝3

5，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，

AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．

【例题3】如图，在平面直角坐标系中，已知M点坐标为（1, 3)，直线

1

1

2

y x

=+与y轴交于A点，与x

轴交于B点，求点M关于该直线的对称点的坐标.（两种方法求解）

【例题4】一次函数y＝x+b（b＞0）与y＝x﹣1图象之间的距离等于3，则b的值为（）A．2B．3C．4D．6

【例题5】如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y ＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C．

（1）求直线y＝kx+b的函数解析式；

（2）若点P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．

【例题6】如图1，直线l交y轴于点B（0，6），交x轴于点A，且∠OAB＝30°，直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示P点的坐标；

（2）求P点到直线AB、x轴和y轴距离都相等时t的值；

（3）如图2，过O点作OC⊥AB于点C，问：t为何值时，以P为圆心、t值的一半长为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与x轴的位置关系．

1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE ＝2，BE＝2 2.求CD的长和四边形ABCD的面积．

2．如图，直线y＝x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD＝4，则k的值为（）

A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6

3．如图，点P是函数y＝（x＞0）的图象上的一点，⊙P的半径为，当⊙P与直线y＝x有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（）

A．1≤x≤B．C．D．