北师大版数学高二选修2试题 1.1 归纳与类比基础巩固

1.1 归纳与类比基础巩固

一、选择题

1．如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )

观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.

2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积

公式S 扇等于( )

A.r 22 B ．l 22

C ．lr 2

D ．不可类比

由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值3

2

a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )

A.4

3a B.6

3a C.

5

4

a D.

64

a 将正三角形一边上的高

32a 类比到正四面体一个面上的高6

3

a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．

二、填空题

4．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10

＝________.

前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝

10

91＋109

2

＝1 000.

5．设函数f (x )＝x

x ＋2

(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝

x

x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x

3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x

7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x

15x ＋16

，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力． 依题意：f 1(x )＝x

x ＋2＝

x

2－1x ＋2

，

f 2(x )＝x

3x ＋4＝

x

22－1x ＋22，

f 3(x )＝x

7x ＋8＝

x

23－1x ＋23

，

f 4(x )＝x

15x ＋16

＝

124－1

x ＋24

. ∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝

x

2n －1x ＋2n

.

三、解答题

6．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝b

a x 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对

于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b

a

x 交于点P n (x n ，y n )．

(1)求点P 1、P 2的坐标； (2)猜想点P n 的坐标公式．

两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．

(1)解方程组⎩⎨⎧

y ＝b －b a

x ，

y ＝b

a x ，

得P 1(a 2，b 2

)．

过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b

3)．

(2)由(1)可猜想P n (

a n ＋1，b

n ＋1).

一、选择题

1．三角形的面积为S ＝1

2(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半

径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )

A ．V ＝1

3abc

B ．V ＝1

3

Sh

C ．V ＝1

3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)

D ．V ＝1

3

(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)

设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝1

3

(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .

2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形

D ．矩形

从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．

3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<7

4，…，则可归纳出第n －1个式

子为( )

A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<1

2n －1

B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<1

2n ＋1

C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1

n